A510. Les puissants se laissent manipuler
Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé « puissant » si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants.
Montrer que chacun des entiers naturels de 1 à 21 peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
Pour les plus courageux : un entier naturel quelconque peut-il être représenté par la différence de deux nombres puissants ?
Solution proposée par Paul Voyer
Tous les nombres puissants peuvent s'écrire N=a²b³.
Ils sont décrits dans http://oeis.org/A001694.
Tout entier impair est la différence entre deux carrés consécutifs : (k + 1)2 = k2 + 2k +12, donc (k + 1)2 - k2 = 2k + 1.
De même, tout multiple de 4 est la différence entre les carrés de deux nombres qui diffèrent de deux : (k + 2)2 - k2 = 4k + 4.
Seuls restent donc à étudier les nombres de la forme 4k+2.
1=9-8
2=27-25=3³-5² 3=4-1
4=8-4=36-32=125-121 5=9-4
6=214375-214369=54.73 − 4632, conjecturé sans solution, trouvé par Narkiewicz.
7=8-1=16-9=32-25=128-121 8=9-1=16-8=72-64=108-100 9=25-16=36-27
10=2197-2187=13³-37 11=27-16
12=16-4=512-500 13=49-36=121-108
14=1090122289-1090122275=33017²-5².11³.181²
http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=mollin%20walsh%20difference%20%22pow erful%20numbers%22&source=web&cd=12&ved=0CCcQFjABOAo&url=http%3A%
2F%2Fwww.cs.uwaterloo.ca%2Fjournals%2FJIS%2FVOL14%2FDeKoninck%2Fdek .pdf&ei=OH9QT-
f1C8eo0QXB1qTlCw&usg=AFQjCNFfBq3ZYehvc2tc530Fu3dslbhqbw page 8 15=16-1=64-49
16==25-932-16=144-128=216-200 17=25-8=49-32=81-64=125-108 18=27-9=243-225=361-343=19² − 7³ 19=27-8=100-81
20=36-16=128-108 21=25-4=121-100
22= 253 270 085 086 010 543- 253 270 085 086 010 521
= 47³.491².3181² - 503259461²
En dépit de la conjecture de Golomb, les travaux de Mollin et Walsh prouvent que tout entier naturel quelconque peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
