A506 - Diophante et les grands rassemblements.

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A506 - Diophante et les grands rassemblements.

Solution

Soit k+1 le nombre de formations carrées dont les dimensions sont respectivement n, n+1, n+2,…..,n+k. L’effectif global des enfants rassemblés est Nn²(n1)².(nk)². En réduisant de 4 rangées et de 4 colonnes chacune de ces k+1 formations, le nombre T d’enfants transférés dans une (k+2)ème formation s’élève à :

4) - k (n k) (n ..

3) - (n 1) (n 4) - (n n

T ² ²  ² ²   ²  ²

2 - k à 0 de variant i

pour ] 16 - 8i 8n



[ ^



D’où T = 4(k+1)(2n+k-4)

La nouvelle formation peut avoir deux dimensions : n-5 ou n+k-3 1^er cas : T(n-5)²

On obtient l’équation du second degré en n : n²- 2(4k9)n -4(k1)(k-4)250 dont le discriminant D vaut 20(k+1)(k+2). Les solutions entières en n sont obtenues si et seulement si D est un carré.

Avec k < 100, D est un carré si k=3 ou k=79. Pour k=3, il en résulte n=41 et il y a N= 7230 enfants répartis initialement en 4 carrés de dimensions 41,41,43,44 puis en 5 carrés de dimensions 36,37,38,39,40, le premier carré de côté 36 correspondant aux enfants transférés.

Pour k=79, il en résulte n=785.L’effectif correspondant se chiffre par millions. Cette solution est donc exclue.

2^ème cas :T(n-k3)² avec k>3.

On obtient l’équation du second degré en n :n²-2(3k7)n -3k²6k 250 dont le discriminant D vaut 12(k+1)(k+2). D est un carré si k=3 à exclure et k=48 car l’effectif correspondant est trop important.

La solution unique est donc N=7230 enfants.

Il existe une infinité de suites d’entiers naturels consécutifs de 2k + 1 termes tels que la somme des carrés des k+1 premiers termes soit égale à la somme des carrés de k suivants.

C’est ainsi que :

45955

90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78

19855 65

64 63 62 61 60 59 58 57 56 55

7230 44

43 42 41 40 39 38 37 36

2030 27

26 25 24 23 22 21

365 14

13 12 11 10

25 5 4 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2













































94220 119

118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106

105² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ² ²

etc…

On démontre aisément que s’il y a k termes dans le membre de gauche, le k-ième terme vaut 2(k-1)k et le 1^er terme (k - 1)(2*k - 1) tandis que le 1^er terme du membre de droite vaut

1 2k -

2k²  et le dernier terme vaut2k²-k -1. En effet quel que soit k>1,



a_i²pour a_i variant de (k - 1)(2k - 1) à 2(k –1)k est égal à



b_j²pour b_j variant de 2k²-2k 1à2k²-k -1 Lorsque l’effectif est proche de 100000, on a donc les configurations correspondant à k=8 soit un effectif global de 94220 enfants.