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Monomial crystals and promotion operators Description of the

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Academic year: 2022

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(1)

Monomial crystals and promotion operators

Description of the U

q

( ˆ sl

4

)-crystal M

2,a

Mathieu Mansuy

(2)

Y

2,0

Y

0,2−1

2

Y

1,3−1

Y

2,2

Y

3,3−1

Y

0,2

2

ss Y

−12,4

Y

0,2

Y

1,1

Y

3,3−1

1

==

Y

1,1

Y

2,2−1

Y

3,1

Y

0,2−1

1

//

3

33

Y

1,3−1

Y

3,1

3

OO

(3)

Y

2,2

Y

0,4−1

2

Y

1,3−1

Y

2,2

Y

3,3−1

Y

0,2

2

ss

oo

0

Y

2,4−1

Y

0,2

0

}}

Y

1,3

Y

3,5−1

Y

1,3

Y

2,4−1

Y

3,3

Y

0,4−1

3

33

Y

1,3−1

Y

3,1

3

OO

(4)

Y

2,4

Y

0,6−1

oo

0

Y

1,5−1

Y

2,4

Y

3,5−1

Y

0,4

Y

2,4−1

Y

0,2

0

}}

Y

1,3

Y

3,5−1

1

==

Y

1,3

Y

2,4−1

Y

3,3

Y

0,4−1 3

33

1

// Y

1,5−1

Y

3,3

3

OO

(5)

Y

2,4

Y

0,6−1

2

Y

1,5−1

Y

2,4

Y

3,5−1

Y

0,4

oo

0

2

ss Y

−12,6

Y

0,4

0

}}

Y

1,3

Y

3,5−1

1

==

Y

1,5

Y

2,6−1

Y

3,5

Y

0,6−1

1

// Y

1,7−1

Y

3,5

(6)

Y

2,4

Y

0,6−1

2

Y

1,7−1

Y

2,6

Y

3,7−1

Y

0,6

2

ss Y

−12,8

Y

0,6

Y

1,5

Y

3,7−1

1

==

Y

1,5

Y

2,6−1

Y

3,5

Y

0,6−1

1

//

3

33

Y

1,7−1

Y

3,5

3

OO

(7)

We define the applications τ

2,−δ

: M

2,a

→ M

2,a

by

τ

2,−δ

e

ν

Y

Y

i,nui,n

= e

ν−δ

Y Y

i,n+2ui,n

, φ : M

2,a

→ M

2,a

by

φ Y Y

i,nui,n

= Y

Y

i+1,n+1ui,n

. τ

2,−δ

and φ are automorphisms of the crystal M

2,a

.

Remark φ acts on M

2,a

as a screwing. This is the promotion

operator of the crystal M

2,a

.

(8)

Associated U q v ,0 (sl 4 tor )-module

Y

2,0

Y

0,2−1

2

Y

1,3−1

Y

2,2

Y

3,3−1

Y

0,2

2

ss Y

−12,4

Y

0,2

Y

1,1

Y

3,3−1

1

>>

Y

1,1

Y

2,2−1

Y

3,1

Y

0,2−1

1

//

3

33

Y

1,3−1

Y

3,1 3

OO

0

1 2 3

χ

q

(V

0

(Y

2,0

)) =Y

2,0

+ Y

1,1

Y

2,2−1

Y

3,1

+ Y

1,1

Y

3,3−1

+ Y

1,3−1

Y

3,1

+ Y

1,3−1

Y

2,2

Y

3,3−1

+ Y

2,4−1

(9)

Associated U q v ,1 (sl 4 tor )-module

Y

2,2

Y

0,4−1

2

Y

1,3−1

Y

2,2

Y

3,3−1

Y

0,2

2

ss

oo

0

Y

2,4−1

Y

0,2

0

~~

Y

1,3

Y

3,5−1

Y

1,3

Y

2,4−1

Y

3,3

Y

0,4−1

3

33

Y

1,3−1

Y

3,1 3

OO

0

χ

q

(V

1

(Y

3,1

)) =Y

3,1

+ Y

2,2

Y

3,3−1

Y

0,2

+ Y

2,2

Y

0,4−1

(10)

Associated U q v ,2 (sl 4 tor )-module

Y

2,4

Y

0,6−1

Y

1,5−1

Y

2,4

Y

3,5−1

Y

0,4

oo

0

Y

2,4−1

Y

0,2

0

~~

Y

1,3

Y

3,5−1

1

>>

Y

1,3

Y

2,4−1

Y

3,3

Y

0,4−1

3

33

1

// Y

1,5−1

Y

3,3

3

OO

0

1 2 3

χ

q

(V

2

(Y

0,2

)) =Y

0,2

+ Y

1,3

Y

3,3

Y

0,4−1

+ Y

1,5−1

Y

3,3

+ Y

1,3

Y

3,5−1

+ Y

1,5−1

Y

3,5−1

Y

0,4

+ Y

0,6−1

(11)

Associated U q v ,3 (sl 4 tor )-module

Y

2,4

Y

0,6−1

2

Y

1,5−1

Y

2,4

Y

3,5−1

Y

0,4

oo

0

2

ss Y

−12,6

Y

0,4

0

~~

Y

1,3

Y

3,5−1

1

>>

Y

1,5

Y

2,6−1

Y

3,5

Y

0,6−1

1

// Y

1,7−1

Y

3,5

0

χ

q

(V

3

(Y

1,3

)) =Y

1,3

+ Y

1,5−1

Y

2,4

Y

0,4

+ Y

2,6−1

Y

0,4

(12)

Associated U q v ,0 (sl 4 tor )-module

Y

2,4

Y

0,6−1

2

Y

1,7−1

Y

2,6

Y

3,7−1

Y

0,6

2

ss Y

−12,8

Y

0,6

Y

1,5

Y

3,7−1

1

>>

Y

1,5

Y

2,6−1

Y

3,5

Y

0,6−1

1

//

3

33

Y

1,7−1

Y

3,5 3

OO

0

1 2 3

χ

q

(V

0

(Y

2,4

)) =Y

2,4

+ Y

1,5

Y

2,6−1

Y

3,5

+ Y

1,5

Y

3,7−1

+ Y

1,7−1

Y

3,5

+ Y

1,7−1

Y

2,6

Y

3,7−1

+ Y

2,8−1

Références

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