Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux

Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux

5.1 – Courbes 5.2 – Circulation 5.3 – Surfaces

5.4 – Flux, Stokes et Gauss

5.1 – Courbes

Dans cette section:

‚ Courbes donn´ ees par deux ´ equations

‚ Courbes param´ etr´ ees

‚ El´ ´ ement de ligne

Courbes

Id´ ee – Une courbe est une figure g´ eom´ etrique C de dimension intrins` eque ´ egale ` a 1, comme une droite, une parabole, un cercle, ou l’union d’arcs de ce type:

‚ Une courbe est plane si elle est contenue dans un plan.

‚ Elle est orient´ ee, et not´ ee C

, si on fixe un sens de parcour (il y en a toujours deux).

Dans ce cas, on note C

la courbe orient´ ee dans le sens oppos´ e.

C^` C^´

‚ Elle est ferm´ ee si en la parcourant en revient au point de d´ epart,

comme sur un cercle.

Courbes donn´ ees par des ´ equations

D´ efinition – Comme sous-ensemble de R

, une courbe est l’union d’ensembles donn´ es par deux ´ equations:

C “

!

~ x P R

ˇ

ˇ F p~ xq “ 0 et G p~ xq “ 0, plus restrictions sur ~ x )

o` u F , G : R

ÝÑ R sont deux fonctions r´ eelles et les “restrictions”

sont des in´ egalit´ es dans les coordonn´ ees.

Exemple –

‚ En coordonn´ ees cartesiennes, les ´ equations x ´ y “ 0 et x

´ z “ 0,

avec la restriction x P r0, 1s, d´ ecrivent un arc de la parabole z “ x

sur le plan y “ x.

y z

x

‚ En coordonn´ ees cylindriques, le mˆ eme arc de parabole est d´ ecrit

par ρ

´ 2z “ 0 et ϕ ´ π{4 “ 0 avec ρ P r0, 1s.

Courbes param´ etr´ ees

D´ efinition – Une courbe param´ etr´ ee est une courbe pour laquelle on donne aussi la fa¸ con de la parcourir en fonction d’un param` etre t (qui repr´ esente le temps en physique):

C “

!

γptq “ ~ xptq ˇ

ˇ t P rt

, t

s Ă R )

,

o` u γ : rt

, t

s Ñ R

est une fonction vectorielle d´ erivable qui s’appelle param´ etrisation et denote souvent la courbe mˆ eme.

L’orientation de γ est donn´ e par le sens croissant de t.

La courbe est ferm´ ee si γpt

q “ γpt

q.

Param´ etrisation des coordonn´ ees –

‚ cartesiennes: γptq “ pxptq, y ptq, zptqq

‚ cylindriques: γptq “ ρptq e ~

ptq ` z ptq ~ k

‚ sph´ eriques: γptq “ rptq e ~

ptq

Exemple: param´ etrisation d’une courbe

Exemple – L’arc de parabole peut ˆ etre param´ etr´ e comme suit:

y z

x

‚ En coordonn´ ees cartesiennes, on a z “ x

, y “ x, et x P r0, 1s, alors on peut choisir

xpt q “ t, y ptq “ t, z ptq “ t

, avec t P r0, 1s et on obtient γpt q “ pt, t , t

q, avec t P r0, 1s.

‚ En coordonn´ ees cylindriques, on a ρ

“ 2z , ϕ “ π{4, et ρ P r0, 1s, alors on peut choisir:

ρpt q “ t ϕptq “ π{4, z ptq “ t

{2, avec t P r0, 1s

et on obtient γpt q “ t e ~

ptq ` t

{2 ~ k , avec t P r0, 1s.

Vitesse et acc´ eleration

D´efinition – Pour une courbe param´etr´eeγptq “~xptqon appelle:

‚vitesse, le vecteur γptq “9 _dt^d~xptq ,

‚acc´eleration, le vecteur :γptq “_dt^d22~xptq .

