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Partie I : Logique des propositions (10 points)1.Quelles sont les tautologies parmi les formules suivantes (détailler votre réponse) :a)(

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(1)

UV IA41 – Printemps 2013 Concepts fondamentaux en Intelligence Artificielle et langages dédiés

Examen Médian

Vendredi 3 Mai 2013

Les parties I et II devront être rédigées sur deux copies différentes.

Partie I : Logique des propositions (10 points)

1. Quelles sont les tautologies parmi les formules suivantes (détailler votre réponse) : a) (A⇒(B⇒C)) ⇒((A∧B) ⇒C)

b) (AB)⇒(B⇒A)

c) ((A∧B)⇒C)⇒(A⇒(B⇒C)) d) (B∧(A⇒B))⇒(B∧A)

2. Les ensembles suivants sont-ils inconsistants ?

a) S={¬a∨¬b∨¬c∨e , a∨¬b , b∨¬c ,c∨¬d , d∨¬c , b ,¬a∨¬c∨¬e∨¬d ,¬b∨c} b) S={p∨¬q∨¬r∨¬s , q , r , p∨¬r , q∨¬s , s∨¬r , p∨¬q}

3. Dire si l'ensemble suivant de formules est satisfiable ou non (détailler) : a)

{

p∨q ,(rs)⇒p ,(q∨¬r) ⇒(¬p∧q), r , s⇒ ¬q ,¬s⇒ ¬p∧q∧r

}

4. Traduisez les énoncés a) à i) dans la logique des propositions, puis transformer les en clauses.

a) Un arc-en-ciel apparaît si et seulement si il y a du soleil et des gouttelettes d'humidité présentes dans l'atmosphère.

b) S'il pleut et qu'il y a du soleil, alors il y a un arc-en-ciel c) S'il pleut et qu'il y a un arc-en-ciel, alors il pleut !

d) Ce n'est pas vrai qu'il pleut, qu'il y a du soleil ou qu'il y a un arc-en-ciel e) De deux choses l'une : soit il pleut, soit il ne pleut pas et il y a du soleil.

f) Dire qu'il n'y a pas d'arc-en-ciel revient à dire qu'il manque la pluie ou le soleil g) S'il pleut il n'y a pas de soleil, et s'il n'y a pas de soleil, il n'y a pas d'arc-en-ciel !

h) Des gouttelettes d'humidité sont présentes dans l'atmosphère seulement lorsque l'on est près d'une cascade ou lorsqu'il pleut.

i) Il ne pleut pas, et pourtant il est faux de dire qu'il n'y a pas d'arc-en-ciel

En appliquant le principe de résolution, indiquez si les énoncés E1, E2, E3 peuvent être déduits des clauses précédentes ;

E1) Il pleut et il y a du soleil.

E2) On est près d'une cascade.

E3) Il y a du soleil et des gouttelettes d'humidité présentes dans l'atmosphère

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