Correction devoir surveillé N3

www.etude-generale.com 2éme BAC PC

Matière : Mathématiques 2020/2021

Professeur : Yahya MATIOUI S2

Correction devoir surveillé N3

Exercice 1 (8 points)

1. Calculons les intégrales : I et J:

L’intégrale I : I =

Z 1 0

x 1

(x² 2x+ 3)²dx= 1 2

Z 1 0

2x 2

(x² 2x+ 3)²dx = 1 2

1 x² 2x+ 3

1

0

= 1

2 (1 2

1

3) = 1 12 L’intégrale J :

Calculons l’intégrale: J =Re

1 e

1

xjlnxjdx

On commence par écrire l’intégrale J sans valeur absolue.

On sait que :

(8x2]0;1]); lnx 0 et (8x2[1;+1[); lnx 0 Donc, en utilisant la relation de chasles on obtient :

Z e

1 e

1

xjlnxjdx =

Z 1

1 e

lnx x dx+

Z e 1

lnx x dx

= ln²(x) 2

1

1 e

+ ln²(x) 2

e

1

= ln²(¹_e)

2 + ln²(e) 2

= 1 2 +1

2 = 1 2. Montrons que : R2

0(2x+ 1) ln(x+ 1)dx= 6 ln 3 2 : En utilisant une intégration par parties.

On pose 8

<

:

u(x) = ln(x+ 1) v⁰(x) = 2x+ 1

=) 8<

:

u⁰(x) = _x+1¹ v(x) =x²+x

Donc

Z 2 0

(2x+ 1) ln(x+ 1)dx = (x²+x):ln(x+ 1) ²

0

Z 2 0

x²+x x+ 1 dx

= 6 ln 3 Z 2

0

x²+x x+ 1 dx

= 6 ln 3 Z 2

0

xdx

= 6 ln 3 x² 2

2

0

= 6 ln 3 2

3. Calculons la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 0;₂ : m= 1

b a Z ₂

0

f(x)dx= 2Z ₂

0

sin 2xdx= 2 cos 2x 2

2

0

= 2

( cos(2 ₂)

2 +cos(0) 2 ) = 2 4. Calculons l’aire entre (C_f) et l’axe des abscisses et les droites d’équations : x = 0 et

x= 1:

On a :

A= ( Z 1

0

jf(x)jdx)ua

comme : f 0 sur [0;1], et : ua= !i !j = 4cm²: Donc

A= ( Z 1

0

f(x)dx) 4cm²

Calculons en utilisant une intégration par parties l’intégrale R1

0 f(x)dx: On pose :

u(x) = x

v⁰(x) =e^x =) u⁰(x) = 1 v(x) = e^x Donc

Z 1 0

xe^xdx = [xe^x]¹₀ Z 1

0

e^xdx

= e [e^x]¹₀

= 1 C-à-d :

A= 4cm² Exercice 2 (11 points)

On résout dans C l’équation (E) : z² 2z+ 4 = 0:

Calculons :

=b² 4ac= ( 2)² 4 1 4 = 12 0 l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z₁ et z₂:

z₁ = b+ip

2a = 2 +ip 12

2 = 1 +ip 3 et comme : z₂ =z₁ = (1 +ip

3) = 1 ip

3: Donc S =n

1 ip

3;1 +ip 3o 1. a) La forme trigonométrique des complexes : b et c:

On a: jbj=p

4 + 4 =p

8 = 2p

2: Donc b = 2 + 2i= 2p

2(

p2 2 +i

p2

2 ) = 2p 2(cos

4 +isin 4) De même, on obtient

c= 2(

p3 2 +i1

2) = 2(cos

6 +isin 6) b)

Véri…ons que: a d= p

3(c d):

On a:

a d = 1 ip

3 ( 2 + 2p 3)

= 1 ip

3 + 2 2p 3

= 3 2p

3 ip 3 D’autre part, on a:

p3(c d) = p 3(p

3 +i ( 2 + 2p 3)

= p

3(p

3 +i+ 2 2p 3)

= p

3(2 p 3 +i)

= 2p

3 + 3 p 3i

= 3 2p

3 ip 3 On obtient donc :

a d= p

3(c d):

Véri…ons que les points A ; C et D sont alignés.

A; C et D sont alignes () a d c d 2R comme : ^{a d}_{c d} = p

3 2 R. Alors ceci signi…e que les points A ; C et D sont alignés.

2. Montrons que : z⁰ = ¹₂az:

On a M⁰(z⁰) est l’image de M(z) par la rotation R de centre O et d’angle ₃ ; c-à-d : R(M) = M⁰:

R(M) = M⁰ () z⁰ o=e ⁱ³(z o) () z⁰ =e ⁱ³z

() z⁰ = (1 2 i

p3 2 )z () z⁰ = 1

2(1 ip 3)z () z⁰ = 1

2az a) Véri…ons que : h=ip:

On aH est l’image du point B par la rotation R, c-à-d : R(B) = H:

R(B) = H () h= 1 2ab () h= 1

2(1 ip

3)(2 + 2i) () h= (1 ip

3)(1 +i) () h= 1 +i ip

3 +p 3 () h= 1 +p

3 +i(1 p 3) D’autre part, on a

ip = i(a c)

= i(1 ip

3 (p 3 +i))

= i(1 ip

3 p

3 i)

= i+p

3 ip 3 + 1

= 1 +p

3 +i(1 p 3) Donc, on obtient

h=ip b) Montrons que : OP ;! OH! ₂ [2 ]:

OP ;! !

OH arg(h o

p o) [2 ] arg(h

p) [2 ] arg(ip

p) [2 ] arg(i) [2 ]

2 [2 ]

Donc, on obtient :

OP ;! !

OH 2[2 ] c) La nature du triangle OHP:

On a: ! OP ; !

OH ₂[2 ], donc le trinagle OHP est rectangle en O:

De plus on a :

OH =jhj=jipj=jij jpj=jpj et OP =jpj

Ce qui signi…e que:OH =OP:C-à-d le trinagle OHP est isocèle enO: Par suite OHP est rectangle et isocèle en O:

FIN

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