Lemme – Les vecteurs~ı ,~ et~k sont constants, par contre:

# e~9_ρ“ϕ ~9e_ϕ

~9

eϕ“ ´ϕ ~9eρ

$

’&

’%

~9

e_r “ϕ ~9e_ϕ`θ ~9e_θ

~9

eϕ“ ´ϕ9sinθ ~er´ϕ9cosθ ~eθ

~9

e_θ“ ´θ ~9e_r`ϕ9cosθ ~e_ϕ

Param´etrisation de la vitesse en coordonn´ees –

‚cartesiennes: γptq “9 xpt9 q~ı`y9ptq~ `z9ptq~k

‚cylindriques: γpt9 q “ρptq9 e~ρptq `ρptqϕptq9 e~ϕptq `z9ptq~k

‚sph´eriques: γpt9 q “rpt9 qe~_rptq `rptqϕpt9 qe~<sub>ϕ</sub>ptq `rptqθptq9 e~_θptq

Courbes r´ eguli` eres

D´ efinition – La courbe γ : rt

, t

s Ñ R

est r´ eguli` ere si la vitesse ne s’annulle jamais, c’est-` a-dire si

γptq ‰ 9 ~ 0 p

} γptq} ‰ 9 0q pour tout t P rt

, t

s.

Dans ce cas, la vitesse est un vecteur tangent ` a la courbe, et on appelle:

‚ ´ el´ ement de ligne, le vecteur Ý Ñ

d ` “ γpt 9 q dt ;

‚ abscisse curviligne, la primitive de } γ 9 ptq}, not´ ee s “ s ptq, donc on a s

pt q “ } γptq} 9 ;

‚ ´ el´ ement d’arc, la diff´ erentielle ds “ } γptq} 9 dt ;

‚ longueur, l’int´ egrale L

pγq “ ż

t0

} γptq} 9 dt “ ż

spt0q

ds .

Exemples de courbes param´ etr´ ees

Exemples –

‚ Parabole: x “ y , z “ x

et x P r0, 1s γptq “ pt, t, t

q avec t P r0, 1s

γptq “ p1, 9 1, 2tq “~ ı `~  ` 2t ~ k

z

x

} γ 9 ptq} “ ?

2 ` 4t

‰ 0 ùñ γ est r´ eguli` ere Ý

Ñ d ` “ p1, 1, 2tq dt “ dt ~ ı ` dt ~  ` 2t dt ~ k .

‚ Ellipse: x

9 ` z

4 “ 1 et y “ 0 γptq “ p3 cos t, 0, 2 sin tq, t P r0, 2πs γptq “ p´3 sin 9 t, 0, 2 cos tq ‰ ~ 0

y z

x

Ý

Ñ d ` “ p´3 sin t, 0, 2 cos tq dt “ ´3 sin t dt ~ ı ` 2 cos t dt ~ k .

Exemples de courbes param´ etr´ ees

‚ H´ elice circulaire:

γptq “ pcos t, sin t, t q avec t P r0, 6πs ùñ x

` y

“ 1,

“ tan z (

) γptq “ p´ 9 sin t, cos t, 1q ‰ ~ 0 ñ γ r´ eg.

ñ Ý Ñ

d ` “ p´ sin t~ ı ` cos t~  ` ~ k q dt

y z

x

} γ 9 ptq} “ a

sin

t ` cos

t ` 1 “ ? 2

ñ L

pγ q “ ż

0

} γptq} 9 dt “ ż

0

? 2 dt “ 2 ? 2π

En cylindriques: ρptq “ 1, ϕptq “ t, z ptq “ t ñ γ ptq “ ρptq e ~

` zptq ~ k “ e ~

` t ~ k

γptq “ 9 ρptq 9 e ~

` ρptq ϕptq 9 e ~

` zptq 9 ~ k “ e ~

` ~ k ñ Ý Ñ

d ` “ p e ~

` ~ k q dt

5.2 – Circulation

Dans cette section:

‚ Circulation d’un champ de vecteurs le long d’une courbe

‚ Circulation d’un champ de gradient

Circulation et int´ egrale curviligne

D´ efinition – Soit Ý Ñ

V un champ de vecteurs de R

et soit C

une courbe orient´ ee dans le domaine de Ý Ñ

V , param´ etr´ ee par γ : rt

, t

s ÑR

. On appelle circulation de Ý Ñ

V le long de C

l’int´ egrale curviligne

ż

C^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

d ` “ ż

t0

Ý Ñ V `

γ ptq ˘

¨ γptq 9 dt o` u Ý Ñ

V ` γ ptq ˘

indique que le champ Ý Ñ

V est ´ evalu´ e sur les points de la courbe et ¨ indique le produit scalaire entre vecteurs.

