Page1sur4 E573 - Le jeu des triplets
Une bande de papier est formée de n cases juxtaposées sur une seule ligne (5 n21). Chaque case ne peut contenir qu’un pion. Albert et Benoît jouent à tour de rôle en posant un pion sur n’importe quelle case. Le premier joueur qui réussit à faire que trois pions soient adjacents gagne.
C’est toujours Albert qui commence.
Pour quelles valeurs de n, Albert perd-il lorsque les deux joueurs jouent parfaitement ?
Existe-t-il une méthode permettant de connaître les parties perdues par Albert lorsque n > 21 ? Solutions d’Augustin Genoud
Il me semble qu’Albert perd uniquement lorsque n = 6 et 12. Les démonstrations qui suivent n’apportent pas des preuves absolues à mes solutions. Je n’ai pas trouvé de méthode pour connaître les parties perdues lorsque n > 21.
Appelons coup perdant, un coup qui va permettre à l’adversaire de gagner à coup sûr au coup suivant.
Toutes les cases des tableaux suivants sont numérotées. A = pions posés par Albert et B, pions posées par Benoît. A1 = premier coup d’Albert, B2 = 2ème coup de Benoît, etc.
Le nombre de cases est impair
1. 5 cases. Albert est sûr de gagner en jouant son premier coup (A1) dans la case 3.
2. 7 cases. Albert est sûr de gagner en jouant son premier coup (A1) sur la case centrale 4.
Considérons un axe de symétrie perpendiculaire à la bande. Quel que soit le premier coup joué par Benoît, Albert va systématiquement jouer sur la case symétrique de celle jouée par Benoît, sauf s’il peut gagner le jeu.
Ainsi, si Benoît joue sur la case 7 (B1), Albert joue sur la case 1 (A2) et il va gagner. Si Benoît avait joué sur la case 6, Albert aurait joué sur la case 5.
Si la bande comporte 7 cases, Albert est sûr de gagner.
Cette stratégie est toujours valable lorsque le nombre de cases est impair. Albert doit jouer son premier coup sur la case centrale et ensuite, il doit jouer de manière symétrique à Benoît, sauf s’il a la possibilité de gagner.
Le nombre de cases est pair
1. 6 cases. Albert perd. C’est facile de vérifier que quel que soit le premier coup d’Albert, Benoît a la possibilité de jouer de telle sorte que le coup suivant d’Albert sera un coup perdant. Benoît gagne.
2. 8 cases. Deux ou trois pions peuvent être posés avant que le coup suivant soit perdant. Par exemple, si les pions sont posés sur les cases 3 et 6, le coup suivant est perdant. Si les pions sont posés sur les cases 1, 4 et 7, le coup suivant est perdant. Albert doit choisir la stratégie « 3 pions » pour gagner. Par exemple, en jouant son premier coup sur la case 4, il va être sûr de gagner.
1 2 3 4 5
A1
1 2 3 4 5 6 7
A2 A1 B1
1 2 3 4 5 6 7 8
x x
x x x
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3. 10 cases. Trois ou quatre pions peuvent être posés avant que le coup suivant soit perdant.
Dans les deux exemples du tableau suivant où les croix représentent des pions, le joueur qui met le prochain pion va perdre. Albert doit choisir la stratégie « 3 pions » pour gagner.
En fait, pour gagner, il doit toujours choisir la stratégie « nombre impair de pions ». Par exemple, en jouant son premier coup sur la case 5, il va être sûr de gagner.
4. 12 cases.Albert perd. Trois ou quatre pions peuvent être posés avant que le coup suivant soit perdant. Albert devrait choisir la stratégie « 3 pions » pour gagner. Mais ici, Benoît peut toujours diriger le jeu pour une stratégie «4 pions » avant le coup perdant.
Remarquons qu’avec un nombre pair de cases, il n’y a plus une case qui est pile au milieu de la bande. Alors, la stratégie utilisée avec un nombre impair de cases n’est plus valable.
5. 14 cases. Trois, quatre ou cinq pions peuvent être posés avant que le coup suivant soit perdant. Albert arrive à imposer la stratégie « 3 ou 5 pions » pour gagner, en commençant, par exemple, sur la case 7 (A1). Albert gagne.
