 1U  1U U

(1)

MN41 MN41

Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur

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UTBM le 11 Janvier 2010

Examen Final

S. Abboudi.

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- Résumé de cours autorisé

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I- Eléments finis

On considère le système : équation différentielle et conditions limites 0

) x ( p dx) )du x ( k dx(

d   0xL, (S)

c ) x ( dx bu

adu  en x=0 et u(x)UL en x=L

U0, ^a^,^b et

c

des constantes connues, )

x (

k : fonction connue traduisant les propriétés physiques du système, )

x (

p : fonction connue traduisant une action extérieure sur le système.

) x (

u est donc l’inconnue du problème que l’on cherche à approcher par éléments finis.

1) Ecrire les formes variationnelles globale et faible du système et distinguer les cas suivants : a) a 0

b) b0 c) ^a^⁰^,^b^⁰.

2) Détailler, pour chaque cas, le calcul de la matrice élémentaire du premier élément.

On se placera dans le cas d’une approximation nodale linéaire et une pondération du résidu de type Galerkin. ^k⁽^x⁾^^k , ^p⁽^x⁾^ ^p, ^xi_1 ^xi ^L^/³, ⁱ ^¹^,...,³, ^x1 ⁰, ^x4 ^L.

3) Donner la forme générale des autres éléments puis le système matriciel global dans chaque cas.

4) Utiliser la méthode de Thomas uniquement dans le cas (a) pour calculer les variables nodales aux nœuds du domaine ^[⁰^,^L^]avec les données suivantes :k 2,^p^³, L6, ^UL¹,

10 c . a) a 0, b1 b) a1, b0 c) a1, b1

5) Reprendre ce problème en supposant ⁾ L 1 x L( 3 x ) x (

p   , (cas a0, b1),

II - Résidus pondérés

Utiliser le principe de Galerkin pour déterminer la solution approchée du système (S) avec les données suivantes : ^p⁽^x⁾^³, L6, U L1, c10, a1, b0.

a) ^k⁽^x⁾^² b) ^k⁽^x⁾^^x

La solution ^u⁽^x⁾ sera approchée par un développement basé sur des fonctions polynomiales :

k(x)xk

 , k=0,1,2,3.

1

(2)

Utiliser la méthode LU (dans le cas a) pour la résolution et comparer les solutions, aux points 1

X₁ , X₂3 etX₁5,5, avec celles obtenues analytiquement et par éléments finis.

2