Notation – Si C

est une courbe ferm´ ee, la circulation de Ý Ñ

V le long de C

s’´ ecrit

¿

C^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

d `

Proposition – Si C

est orient´ ee dans le sens oppos´ e ` a C

, on a ż

C^´

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

d ` “ ´ ż

C^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

d `.

Exercices

Enonc´e – Calculer la circulation des champs suivants, le long des courbes indiqu´ees.

‚Champ ÝÑ

Fpx,y,zq “z~ı´y~ `x~k Parabole γptq “ pt,t,t²q, t P r0,1s

y z

x R´eponse – On a

Ý

ÑFpγptqq “t²~ı´t~ `t~k γpt9 q “~ı `~`2t~k. La circulation deÝÑ

F le long deγ est donc ż

C₁^`

Ý ÑF ¨ÝÑ

d`“ ż1

0

´

t²´t`2t²

¯ dt

“ ż1

0

´ 3t²´t

¯ dt

“

” t³´1

2t² ı1

0“1´1 2 “1

2.

Exercices

‚Champ ÝÑ

Vpρ, ϕ,zq “ϕ ~e_ρ`ze~<sub>ϕ</sub>`ρ~k Cercle x²`y²“9, z “2

orient´e en sens antihoraire ^y

z

x

‚

R´eponse – On param´etrise γptq “ρptqe~ρ`zptq~k avec ρptq “3, ϕptq “t et zptq “2, t P r0,2πs.

On a alors Ý

ÑVpγptqq “t e~ρ`2e~ϕ`3~k

γptq “9 ρpt9 qe~_ρ`ρptqϕptq9 e~<sub>ϕ</sub>`zpt9 q~k “3 e~_ϕ et la circulation deÝÑ

V le long deγest donc ż

γ

Ý ÑV ¨ÝÑ

d`“ ż2π

0

6dt “12π.

Exercices

‚Champ ÝÑ

Upr, ϕ, θq “ϕ ~e_r`sinθ ~e<sub>ϕ</sub>`ρ ~e_θ Demi-cercle x²`y<sup>2</sup>`z²“4, y“xě0

orient´e en sens horaire ^y

z

x

R´eponse – On param´etrise γptq “rptqe~r avec rptq “2, ϕptq “ π

4, θptq “t, tP r0, πs.

On a alors Ý

ÑUpγptqq “π{4e~r`sint e~ϕ`2 e~θ

γptq “9 r9ptqe~r`rptqϕptq9 e~ϕ`rptqθptq9 e~θ “2 e~θ

et la circulation deÝÑ

U le long deγest donc ż

γ

Ý ÑU ¨ÝÑ

d`“ żπ

0

4dt “4π.

Travail d’une force

D´ efinition – Soit Ý Ñ

F un champ de force de R

qui d´ eplace un corps le long d’un trajet param´ etr´ e par la courbe γ : rt

, t

s Ñ R

. Le travail de la force Ý Ñ

F est l’´ energie W fournie pour accomplir le d´ eplacement et est donn´ e par la circulation de Ý Ñ

F le long de γ.

W “ ż

γ

Ý Ñ F ¨ Ý Ñ

d `

Exemple – Calculons le travail effectu´e par la force Ý

ÑFpx,y,zq “z~ı ´y~ `x~k pour d´eplacer un objet le long de l’arc d’h´elice

γptq “ pcost,sint,tq, t P r0,2πs.

y z x

On a ÝÑ

Fpγptqq “t~ı´sint~ `cost~k γpt9 q “ ´sint~ı`cost~ `~k, donc

W “ ż

γ

Ý ÑF ¨ÝÑ

d`“ ż2π

0

´

´t sint´sint cost`cost¯ dt

“

”

t costı2π 0 ´

ż2π 0

cost dt´

”1

2sin²tı2π 0 `

ż2π 0

cost dt“2π.

