du sujet d’Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse
Exercice 1 1. 1h= 3600s.
(a) 23h= 23 ×3600s= 2400s.
(b) 1,2h= 1,2×3600s= 4320s.
2. (a) 5532s= 92min12s= 1h32min12s.
En effet, la division euclidienne de 5532 par60 s’écrit algébriquement 5532 = 60×92 + 12 et la division euclidienne de 92 par60 s’écrit algébriquement92 = 60×1 + 32.
(b) 1,87h= 1,87×3600s= 6732s, puis6732s= 112min12s= 1h52min12s.
En effet, la division euclidienne de 6732par60 s’écrit algébriquement6732 = 60×112 + 12et la division euclidienne de 112par60 s’écrit algébriquement112 = 60×1 + 52.
3. Pour répondre à la question, il suffit de synthétiser les données dans un tableau de proportionnalité puis de conclure en utilisant par exemple le produit en croix.
mesure de l’angle en degrés 360˚ 54˚
durée en minutes 60min x
Et, x= 60min×54˚
360˚ = 9min.
4. Ici encore, pour répondre à la question, il suffit de synthétiser les données dans un tableau de propor- tionnalité puis de conclure en utilisant par exemple le produit en croix.
mesure de l’angle en degrés 360˚ 68˚
durée en minutes 12×60min x
Et, x= 12×60min×68˚
360˚ = 136min. Il sera donc12h+ 136min= 12h+ 2h16min= 14h16min. En effet, la division euclidienne de136par60 s’écrit algébriquement 136 = 60×2 + 16.
5. (a) Pour calculer des durées, il suffit de mettre toutes les données horaires sur le même référentiel, mettons à l’heure de Paris.
Quand il est 3h à Houston, il est3h+ |{z}7h décalage horaire
= 10h à Paris.
La durée du vol est donc de |{z}24h lendemain
+ |{z}10h heure d’arrivée
− |{z}23h heure de départ
= 11h, à supposer que
l’avion arrive bien le lendemain du départ et non le surlendemain ou pire encore . . . (b) L’avion part à10h+ |{z}1h
durée de l’escale
= 11h de Houston (heure de Paris).
Il arrive à Rio de Janeiro à11h+ |{z}10h durée du trajet
= 21h (heure de Paris).
Quand il est 21hà Paris, il est21h− |{z}7h
premier décalage horaire
+ |{z}3h
deuxième décalage horaire
= 17h
à Rio de Janeiro.
Question complémentaire
1. D’après les documents d’accompagnement des programmes :
Au cycle 2, les déterminations de durées se font d’abord par un dénombrement effectif du nombre de mois, de semaines ou de jours (sur un calendrier), de retournements du sablier ou par lecture directe sur un chronomètre.
Au cycle 3, pour le calcul de durées, les techniques de calcul en colonnes n’ont pas à être enseignées.
Ce recours à des procédures adaptées à chaque cas est favorisé et les élèves doivent être capables de les utiliser. Par exemple : pour évaluer la durée comprise entre 2h45minet4h10min, on peut additionner trois durées : celle comprise entre2h45minet3h, celle comprise entre3h et4h et celle comprise entre 4h et 4h10min; ces durées sont toutes évaluables mentalement ; pour additionner deux durées (par exemple, 58min47s et 32min18s), on peut additionner séparément les secondes et les minutes, puis effectuer les conversions nécessaires pour parvenir à l’expression 1h31min5s).
Ce n’est donc qu’au cycle 3 qu’on calcule des durées à partir d’un état initial et d’un état final. Cette activité prend donc place dans un enseignement de cycle 3.
2. X "neuf heures moins dix" écrit en lettres et non en chiffres :
◦ d’abord, c’est difficile à écrire en chiffres : dans "9h−10min", le symbole "-" est-il opératoire (dans ce cas, le résultat est8h50minqui ne se lit pas de la même manière que "neuf heures moins dix") ?, sinon est-il le signe négatif (dans ce cas, on touche aux nombres relatifs non naturels, ce qui n’est pas au programme de l’Ecole) ?
