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N O T U L E
HYDRAULIQUEH Y D R A U L I C B R I E F S
Débit d'ir sous un rideau
Discharge percolating unde
Des considérations géométriques permettent d'obtenir l'expression analytique du réseau d'infiltration sous un rideau de palplanches, dans le cas d'un écoulement permanent plan.
On en déduit une formule pour le calcul du débit d'infiltration. Les résultats numériques sont donnés sous forme d'abaque cartésien.
filtration
de palplanches
a sheet pile cut-off wall
Goemelrical considérations allow an analgtical expression to be obtained from the flow net of percolation under a sheet pile cut-off wall, in the case of plane steady flow. A formula is derived for calculating the infiltration dis- charge. The numerical results are given in the form of Cartesian curues.
N o u s n o u s p r o p o s o n s d e c a l c u l e r le d é b i t d'in- filtration s o u s u n r i d e a u d e p a l p l a n c h e s , d a n s le c a s d ' u n é c o u l e m e n t p e r m a n e n t p l a n d a n s u n m i l i e u p o r e u x , h o m o g è n e et i s o t r o p e .
Une s o l u t i o n g é n é r a l e d e c e p r o b l è m e a été p u b l i é e d a n s la Houille Blanche p a r M. S A U V A G E D E S A I N T - M A R C [ l ] ; à d e s s e i n , F a u t e u r n ' a v a i t fait a p p e l q u ' à la g é o m é t r i e d e s t r a n s f o r m a t i o n s c o n f o r m e s , afin d e d é g a g e r u n e m é t h o d e d u t r a c é d e c e s r é s e a u x d'infiltration s o u s u n e p a l p l a n c h e o u p l u s g é n é r a l e m e n t s o u s u n b a r r a g e . N o u s v o u l o n s i c i r e p r e n d r e l a q u e s t i o n , l i m i t é e c e p e n - d a n t a u x infiltrations s o u s u n r i d e a u d e p a l p l a n - c h e s , m a i s e n e x p l i c i t a n t l e s t r a n s f o r m a t i o n s c o n - f o r m e s d a n s l e u r s e x p r e s s i o n s a n a l y t i q u e s .
1 . — R A P P E L D E N O T I O N S F O N D A M E N T A L E S
S u i v a n t l e s c o n v e n t i o n s g é n é r a l e m e n t a d m i s e s , n o u s p o s e r o n s :
# = — X f t = —P( — + * / )
X é t a n t le c o e f f i c i e n t d e p e r m é a b i l i t é , h la c h a r g e h y d r a u l i q u e , P la p r e s s i o n h y d r o s t a t i q u e , ? la m a s s e s p é c i f i q u e d e l ' e a u , et y la c o t e d u p o i n t
c o n s i d é r é , c o m p t é e sur u n e v e r t i c a l e a s c e n d a n t e . L a l o i d e D A R C Y s'écrit a l o r s :
-»
>V — g r a d <I>
Oh voit q u e l ' é c o u l e m e n t v a d a n s le s e n s d e s 4) c r o i s s a n t s .
L ' é q u a t i o n d e c o n t i n u i t é : div V
=
0n o u s d o n n e :
À $ = 0
L e p o t e n t i e l d e s v i t e s s e s <f> {x, y) est d o n c u n e f o n c t i o n h a r m o n i q u e . N o u s d é s i g n e r o n s p a r W (x, y) l a f o n c t i o n h a r m o n i q u e a s s o c i é e à <£.
L i ' é c o u l e m e n t s e r a r e p r é s e n t é d a n s le p l a n (x, y) p a r l e s c o u r b e s o r t h o g o n a l e s d ' é q u a t i o n s :
$ (x, y) = Ct e ( é q u i p o t e n t i e l l e s ) ;
et W (x, y) =CtQ (lignes d e c o u r a n t ) , q u i c o n s t i - t u e n t u n r é s e a u i s o t h e r m e .
L e l o n g d ' u n e é q u i p o t e n t i e l l e d ' a b s c i s s e c u r v i - ligne 5, o n a :
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955027
1 1 0 L A H O U I L L E B L A N C H E JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5
0*11 e n d é d u i t q u e , Je l o n g d'un t u b e d e c o u r a n t limité p a r les l i g n e s d e c o u r a n t d e c o t e s Wx et
* F2, le d é b i t est c o n s t a n t et é g a l à :
A W = W2 — Wx
Un r é s e a u i s o t h e r m e est c a r a c t é r i s é p a r u n e é q u a t i o n d e la f o r m e :
Z = / U )
a v e c Z = <I> + i ¥, c ' e s t le p o t e n t i e l c o m p l e x e , et
z — x + z y, c ' e s t l a v a r i a b l e c o m p l e x e d u p l a n sur l e q u e l o n r e p r é s e n t e le r é s e a u .