Circulation d’un champ de gradient

Th´ eor` eme – Soit Ý Ñ

V “ ÝÝÑ

grad φ un champ de gradient, de domaine D

. Alors:

‚ La circulation de ÝÝÑ

grad φ le long d’une courbe C

quelconque qui joint deux points A et B contenus dans D

ne d´ epend pas de la courbe mais seulement des deux points:

ż

C^`

ÝÝÑ grad φ ¨ Ý Ñ

d ` “ φpB q ´ φpAq.

‚ La circulation de ÝÝÑ

grad φ le long d’une courbe ferm´ ee C

est

nulle: ¿

C^`

ÝÝÑ grad φ ¨ Ý Ñ d ` “ 0.

La premi`ere assertion se demontre par calcul direct.

La deuxi`eme est une cons´equence de la premi`ere, ou bien un corollaire du th´eor`eme de Gauss trait´e `a la fin de ce chapitre.

Exercice

Enonc´ e – Considerons le champ scalaire

φpx, y, z q “ 1 a ypz

´ x

q

,

sur le domaine D “ px, y , zq P R

| y ą 0, z ą x ą 0 ( . Calculer le travail de la force conservative Ý Ñ

F “ ´ ÝÝÑ

grad φ le long d’une h´ elice C

contenue dans D qui joint le point A “ p0, 1, 2q au point B “ p3, 4, 5q.

R´ eponse – Le travail de Ý Ñ

F “ ´ ÝÝÑ

grad φ le long de C

vaut:

W “ ´ ż

C^`

ÝÝÑ grad φ ¨ Ý Ñ

d ` “ φp0, 1, 2q ´ φp3, 4, 5q

“

´ ?

4p25´9q

“

´

“

.

5.3 – Surfaces

Dans cette section:

‚ Surfaces donn´ ees par une ´ equation

‚ Surfaces param´ etr´ ees

‚ Vecteur normale et ´ el´ ement de surface

Surfaces

Id´ee – Unesurfaceest une figure g´eom´etriqueS dedimension intrins`eque´egale `a 2, comme un plan, un disque, un parabolo¨ıde, une sph`ere, un cylindre, la bande de Moebius, ou leur union:

‚Une surface estplanesi elle est contenue dans un plan.

‚Elle estorientablesi on peut distinguer deux cot´es. Ceci n’est pas toujours possible, par exemple pour la bande de Moebius.

‚Une surface orientable estorient´ee, et not´eeS^`, si on choisi un sens de travers´ee, indiqu´e par

un vecteur sortant. Dans ce cas, on note S^´ la surface orient´ee dans le sens oppos´e.

S^` S^´

Bord des surfaces et surfaces ferm´ ees

‚Lebordd’une surfaceS est la courbe BS qui d´elimite la surface, par exemple le cercle qui entoure un disque, ou les deux cercles qui d´elimitent un cylindre.

‚Le bord d’une surface orient´ee est automatiquement orient´e de telle sorte qu’en le parcourant d´ebout (direction sortante deS),

la surface se trouve sur la gauche.

‚Une surfaceS estferm´eesi on peut distinguer son int´erieur de son ext´erieur, comme pour la sph`ere. Cela arrive si son bord est vide:

BS “ H.

‚Une surface ferm´ee S delimite un solide ΩĂR³, comme la sph`ere qui entoure la boule unitaire. On dit alors queS est le bord de Ω, et on

´ecrit: S “ BΩ.

Surfaces donn´ ees par une ´ equation

D´ efinition – Comme sous-ensemble de R

, une surface est l’union d’ensembles donn´ es par une ´ equation:

S “

!

~ x P R

ˇ

ˇ F p~ xq “ 0 plus restrictions sur les variables )

o` u F : R

ÝÑ R est une fonction r´ eelle et les “restrictions” sont des in´ egalit´ es dans les coordonn´ ees.

Proposition – Le graphe d’une fonction f : R

Ñ R est une surface d’´ equation z “ f px, yq, avec px, yq P D

.

