Risque de contrepartie sur opérations de marchéMarwan Moubachir

JJ Mois Année 31 Janvier 2007

RISQ/CMC/MOD

Risque de contrepartie sur opérations de marché

Marwan Moubachir

Plan

I. Introduction

II. Le pilotage opérationnel des activités de la banque III. Le risque de remplacement et mesure de l’exposition IV. Calibration d’un modèle de taux

V. Les sujets de recherche

Plan

I. Introduction

II. Le pilotage opérationnel des activités de la banque 1. 1. Le capital économique v.s réglementaire Le capital économique v.s réglementaire

2. 2. Bâle I/II Bâle I/II

III. Le risque de remplacement et mesure de l’exposition 1. Principes généraux

2. Exemples de calculs d’exposition

3. Cadre juridique et réduction des risques IV. Calibration d’un modèle de taux

V. Les sujets de recherche

Le pilotage des activités de la banque

 Objectifs de la banque : satisfaire l’appétit de rentabilité de ses actionnaires  en proposant des services financiers aux entreprises et particuliers. 

 Moyens : 

 Maximiser une fonction d’utilité fondée à la fois sur les performances et les risques  pris (RAROC, EVA).

 Constituer des fonds propres permettant de faire face à des pertes exceptionnelles et  financer des projets à long terme.

 Réduire localement les risques en imposant des limites de trading par contrepartie  (risque de crédit) ou par desk de trading (risque de marché).

 Approche bottom­up : allocation itérative macro du capital selon les 

contraintes fixées au niveau micro.

Le contrôle du secteur banquaire

 Objectif du régulateur : garantir la stabilité du système financier  international dans l’occurrence de scénarios de crise.

 Moyens : 

 Exiger la constitution de fonds propres sur la base d’un calcul réglementaire.

 Contrainte sur un ratio de cooke (Bâle I) de McDonough (Bâle II).

 La politique de croissance externe, la capacité d’acquisition est :

• Dimensionnée par rapport au disponible réglementaire

• Allouée par rapport à une vision économique des risques

Capital réglementaire/économique

 Déterminer le montant de fonds propres nécessaires pour couvrir les pertes  exceptionnelles (UL: Unexpected Loss) pour une probabilité de défaut à un  horizon donné.

 Capital réglementaire : rating cible BBB+/A­

 Capital économique : rating cible AA­

Le risque de crédit

 Le risque de crédit : représente le montant de la perte que la SG peut  encourir dans le cadre d’opérations qu’elle effectue avec un 

client/contrepartie, lorsque ce client/contrepartie est en défaut au cours de  la vie de l’opération.

 Trois grands  types de risque de contrepartie peuvent être répertoriés :

 Exposition de crédit ou risque débiteur: risque lié à l’octroi d’un prêt.

 Exposition de règlement/livraison:risque supporté dans le cadre de l’échange  simultané et non sécurisé de deux actifs (devises, titres…)

 Exposition de remplacement : risque engendré par la conclusion d’un produit 

dérivé( y compris opérations de prêt/emprunt de titres)

FRÉQUENCE DES PERTES

Qu’est­ce que le capital réglementaire ?

PERTES

Probabilité de défaillance de la banque = 0,1%

BBB

CAPITAL RÉGLEMENTAIRE PROVISIONS

PERTES ATTENDUES  (EL)

PERTES  EXCEPTIONNELLES 

(UL) COUVERTES 

PERTES EXCEPTIONNELLES (UL)  NON COUVERTES PAR LE CAPITAL  

REGLEMENTAIRE

PERTES

Probabilité de défaillance de la banque à 1 an = 0,026%

PERTES EXCEPTIONNELLES (UL)  NON COUVERTES 

BBB AA-

CAPITAL RÉGLEMENTAIRE

CAPITAL ÉCONOMIQUE

Qu’est­ce que le capital économique ?

PERTES ATTENDUES  (EL)

PERTES  EXCEPTIONNELLES 

(UL) COUVERTES 

PROVISIONS

FRÉQUENCE DES PERTES

Différences théoriques entre le Capital Économique et le Capital Réglementaire

REGLEMENTAIRE ECONOMIQUE

Concept Ob lig ato ire

Co n train te : BBB à 1 an

Décis io n SG

Co n train te : A A - à 3 an s Type de perte couverte In atten d u e In atten d u e

Probabilité de Défaut (PD)

- n o n p ris e en co mp te d e la PD jo in te

- flo o r d e 0,03% p o u r les b an q u es et les co rp o rates

- év o lu tio n d an s le temp s d e la PD n o n p ris e en co mp te

- p ris e en co mp te d e la PD jo in te en tre le g aran t et la co n trep artie

- Pas d e flo o r

- év o lu tio n d an s le temp s d e la PD p ris e en co mp te

Concentration No n Ou i

Corrélation Ou i (en fo n ctio n d u ratin g ) Ou i (en fo n ctio n d e la taille, d u s ecteu r et d u p ay s )

