Solution de la question 453

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M ICHAUX

Solution de la question 453

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 18 (1859), p. 68-71

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SOLUTION DE LA QUESTION 4 5 .>

( v o i r t. X V Ü , p . 4 3 4 ) .

PAR M. MICHAUX, Élève du lycée Charlemagne.

L = log népérien.

(ScHLOMfLCH.)

En désignant par x une quantité positive comprise entre o et i, on a la série convergente à termes alternati- vement positifs et négatifs

d'où Ton déduit pour x les deux limites

— •

( 6 g )

On aura donc généralement, si p est positif et supérieur a i .

w

V

\

- p

R e m p l a ç a n t ^ successivement p a r i , 2 , 3 , . . . , n dans ces inégalités (1), ajoutant m e m b r e à m e m b r e les nouvelles inégalités o b t e n u e s , et posant, pour abréger,

L (1 + - ) + L [ i - f - ] 4 - . . + L I 1 + -

-_„(,+

ou voit que

1 2 n \ P

-_2(1* - ^ + _{2- «'} -T + ' • -H" ~ Or

et la somme des logarithmes de plusieurs quantités est égale aux logarithmes du produit de ces mêmes quan- tités , on aura donc

2 3 n n -f- 1

1 2 « — i « v ;

( 7" ) Ainsi

I I l i i ' ' n i ( i i i

; + -, + ••• + -, Cela posé, les termes de la série

i i i

T5 + ? + '"- + ^

prolongée indéfiniment, peuvent être groupés ainsi

et comme l'on a généralement

i i

—T)>^

' Û ^ - J '

an voit que la somme des termes de la série (2) prolongée indéfiniment est plus petite que la somme des termes de la progressian géométrique décroissante indéfinie

1 1 1 1

et comme cette dernière série a pour somme i

nous avons enfin

Donc on peut écrire

~ < H - L ( / î + r).

C. Q. F . D.

( 7 ' ) Remarque. On voit que la sériée

prolongée indéfiniment a pour somme ^-* Donc on pour- rait remplacer la limite supérieure i + L ( » + i) par la limite plus faible L (n -+-1) -f- -^ (*).

Note, MM. Cornet, élève du lycée Saint-Louis (classe

de M. Briot), et Gérard, élève de l'institution des

Carmes (classe de M. Gerono) ont résolu à peu près la

question de la même manière.