Exemple – z “ x

, x, y P r0, 1s d´ ecrit un cylindre parabolique, d’axe Oy. ~

Dans ce cas, S est non ferm´ ee et son bord BS est l’union de quatre courbes.

y z

x

Surfaces param´ etr´ ees

D´ efinition – Une surface param´ etr´ ee est une surface o` u les points sont d´ ecrits par deux param` etres ind´ ependants u et v :

S “

!

f pu, v q “ ~ xpu, vq | u P ru

, u

s, v P rv

, v

s )

, o` u f : ru

, u

s ˆ rv

, v

s ÝÑ R

est une fonction vectorielle diff´ erentiable qui s’appelle param´ etrisation de la surface.

En coord. cartesiennes: f pu,vq “ pxpu ,vq, ypu,v q, z pu,vqq

‚Cylindre parabolique: z “x², x,yP r0,1s si on posey “u,x“v etz“v², on a

fpu,vq “ pv,u,v²q, u,v P r0,1s

y z

x

‚Hyperbolo¨ıde: z “xy, x,yP r0,1s si on posex“u, y“v etz“uv, on a

fpu,vq “ pu,v,uvq, u,v P r0,1s

y z

x

Surfaces reguli` eres et vecteur normal

D´ efinition – Une surface S param´ etr´ ee par f : U ˆ V ÝÑ R

est reguli` ere au point f pu, vq si le

‚ vecteur normal ~ npu, vq “ Bf pu, v q

Bu ^ Bf pu, v q Bv

est bien d´ efini et non nul. Dans ce cas, S est orient´ ee par ~ n, et on appelle:

‚ ´ el´ ement de surface, le vecteur Ý Ñ

dS “ ~ npu, vq du dv ,

‚ ´ el´ ement d’aire, le scalaire dA “ } ~ npu, vq} du dv ,

‚ aire de la surface, l’int´ egrale double Aire pS q “

ij

UˆV

}~ npu, vq} du dv “ ij

UˆV

dA .

Exemples de surfaces param´ etr´ ees

Exemples –

‚Cylindre parabolique:z “x²,x,yP r0,1s

fpu,vq “ pv,u,v²q, u,vP r0,1s ^y z

x

~n“

¨

˝ 0 1 0

˛

‚^

¨

˝ 1 0 2v

˛

‚“

¨

˝ 2v

0

´1

˛

‚ vecteur orient´e vers le bas ÝÑ

dS“2v du dv~ı ´du dv~k

‚Hyperbolo¨ıde: z “xy, x,yP r0,1s

fpu,vq “ pu,v,uvq, u,v P r0,1s ^y z

x

~n“

¨

˝ 1 0 v

˛

‚^

¨

˝ 0 1 u

˛

‚“

¨

˝

´v

´u 1

˛

‚ vecteur orient´e vers le haut ÝÑ

dS“ ´v du dv~ı´u du dv~ `du dv~k

Exemples de surfaces param´ etr´ ees

‚Cylindre circulaire: x²`y²“R², z P r0,Hs en coord. cylindriques:ρ“R, donc

fpϕ,zq “ pRcosϕ,Rsinϕ,zq

avecϕP r0,2πretz P r0,Hs ^y z

x

~n“

¨

˝

´Rsinϕ Rcosϕ

0

˛

‚^

¨

˝ 0 0 1

˛

‚“

¨

˝ Rcosϕ

Rsinϕ 0

˛

‚ vecteur sortant

‚D´emi-sph`ere: x<sup>2</sup>`y²`z²“1, z ě0 en coord. sph´eriques: r “1, donc

fpϕ, θq “`

cosϕsinθ,sinϕsinθ,cosθ˘ avec ϕP r0,2πsetθP r0, π{2s

y z

x ϕ

θ

~n“

¨

˝

´sinϕsinθ cosϕsinθ

0

˛

‚^

¨

˝

cosϕcosθ sinϕcosθ

´sinθ

˛

‚“

¨

˝

´cosϕsin²θ

´sinϕsin²θ

´sinθcosθ

˛

‚ vecteur entrant

5.4 – Flux, Stokes et Gauss

Dans cette section:

