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Département: MECANIQUE ET MODELES NUMERIQUES I, Avenue du Général de GaulLe CLAMART Tél

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(1)

E L E C T R I C I T E D E F R A N C E

Q M E C T H N O I S ETUDES ET NEC H H C M ES

Servie* Informatique et Mathématiques Appliquées

0 > F _ , 8 2H3 3 8 - 4 i 9

la 15 Septembre ' ?8

\ ^

Département: MECANIQUE ET MODELES NUMERIQUES

I, Avenue du Général de GaulLe 92141 CLAMART Tél. 765.43.21.

CONTROLE NON DESTRUCTIF : UN MODELE BIDIMENSIONNEL DE DETECTION DE DEFAUTS PAR COURANTS DE FOUCAULT

Note ai/4256-07 30 pages

Le programme p r é s e n t é dans c e t t e note c a l c u l e l e s f.e.m. i n d u i t e s dans l e s deux bobines c o n s t i t u a n t l a sonde e t se déplaçant à l ' i n t é r i e u r d'un tube de générateur de vapeur. La d i f f é r e n c e e n t r e ces f . e . m . indique l a présence d'un défaut, une modification de l a géométrie des tubes, où l a présence de l a plaque t u b u l a i r e .

(2)

SOMMAIRE

I INTRODUCTION

II EQUATIONS A RESOUDRE

III PROBLEME MATHEMATIQUE - ALGORITHME

IV RESULTATS, COMPARAISON AVEC L'EXPERIENCE

ANNEXE - CALCUL DES COErFTCIENTS DIAGONAUX DE LA MATRICE

(3)

- 3

I . - INTRODUCTION

Un des moyens u t i l i s é s pour la d é t e c t i o n des défauts dans l e s tubes de générateur de vapeur e s t l'emploi d'une sonde, c o n s t i t u é e de deux bobines c o a x i a i e s de même dimensions, parcourues par dea courants a l t e r n a t i f s égaux.

Lorsque l ' o n p' .ce c e t t e sonde dans un cube m é t a l l i q u e , l e s cou- r a n t s i n d u i t s dans ce d e r n i e r c r é e n t , dans l e s bobines, des t . e . m . qui s'opposent aux courants i n d u c t e u r s . Ces f . e . m . sont é g a l e s , dans la mesure où l a sonde e s t suffisamment éloignée des extrémités du tube, e t où l e s deux bobines "voient la même chose". (Plus rigoureusement, quand l e plan e q u i d i s t a n t des deux babines e s t pian de symétrie pour la t u b e ) . La présence d'un défaut ( f i s s u r e ) , s'opposant à l a c i r c u l a t i o n des cou- r a n t s i n d u i t s dans le tube, crée une i r r é g u l a r i t é dans leur d i s t r i b u - tion e t provoque a i n s i une d i f f é r e n c e e n t r e l e s f . e . m . des bobines C e l l e s ne voient plus la même chose"). (Cf. l e s f i g u r a s 1 et 2 ) . Cette d i f f é r e n c e dépend de l a p o s i t i o n des bobines par rapport au défaut

(cf. f i g . 3 ) .

• 1 | bobine 1 b s a bobine 2

^ défaut f.e.m. 1 * f.e.m. 2 » 0

;<g. 1 - 3cbines êlcxgnê&s du défaut

(4)

t.cm. t - f.e.m. 2 ^ 0

Fig, 2 - Bobines proches du défaut:

Au niveau expérimental, les bobines sont insérées dans deux branches d'un pont de Ivheatstone qui mesure la différence (représentée par un nombre complexe), entre les f.e.m. Cette valeur est visualisée par 'in point décrivant, sur un écran cathodique, un papillon, lorsque l'on déplace La sonde au voisinage d'un défaut (fig. 3 ) ,

Fig. 3 - "Pczpillon" créé par te présence d'un dé fer, z

Sur la figure 3, on voit le comportement de la différence de f.e.m., représentée par un point du plan, quand la îO'.ide est déplacée dans le tube.

Le signal se déplace suivant la flèche.

Point 0 : La sonde e s t hors, de l a zone d ' i n f l u e n c e du défaut ( F i g . 3 . 0 ) .

Point 1 : La sonde est à proximité du défaut, les deux babines étant du même côté du défaut (Fig. 3.1).

Point 2 : La première bobine e s t au niveau ci défaut ( F i g . 3 . 2 ) .

