Date : Lundi 23 Juin 2014

UTBM_P2014_Final MQ22 - 1 -

Date : Lundi 23 Juin 2014

UV : MQ22 Semestre : AUTOMNE PRINTEMPS

EXAMEN : MEDIAN FINAL

NOM : Prénom : Né(e) le :

DEPARTEMENT :

NIVEAU : FILIERE :

Le sujet est composé de 2 exercices totalement indépendants.

TOUS LES RESULTATS SERONT JUSTIFIES

Liège – Pont de l’Observatoire – Santiago Calatrava Signature :

Feuille A4 manuscrite Calculatrice autorisée

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On considère la poutre droite (ABC) de longueur 4a, en liaison appui simple parfait en B et en liaison glissière parfaite de direction ( )^yr avec un bâti fixe.

La poutre (ABC) est sollicitée par une charge concentrée F appliquée à son extrémité libre A.

Le poids propre de la poutre (ABC) est négligeable devant le chargement appliqué.

La modélisation retient un problème plan.

On ne retient pour les calculs que le seul moment de flexion MZ. Exercice n°1

A

a 3a

B C xr

yr

F

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1- Déterminer les actions de liaison de la poutre (ABC) avec le bâti en B et en C.

On note :

{^{Bâti Poutre}} B

{

}

r r r

r;0 → = ;

=

→

Ecrire les trois équations d’équilibre de la poutre (ABC) et calculer YB, XC

et N_C.

YB = XC = NC =

2- Déterminer l’expression du moment de flexion MZ dans la poutre (ABC) 21- Déterminer l’expression du moment de flexion MZ1 en G1 (centre de

la section droite du profilé de la poutre (ABC) entre A et B).

( ^{x a})

X x

AG₁= 0≤ ≤ r

22- Déterminer l’expression du moment de flexion M_Z2 en G₂ (centre de la section droite du profilé de la poutre (ABC) entre B et C).

(^{a x a})

X x

AG₂ = r ≤ ≤4

(en fonction de F et de a)

A G₁

x

X r Y

r

N₁ T1

MZ1

F

MZ2

A G₂

x

X r

Y r

N₂ T2

B

F

a YB

NC

Y_B

MZ2 = A

a 3a

B C xr

yr F

XC

MZ1 =

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3- Déterminer l’équation de la déformée de la ligne moyenne de la poutre Cette déformée est calculée dans le repère :

[

]

On note :

o y1(x) la déformée de la ligne moyenne du tronçon (AB), o y2(x) la déformée de la ligne moyenne du tronçon (BC).

31- Equation y1(x) de la déformée avec : 0≤ x≤a

On note C₁ et C₂ les deux constantes d’intégration

=

=

=

=

1 1 '

"1 1 1

"

y EI

y EI

y EI

M y

EI _z

32- Equation y2(x) de la déformée avec : a≤x≤4a

On note C3 et C4 les deux constantes d’intégration

=

=

=

=

2 '2

"2 2 2

"

y EI

y EI

y EI

M y

EI _z

A

a 3a

B C xr

yr

F

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33- Conditions aux limites

Exprimer les quatre conditions associées : o à la liaison en B :

o à la liaison en C :

o à la continuité de la déformée en B :

34- Calculer les quatre constantes d’intégration C1, C2, C3 et C4.

C1 = C2 = C3 = C4 =

35- En déduire les expressions de y1(x) et de y2(x)

( )x = y₁

( )x = y₂

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36- Calculer le déplacement dA du point A

dA =

37- Calculer le déplacement dC du point C

dC =

38- Calculer la rotation ω_B de la section de centre B

ω_B =

39- Tracer l’allure de la déformée de la ligne moyenne

A

a 3a

B C xr

F

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310- On souhaite que le déplacement du point C ne dépasse pas 15 mm. Déterminer le profilé IPE qui répond à ce critère.

On prendra : a = 1 m, F = 27 kN, E = 210 GPa, σ_e = 240 MPa

IPE _____

4- Etude des contraintes

41- Tracer le diagramme des moments de flexion MZ1 et MZ2

42- En déduire la(les) section(s) la(les) plus sollicitée(s)

43- Donner l’expression de la contrainte normale maximale σ_max.

Indiquer sur la figure ci-dessous le ou les points qui supportent cette contrainte normale maximale σ_max.

