Q₁ On considère la séquence des entiers a₁,a₂,... an telle que an est le nombre de paires d’entiers compris entre 1 et n qui joints à n forment autant de triplets de nombres premiers entre eux.
Calculer a2014.
Q₂ On considère la séquence des entiers b₁,b₂,...,bn telle que pour tout entier n la somme des termes bi dont les indices sont les diviseurs de n, est égale à n². Par exemple pour n = 6, la condition est b₁ + b₂ + b₃ + b₆ = 6² = 36. Calculer b2014.
Comme l’indique le titre, les deux énigmes ne sont que deux formulations d’un même problème : il y a en effet n2 couples de nombres compris entre 1 et n ; ceux qui ne forment pas un triplet premier avec n ont donc un diviseur commun d avec n, mais les quotients par d forment un triplet premier avec le diviseur n/d. On a donc la même relation que celle qui définit la séquence bi, à savoir que la somme des nombres de triplets premiers pour n (an) et chacun de ses diviseurs est égal au nombre total de triplets soit n2.
Etudions maintenant la séquence bn ; b1=1, et pour p premier, b1+bp=p2 donc bp=p2-1. Si p et q sont premiers, b1+bp+bq+bpq=p2q2, donc bpq=p2q2-p2-q2+1=bpbq. Enfin, si p, q, r sont premiers, b1+bp+bq+br+bqr+brp+bpq+bpqr=p2q2r2 donc
bpqr=p2q2r2-q2r2-r2p2-p2q2+p2+q2+r2-1=bpbqbr
Or 2014=2*19*53 donc a2014=b2014=(22-1)(192-1)(532-1)=3 032 640.
