Chapitre I : Principes fondamentaux de l’optique g � � � � om � � � � trique
I – G����n����ralit����s :
L’optique est l’�tude des ph�nom�nes lumineux per�us ou non par l’œil. Ces ph�nom�nes se rapportent aux spectres �lectromagn�tiques et peuvent �tre interpr�t�s selon plusieurs aspects de l’optique. La lumi�re repr�sente la cause essentielle des sensations lumineuses. Nous pouvons citer :
L’optique physiologique : analyse les sensations visuelles telles que la clart�, l’obscurit�, la notion de couleur etc.…
L’optique physique : �tudie la relation entre la lumi�re et la mati�re.
L’optique g�om�trique : moyen de tracer les directions de propagation des rayons lumineux.
1- Corps lumineux :
Ce sont des objets qui �mettent un rayonnement. On les appelle sources de lumi�re. Nous citons comme exemples : le soleil, les �toiles, lampes etc…
2- Milieux transparents :
Espaces situ�s entre un objet lumineux et un r�cepteur " œil " et capables de transporter simultan�ment des rayons lumineux issus d’une m�me source. Un milieu est
g�n�ralement caract�ris� par un indice de r�fraction n ( exemple : eau, air, verre,
�thanol etc.).
3- Rayon lumineux :
Un rayon lumineux est une droite ou portion de droite suivie par la lumi�re.
4- Indice de r����fraction n :
Caract�risant un milieu transparent � la lumi�re, l’indice de r�fraction n se d�finit du fait d’une interaction entre la mati�re et la lumi�re la traversant. L’indice absolu d’un milieu est donn� par : n = c / v , ou c repr�sente la c�l�rit� de la lumi�re 3. 108 m/s, et v la vitesse de propagation de l’onde lumineuse dans ce milieu.
On caract�rise un milieu mat�riel par son indice absolu de r�fraction
Solides Liquides Gaz
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Exemples verre 1,5 eau 1,333 air 1,000 293
diamant 2,417 �thanol 1,361 CO2 1,000 45
NaCl 1,544 benz�ne 1,501 H2 1,000 14
L'indice absolu augmente un peu quand la longueur d'onde diminue (∆ n 0,01 quand on passe du rouge au bleu), cette variation �tant souvent repr�sent�e par une relation de la
forme L'indice relatif d'un milieu 2 par rapport � un milieu 1 est d�fini par
II – Nature de la lumi����re :
La lumi�re pr�sente, selon plusieurs exp�riences et th�ories, un double aspect :
Un aspect ondulatoire : mis en �vidence par les exp�riences de diffraction et d’interf�rence.
Un aspect corpusculaire : mis en �vidence par les exp�riences d’effet photo�lectrique,
�mission, absorption ainsi que de l’effetcompton.L'�tude des �changes d'�nergie entre la lumi�re et la mati�re a montr� que l'�nergie lumineuse est quantifi�e.
Pour une radiation de fr�quence f cette �nergie est un multiple de la quantit�
�l�mentaire E = h
f
, appel�e photon, avec h = constante de Pl�nck = 6,63 10-34 J s.Pour interpr�ter ces interactions mati�re-rayonnement, on peut consid�rer le photon comme un corpuscule sans masse se d�pla�ant avec la vitesse v dans le milieu
consid�r� et transportant la quantit� de mouvement p telle que Pour l'�tude de l'optique g�om�trique, cet aspect corpusculaire est sans utilit�.
La lumi�re visible constitue aussi une onde �lectromagn�tique dont les longueurs d’onde λ varient comme suit :
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1. Onde ����lectromagn����tique :
Constitu�e par les champs �lectrique E et magn�tique B, elle peut �tre repr�sent�e, en un point M de l’espace, � un instant donn� par :
E (M , t) = E
0(M) cos (
ωt - k.r) B (M , t) = B
0(M) cos (
ωt - k.r) k : vecteur d’onde
ω
: pulsation
r : vecteur position OM
On appelle lumi�re monochromatique, une superposition d’un ensemble d’ondes
" train d’ondes " de m�me fr�quence, c’est � dire photons de m�me λ . 2. Surface d’onde :
Soit A une source ponctuelle �mettant de la lumi�re dans toutes les directions de l'espace � la date t = 0.
L'ensemble des points atteints par la lumi�re � la date t est une surface ( ) appel�e surface d'onde � la date t.
Tous les rayons compris entre A et ( ) correspondent au m�me chemin optique: LAB = LAC = LAD = ct.
De m�me pour les points situ�s sur la surface d'onde ( ') � la date t': LAB' = LAC' = LAD' = ct'.
On en d�duit que tous les chemins optiques compris
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entre deux surfaces d'onde sont �gaux: LBB' = LCC' = LDD' = c(t' - t).
On d�montre (th�or�me de Malus, 1808) que les rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces d'onde.
Pour une onde plane ces surfaces d’ondes sont des plans parall�les entre eux et contenant E et B. On peut les repr�senter par :
3. Chemin optique :
On d�finit le chemin optique entre deux points M1 et M2, appartenant � 2 surfaces d’ondes par :
L = (M1M2) = M1M2 n . dl
Si le milieu est homog�ne, n est constant et L = n . M1M2.
Soit un rayon lumineux, la lumi�re atteignant le point A � la date tA et le point B � la date tB.