σ_{max =}

a

MZ

0 ⁴a x

Y r

Z r

X

r G

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44- Calculer la contrainte normale maximale σ_max.

σ_max = MPa

45- Calculer la contrainte équivalente à l’aide du critère de Tresca σ_équi.

σ_équi = MPa

46- Calculer le coefficient de sécurité à la limite élastique n_e.

ne =

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On considère la poutre plane (ABC) représentée ci-dessous.

Elle est parfaitement encastrée en A et devrait être en articulation parfaite en D avec un bâti fixe.

Une erreur dans la mise en place de l’articulation conduit à un défaut de coaxialité ∆ (∆ <<< a) entre l’extrémité C de la poutre et l’axe ( )^{D,zr de} l’articulation.

Pour réaliser la connexion de l’extrémité C de la poutre avec l’articulation d’axe ( )^D,zr , on retient la modélisation suivante :

- on applique un effort F à l’extrémité C de la poutre, - on suppose la poutre en appui simple en C avec le bâti.

On ne retient pour les calculs que le moment de flexion Mz. Le module de rigidité à la flexion EIGz, noté EI, est constant.

Exercice n°2

B a C D

A a

∆

B a C

A a

F

xr yr

zr

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1- Déterminer le degré d’hyperstaticité du système

11- Représenter, sur le schéma ci-dessous, les actions extérieures à la poutre (ABC)

On note :

{ } { }

{ }

{

}

r r r

y Y Poutre

Bâti

z M y Y x X Poutre Bâti

C C

A A

A A

=

→

+

=

→

12- Ecrire les trois équations d’équilibre de la poutre (ABC)

= 0 = 0 = 0

(Equation de moment en A)

13- On décide de garder YC comme inconnue hyperstatique.

Exprimer les composantes des actions de liaisons suivantes en fonction de YC , F et a.

XA = YA = MA =

C

B a

A a

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2- Déterminer l’expression du moment de flexion Mz

21- Déterminer l’expression du moment de flexion Mz1 en G1, (centre de la section droite du profilé de la poutre entre C et B)

( ^{x a})

X x

CG₁= 0≤ ≤ r

Mz1 =

22- Déterminer l’expression du moment de flexion Mz2 en G2, (centre de la section droite du profilé de la poutre entre B et A)

( ^{x a})

X x

BG₂ = 0≤ ≤ r

Mz2 =

3- Energie de déformation élastique U de la structure

Ecrire, sans développer le calcul des intégrales, l’expression de l’énergie de déformation élastique U de la poutre, calculée en fonction du moment de flexion M_z.

U =

C F

G₂ x

X r

Y r

N₂ T₂

M_Z2

Y_C

B a

F G₁ C

x

X r

Y r

N₁

T₁

M_Z1 Y_C

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4- Calcul de l’inconnue hyperstatique YC

41- Théorème utilisé : Expression :

42- Expression de l’inconnue hyperstatique

YC = F

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5- Déplacement de l’extrémité C de la poutre

On se propose de calculer ce déplacement de deux manières différentes : - par application du théorème de Castigliano,

- par application de la deuxième formule de Bresse entre les points C et A de la poutre (ABC).

51- Théorème de Castigliano

Expression du déplacement du point C noté λ_c. λ_c = Expressions du moment fléchissant en fonction de F, x, a

8 3

1

M_z =− Fx )

8 ( 3

2

x a F

M_z = −

Calculer λ_c

λ_c =

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52- Deuxième formule de Bresse. On note C C_xxr C_y yr

∆ +

∆

=

∆

Expression de ∆C

Calculer ∆C_x

=

∆Cx

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Calculer ∆C_y

=

∆Cy

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53- En déduire l’expression de l’effort F à appliquer pour connecter l’extrémité C de la poutre avec l’axe ( )^D,zr de l’articulation

54- Application numérique

a = 3 m, ∆ = 5 mm, E = 210 GPa, IPE 200

6- Etude des contraintes

61- Tracer les diagrammes des moments de flexion MZ1 et MZ2

62- En déduire la section la plus sollicitée

63- Donner l’expression de la contrainte normale maximale σ_max.

64- Application numérique

σ_max = F = N

=

F

σ_max = MPa mm

x

0

1

MZ

x

2

MZ

a 0 a

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