Base de l’analyse réelle (MVA010)

MVA010

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Base de l’analyse réelle (MVA010)

Téléphone et Calculatrice programmable sont interdits

Examen proposé par : J.SAAB

pour les centres de Beyrouth, Baalbek, Nahr Ibrahim.

Exercice 1 (15 points) On considère la fonction f dé…nie par f(x) =

px² 5x+ 4 j x²+ 4x 12j 1. Exprimerf(x) sans la valeur absoue

2. Déterminer le domaine de dé…ntion def.

3. Trouver l’équation de la droite tangente à la courbe def au point x= 0::

SOLUTION. 1

1. ⁰ = 4 12 = 8<0donc x²+ 4x 12<0; 8x2Ret f(x) =

px² 5x+ 4

x² 4x+ 12 5 pts 2. Il faut que x² 5x+ 4 0 : x1 = 1; x2 = 4et donc D=] 1; 1][[4; +1[ 3 pts

3. f⁰(x) = ¹

2p

x² 5x+4(x² 4x+12)² 2x³ 15x²+ 12x+ 28 ; f(0) = ¹₆; f⁰(0) = ₁₄₄⁷ ; 3+1+1=5 pts L’equation de la tangente est :

y = f⁰(0)x+f(0)

y = ₁₄₄⁷ x+¹₆ 1+1=2 pts

Exercice 2 (20 points) : On considère la fonctionf(x) = ln(1 +x)

e^x 1 dé…nie sur] 1;+1[nf0g 1. Donner le devéloppement limité def(x)en 0 à l’ordre3:

2. Déduire que f est prolongeabe par continuité en 0 et donner la fonction g(x);son pro- longment par continuité en0

3. Véri…er queg(x) est dérivable en 0et donner g⁰(0);la dérivée de g(x) en0

4. Proposer, d’après ce qui précède, une valeur approchée def(0;1)et comparer cette valeur à la valeur trouvée par votre calcuatrice.

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SOLUTION. 2

1. f(x) = x ^x₂² +^x₃^{3 x}₄⁴ +x⁴"(x)

x+^x₂² +^x₆³ +^x₂₄⁴ +x⁴"(x) = 1 ^x₂ +^x₃^{2 x}₄³ +x³"(x)

1 +^x₂ +^x₆² +^x₂₄³ +x³"(x) 2 pts donc pourt =

x

2 +^x₆² +^x₂₄³ !

x!00 f(x) = 1 x

2 +x² 3

x³

4 1 t+t² t³ +t³"(x)

= 1 x

2 +x² 3

x³

4 1 (x 2 +x²

6 +x³

24) + (x² 4 +x³

6 ) (x³

8 ) +x³"(x) 4 pts

= 1 x+2

3x² 11

24x³+x³"(x) 2 pts 2. lim

x!0f(x) = 1 doncf est prolongeable par continuité en0 1 pts et son prologement est : g(x) =

8<

:

ln(1 +x)

e^x 1 si x2] 1;+1[nf0g

1 si x= 0

2 pts

3. g⁰(0) = lim

x!0

g(x) g(0)

x = lim

x!0

f(x) 1 x = lim

x!0

x+x"(x)

x = 15 pts

4. On propose la valeur f(0:1)'1 0:1 +²₃ 0:01 ¹¹₂₄ 0:001'0:906 213 pts et par la calculatrice _e^ln(1:1)0:1 1 = 0:906 24on a une précision à l’ordre de 3:10 ⁴:1 pt

Exercice 3 (25 points) : Soit In= Z 1

0

xⁿ 1 +xdx

1. Utiliser le théorème de la moyenne pour montrer que lim

n!1In= 0 2. CalculerIn+In+1

3. Soit la sérieS =P

n 1

( 1)ⁿ⁺¹

n :

(a) Véri…er que cette série est semi convergente (Convergente mais elle n’est pas abso- lument convergente)

(b) Soit Sn = Xn k=1

( 1)^k+1

k la n^ième somme partielle de la série S: Exprimer, d’après la partie2;la somme S_n en termes de I_k:En deduire la valeur de la série S:

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SOLUTION. 3

1. f(x) =xⁿ est continue sur [0;1]; g(x) = 1

1 +x est continue et positive sur [0;1] 2 pts donc par le théorème de la moyenne il existe c2]0;1[ tel que

I_n=f(c) Z 1

0

g(x)dx= (ln 2):cⁿ 4 pts comme 0< c <1alors lim

n!1I_n= 0 1 pts 2. I_n+I_n+1=

Z 1

0

xⁿ+xⁿ⁺¹ 1 +x dx=

Z 1

0

xⁿ(1 +x)

1 +x dx= xⁿ⁺¹ n+ 1

1 0

= 1

n+ 1 5 pts 3. S = P

n 1

( 1)ⁿ⁺¹

n :

(a) S est alternée et lim

n!1 1

n = 0 donc S est convergente,3 pts par contre S = P

n 1

( 1)ⁿ⁺¹

n = P

n 1

1

n est divergente car = 13 pts (b) Sn= 1 ¹₂+¹₃ ¹₄ + +( 1)ⁿ

n 1 +( 1)ⁿ⁺¹

n 1 pt donc Sn = (I0+I1) (I1+I2) + (I2+I3) + +

( 1)ⁿ(I_{n 2}+I_{n 1}) + ( 1)ⁿ⁺¹(I_{n 1}+I_n) 3 pts

= I₀ I_nsi nest pair

= I₀+I_nsi nest impair

D’où Sn= ln 2 In 2 pts et S= limSn= ln 2 1 pt

Exercice 4 (20 points) Calculer : 1.

Z x+ 3 x²+ 3x 2dx 2.

Z lnx x² dx

SOLUTION. 4

1. x+ 3

x²+ 3x 2 = x+ 3

(x 1)(x 2) = a

x 1 + b

x 2, 2 pts par identi…cation on trouve a= 4 etb= 5:3 pts D’où

I = 4 ln (x 1) 5 ln (x 2) 5 pts 2. Intégration par parties : u= lnx etdu= dx

x ; dv = 1

x²dx etv= 1

x:5 pts D’où I = lnx

x +

Z 1 x:dx

x = 1

x(lnx+ 1) 5 pts

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Exercice 5 (20 points) Les questions suivantes sont indépendantes :

1. Calculer la somme des entiers naturels qui sont divisbles par 13 et inférieurs à10000:

2. Calculer la somme P

n 0 7 10

n

3. Si(un) est une suite telle que

u0= 100 u_n+1 =p

2u_n 1; n 0 (a) Montrer que(un) est décroissante et minorée par1 (b) En déduire que(un) est convergente et trouver sa limite:

SOLUTION. 5 1. S =

769P

n=1

13n= 13 ^{769 770}₂ = 3848 845 3 pts 2. P

n 0 7 10

n= lim

n!1

1 qⁿ

1 q avec q = ₁₀⁷ <1 et doncS= 1

1 ₁₀⁷ = ¹⁰₃ 5 pts 3. On au0 >1et donc par récurrence siun>1alorsun+1 >p

2 1 = 1et parsuiteun>1 8n: 3 pts D’autre part

un+1 un= 2un 1 u²_n p2un 1 +un

= (un 1)² p2un 1 +un

<0 6 pts Parsuite (un) est décroissante et minorée par1

4. (un) est décroissante et minorée donc elle converge vers une limite l 1 pts telle que l=p

2l 1 càdl² 2l+ 1 = 0et doncl= 1 2 pts

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