‚ Flux d’un champ de vecteurs ` a travers une surface

‚ Th´ eor` eme de Stokes-Amp` ere

‚ Cas particuliers, Th´ eor` eme de Green-Riemann

‚ Th´ eor` eme de Gauss

Flux et int´ egrales de surface

D´ efinition – Soit Ý Ñ

V un champ de vecteurs de R

et S

une surface contenue dans le domaine de Ý Ñ

V , param´ etr´ ee par

f : U ˆ V ÝÑ R

, et orient´ ee par le vecteur normal ~ n. On appelle flux de Ý Ñ

V ` a travers S

l’int´ egrale de surface ij

S^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

dS “ ij

UˆV

Ý Ñ V

´ f pu, vq

¯

¨ ~ npu, vq du dv ,

o` u Ý Ñ V `

f pu , vq ˘

indique que le champ Ý Ñ

V est ´ evalu´ e sur les points de la surface et ¨ est le produit scalaire de vecteurs.

Notation – Si S

une surface ferm´ ee, le flux de Ý Ñ

V ` a travers S

s’´ ecrit

£

S^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

d ` .

Proposition – Si S

est orient´ ee dans le sens oppos´ e ` a S

, on a ij

S^´

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

dS “ ´ ij

S^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

dS.

Exercice

Enonc´e – Calculer le flux des champs suivants, `a travers les surfaces indiqu´ees.

‚Champ ÝÑ

Vpx,y,zq “x~ı`z~`y ~k

Hyperbolo¨ıde fpu,vq “ pu,v,uvq, u,vP r0,1s ^y z

x R´eponse – On a

Ý

ÑVpfpu,vqq “u~ı `uv~ `v~k

~npu,vq “ ´v~ı´u~`~k donc le flux deÝÑ

V `a traversS<sup>`</sup> vaut ij

S^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

dS “ ij

r0,1sˆr0,1s

p´uv´u²v`vqdu dv

“ ż1

0

p´u´u²`1qdu ż1

0

v dv

“

”

´1 2u²´1

3u³`u ı1

0

”1 2v²

ı1 0“

ˆ

´1 2 ´1

3`1

˙1 2 “ 1

12

Exercice

‚ Champ Ý Ñ

V px , y, z q “ xz ~ ı ´ yz ~  Cylindre f pϕ, z q “ pR cos ϕ, R sin ϕ, z q,

ϕ P r0, 2πr, z P r0, Hs

y z

x

R´ eponse – On a Ý

Ñ V pf pϕ, z qq “ R cos ϕz ~ ı ´ R sin ϕz ~ 

~ npϕ, zq “ R cos ϕ ~ ı ` R sin ϕ ~  donc le flux de Ý Ñ

V ` a travers S

vaut ij

S^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

dS “ ij

r0,2πrˆr0,Hs

R

pcos

ϕ ´ sin

ϕqz d ϕ dz

“ R

ż

0

cosp2ϕq d ϕ ż

0

z dz

“ R

” 1

2 sinp2ϕq ı

0

” 1 2 z

ı

0

“ 0

Th´ eor` eme de Stokes-Amp` ere

Th´ eor` eme – Si Ý Ñ

V “ Ý rot Ñ Ý Ñ

U et S

est une surface orient´ ee qualconque, avec bord BS

, on a:

ij

S^`

Ý Ñ rot Ý Ñ

U ¨ Ý Ñ dS “

¿

BS^`

Ý Ñ U ¨ Ý Ñ

d `

S^{`</sup> BS<sup>`}

Autrement dit:

Le flux d’un champ Ý rot Ñ Ý Ñ

U ` a travers une surface S

est ´ egal ` a la circulation de Ý Ñ

U le long de son bord BS

.

Exemple

Exemple – Champ ÝÑ

Vpx,y,zq “xz~ı ´yz~ Cylindre fpϕ,zq “ pRcosϕ,Rsinϕ,zq,

ϕP r0,2πr, z P r0,Hs

y z

x

‚On remarque que divÝÑ

Vpx,y,zq “z´z “0.

PuisqueDÝÑ

V “R³ est contractile,ÝÑ

V a un potentiel vectorielÝÑ U. Apr`es calculs, on trouve: ÝÑ

Upx,y,zq “xyz ~k.

‚On applique alors le th´eor`eme de Stokes:

ij

S^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

dS “ ij

S^`

ÝÑ rotÝÑ

U ¨ÝÑ dS“

¿

BS^`

Ý ÑU ¨ÝÑ

d`.