Le chemin optique LAB le long du rayon est d�fini par :
Ce chemin optique est donc �gal au chemin que parcourrait
la lumi�re dans le vide pendant la dur�e tB – tA .
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III – Propagation de la lumi����re – Principe de Fermat :
1- Observations et hypoth����ses :
Plusieurs exp�riences et th�ories ont pu confirmer que la lumi�re se propage en ligne droite. Citons comme exemples :
Ombre d’un objet,
Gouttelettes d’eau microscopiques constituants la brume,
Fum�e de tabac dans un environnement lumineux,
Eclipses de la lune etc…
2- Ind����pendance des rayons lumineux :
Dans un milieu homog�ne et transparent, les rayons lumineux se propagent de mani�re ind�pendante dans une m�me r�gion de l’espace.
3- Principe de Fermat :
Il repr�sente un principe fondamental de l’optique g�om�trique et s’�nonce comme suit : Le trajet suivit par les rayons lumineux pour aller d’un point M1 vers un point M2 est celui pour lequel le chemin optique est extremum " dL = 0 ".
Pour aller d'un point � un autre, la lumi�re suit le trajet dont le chemin optique est extr�mal, ce qui correspond aussi au trajet dont la dur�e est extr�male.
Soit (C) = AMB un rayon lumineux de chemin optique
Soit (C') un trajet infiniment voisin obtenu en associant � chaque
point
M (C) un vecteur .f(s) avec f(s) fonction continue d�rivable de l'abscisse curviligne s du point M, s'annulant en A et B.
Le nouveau chemin optique s'�crit
L est extr�mal (ou stationnaire) si δ L = L' - L ne contient pas de terme du 1er ordre en |f(s)|max.
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δ L = 0 au 1er ordre pr�s en |f(s)|max.
4- Retour inverse de la lumi����re :
Le trajet suivit par la lumi�re est ind�pendant du sens de propagation. Les rayons lumineux traversant des milieux diff�rents se propagent de mani�re rectiligne en suivant le m�me trajet � l’all�e et au retour.
Soit un rayon lumineux et le chemin optique correspondant. Le parcours inverse correspond au m�me chemin optique : LAB �tant extr�mal, LBA l'est aussi, donc est un rayon lumineux.
" Le trajet suivi par la lumi�re entre deux points ne d�pend pas du sens de parcours "
IV – Lois de Snell - Descartes :
Elles constituent les principales lois liant les angles d’incidences et de r�flexions ou de r�fractions en fonction des indices des milieux.
1. Loi de r����fraction :
Soit un rayon AI tombant en I sur la surface S s�parant deux milieux homog�nes transparents d’indices diff�rents ( on suppose que n1 < n2 ). On appelle plan d’incidence le plan d�fini par AI et la normale N � la surface en I.
Nous pouvons montrer que :
Le rayon incident AI et le rayon r�fract� IB sont contenus dans le m�me plan d’incidence d�fini par (AIB) contenant aussi N [c’est aussi le plan (u1, N) ].
n1.sini1 = n2.sini2
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Le produit n sin i est invariant � la travers�e du dioptre et on peut aussi �crire la
relation sous la forme o� n2/1 est
l'indice relatif du milieu 2 par rapport au milieu 1.
2. Loi de r����flexion :
Sur une surface parfaitement r�fl�chissante, un rayon lumineux (AI), issue d’un milieu quelconque, subit une r�flexion dans le m�me milieu tel que :
Le rayon incident et le rayon r�fl�chi sont tous les deux situ�s dans le m�me milieu. Le rayon r�fl�chi est dans le plan d'incidence (u1, N).
L’angle d’incidence est �gale � l’angle de r�flexion : i= - r
V- Les limites de la r����fraction :
Les ph�nom�nes de r�fraction et de r�flexion peuvent avoir lieu simultan�ment et peuvent �tre repr�senter comme sur le figure ci-dessous :
α ) Le premier milieu est moins r�fringent que le deuxi�me : n1 < n2
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: le rayon r�fract� existe toujours.
Quand i1 90� (incidence rasante), i2 λ tel que
λ est l'angle de r�fraction limite
Exemples : dioptre air-eau n1 = 1 ; n2 = 1,33 ; sin λ = ; λ = ?
dioptre air-verre n1 = 1 ; n2 = 1,5 ; sin λ = ; λ = ?
β ) Le premier milieu est plus r�fringent que le deuxi�me : n1 > n2
: le rayon r�fract� n'existe pas toujours.
Quand i2 90� (�mergence rasante), i1 λ tel que
Si i1 > λ , il n'y a pas de rayon r�fract� mais toute la lumi�re est renvoy�e dans le premier milieu par la surface de s�paration qui se comporte comme un miroir: il y a r�flexion totale du rayon incident.
VI- Limites de validit����s de l’optique g����om����trique :
Lorsqu'un faisceau lumineux traverse une ouverture �troite, on peut observer la pr�sence de lumi�re en dehors de la zone d�finie par la loi de propagation rectiligne : c’est le ph�nom�ne de diffraction de la lumi�re
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La diffraction est n�gligeable si la longueur d'onde de la radiation utilis�e reste faible par rapport aux dimensions de l'ouverture. Les lois de l'optique g�om�trique sont donc valables pour des longueurs d'onde "nulles.