(5)

P o i n t 3 : La s e c o n d e b o b i n e s ' a p p r o c h e du d é f a u t , t a n d i s q u e l a p r e m i è r e s ' e n é l o i g n e ( ~ i g . 3 . 3 ) ,

P o i n t 0 : Les d e u x b o b i n e s s o n t e q u i d i s t a n c e s du d é f a u t ( F i g . 3 . J - ) .

Le s i g n a l d é c r i c e n s u i t e l e s y m é t r i q u e du p a r c o u r s ( 0 , 1 , 2 , 3 , 0 ) du p a p i l l o n , quand l a b o b i n e c o n t i n u e son d é p l a c e m e n t .

Figure 3~0 F-Cgure 3.1 Figure 3 , 2 Figure J » J Fig-,

M a l h e u r e u s e m e n t c e t t e m é t h o d e d e d é t e c t i o n e s t d i f f i c i l e m e n t a p p l i - c a b l e au v o i s i n a g e d e l a p l a q u e t u b u l a i r e d e G.V. D ' u n e p a r t l a p r é s e n c e d e l a p l a q u e p e r t u r b e l e s i g n a l p r o d u i t p a r l a s o n d e , d ' a u t r e p a r t , l e c o n t a c t p l a q u e - t u b e e s t a s s u r é p a r un p r o c e s s u s de f a b r i c a t i o n , l e d u d g e o n a g e , q u i d é f o r m e l e t u b e ( F i g . 4 e t 5 ) .

tube -plaque tubulaire

Figure 5 . 5 Fiaure 3.S

(6)

En e f f e t quand l a s o n d e a r r i v e au n i v e a u du d u d g e o n a g e , l e s d i s t a n c e s r e s p e c t i v e s d e s b o b i n e s au cube a e s o n t p l u s é g a l e s , p r o v o - q u a n t u n e d i f f é r e n c e e n c r e l e s f . e . m .

En a c c o r d a v e c l e d é p a r t e m e n t : E t u d e d e s m a t é r i a u x , i l a é t é d é c i d é d e c o n s t r u i r e un m o d è l e n u m é r i q u e p e r m e t t a n t u n e a n a l y s e p l u s d é t a i l l é e d e s s i g n a u x o b c e n u s l o r s d e l ' u t i l i s a t i o n d e c e t y p e d e s o n d e .

I I . - EQL'ATTONSA RESOUDRE

I l f a u t r é s o u d r e l e p r o b l è m e s u i v a n t ; C o n n a i s s a n t l e c o u r a n t j p a r c o u r a n t l e s b o b i n e s , q u e l e s t l e c o u r a n t j i n d u i t d a n s l e t u b e . A p a r t i r d e j , i l e s t p o s s i b l e d e c a l c u l e r l ' i n d u c t i o n m a g n é t i q u e d a n s l a s b o b i n e s e t l e s t . a . m . i n d u i t e s .

^7^y>r\

Fzziu?e o

Pour plus de détails et de rigueur sur ce qui suit, on lira [BOS80] : "Le problème des courants de Foucault".

Soient :

a : l a c o u d u c t i ^ i t é H : l e champ magnétique B : l ' i n d u c t i o n magnétique A : le p o t e n t i e l vecteur J : la d e n s i t é de courant E : l e champ é l e c t r i q u e

(7)

Les équations du problème sont

L'équation de Maxwell

( 1 )

_2M«I .

r o c E

, o .

La l o i d'Ohm :

(2) J * :E .

D ' a u t r e p a r t par d e f i n i t i o n de A

(3) B = r o t A •

On o b t i e n t donc :

rot C-lf * ?~l J) - 0 •

I l faut maintenant e x p l i c i t e r A en fonction de j , Le Cube é t a n t c o n s t i t u e d'un matériau aznagnëtique, on a :

B = u.H ; u constant .

Sachant que J * r o t H ( l o i de Faraday), en combinant ( 1 ) , (2) e t (3) on o b t i e n t A s o l u t i o n de - iA a u j . Soit G l ' o p é r a t e u r inverse de - i / u , A =• GJ e t (4) devient

(5) rot i-^GJ +a~l ) = 0 .

Il existe donc une fonction (Q telle que 3 — i

(6) — G.J •»• a j » grad O . Dans [BOS 8 0 ] , on montre que (o) devient

On explicitera G au paragraphe suivant (III).

(8)

H.\ - Calcul de la f.a.m. dans les bobines

Soit S, l a section de la bobine, a la f . a . x . i n d u i t e e s t égaie à :

(3)

(9)

hi.