◦ ensuite, il est bien de varier la forme des énoncés afin que l’élève ne se contente pas de faire des opérations en manipulant les données chiffrées d’un énoncé ;
X "10h40" écrit en chiffres et non en lettres : pour varier la forme des données ;
X choix des instants initiaux et finaux exprimés en heures, minutes (pas de mois, de jour, ni même de de secondes) :
la durée est donc relativement simple à calculer par une technique dite de "sauts successifs" déjà bien développée lors de la question 1 en citant le document d’application des programmes de cycle 3 (cependant, ce problème est déjà suffisamment complexe et si l’objectif visé semble être la technique dite de "sauts successifs", les données sont bien choisies) ;
X l’instant initial est donné négativement :
ce qui fait que dans la technique dite de "sauts successifs", il est aisé de conclure que pour aller de
"neuf heures moins dix" à 9h, il faut 10min; X de même, l’instant final est donné positivement :
ce qui fait que dans la technique dite de "sauts successifs", il est aisé de conclure que pour aller de 10h à10h40, il faut40min;
X et pour finir, l’addition des sauts successifs ne pose pas de problème de retenue :
10min+ 1h+ 40min= 1h50minet il n’y a pas eu de retenue à poser, mais ce n’aurait pas été le cas en remplaçant dans l’énoncé "neuf heures moins dix" par "neuf heures moins vingt-cinq" qui aurait donné 25min+ 1h+ 40min = 1h65min qui aurait dû ensuite être ramené à2h5min par transfert de60minen 1h.
3. X Mélanie Procédure correcte : technique dite de "sauts successifs".Erreurs : aucune.
X Thomas Procédure correcte : soustraction en ligne.Erreurs: la donnée "neuf heures moins dix" est d’abord mal traduite par9h50 au lieu de8h50, puis l’opération 10h40−9h50est considérée comme 1040−950, sans tenir compte du "h". Remarque : la technique de soustraction directe (que ce soit en lighne ou en colonne) n’est pas une compétence visée par les programmes et il est normal qu’elle engendre des difficultés (on lui préférera la technique dite de "sauts successifs").
X Sabrina Procédure farfelue : addition des données chiffrées de l’énoncé (10 et 40). Erreurs : elle n’a pas compris le problème.
X Kevin Procédure farfelue : addition des données chiffrées ou non de l’énoncé ("neuf", "dix",10 et 40).Erreurs : il n’a pas compris le problème.
4. Des supports pour visualiser le temps peuvent être utilisés :
X une frise du temps sur laquelle l’enseignant utilise l’additivité des grandeurs en avançant d’abord de10minsur la frise pour arriver à10h, puis d’1hpour arriver à11h et enfin de40minpour arriver à10h40min; [on visualise le temps et on fait vivre la technique visée par "sauts successifs"] ; X une horloge sur laquelle l’enseignant utilise l’additivité des grandeurs en faisant avancer la grande
aiguille de 10min, puis la petite aiguille d’1h, et enfin celle des minutes de 40min; [on visualise le temps et on fait vivre la technique visée par "sauts successifs"].
Exercice 2
1. Les cercles en noir sont de centreO, en rouge de centreI, en bleu de centreJ.
2. S’il existait une symétrie qui envoieA surA′′,B surB′′,C surC′′, dans ce cas, les milieuxI de[AA′], J de[BB′′],Kde[CC′′], ce qui n’est visuellement pas le cas :I etKsemblent être près de la bissectrice de l’angle IOJd tandis queK semble proche de la droite(OJ).
O
I
J
C
B A
O
C O
A O
B
C II
A I
B B’
A’
C’
J
C’
J
A’
J
B’
B’’
A’’
C’’
3. Soitσ1 la symétrie orthogonale d’axe(OI) etσ2 la symétrie orthogonale d’axe (OJ)
On a σ1(O) =O,σ1(I) =I etσ1(B) =B′. PuisBOI[ =\IOB′ car une symétrie conserve les angles.
On aσ2(O) =O,σ2(J) =J etσ2(B′) =B′′. PuisB\′OJ =J OB\′′ car une symétrie conserve les angles.
Enfin,
BOB\′′ = BOI| {z }[
=\I OB′
+\IOB′+B\′OJ+J OB| {z }\′′
=B\′OJ
= 2×\IOB′+ 2×B\′OJ
= 2×(IOB|\′+{zB\′OJ}
=I OJd
)
= 2×IOJd
La démonstration précédente est incorrecte avec O, I, J, A, B, et C quelconques : il faudrait alors utiliser des angles orientés. Cependant, dans la configuration donnée, la démonstration précédente, avec des angles géométriques, est correcte.