‚Le bord deS^` est compos´e de deux cercles orient´es

αptq “ pRcost,Rsint,0q et βptq “ pRcost,´Rsint,Hq, avec

αpt9 q “ ´Rsint~ı `Rcost~ et βpt9 q “ ´Rsint~ı ´Rcost~.

‚On alorsÝÑ

U ¨αpt9 q “0 etÝÑ

U ¨βptq “9 0, donc ij

S^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

dS“0.

Th´ eor` eme de Green-Riemann

Cas particuliers du th´eor`eme de Stokes –

‚SiS^`est une surface ferm´ee, on a:

£

S^`

ÝÑ rotÝÑ

U ¨ÝÑ

dS“0 ^S` ÝrotÑÝÑ U

‚SiS^`est une surface plane dans le planxOy, etÝÑ

V “ÝrotÑÝÑ

U est orthogonal `aS, le champÝÑ

U ne d´epend pas dez et on a:

Ý

ÑUpx,yq “Ppx,yq~ı`Qpx,yq~ et ÝÑ V “

´BQ Bx´BP

By

¯~k. y z

x

Ý ÑV

Dans ce cas: Th´eor`eme de Green-Riemann:

ij

S^`

´BQ Bx ´BP

By

¯

dx dy“

¿

BS^`

´

P dx`Q dy¯ .

Exemple

Exemple – Champ Ý Ñ

V px, y, z q “ xz ~ ı ´ yz ~  Cylindre pr´ ec´ edent ferm´ e par les deux disques

` a hauteur z “ 0 et z “ H.

y z

x

‚ Puisque Ý Ñ

V “ Ý rot Ñ Ý Ñ

U avec Ý Ñ

U px, y, z q “ xyz ~ k , et BS

“ H, on a:

£

S^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

dS “

£

S^`

Ý Ñ rot Ý Ñ

U ¨ Ý Ñ dS

“ ż

BS^`

Ý Ñ U ¨ Ý Ñ

d ` “ 0.

Th´ eor` eme de Gauss-Ostrogradski

Th´ eor` eme – Si Ý Ñ

V est un champ de vecteurs quelconque et S

est une surface orient´ ee ferm´ ee, qui delimite un espace born´ e Ω, c’est-` a-dire que BΩ “ S , on a:

ij

S^`“BΩ

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

dS “

¡

Ω

div Ý Ñ

V dx dy dz .

Exemple – Si Ý Ñ

V est un champ avec div Ý Ñ V “ 5, et S est la coquille d’un oeuf Ω de volume 4, le flux de Ý Ñ

V entrant dans l’oeuf est:

£

S^`

Ý Ñ V ¨ Ý Ñ

dS “

¡

Ω

div Ý Ñ

V dx dy dz

“ 5

¡

Ω

dx dy dz “ 5 Vol pΩq “ 20.

Exercice

Enonc´e – Calculer le flux du champ de vecteurs Ý

ÑVpx,y,zq “x²~ı `y<sup>2</sup>~ `z²~k

`a travers le cˆone S<sup>`</sup> d’´equation z²“x²`y², zP r0,3s, param´etr´e par

fpρ, ϕq “ pρcosϕ, ρsinϕ, ρq

ρP r0,3s, ϕP r0,2πs. _y z

x

R´eponse –

‚D’abord, on observe que la surfaceS n’est pas ferm´ee, car son bordBS est le cerclex²`y²“9 et z “3.

‚Ensuite, on observe que divÝÑ

Vpx,y,zq “2x`2y`2z ‰0.

‚Alors on ne peut appliquer aucun th´eor`eme, il faut calculer le flux deÝÑ V

`a traversS<sup>`</sup> en utilisant la d´efinition.

Exercice (suite)

‚Pour: ÝÑ

Vpx,y,zq “x²~ı`y<sup>2</sup>~`z²~k

etS^`: fpρ, ϕq “ pρcosϕ, ρsinϕ, ρq,ρP r0,3s,ϕP r0,2πs, on a:

Ý

ÑVpfpρ, ϕqq “ρ²cos²ϕ ~ı`ρ<sup>2</sup>sin<sup>2</sup>ϕ ~ `ρ²~k,

~n“

¨

˝ cosϕ

sinϕ 1

˛

‚^

¨

˝

´ρsinϕ ρcosϕ

0

˛

‚“

¨

˝

´ρcosϕ

´ρsinϕ ρ

˛

‚.

