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Academic year: 2022

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E60405. Carrés bleus, disque blanc

Sur une page A4 (21,02×29,73 cm), on a peint en bleu, au pochoir, 150 carrés de 1×1 cm (dont les orientations peuvent être variées et qui ne sont pas nécessairement disjoints).

Reste-t-il la place pour délimiter sur la feuille un disque de diamètre 1 cm complètement dépourvu de bleu ?

Solution

Dilatons chaque carré d’un facteur 2 autour de son centre. Ces 150 carrés augmentés, de 4 cm2 chacun, couvrent au plus 600 cm2 des 625 cm2 de la feuille A4, même s’ils ne se recouvrent pas entre eux. Un point non couvert est le centre d’un disque de diamètre 1 cm qui ne rencontre aucun des carrés du premier coloriage.

En rognant les coins des carrés agrandis en arrondis (“congés”) de 5 mm de rayon, l’aire que couvre chacun se réduit à 3 +π/4 = 3,7854 cm2, et même avec 165 carrés il reste sur la feuille des points non couverts permettant l’insertion d’un disque.

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