4. De façon analogue, on obtientAOA\′′ = 2×IOJd etCOC\′′= 2×IOJ.d
De plus, par la construction donnée en première question (mais ceci peut aussi se démontrer aisément en utilisantσ1etσ2), on a (en considérant les cercles en noir) :OA=OA′ =OA′′etOB =OB′ =OB′′
etOC =OC′ =OC′′.
De OA = OA′′, OB = OB′′, OC = OC′′, 2×IOJd = AOA\′′ = BOB\′′ = COC\′′, on déduit que le triangle ABC s’envoie sur le triangleA′′B′′C′′ par la rotation de centreO et d’angle2×IOJ.d
Question complémentaire
1. (a) N’ayant aucun matériel à leur disposition, la seule propriété de la symétrie orthogonale qui peut être mise en pratique dans cette activité de découverte de la symétrie orthogonale est que la
symétrie orthogonale "conserve la forme et la taille". Plus mathématiquement, on peut dire que c’est le fait qu’une symétrie orthogonale est une isométrie qui est utilisé dans la première activité.
S’agissant d’une activité de découverte (en effet, le vocabulaire "symétrie" ou "axe de symétrie"
est encore absent, la propriété qu’on met en lumière dans cette séance, c’est-à-dire la symétrie orthogonale en tant qu’isométrie, constitue une propriété de base de la symétrie,. . .) de la symétrie orthogonale, elle tient place au cycle 2.
(b) Les élèves ne disposent d’aucun matériel car il s’agit dans un premier temps de faire un travail de conjecture perceptive sur la forme.
(c) L’argument principal qui doit paraître lors de cette phase est queles formes et tailles doivent coïncider dans les parties gauches et droites.
(d) Comment les élèves peuvent-ils valider ? Justement en utilisant la remarque qui a dû émerger lors de la mise en commun : "les formes et tailles doivent coïncider dans les parties gauches et droites".
Ainsi, par exemple :
X l’élève associe 5 et B (les petits 1/2-papillons) ; X l’élève associe 3 et F (les grands 1/2-papillons) ;
X l’élève associe 6 et C (les seuls 1/2-papillons qui ont des ailes d’une forme très découpée parmi ceux qui restent) ;
X l’élève associe 2 et A (les 1/2-papillons qui ont les antennes les plus longues parmi ceux qui restent)
X l’élève associe 4 et E (les 1/2-papillons qui ont la plus grande envergure parmi ceux qui restent) X l’élève associe 1 et B (les seuls 1/2-papillons qui restent)
Sinon, une véritable validation ne semble pas de mise à cause de l’absence de matériel : l’élève valide ou non, en s’auto-corrigeant de façon perceptive, les résultats qu’il avait imaginé avant la mise en commun.
2. (a) On peut citer dans le programme de cycle 2 la compétence : vérifier par pliage si une figure a un axe de symétrie. C’est maintenant cette compétence (au lieu du pliage, c’est le retournement, mais l’idée est la même) qu’il va falloir travailler parce que les formes et tailles des nouveaux 1/2-papillons sont suffisamment proches les unes des autres pour mettre en doute (sinon discré- diter) l’intuition visuelle. Plus mathématiquement, on peut dire que c’est le fait qu’une symétrie orthogonale est un anti-déplacement qui est utilisé dans la deuxième activité.
(b) L’usage du papier transparent permet cette fois de vérifier une juxtaposition des deux 1/2-papillons après retournement du papier transparent.
Exercice 3
1. La division euclidienne de1001par11 s’écrit algébriquement : 1001 = 11×91 + 0.
2.
mcdu = 1000×m+ 100×c+ 10×d+u
= (1001−1)×m+ (99 + 1)×c+ (11−1)×d+u
= 1001×m+ 99×c+ 11×d−m+c−d+u
3. (a) Enoncé :
Soit N =mcdu un nombre entier naturel. N est divisible par11 si et seule- ment si −m+c−d+u ou m−c+d−u est divisible par 11.