Dans l’exemple 1, le premier coup de Benoît (B1) n’offre plus de possibilités de placer un pion dans la zone bleue sans que le prochain coup soit gagnant. Albert est contraint de jouer son second coup dans la zone verte, de façon à ce que Benoît soit ensuite obligé de jouer un coup perdant. Albert doit forcément jouer sur la case 12 (A2).
On remarque la tactique de la symétrie par rapport à un axe perpendiculaire à la bande et passant par la case 7, sauf au moment de conclure.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x x x
x x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x x x
x x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Exemple 1 A1 B1 A2 B2
Exemple 2 A2 A1 B1 B2
Exemple 3 A1 B2 B1 A2
Exemple 4 A1 B1 A2 B2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
x x x
x x x x
x x x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Exemple 1 B1 A1 A2
Exemple 2 B1 A3 A1 A2 B2
Exemple 3 B1 A1 A2
Exemple 4 A2 B2 A1 B1 A2
Exemple 5 A3 A2 A1 B1 B2
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6. 16 cases. Quatre, cinq ou six pions peuvent être posés avant que le coup suivant soit perdant. Albert arrive toujours à imposer la stratégie « 5 pions » pour gagner, en commençant, par exemple, sur la case 8. Dans ce cas, il y a toujours moyen de mettre deux pions dans la zone bleue et deux pions dans la zone verte avant le coup perdant qui revient forcément à Benoît. Donc, Albert gagne.
7. 18 cases. Quatre, cinq ou six pions peuvent être posés avant que le coup suivant soit perdant. Albert arrive toujours à imposer la stratégie « 5 pions » pour gagner, en commençant, par exemple, sur la case 6. Dans les 11 exemples donnés, chacun peut vérifier que quel que soit le coup suivant de Benoît (B2), Albert va pouvoir gagner.
8. 20 cases. Albert gagne. Dans le tableau ci-dessous, on voit que si Albert joue son premier coup (A1) sur la case 10, il gagne.
Note : j’appelle par la suite case libre, une case qui ne mène pas à une fin de jeu au coup suivant.
Exemple 1. Albert joue sur la case 13 son premier coup, Albert joue son 2ème coup (A2) sur la case 1. A ce moment, il reste 1 ou 2 cases libres entre les cases 1 et 10 (cases bleues), et également 1 ou 2 cases libres entre les cases 13 et 20 (cases vertes). Albert devient maître du jeu. Si, au coup suivant, Benoît joue sur une case verte en laissant 1 cas libre, Albert en fait de même en jouant sur une case bleue tout en laissant une case libre (Albert gagne en 7 coups, exemple 1a). Si, en jouant sur une case verte, Benoit ne laisse pas de case libre, Albert n’en laisse pas non plus en jouant sur une case bleue3 (Albert gagne en 5 coups, exemple 1b).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
x x x x
x x x x x
x x x x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Exemple 1 A2 B1 A1 A2 B2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
x x x x
x x x x x
x x x x x x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Exemple 1 B1 A1 A2
Exemple 2 A1 B1 A2
Exemple 3 A1 B1 A2
Exemple 4 A1 B1 A2
Exemple 5 A1 B1 A2
Exemple 6 A1 B1 A2
Exemple 7 A1 A2 B1
Exemple 8 A1 A2 B1
Exemple 9 A1 A2 B1
Exemple 10 A1 A2 B1
Exemple 11 A1 A2 B1
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On trouve également dans le tableau tous les 2èmes coups d’Albert, et on peut vérifier qu’Albert gagne toujours.
Dans les exemples 3, 6, 10, 11 et 14, Albert gagne en 5 coups. Dans les autres exemples, il gagne en 5 ou 7 coups.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 A2 A1 B1
1a A2 A3 B3 A1 B1 B2 A4
1b A2 A3 A1 B1 B2
2 A2 A1 B1
3 A2 A1 B1
4 A2 A1 B1
5 A2 A1 B1
6 A2 A1 B1
7 A2 A1 B1
8 A2 A1 B1
9 B1 A1 A2
10 B1 A1 A2
11 B1 A1 A2
12 B1 A1 A2
13 B1 A1 A2
14 B1 A1 A2
15 B1 A1 A2