‚Le flux est alors:

ij

S^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

dS “ ij

r0,3sˆr0,2πs

`´ρ<sup>3</sup>cos<sup>3</sup>ϕ´ρ<sup>3</sup>sin<sup>3</sup>ϕ`ρ³˘ dρdϕ

“ ż3

0

ρ³dρ ż2π

0

`1´cos³ϕ´sin³ϕ˘ dϕ

“1

43⁴2π“81π 2 , parce que

ż2π 0

cos³ϕdϕ“ ż2π

0

sin³ϕdϕ“0.

Exercice

Exercice – Calculer le flux du mˆeme champ de vecteurs Ý

ÑVpx,y,zq “x²~ı `y<sup>2</sup>~ `z²~k

`a travers la surface ferm´ee S<sup>`</sup> form´ee du cˆone pr´ec´edent z²“x²`y<sup>2</sup>, zP r0,3set du disque x<sup>2</sup>`y²ď9, z“3, orient´ee par les vecteurs normaux sortants.

R´eponse – Puisque la surface est ferm´ee, on peut utiliser le th´eor`eme

de Gauss: £

S^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

dS“

¡

Ω

divÝÑ

V dx dy dz,

o`u Ω est le solide entour´e parS, donc

Ω“ px,y,zq PR³ |x²`y²ďz², 0ďz ď3( , et

divÝÑ

Vpx,y,zq “2x`2y`2z.

Exercice (suite)

On a alors, en coordonn´ees cylindriques,

£

S^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

dS “2

¡

Ω

px`y`zqdx dy dz

“2 ż3

0

dz ż2π

0

dϕ żz

0

´

ρ²pcosϕ`sinϕq `ρz¯ dρ

“2 ż3

0

dz ż2π

0

”1

3ρ³pcosϕ`sinϕq `1

2ρ²zıρ“z ρ“0

dϕ

“2 ż3

0

dz ż2π

0

´1

3z³pcosϕ`sinϕq `1 2z³

¯ dϕ

“2 ż3

0

dz

”1

3z³psinϕ´cosϕq `1 2z³ϕ

ı2π 0

“2 ż3

0

1

2z³2πdz

“2π1

43⁴“ 81π 2

Exercice

Exercice – Calculer le flux du rotationnel de Ý

ÑVpx,y,zq “x²~ı `y<sup>2</sup>~ `z²~k

`a travers le cˆone S<sup>`</sup> d’´equation z²“x²`y², zP r0,3s, param´etr´e par fpρ, ϕq “ pρcosϕ, ρsinϕ, ρq, ρP r0,3s, ϕP r0,2πs.

R´eponse – Pour trouver ce flux on utilise le th´eor`eme de Stokes:

ij

S^`

ÝÑ rotÝÑ

V ¨ÝÑ dS “

¿

BS^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

d`

et on n’a pas besoin de calculerÝrotÑÝÑ V.

Le bordBS<sup>`</sup> est le cercle d’´equationx<sup>2</sup>`y²“9,z “3, orient´e dans le sens horaire, qu’on param´etrise par

γptq “ p3 cost,´3 sint,3q, tP r0,2πr.

Exercice (suite)

On a alors: γ¹ptq “ ´3 sint~ı´3 cost~ et Ý

ÑVpγptqq “9 cos²t~ı`9 sin<sup>2</sup>t~`9~k.

Le flux deÝrotÑÝÑ

V `a travers le cˆoneS<sup>`</sup> est donc:

ij

S^`

ÝÑ rotÝÑ

V ¨ÝÑ dS“

¿

BS^`

Ý ÑV ¨ÝÑ

d`

“ ż2π

0

Ý

ÑVpγptqq ¨γ¹ptqdt

“ ż2π

0

`´27 cos<sup>2</sup>tsint´27 sin<sup>2</sup>tcost`0˘ dt

“27

”1

3cos³t´1 3sin³t

ı2π 0

“0.

FIN DU COURS !

BONNE CONTINUATION !