Remarque : on aurait pu également donner comme énoncé (en considérant que la notion de divi- sibilité sur Nse prolonge sur Z) :
Soit N = mcdu un nombre entier naturel. N est divisible par 11 si et seulement si
−m+c−d+uest divisible par 11.
DémonstrationN est divisible par11implique −m+c−d+u ou m−c+d−u est divisible par11 :
|{z}N multiple de 11
= 1001| ×m+ 99{z×c+ 11×d}
=11×(91×m+9×c+d) qui est donc multiple de11
−m+c−d+u.
Or, la différence entre deux multiples de11 est encore un multiple de 11.
i. Donc, siN ≥1001×m+ 99×c+ 11×d,N−1001×m+ 99×c+ 11×d=−m+c−d+u est multiple de 11,
ii. et si N <1001×m+ 99×c+ 11×d,1001×m+ 99×c+ 11×d−N =m−c+d−u est multiple de11.
Démonstration−m+c−d+u oum−c+d−u est divisible par11implique N est divisible par11 :
N = 1001| ×m+ 99{z×c+ 11×d}
=11×(91×m+9×c+d)qui est donc multiple de11
−m+c−d+u.
i. Si c’est −m+c−d+u ≥0 qui est multiple de 11, alors N est aussi multiple de 11 car la somme de deux multiples de11 est encore un multiple de 11,
ii. mais si c’estm−c+d−u >0 qui est multiple de11, alorsN est aussi multiple de 11car la différence (qui estN car N ∈N) de deux multiples de 11 est encore un multiple de 11.
(b) Un nombre qui a38 centaines s’écrit38du.
Cherchons avecd= 0une solution. Dans ce cas, par le critère vu ci-haut,−8−u+ 3 + 0 =−u−5 ou 8 +u−3−0 =u+ 5doit être multiple de11 etu= 6 fournit une solution :3806.
Ainsi, 3806est un multiple de 11 et en ajoutant itérativement 11, on obtient d’autres multiples de 11 :3817,3828,3839,3850,3861,3872,3883,3894.
4. (a) Le critère de la question précédente ne s’applique pas aux nombres à6 chiffres (bien qu’on puisse remplacer le chiffremdes milliers d’un nombre à quatre chiffreN =mcdupar le nombreM =abm de milliers d’un nombre à six chiffresN′ =abmcdu, ce n’est probablement pas l’objectif visé ici) : cela n’a pas de sens. Il s’agit donc d’une erreur d’énoncé.
En fait, les auteurs du sujet souhaitaient probablement une forme bien particulière de l’énoncé (qui est valable autant pour un nombre à 4chiffres, que pour un nombre à 6chiffres, que. . .) du critère de divisibilité par 11, comme par exemple :
Un nombre est divisible par 11 si et seulement si l’écart entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses chiffres de rang impair est multiple de 11.
abmcdu = 100000×a+ 10000×b+ 1000×m+ 100×c+ 10×d+u
= (100001−1)×a+ (9999 + 1)×b+ (1001−1)×m+ (99 + 1)×c+ (11−1)×d+u
= 100001| ×a+ 9999×b+ 1001{z ×m+ 99×c+ 11×d}
=11×(9091×a+909×b+91×m+9×c+d)
−a+b−m+c−d+u.
La suite de la démonstration est alors analogue à celle donnée en question 3.(a).
(b) Comme dit dans la remarque de la question 4.(a), le critère est valable quel que soit le nombre de chiffres. C’est donc encore vrai pour un nombre à 12 chiffres (bien que ce n’ait pas été démontré dans cet exercice) et le critère de divisibilité par 11 donne le résultat 1,2452×1011 est divisible par11 (car(1 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0)−(2 + 5 + 0 + 0 + 0 + 0) = 0est divisible par 11). Cependant, ce n’est probablement pas la démonstration attendue par les auteurs du sujet puisqu’elle n’utilise pas le critère de divisibilité par 11 d’un nombre à 6chiffres.
Autre démonstration utilisant le critère de divisibilité par 11 d’un nombre à 6chiffres . . .
124520 est divisible par 11 car (1 + 4 + 2)−(2 + 5 + 0) = 0 est divisible par 11. Ainsi, il existe λ∈Ntel que 124520 =λ×11.
Puis,1,2452×1011= 124520×106= (λ×11)×106 = (λ×106)×11 est aussi un multiple de11.