3 dS, ou 3 = roc A, on a donc : r o t A dS ' - — Ad 35

S 3 C '-3S

A é t a n t constant sur le bord de la bobine, on a par symétrie de révolution :

(10) e = - —- (2 T . R . A ) , où R e s t le rayon de l a bobine (cf.

f i g . 7 ) .

A e s t obtenu à p a r t i r de J en u t i l i s a n t l ' o p é r a t e u r G.

Figure 7

Flux de 3 i Travers la secvion de la bobine

Les bobines e t le tube é t a n t d é c r i t s dans un r e p è r e c y l i n d r i q u e , (r^ 6, 2 ) , j et j sont indépendants de 3 . On effectue donc un c a l c u l bidimensionnel sur l ' i n t e r s e c t i o n du tube et d'un plan passant par l ' a x e du c y l i n d r e . Le rapport e n t r e l ' é p a i s s e u r et le rayon du tube é t a n t d'environ 1/10, l'approximation e s t purement 2-D, supposant l e domain*

i n f i n i dans l a t r o i s i è m e d i r e c t i o n , et non axisymétrique (cf. f i g . I b i s ) .

(9)

Flan de ?oupe du tube, perpendiculaire à -J.

III. - PROBLEME MATHEMATIQUE ET ALGORITHME

L1intersection des bobines et du tube, et d'un plan passant par Leur axe est constituée des domaines D et D et da leurs symétriques par rapport S cet axa, D! et D*.

D "

/0

Figiœe 3

On désigne par x ( x . , x9) l e point courant du p l a n . On d o i t résoudre sur D u")1 :

( u ) h G-J<x> + J1 J^) = - h G JJ*>

Le problème é t a n t l i n é a i r e e t permanent, l a d é r i v a t i o n en temps sera t r a i t é e en u t i l i s a n t l e s nombres complexes. On é c r i t : J • j ( x ) e1

(12) i D G j ( x ) + a j ( x ) = » - i ^ G j ( x ) x s D u D '

(10)

Î I I . Î - Opérateur G

A esc s o l u t i o n du problème de p o t e n t i e l (dans R ) 2

àA • u j , qui a pour s o l u t i o n

AU) - - ^ j log | x - y | j i y ) dy

(12) devient

(13) i £ /

Loe j x - y ! j ( y ) dy +

:'

1 3 Cri

DUD' itaU 2 T

o o

Log : !x-•y!

V

y )

Soie y un. p o i n t de D e t y1 s D' son opposé par rapport à l ' a x e , par symétrie de r é v o l u t i o n on a j ( y ) » - j ( y ' )

(L3) devient a l o r s

(14) ^ j CLog | x - y | j ( y ) - Log I x - y ' j j ( y ) ] d y + a "1 j ( x )

^ J [Log ix-y| jQC y ) - L o g ix-y| J0(y)] dy i.

2-

(15) | 2 ! i J Log j f ^ , j ( y ) dy + o "1 j (,c> . - f f ^ tog j ^ i , j ^ ) d,

L'équation (15) va ê t r e r é s o l u e par une méthode i n t é g r a l e . Le domaine D sera découpé en N c r i a n g l e a . Les fonctions égales à 1 sur

d'approximation de j .

(16) j ( x ) - I j , n.(x) 1*1 4 l

Les ( j , , i =» 1,N) seront la solution d'un système linéaire comp1exe.

(11)

En introduisant (16) dans (15) on obtient : , , • M . N

(17) ^ Log i—Jt-r . : j , 1,(7) dy + ;, : j . -i.CsO

;x-yj iwu /" T jx-

j „ ( y ) <iy j x-y

j sera p r i s constant égal à 1 dans chaque bobine.

Les M lignes du système Linéaire à c o n s t r u i r e seront obtenues en m u l t i p l i a n t l e s deux membres de (17) par l e s M fonctions 1. et en intégrant sur D. Le système à résoudre s ' é c r i r a

M

(18) : A. . j , =• b. v k •: r i , s i

\:

, > -iHH. j j L o r p M - . n, (:0 i . (y) dx dy - a "1 f i, (x) n.Cx) dx

" U n

L

°

g

1 ^ " l

n

"

< x ) d X d y

La fonction n, (x) é t a n t égale à L sur l e t r i a n g l e k. et 0 a i l l e u r s ,

( i 9 )

^ = ^ L L

W 2* I „, " "L o 8s x - y \

^ i

d x d y +

'

5

«

o

"

1

/.

