N
OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUESJ. G RIESS
Solution de la question proposée au concours d’admission à l’École normale en 1880
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 20 (1881), p. 120-127
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SOLUTION DE LA QUESTION PROPOSÉE AU CONCOURS D ADMISSION A L'ECOLE NORMALE EN 1 8 8 0 ;
P\n M. J. GRIESS,
M t i i t u M j x l i l e u i a u I N O L C d \ l i ,rc i ( ' )
Etant donne' un paraboloide hyperbolique, on con- sidère une génêi atrice rect'digne A de cette surface et la génératrice B du même sj sterne qui est perpendiculaii e à la première ' par les points a et b oh ces droites sont rencontrées par Ljur perpendiculaire commune passent deux gênéi ali ices rectilignes A' et B' de l'autre sj s- tème; soient d et b' les points ou les deux droites Af
et B' sont rencontrées par leur perpendiculaire com- mune.
i° Trouver le lieu des points a et Z>, et celui des points a' et //, quand la droite À décrit le paraboloide.
i° Trouver le lieu du point de rencontre des droites A et Won \f et\).
'5° Calculer le rapport des longueurs db' et ab des
i1) < la-M ]c \ m u i < m q u H n i r a n < o n r o u i - d a d m i ^ i o n
perpendiculaires communes, et étudier la variation de ces longueurs.
Je prends l'équation du paraboloïde sous la forme
P </ ÎX.
Lue génératrice A aura pour équations
(A)
V
\rp
\>P
une génératrice B du même système sera
\p vV
Ces deux génératrices seront perpendiculaires si l'on a
( i ) XV
Le point a où la perpendiculaire commune à ces deux génératrices rencontre A est défini par les équations ( A ) et par celle d'un plan mené par B perpendiculairement sur A. Un plan passant par B a pour équation
AP \q
ou bien
T À- 1 4 - A- A — i
( ••>-•>- )
il sera perpendiculaire à A si
., [• k - j - r k — Î
ou bien
d'où
î k XX'
k X' X V'/
4 - î p
k
\p \
VP
k — \
<l ~P
—.P + 'l
î
} X '\
+ 7 p — 7
Le plan proposé a donc pour équation
, v z p -h a y z 'i.r \
En se servant des équations de A, celle-ci peut s'écrire
bien
,, P+l A Â /> — 7 AA
Divisant par X — X' et remplaçant XX' par — (p -h y), il
\ientpour l'équation du lieu
Cette équation, jointe k celle du paraboloïde, montre que le lieu des points a est une hyperbole dont le plan est perpendiculaire à l'axe du paraboloïde. On voit d'ail- leurs que c'est aussi le lieu des points />, car tous les calculs sont symétriques en X et X'.
Je remarque que cette hyperbole est aussi le lieu des points du paraboloïde où les génératrices sonl perpendi-
rul aires. On aurait pu le prévoir. Si je mène en effet par B un plan perpendiculaire à A, ce plan coupera le plan tangent en a suivant une droite passant par a, per- pendiculaire à A et rencontrant B. C'est donc une géné- ratrice du paraboloïde. Donc, en a, les génératrices sont rectangulaires.
Cette remarque nous permet d'écrire immédiatement Jes équations des génératrices A' et B'.
Celles de A' sont
( V )
IX
et A' sera perpendiculaire à A si l|x -+-/> — (] = o.
De même celles de B' seront
9.x
avec la condition Vp!-\-p — (j = o.
Pour trouver le point a\ je mènerai par B' un premier plan parallèle à A' : c'est évidemment le plan
(3) - ^ r - H - ^ = - V = o ; V P \'l
puis un second plan perpendiculaire à ce dernier.
Un pareil plan a une équation de la forme
y z , / y z i x \ _
\p \<1 v \p \ul l ) ou bien
{ \) — —r /• ~\ p - V H p -
:x \p v '/
il s e r a p e r p e n d i e u l a i i e a u p l a n ( 3 ) M
i 4 - h I — k 1
iy
k=p±i.
OU
Le plan (4) a donc pour équation
, ( - 0
Le point rt' se trouve à l'intersection de A' avec ce plan.
Son équation s'écrit, en se servant de A',
, p 4 - q \i! — [J- u. — |JL - | - 'l X ~ rrr O,
ou, en divisant par M — f//,
i x —r = o.
P —
Multiplions entre elles les deux conditions
A;J. -h p — (j — o, À' |/.' + / > - C / =
il vient
O r
donc
et l'équationdu
1 _
lie
1— O /
A / / -
u est
t-t- ( /
•'. (
— i
7 )
/> H ( / '
( / ' (/>
(P
(7 r 7
—
4 -
)2
'/) •
>,)•>
' /
</>
{ )
Cette équation, jointe à celle du paraboloïde, montre que ce lieu représente encore une hyperbole dont le plan est perpendiculaire à l'axe.
Cherchons maintenant le point de rencontre des droites A et B'. Pour cela prenons l'équation
\'7/
avec la condition //f/ -+- p — (J = o.
Les équations de À donnent
avec d'où
ou i
1 ce qui
( y
s'éc
2 y
-X-
rit
\P
\'fI,
— -
y
ÀÀ' H- p
.K - .
\( > -\-< )
- P
? " V/r7
/~
_ L _ •*
ou
— h1
.v
r
\"/
H ~ o.
C(Î plan coupe le paraboloïde suivant une parabole qui est le lieu.
On voit d'ailleurs qu'en opérant avec A' et B on ob- tiendrait le même lieu.
Pour calculer les longueurs ah et a!b', il me suffira de prendre les plus courtes distances des projections des génératrices sur le plan d e s y z \ car les plans directeurs auxquels les génératrices sont parallèles sont perpen- diculaires au plan des yz.
Pour avoir <YZ>, je prendrai la distance du point (c: = o,
= Ayji>) à la génératrice - ^ ^= — X'= o- c'est
\/p W
v/f = a-',<)-%
De même, pour avoir afb\ je prends la distance du point (3 = 0, y ~ fi\]p) à la droite - ^ H—p. — c//= o, ce qui donne
Le rapport est donc
nb
a' b' JJ. — \x!
Or
Donc le rapport —p— est, en valeur absolue,
11 a f>
il est donc constant quand la génératrice A se déplace sur le paraboloide.
Comme Ton voit, la variation de ces longueurs ne dé- pend que de X -~ X'. Or
donc
A — A' — A + J-—jT-i = r i L • y, X
Pour étudier la variation de cette quantité, prenons la dérivée } c'est
2X2—À2 — p — q ou X2—(p 4- q).
Pour A = \/p-+- <]•) 1^ dérivée est nulle \ de plus, elle change de signe en passant du négatif au positif, quand X passe par cette valeur en variant de o à 4- x ^ donc la fonction passe par un minimum.
Pour cette valeur de X, celle de la première longueur
est
/
ab— ( X — X' ) — -7——- 2 v P ~+~ (l ~ 9- \ I>(l c l
a' b' —r- 9. v rJ)7/ •
w p -f- 7
Note. — ï^a munie question a été résolue par M. A. Leinekugel.
