دراسة نظرية وتطبيقية لتقريب تكامل

Ministère de l’Enseignement Supérieur

et de la Recherche Scientifique École Normale Supérieure

-Vieux Kouba- (Alger) Département de Mathématiques

ﻢـــــــﻴﻠﻌﺘﻟﺍ ﺓﺭﺍﺯﻭ ﻲــــــﻟﺎﻌﻟﺍ ﻲـــﻤﻠﻌﻟﺍ ﺚــﺤﺒﻟﺍﻭ ﺓﺬﺗﺎﺳﻸﻟ ﺎﻴﻠﻌﻟﺍ ﺔﺳﺭﺪﻤﻟﺍ (ﺮﺋﺍﺰﺠﻟﺍ) ⁻ ﺔﻤﻳﺪﻘﻟﺍ ﺔﺒﻘﻟﺍ ⁻

ﺕﺎـــﻴﺿﺎﻳﺮﻟﺍ ﻢــﺴﻗ

ﻱﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻢﻴﻠﻌﺘﻟﺍ ﺫﺎﺘﺳﺃ ﺓدﺎﻬﺷ ﻞﻴﻨﻟ ﺝﺮﺨﺗ ﺓﺮﻛﺬﻣ ﻂﺳﻮﺘﻤﻟﺍ ﻢﻴﻠﻌﺘﻟﺍ ﺫﺎﺘﺳﺃ ﺓدﺎﻬﺷ ﻭ

ﺔﻴﻘﻴﺒﻄﺗ ﻭ ﺔﻳﺮﻈﻧ ﺔﺳﺍﺭد ﻞﻣﺎﻜﺗ ﺐﻳﺮﻘﺘﻟ

:ﺫﺎﺘﺳﻷﺍ ﻑﺍﺮﺷﺇ ﺖﺤﺗ :دﺍﺪﻋﺇ ﻦﻣ

دﺍﺮــﻣ ﺓﺪﻌﺳﻮـﺑ ^⋆ ﺮـــﻴﻤﺳ ﻥﻭﺭﺎــﻫ ^⋆

ﻢﻴﻜﺤﻟﺍ ﺪﺒﻋ ﻲﻧﺎﻳﺰﻣ ^⋆ ﺪــــﻴﻟﻭ ﺭﺎـــﺘﻧﺯ ^⋆

: ﺔﺸﻗﺎﻨﻤﻟﺍ ﺔﻨﺠﻟ ﺎﺴـﻴﺋﺭ . . . ﺓﺬﺗﺎﺳﻸﻟ ﺎﻴﻠﻌﻟﺍ ﺔﺳﺭﺪﻤﻟﺎﺑ ﺫﺎﺘﺳﺃ . . . .ﻲﻔﻴﻠﺧ ﻡﺎﺸﻫ

€Qê ®Ë@

€Qê ®Ë@

01  éÓY®Ó

02  C

K.B é®KQ£ ^(I)

10  éJK.AJË@ éÊgQÖÏ@ é®KQ£ ^(II)

32  HA®JJ.¢ ^(III)

47  éÖßA g

48  ‡jÊÓ

52  ­KPAªJË@ ð HAjÊ¢’ÖÏ@ ÉJËX

55  ©k.@QÖÏ@

56  €Qê ®Ë@

­KPAªJË@ ð HAjÊ¢’ÖÏ@ ÉJËX

­KPAªJË@ ð HA jÊ¢’ÖÏ@ ÉJËX

É¿ A ‚A ®K

: àA

¿ @ X@ É¿A ‚A ®K ^{f :U ⊂Rn −→Rn} ‡JJ.¢JË@

úÎK.A®K ^f−(1)

U ú

Ϋ éÊ “A ®ÒÊË ÉK.A¯ ^f−(2)

.f(U) ú

Ϋ éÊ “A ®ÒÊË ÉK.A¯ ^f−1−(3)

éJÊm× éKYg éÒJ¯

f :U −→R

IJk ^a È ^V P@ ñk. Yg.ð @ X@ ^U áÓ ^a Y J« ( ø Q.») ø Q ª“ éJÊm× éKYg éÒJ¯ ÉJ.®K ^f−(1)

∀x∈V :f(x)≥f(a)(f(x)≤f(a)úÍ@ñJË@ úΫ⁾

.U áÓ ^x Õæ¯ É¿ Ég.

@ áÓ éjJm• é JKAJ.JÖÏ@ I KA

¿ @ X@ éÊÓA ƒ éKYmÌ'@ éÒJ®Ë@ ⁻⁽²⁾

úæ…

B@ YK@ QË@

IJk ^C ð ^M áJ.k.ñÓ áJK.AK áJ®J®k áKXY« Yg.ð @ X@ ^{]0; +∞[} ÈA j.ÖÏ@ ú

Ϋ ¬QªÓ ^f ©K.AK á« Èñ® K

|f(x)| ≤Mexp^Cx

. ú ¯A¿ PY®K. QJ.» ^x Ég.