' T, ' T, ' ' ' T,

lW t l

•2- IJv

Log T fT dx dy

on obtient

ial ' i k'

(12)

Par c o n t r e l e c a l c u l de A. . p r é s e n t e une d i f f i c u l t é l o r s a u e l e s c r i a n g l e s k et l sont confondus ou ra^me a d j a c e n t s . En e f f e t Log i't-ys n ' e s t pas d é f i n i quand :z = y (T. = T . ) , ac peut ê t r e numériquement non

Si T, e t T sont d i s j o i n t s on c a l c u l e r a simplement 'P - P |

\l " " ^ Aire ^ ^ 'Aire t TP X L°S 'p^ . p!'i o u pwet ?l 3 0 n C r e s"

' k i pectivement l e s b a r y c e n t r e s des t r i a n g l e s T, et T , .

aux méthodes i n t é g r a l e s c o n s i s t a n t à c a l c u l e r analytiquement L ' i n t é g r a l e l a plus i n t e r n e , ec à f a i r e appel à une formule d'approximation numérique pour l a seconde i n t é g r a l e . C ' e s t - à - d i r e :

* *

' V Î . k k

I Log ix-yl dx dv - Aire (T, ) Log ! P, - ?.' k k

I I Log 'x-yl dx dy = I w. f(P

' V Tt i=L L

E(P.) où

où w. ec P. sont respectivement les poids et les points d: intégration numérique, ec

(20) f(P.) a I Log (P. - yj dy, obtenue analytiquement.

1

' \

La formule d ' i n t é g r a t i o n numérique est une formule à sept p o i n t s d é c r i t e dans CSTR 7 1 ] , On u t i l i s e r a c e t t e formule de haute p r é c i s i o n pour l e c a l c u l des c o e f f i c i e n t s A. , lorsque l e s t r i a n g l e s k ec A sont, adjacents sans t o u t e f o i s effec .uer l e c a l c u l a n a l y t i q u e p r é a l a b l e .

En ce qui concerne (20), l e c a l c u l de f ( P . ) e s t d é t a i l l é dans l ' a n n e x e A.

(13)

IV . - RESULTATS. COMPARAISON AVEC L'EXPERIENCE

A f i n d e v a l i d e r l e p r o g r a m m e , l e d é p a r t e m e n t E.M.A. a mis en o e u v r e , d a n s son l a b o r a t o i r e d e s R e n a r d i è r e s , u n e s é r i e d ' e x p é r i e n c e s p e r m e c c a n c d e c o m p a r e r l e s r é s u l t a t s du c a l c u l a v e c l e s s i g n a u x o b t e n u s en u t i l i s a n t une s o n d e . A c e t e f f e t t r o i s t u b e s , d ' e n v i r o n t r e n t e c e n t i m è t r e s d e l o n g , o n t é t é d o t é s d e d é f a u t s c i r c o n f é r e n t i e l s d e s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e . Les s e c - t i o n s r e s p e c t i v e s d e c e s d é f a u t s é t a n t d e 0 , 3 mm x 1 mm, 0 , 6 ran x 1 mm, 0 , 9 am x 1 a n ( c f . f i g . 9 ) .

I

'-i

0,3 mm 46mm

Figure 9

Défaits circonférentiels sur les trois tubes

D ' a u t r e p a r t , une a u t r e s é r i a de deux tubes a é t é p r é p a r é e . Les défauts pour ces deux tubes sont de même s e c t i o n : 0,6 mm x 1 mm, mais i l s ne sont pas c i r c o n f é r e n t i e l s » i l s couvrent respectivement 90°

e t 180° sur Li circonférence des t u b e s . On s ' i n t é r e s s e r a à ces tubes à l-\ fin du paragraphe, pour 1* i n s t a n t i l ne sera question que des défauts c i r c o n f é r e n t i e l s .

On v o i t sur l e s f i g u r e s (10) e t ( 1 1 ) , l a v i s u a l i s a t i o n des r é s u l - t a t s obtenus par l e c a l c u l concernant l e s t r o i s d é f a u t s . Les d i f f é r e n c e s de f . e . m . ont é t é c a l c u l é e s pour d i f f é r e n t e s p o s i t i o n s des bobines, a l l a n t de 5 mm au-dessus du défaut j u s q u ' à 5 mm en dessous. Les f i g u r e s

(12) e t (13) sont l e s photographies de l ' é c r a n de l ' o s c i l l o s c o p e après déplacement de l a sonde dans l e s t r o i s t u b e s . I l convient de f a i r e q u e l - ques remarques avant d ' é t u d i e r ces r é s u l t a t s de façon plus p r é c i s e .

