E675 – Avec une grosse boite d’allumettes [* à **** à la main]
On dispose d’une grosse boite d’allumettes qui ont toutes la même dimension.
1) Trouver une figure géométrique plane dans laquelle toute allumette rencontre sans chevauchement trois autres allumettes en chacune de ses deux extrémités.[***]
2) Prouver qu’il existe une infinité de figures géométriques planes distinctes qui ont cette propriété.[*]
Trouver la figure qui utilise le plus petit nombre possible d’allumettes.[*****]
Solution proposée par Paul Voyer Q1
La figure utilise 120 allumettes.
Q2
On peut construire une figure avec seulement des triangles, par exemple :
126 allumettes
Cet exemple utilise 3 motifs "à 2 pointes" dont tous les points sauf les 2 pointes appartiennent à 4 allumettes, ces motifs sont reliés par leurs pointes.
Il existe d'autres motifs de ce genre.
On peut faire une figure qui respecte la règle en chaînant par leurs pointes, sans recouvrement, un nombre quelconque de tels motifs (en chaîne fermée).
Q3
Le record actuel connu est détenu par Heiko Harborth (1986).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Graphe_de_Harborth
La figure est composée de 104 allumettes, constituant 4 motifs ayant chacun 4 pointes, 2 motifs sont reliés par 2 pointes.
Il semble impossible de faire mieux.
Calcul :
De la position (x, y) du point A(*) dépend la longueur de deux des allumettes (deux des côtés du quadrilatère vert), qui doit, comme celle des autres, être égale à 1.
Cela se traduit par deux équations (non linéaires) à deux inconnues très difficiles à résoudre.
Une très bonne approximation s'obtient graphiquement (Geogebra).
(*) La convergence est bien plus rapide avec A qu'en prenant les extrémités Nord et Est comme variables.