@ áÓ

éJKPñ ¯ ÉKñm '

áÓ ú

­KPAªJË@ ð HAjÊ¢’ÖÏ@ ÉJËX

I.ƒ@QË@

à@PñË Qå„ ú ¯ ÉÓAªÓ ñë ^a−1 Ik ^{Res(f(Z), Z0) =a−1} H. AêË QÓQ K ^Z0 Y J« ^f I.ƒ@P

f(Z0) = a⁻n

(Z −Z0)ⁿ +...+ a−1

Z−Z0

+ X+∞

n=0

an(ZZ0)ⁿ

øPðYË@ ©K.A JË@

TèPðX ð øPðX^{f ⇐⇒ ∀x∈R:f(x+T) =f(x)}

PY KñË QÓP

a P@ ñk. ú ¯ á ¯QªÓ áªK.AK ^{g, f}

f =^aO(g) ⇐⇒ ∃M > 0 :|f(x)| ≤M|g(x)|

⇐⇒ aP@ ñm.'. ÐA ¢J KAK. èXðYm×^fg

HA ®KQªK

Ω ú ¯ H@ñJm× ð é“@QÓ H@ Y Jƒ H@ X ð èA JK CK. †A®J ƒC

Ë éÊK.A®Ë@ ©K.@ñJË@ ZA ’ ¯ ñë ^D(Ω)∗

. AJʪË@ X@ñmÌ'@ Q ª“

@ ñë ^sup∗

E ñm ' ^I áÓ ^Cp ­ J’Ë@ áÓ ©K.@ñJË@ ZA ’ ¯ ñë ^{Cp(I, E)∗}

AJª¢¯ ^C1 ­ J’Ë@ áÓ ^Γ IJk ^U ú ¯ ^{([a, b],Γ)} €ñ¯ É¿ ^U hñJ ®Ó ÉJ.ƒ ù҂ ^∗

f^′(x0) = 0 àA¿ @ X@ ^f È ék.Qk  A® K ^x0 ù҂ *

∂f = (iλ2x)⁻¹_dx^df ñë úÎ “A ®JË@ ÉÓAªÖÏ@ *

L² ú

Ϋ ùÒʃ Z@Yg. ñë ^{h∆f, hiL2} * úÎ “A ®JË@ QKñÖÏ@ ñë ∆f(x) = (iλϕ^′(x))⁻¹_dx^df *

Ω ú ¯ P@QÒJƒB

AK. èQÓ ^k †A®J ƒC

Ë éÊK.A®Ë@ ©K.@ñJË@ ZA ’ ¯ ñë ^Ck(Ω) *

éÓY®Ó

éÓY®Ó

áÓ YKYªË@ ¬Q£ áÓ Im'. ¨ñ “ñÓ éKAî EC

Ë@ P@ ñm.'. ÉÓA

¾JK. é ¯QªÖÏ@ ©K.@ñJË@ ¼ñʃ ¨ñ “ñÓ Q.JªK : áJ®KQ¢. ÉÓA

¾JË@ @Yë €PY K ; áJKAJ “AKQË@

¨ñ JË@ áÓ HC ÓA

¾JË@ €PYK úæË@ ð ^{(LAP LACE)} €C

K.B é®KQ£ Õæ…AK. é ¯ðQªÖÏ@ é®KQ¢Ë@ : B ð

@

@YêË H.PA®ÖÏ@ ¼ñʂË@ ú ¯ ùÒ ¢« éÒJ¯Q.»@ ^λ ð áKQÓ †A®J ƒCË ÉK.A¯ ©K.AK ^ϕ IJk ^Rabexp(λϕ(x))f(x)dx

.ÉÓA

¾JË@

Y Jƒ ð X ^ψ(x) ©Ó ^{I(λ) = R} exp(iλϕ(x))ψ(x)dx éÊ¿A ƒ úΫ øXAJJ«B@ ZA ’ ®Ë@ ú ¯ HC ÓA

¾JË@ ¬Qª K * .@QÓ é®KQ¢Ë@ è Yë ú ¯ ;€CK.B é®KQ£ áÓ é®J ‚Ó ù ë ð éJK.AJË@ éÊgQÖÏ@ é®KQ£ ÈAÒªJƒAK. ¼ñʂË@ €PY K : 'AJ KAK AÓY J« ú æªK éJK.AK ^λϕ(x) AîD ¯ àñºK úæË@ 颮 JË@ Y J« A ’

@ áºËð ÉÓA

¾JË@ XðYg P@ ñm.'. ÉÓA

¾JË@ H.Q® K .( ^k éJ.KQË@ úæk ‡J ‚ÖÏ@ ) AÓðYªÓ ^ϕ ‡J ‚Ó àñºK ð ɂK. HC

ÓA

¾K éƒ@ PYË QJ.» ɾ ‚. ék.AJm ' ð ù® ¯@ñJË@ ÉJÊjJË@ ú ¯ HCÓA¾JË@ áÓ ¨ñ JË@ @ Yë h.PY JK*

IÊÒªJƒ@ Y¯ ð HCÓA¾JË@ è Yë áÓ éÊJÓ@ Q.JªK úæË@ (F OU RIERS) éJKPñ ¯ HC

KñjJË éK.PA®ÖÏ@ éƒ@PYË@

; (ST OKCS) »ñJƒ ^{; (AIRY)} øQK@ ^” À HAJ “AKQË@ ZAÒÊ« áÓ YKYªË@ ¬Q£ áÓ éK.PA®ÖÏ@ è Yë . ^{” (RIEM AN)} àAÜßP ; (LIP SCHIT Z) QJ ‚.KB . ^{” (AIRY)} øQK@ ^{; (BESSEL)} ɂK. ^” Aî DÓ é“A mÌ'@ ©K.@ñJË@ ‘ªK. úΫ áJKQ ¢ JË@ áKAë ‡J.¢ AÓAJ k *