(14)

I >

l5) t l faut n o t e r l a d i f f é r e n c e d ' é c h e l l e e n t r e l e s i g n a l c o r r e s - pondant à 0,9 ram, e t ceux correspondant à 0,3 et Q,ô. Las r a p p o r t s sont de 2 pour l a v i s u a l i s a t i o n du c a l c u l et de U pour l e s signaux sur écran.

2°) Les signaux obtenus par l e c a l c u l sont semblables à une symé- t r i e p r è s , à ceux obtenus sur l ' é c r a n . Ceci d o i t ê t r e a t t r i b u é à l a ma- n i è r e (inconnue des u t i l i s a t e u r s ) dont l a sonde e s t branchée à l ' o s c i l - loscope.

3°) On remarque, suivant l e s d i f f é r e n t e s profondeurs des d é f a u t s , des d i f f é r e n c e s d'amplitude e t de phase e n t r e l e s signaux. On v e r r a plus l o r i l e s comparaisons e n t r a l e c a l c u l e t L'expérience, en ce qui concerne l e s r a p p o r t s d'amplitudes e t l e s d i f f é r e n c e s de phase.

I

(15)

EDF-ŒR 17/ncuT/w

„.0- PROFONDEUR DES DEFAUTS s . 3 ET . 6 MM

13.0-

13.0-

11.0

10.0

t.o 0.0-

7.0

H . O

-1.0

~ H .0-1,0 -Q.Q -7.Q -o.o -j.Q -i.Q -3.0 - J . Q - | . Q Q , 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0.0 7.0 0.0 1.0

(16)

EDF-OER 17/HUT/U

„.„ PROFONDEUR DU OEFRUT: 0 . 9 MM

-ii.t H £ $ -10.0 -T.% - t . t -3.5 0.0 l.S 5.0 T.j I6J> t&s is.»[

(17)

P\Q <ond<LuA. - 0,9 mm ' JLLv.ci& fiaA. J)

?ic*on.dz'JA. = 0,6 -rm

Pxo ^ondzuA.

Figures id ?t :v

Signaux sur l'écran is l'oscilloscope

(18)

IV-1 - Développemenc du signal au cours du déplacement de la sonde

Nous voyons sur les figures 14 ec 15, la progression des signaux respectivemenc calculés ec abcanus sur écran lorsque l'on déplace la sonde. Ces figures correspondenc au défaut de 0,9 mm. On obtient une visualisation analogue pour les défauts de 0,3 ec 0,6 mm.

(19)

„. =Rcrwo£ua au oer=uT: : . s

Figures 14-a et IS-a La sonde est à 4 mn du défaut

(20)

,l i 0 l 3 t*crCNOEUR J U D E " ^ U T : 0 . 3 MM

1 -» Su DCT^T

• V » ' ^ «* " -&

J .7T7Î dw défaut

(21)

^ F - O E » -ru ^ PROFONDEUR 3U OEFRUT: Q . 3 MM

•.g/TOur/aj •

J rm DU U t i n i T

•„..j

Figures14-c et IS-a 2 rrm du défaut

(22)

*, =SOFONCELR 3b QE"3UT: 0.3 -n

Figures 14-d et 15-d 1 rm du défaut

(23)

Ï2F-0ER "

lS/FOjT/82

, ?RGFONDEUR QU QEFSUT: 0 . 9 Mh

" Œ * l «TWlT

Figures 24-g et 25-e La sonde est face au défaut

(24)

On c o n s t a t e sur l a figure 16 que l ' a m p l i t u d e maximum du s i g n a l estoUtenue lorsque la sonde se trouve à une d i s t a n c e du défaut comprise e n t r e 1 et 2 nnn.

ÙJF-OO» raw ] ie/narr/02

i.s wcgoerw

PRGFGNOEUR OU QEFHUT! 0 . 3 MM

-1.0-]

\

Figure 15

Maximum d'amplivude in signal

(25)

EDF-ŒR MMN 17/KMT/U

„..., PROFONDEUR DU DEFAUT: 0 . 9 MM

* *-

i*.« - i j . s -lô.o ->'.» -«'.> -2.9 o'.o a.s s.Q r . i m.o ij.i 1S.0

(26)

IV. 2 - Rapports d'amplitude at de phase

Soit M l e point sur la courbe t e l que loll! = max o p î , P décrivant l'ensemble des p o i n t s de l a courbe. (On a vu que ce ' point corr^cp'-*"- daiu à une posicion de la sonde appruximativement égale Ù 1,3 mm). On a p p e l l e r a amplitude de A. l a d i s t a n c e om, et phase i l ' a n g l e (ox, om) . (CE- f i g . 16 b i s ) .