N o u s a l l o n s c h e r c h e r c e t t e é q u a t i o n d a n s le c a s q u i n o u s o c c u p e .
2. — EQUATION DU RÉSEAU
L e r é s e a u à é t u d i e r R e s t s c h é m a t i s é figure 1.
N o u s c o m m e n c e r o n s p a r c o n s t r u i r e le r é s e a u ré-
/ / / / / / / / / / * / / / / / / •
F I G . 1
c i p r o q u e r (*). G é o m é t r i q u e m e n t , n o u s définis- s o n s l e r é c i p r o q u e c o m m e le r é s e a u o b t e n u e n a p p l i q u a n t , à u n d a m i e r d, la t r a n s f o r m a t i o n c o n f o r m e q u i fait p a s s e r d u r é s e a u R à u n d a - m i e r D .
Si Z = f (z) e s t l ' é q u a t i o n d u r é s e a u R, la t r a n s f o r m a t i o n c o n f o r m e R ~> I) s ' e x p r i m e p a r le c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e :
* i = / C e ) o u z = F(z})
F é t a n t la f o n c t i o n i n v e r s e d e / .
A p p l i q u é e a u d a m i e r d d u p l a n z : Z = z
c e t t e t r a n s f o r m a t i o n d o n n e c o m m e é q u a t i o n d u r é c i p r o q u e r d a n s l e p l a n zx :
Z = F(zx) ou * 1 •f(Z)
P r a t i q u e m e n t on c o n s e r v e la v a r i a b l e z, et le p a s s a g e a u r é c i p r o q u e r s ' o p è r e p a r u n e p e r m u - t a t i o n d e Z et z d a n s l ' é q u a t i o n d u r é s e a u R.
L a t r a n s f o r m a t i o n R D f a i t c o r r e s p o n d r e , à
(*) Voir, p a r e x e m p l e , à ce sujet, l'article cité de M.. SAUVAGE DE S A I N T - M A R C [ 1 ] .
la t o t a l i t é d u r é s e a u R, u n r e c t a n g l e A E D B . L e c o n t o u r B C D se t r a n s f o r m e e n u n d e s c ô t é s d u r e c t a n g l e , p o r t é p a r la ligne d e c o u r a n t c o r r e s - p o n d a n t e d e D. L e s l i g n e s d e c o u r a n t d e r, q u i c o r r e s p o n d e n t à c e l l e s d u d a m i e r d, p a r t e n t d u s o m m e t A et a b o u t i s s e n t a u s o m m e t E d u r e c - t a n g l e , c e s d e u x s o m m e t s é t a n t l e s h o m o l o g u e s d e s r é g i o n s à Finfini d u r é s e a u R. On d é t e r - m i n e s a n s p e i n e l ' a l l u r e d e c e s l i g n e s e n é t u d i a n t l a p o s i t i o n r e l a t i v e d e s l i g n e s d e c o u r a n t d e d et R (fig. 2 ) .
E n c o m p l é t a n t r p a r s y m é t r i e , o n o b t i e n t u n r é s e a u i c o m p o r t a n t d e u x s o u r c e s SXt S2 et d e u x p u i t s P u P2 situés a u x s o m m e t s d ' u n r e c t a n g l e . Sx et Px o n t le m ê m e d é b i t : Qx; S2 et P2 o n t le m ê m e d é b i t : Q2; Q2 et Q: s o n t d i f f é r e n t s ; c e c i p r o v i e n t d e c e q u e l a c o u c h e p e r m é a b l e a d e s é p a i s s e u r s d i f f é r e n t e s d e p a r t e t d ' a u t r e d e l a p a l p l a n c h e . O n p e u t a l o r s d é c o m p o s e r r e n s é - p a r a n t Si, Pj et S2, P2 : o n o b t i e n t l e s r é s e a u x rx et r2 q u ' i l f a u t s u p e r p o s e r p o u r o b t e n i r r («g. 3 ) .
