Electrodynamique Examen Formulaire d’analyse vectorielle
• COORDONNEES CARTESIENNES :
1. Gradient
grad ψ ≡ ∇ψ = ∂ψ
∂x e
x+ ∂ψ
∂y e
y+ ∂ψ
∂z e
z2. Rotationnel
rot A ≡ ∇ × A = ∂A
z∂y − ∂A
y∂z
e
x+
∂A
x∂z − ∂A
z∂x
e
y+ ∂A
y∂x − ∂A
x∂y
e
z3. Divergence
div A ≡ ∇ · A = ∂A
x∂x + ∂A
y∂y + ∂A
z∂z
4. Laplacien
div grad ψ ≡ ∆ψ = ∂
2ψ
∂x
2+ ∂
2ψ
∂y
2+ ∂
2ψ
∂z
2• COORDONNEES CYLINDRIQUES : base (e
r, e
ϕ, e
z) usuelle 1. Gradient
∇ψ = ∂ψ
∂r e
r+ 1 r
∂ψ
∂ϕ e
ϕ+ ∂ψ
∂z e
z2. Divergence
∇ · A = 1 r
∂(rA
r)
∂r + 1 r
∂A
ϕ∂ϕ + ∂A
z∂z 3. Rotationel
∇ × A = 1
r
∂A
z∂ϕ − ∂A
ϕ∂z
e
r+ ∂A
r∂z − ∂A
z∂r
e
ϕ+ 1 r
∂(rA
ϕ)
∂r − ∂A
r∂ϕ
e
z4. Laplacien
∆ψ = 1 r
∂
∂r
r ∂ψ
∂r
+ 1 r
2∂
2ψ
∂ϕ
2+ ∂
2ψ
∂z
2• COORDONNEES SPHERIQUES : base (e
r, e
θ, e
ϕ) usuelle 1. Gradient
∇ψ = ∂ψ
∂r e
r+ 1 r
∂ψ
∂θ e
θ+ 1 r sin θ
∂ψ
∂ϕ e
ϕ2. Divergence
∇ · A = 1 r
2∂(r
2A
r)
∂r + 1 r sin θ
∂(sin θ A
θ)
∂θ + 1
r sin θ
∂A
ϕ∂ϕ 3. Rotationel
∇×A = 1 r sin θ
∂(sin θA
ϕ)
∂θ − ∂A
θ∂ϕ
e
r+ 1 r
1 sin θ
∂A
r∂ϕ − ∂(rA
ϕ)
∂r
e
θ+ 1 r
∂(rA
θ)
∂r − ∂A
r∂θ
e
ϕ4. Laplacien
∆ψ = 1 r
2∂
∂r
r
2∂ψ
∂r
+ 1
r
2sin θ
∂
∂θ
sin θ ∂ψ
∂θ
+ 1
r
2sin
2θ
∂
2ψ
∂ϕ
2• FORMULES UTILES :
a × b × c
= a · c
b − a · b c a × b
· c × d
= a · c b · d
− a · d b · c
∇ × ∇ψ = 0
∇ · ∇ × A
= 0
∇ × ∇ × A
= ∇ ∇ · A
− ∆A
∇ · ψA
= ψ∇ · A + A · ∇ψ
∇ × ψA
= ψ∇ × A + ∇ψ × A
∇ A · B
= A × ∇ × B
+ B × ∇ × A
+ A · ∇
B + B · ∇ A
∇ · A × B
= B · ∇ × A
− A · ∇ × B
∇ × A × B) = A ∇ · B
− B ∇ · A
+ B · ∇
A − A · ∇ B
∆ ψφ
= ψ∆φ + 2∇ψ · ∇φ + φ∆ψ
∆ ψA
= ψ∆A + 2(∇ψ · ∇
A + A∆ψ
x les cordonn´ ees d’un point et n = x/ |x| un vecteur unitaire radial, alors
∇ · x = 3 ∇ × x = 0
∇ · n = 2
|x| ∇ × n = 0
2
• THEOREMES DE L’ANALYSE VECTORIELLE :
Ci-dessous, φ et ψ sont des fonctions scalaires, A est un champ vectoriel et V est un volume 3-dimensionel avec l’´ el´ ement de volume dV . Le volume V est d´ elimit´ e par une surface 2-dimensionelle ferm´ ee S = ∂V avec dσ son ´ el´ ement d’aire et n un vecteur unitaire de la normale, ayant son sens sortant du volume.
1. Th´ eor` eme de la divergence (Th´ eor` eme de Gauss)
• Flux d’un champ vectoriel sortant de S : R R
S
A · ndσ.
Z Z Z
V
∇ · A dV = Z Z
S
A · n dσ
L’int´ egrale de la divergence d’un champ vectoriel, ´ etendue ` a un volume est ´ egale au flux de ce champ sortant de la surface qui limite ce volume.
2. Formule du gradient
Z Z Z
V
∇ψ dV = Z Z
S
ψn dσ 3. Formule du rotationnel
Z Z Z
V
∇ × A dV = Z Z
S
n × Adσ 4. Th´ eor` eme de Green
Z Z Z
V
(φ∆ψ − ψ∆φ) dV = Z Z
S
(φ∇ψ − ψ∇φ) · n dσ 5. Th´ eor` eme de Stokes
Ci-apr` es, S est une surface 2-dimensionelle ouverte, d´ elimit´ ee par la courbe C avec l’´ el´ ement curviligne dl. La normale n de S est d´ efinie selon la r` egle de la main droite, le sens positif ´ etant fix´ e le long de la courbe.
• Circulation d’un champ vectoriel A le long de C : R
C
A · dl Z
C
A · dl = Z Z
S
∇ × A
· n dσ
La circulation d’un champ vectoriel A le long d’une courbe ferm´ ee C est ´ egale au flux de son rotationnel passant par S, surface d´ elimit´ ee par C.
3
• FORMULES SUPPL ´ EMENTAIRES :
D´ efinition du champ de d´ eplacement et champ magn´ etique : D = P +
0E , H = B
µ
0− M
Relations entre le champ de d´ eplacement et le champ ´ electrique, entre le champ magn´ etique et le champ de induction magn´ etique dans un milieu lin´ eaire isotrope :
D = E , B = µH
Densit´ e de charge microscopique moyenn´ ee et densit´ e de courant microscopique moyenn´ ee : hηi = ρ − ∇ · P
hji = J + ∂P
∂t + ∇ × M
Potentiel scalaire ´ electrostatique g´ en´ er´ e par un dipˆ ole ´ electrique p : φ(r) = 1
4π
0p · r r
3Potentiel vecteur magn´ etostatique g´ en´ er´ e par un dipˆ ole magn´ etique m : A(r) = µ
04π m × r
r
3Vecteur de Poynting :
S =
0c
2E × B
Champs ´ electrique et magn´ etique de la radiation dipolaire B = 1
4π
0c
31 x ¨ d × n E = cB × n
Expression du potentiel ´ electrostatique avec les fonctionnes de Green : φ(x) = 1
0Z
V
ρ(x
0)G(x, x
0)d
3x
0+ I
S
