Solution de la question 96

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Solution de la question 96

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 5 (1846), p. 199-201

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— 199 -

SOLUTION DE LA QUESTION 96 (t. I V , p. 260).

JPAR U N É L È V E du collège royal militaire de La Flèche.

Si dans l'angle de deux droites prises pour axes de coor- données , on inscrit une ligne polygonale régulière, ayant l'origine pour centre , on aura entre les abscisses à l'origine a', x", xw. .. x(n) des côtés du polygone et l'ordonnée Y du premier sommet à partir de Taxe des x la relation •.

Y — x ^ x" ^ xvl ^ ' ' ^ *(»r

Soit n le nombre des côtés de la ligne polygonale comprise dans Vangle des axes. Je désigne par ô (fig. 26), la 2nème

partie de l'angle des axes ; si de l'origine j'abaisse sur les milieux des côtés des perpendiculaires et que je prolonge ces côtés jusqu'à leur rencontre avec l'axe des x , j'obtiendrai des triangles rectangles dont les hypoténuses seront

et qui auront tous un côté de l'angle droit commun, savoir la distance de l'origine aux côtés du polygone ; je la désigne par r i ces triangles me donneront :

i cos e

1 x"

1

x"'

cos 30 r

COS5Ô

r

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— 200 — posant pour abréger :

s =

i , l . JL, , J _ 1 _cos(2/i-1)6

x'^^'^x"^ ^xW x()~ r* et ajoutant ces égalités membre à membre, j'aurai :

(A) rS = COS 6 + COS 36 + COS 56 - j - . . . .-f- COS (2/1—1) 9.

D'un autre côté évaluant r en fonction de Y, on a

:

Y sin 2nB

Kemplaçant r par sa valeur dans l'équation (A) elle devient :

SY [ ...+cos(2»—1)9].

Je vais prouver que le second membre de cette égalité n'est autre chose que l'unité.

Pour cela je me sers des formules générales :

sin x =

2

e, étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1.

On a donc :

2 sin 6 2 \e« V~t

3» — e-2nd\/~i'

cos 9 -f- cos 30 -\~....-[- cos (2/i—1 ;6 =

= -

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— 201 -

donc

2 sin e [cos6 + cos 3Q -f...» -f cos (2n —1)6]

sin 2/z0

l / | /

par eöl^-i^e-öK^i. j>

a

j .

1 l/~

il est facile de voir que tous les termes se détruisent à l'ex- ception de e2n0|/^__

e

2n9V/ ~i

3

donc :

âsine[cosHcos36+....+cos(2/i-- Vfî]^

²

^^- e-^V -

sin 2«0

e

2nel/~_

e

-2ne\/~t

donc enfin : SY = 1.

1 + J- + .1 + .... + J »

Note. M. Lecointe est parvenu directement à démontrer que le second membrede SY est égal à l'unité (t. III, p. 524,

^q. 3). Tm.

AMN. DE MATHÉMAT. V.

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