FIG. 3
FIG. 4 FÏG. 2
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Mais r3 e s t u n r é s e a u c o n n u d o n t l ' é q u a t i o n peut s ' é c r i r e (voir p a r e x e m p l e [ 2 ] , p . 279) :
Z = a log £ VJc"sn z]
Une r o t a t i o n d e % a u t o u r d e 0, p u i s u n e t r a n s - l a t i o n n o u s d o n n e n t l ' é q u a t i o n d e r2 :
Z = M o g [ V F s n (K + £ K ' — z)]
E n s u p e r p o s a n t rx et r2, p u i s e n p e r m u t a n t Z et z, o n o b t i e n t f i n a l e m e n t l ' é q u a t i o n d u r é s e a u é t u d i é (fig. 4) :
z = a l o g [ V F s n Z ]
+ b l o g [ V T s n (K + i — Z ) ] (1 )
E n p o r t a n t c e t t e v a l e u r d a n s l ' é q u a t i o n (1)* il vient :
y = a a - j - b p a v e c
c n # d n <£ _ . ( i — 7c) s n $
a = A r c tg jz—T—T\ ? = A r c A
&( 1 + À*) sn<ï>' 1 b c n # d n $ P o u r o b t e n i r le m i n i m u m d e y, il f a u t c a l c u - ler l a r a c i n e d e s a d é r i v é e p a r r a p p o r t à <&. E n d é s i g n a n t p a r #0 l a c o t e d e l ' é q u i p o t e n t i e ï l e q u i p a s s e a u p o i n t C, o n a r r i v e à :
s n $
«
=x / i V î q M
3. — CALCUL DU POINT L E PLUS BAS DE LA PALPLANCHE
Sur l e c o n t o u r B C D o n a : W = K'/2
a v e c :
a ~ \/ a 1 + k
C o n n a i s s a n t sn $C f on c a l c u l e f a c i l e m e n t c n <I>C
F i e . 5
112 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5
et d n #c et f i n a l e m e n t o n o b t i e n t F o r d o n n é e d u p o i n t C :
t± ~ AT C t f y . / £ 7t / l — (a/&) A-i
A r c tff V _ / {a/b) — kx
• (a/b) kx (2)
a v e c
k 1 — k
1 — 1 + Jfc o u
J k _ _ ! L ^rc tg u -(- A r c tg v (.2)
a v e c :
o u , e n p o s a n t : Ai^ :
, i + k
c o m m e n o u s F a v o n s f a i t p r é c é d e m m e n t :
Q K (kx)
(3) Il s'agit d ' é t u d i e r l a v a r i a t i o n d e K/K\ e n f o n c t i o n d e s p a r a m è t r e s d u r é s e a u : a/b e t
P o u r c h a q u e v a l e u r d e a/b, o n c a l c u l e yc/b à p a r t i r d ' u n e v a l e u r d e kx ^ b/a. L e s t a b l e s d ' i n - t é g r a l e s e l l i p t i q u e s d o n n e n t e n s u i t e l e s v a l e u r s d e K / K ' .
L e s c o u r b e s d e l a figure 5 r e p r é s e n t e n t l a v a - r i a t i o n d e Q/X H e n f o n c t i o n d e :
B 1 l i e
TC 6
p o u r d i f f é r e n t e s v a l e u r s d e :
A^ a
4. D É B I T D ' I N F I L T R A T I O N
D ' a p r è s c e q u e n o u s a v o n s v u a u p a r a g r a - p h e 1, le d é b i t Q e s t é g a l à la v a r i a t i o n t o t a l e d e W :
D ' a u t r e p a r t , o n a :
A <& = A H = K (k)
H é t a n t la c h a r g e h y d r a u l i q u e sur la c o u c h e p e r m é a b l e .
N o u s é c r i v o n s d o n c :
Q K' (k) XH — 2K(Jfc)
L e s r é s u l t a t s q u e n o u s v e n o n s d ' e x p o s e r p e r - m e t t e n t a u s s i l e c a l c u l d e l a p e r t e d e c h a r g e le long d e l a p a l p l a n c h e , q u i i n t e r v i e n t d a n s l ' é t u d e d e l a f o r m a t i o n d e s r e n a r d s . Ce c a l c u l f e r a l ' o b - j e t d ' u n e p r o c h a i n e p u b l i c a t i o n .
Q U E L Q U E S I N G É N I E U R S du Laboratoire Dauphinois
d'Hydraulique Neyrpic.
B I B L I O G R A P H I E
[ 1 ] G. SAUVAGE DE SAINT-MAKC. — E c o u l e m e n t en milieu p o r e u x . F u i t e s sous les b a r r a g e s . La Houille Blanche, n° 2, 1947, p p . 1 2 6 - 1 3 4 .
C o m m e n t a i r e s et d i s c u s s i o n s . La Houille Blanche, n° 5, 1947, pp. 4 1 7 - 4 1 8 .
J21 A. BETZ. — K o n f o r m e Abbildung. Springer, B e r l i n , 1 9 4 8 .