Le tableau c i - d e s s o u s montre l e s r a p p o r t s d'amplitude e n t r e l e s signaux correspondant aux t r o i s défauts e t l e s d i f f é r e n c e s de phase, obtenus d'une p a r t au moyen du c a l c u l , d ' a u t r e p a r t mesurés sur l ' o s c i l - loscope.

On n o t e r a A. e t i. l ' a m p l i t u d e et l a phase correspondant au défaut de 0 , i nan * 0,5 mm.

1

O s c i l l o s c o p e C a l c u l

29 " a6 21° 21°

°6 " a3 22° 20°

*9 "S

4,67 4,37

•H i A3 ï., 47 2,40

En ce qui concerne l e s mesures e f f e c t u é e s sur t r o i s tubes ayant des défauts de même s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e , mais couvrant respectivement des angles de 90°, 180* e t 360° sur l a c i r c o n f é r e n c e , l e s phases des t r o i s signaux obtenus sur l ' o s c i l l o s c o p e sont égales (cf. f i g . 17).

L'amplitude des signaux c r o î t , bien s û r , avec l ' a n g l e d ' o u v e r t u r e du d é f a u t , mai3 la phase, e l l e ne dépend que de l a profondeur du d é f a u t . Ceci indique que l a v a l i d i t é du programme n ' e s t pas l i m i t a à l ' é t u d e 4es défauts c i r c o n f é r e n c i e l s .

(27)

Les zrcis signaux jorresvcndant i des iéf-xuts couvrant 30°, 1î2°, 5 - 360° sur la. D-iroonfêvence.

Ces r e l a t i o n s e n t r e l a profondeur du défaut e t l a phase du s i g n a l sont déjà connues, tout au moins empiriquement. Certains a u t e u r s ont également r e t r o u v é , par l e c a l c u l , l a forme du s i g n a l (cf. [LOR 7 9 ] ) . On peut a t t e n d r e de l ' u t i l i s a t i o n de ce programme une connaissance qua- l i t a t i v e et q u a n t i t a t i v e plus p r é c i s e du comportement du s i g n a l an p r é - sence d'un d é f a u t .

Dans l ' i m m é d i a t , i l a é t é d é c i d é , à l a demande du département EMA, d ' e x p l o i t e r l e programme a f i n d ' é t u d i e r l ' e f f e t du dudgeonage ac de l a présence de l a plaque t u b u l a i r e .

(28)

Triangle T.

Calcul de f(P.)

£(? > • Ï Log |P, - y|

Pour simplifier appelons x le

L. . * I Log jx - y| dy en utilisant les coordonnées polaires

,: • ' T . .

Pour simplifier appelons x le point P., et soit

^ - / . ' " /

h/cos 6

Log r * r dr

En intégrant par parties

/ h/cos 3 2 I h/cos 9 , h/cos 9 «- h/cos 8

I r Logr dr* r (Logr - 1) - I r Logr dr + / r dr

' 0 lo ' 0 J 0

* [ - - * ] :

h/cas

On 3 donc

^"H*^

1

-

0 8

^^]'

posant u » Log 9 , u. - tg 8, , u._ » tg e2 »on obtient

(29)

h< ' T" )

( L

°

8 h ( 1 +

° " ?

d u

(Log

h

- I) (a

2

. up . | - j

Log (1 -t- u") du

En i n t é g r a n t par p a r t i e , on o b t i e n t

i - £ .

3 tg 92 2

( t g 32 - t g S ^ C L o g h - | ) + — j - i - Log (1 + t g ' 3 , )

— J + Log (1 + t g ' 3L> + 32 - 3L)

(30)

REFERENCES

1 CBOS 80] 3ossavit, A., Le problème des courants de Foucaulc.

E.D.F, - Bulletin de la D.E.R. - Séria C, 1, 5 - U .

2 [STR 71] Stroud, A.H. - Approximate calculation of multiple integrals.

Prentice Hall, L971.

3 CLOR 79] Lord, W. and Falanisamy, R. "Developmenc of theoritical models for non destructive testing eddy-current phenomena", Eddy-current characterization of materials and structures, ASTM STP 722; Birnbaum, G. and Free, G., Editors, American Society for testing and materials L981.

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