Maturité 1 an < M atu rité < 5 an s M atu rité réelle

L’indicateur RAROC

  le RAROC est une mesure de rentabilité ajustée du risque  (ex­ante) :

RAROC ⁼ R ^isk A ^djusted R ^eturn O ⁿ C ^apital

La détermination d’une rentabilité de type RAROC nécessite de quantifier a priori : - le niveau de risque attendu du concours (ou du portefeuille)

⇔ numérateur

- le capital que la SG devra de mobiliser pour couvrir le risque exceptionnel (inattendu) de ce concours

⇔ dénominateur

PNB attendu – Perte moyenne attendue Capital Économique

RAROC =

L’indicateur EVA

 L’EVA mesure la création de valeur d’une opération, d’un client, d’un portefeuille  c’est à dire le revenu après déduction du coût du risque et du coût du capital.

 EVA = reformulation du ratio RAROC en dégageant une mesure de la  rentabilité en montant plutôt qu’en valeur relative (en % du capital) et en  intégrant le coût de rémunération du capital.

EVA = PNB attendu – Perte Moyenne – X%(*) du Capital Économique

(*) X % représente le taux de rendement attendu par l’actionnaire au dessus du taux 

sans risque (obtenu à l’aide du modèle CPAM)

RAROC Résultat

Bon rendement - Dépasse le rendement attendu

par les actionnaires (EVA > 0). Rentabilité très satisfaisante.

Rendement positif - Couvre le rendement attendu

par les actionnaires (EVA = 0). Rentabilité satisfaisante.

Rendement ajusté du risque négatif (RAROC et EVA < 0) Doit faire l’objet d’une analyse avec la Direction.

Commerciale : droit d’entrée à payer pour nouer des relations, défense de positions fortes…

Rendement positif - Inférieur au rendement attendu par les actionnaires (EVA < 0).

A replacer dans le contexte de la rentabilité client et de l’enjeu de l’opération.

EVA

0

Interprétation RAROC/EVA

Plan

I. Introduction

II. Le pilotage opérationnel des activités de la banque 1. Le capital économique v.s réglementaire

2. Bâle I/II

III. Le risque de remplacement et mesure de l’exposition 1. Principes généraux

2. Exemples de calculs d’exposition

3. Cadre juridique et réduction des risques IV. Calibration d’un modèle de taux

V. Les sujets de recherche

De Bâle I à Bâle II

 Bâle I (ratio Cooke)

 Points forts

 Simplicité

 Renforcement de la stabilité du système bancaire

 Méthodes simples pour calculer le ratio de solvabilité issu des données comptables.

 Points faibles

 La sensibilité aux risques est inadéquate

 Le système de pondération forfaitaire ne tient pas compte du profil des  risques 

individuels de chaque banque .

De Bâle I à Bâle II

 Bâle II (ratio McDonough)

 Objectif

 implémenter un nouveau cadre plutôt qu’une simple norme de solvabilité

 Moyens

 Définition d’un ratio plus sensible aux risques et plus détaillé

 Définition d’un cadre s’appuyant sur le système de gestion interne des banques

 Conséquences

 Exigence d’une plus rendre transparence

 Accroissement du rôle du régulateur

Calcul du capital minimum exigé, afin de mieux prendre en compte la totalité des risques bancaires

Renforcement des contrôles par les organismes nationaux de surveillance /introduction du «  Capital

Économique »

Discipline de marché à travers une communication financière améliorée

PILIER 1

PILIER 2

PILIER 3

De Bâle I à Bâle II

De Bâle I à Bâle II

 Capital minimum exigé

 Les pondérations sont déterminées selon la méthode choisie par la banque  et validée par le régulateur

TOTAL CAPITAL (*)

> 8 % Risque de crédit

pondéré

+ Risque de marché pondéré

+ Risque opérationnel pondéré

RWA (Risk Weighted Assets)

De Bâle I à Bâle II

 Méthode standard

 Principes proches des règles actuelles. 

 Des indicateurs simples provenant de sources externes à la banque ( agences de  notation, Banque de France, .. ). 

 Méthode notation interne

 Pondérations calculées à partir de 4 paramètres :

 Probabilité de défaut à 1 an (PD)

 Exposition en cas de défaut (EAD)

 Perte en cas de défaut (LGD)

 Maturité résiduelle (M)

IRB Fondation               Banque  évalue PD 

IRB avancée           Banque évalue les  4 param ètres

Choix entre deux méthodes

M PD EAD

LGD

EXPOSITION EN CAS DE DÉFAUT MATURITÉ DE

L’ENGAGEMENT

PROBABILITÉ DE DÉFAUT À 1 AN

PERTE EN CAS DE DÉFAUT

Garants

Sûretés réelles

substitution

RISQUE

 Schématiquement, RWA * 8 % = K  ≅  (EL + UL) 

 K = capital réglementaire

 EL = PDxLGDxEAD

PERTES

Probabilité de

défaillance de la banque = 0,1%

BBB

CAPITAL RÉGLEMENTAIR

E PROVISIONS

PERTES ATTENDUES 

(EL) PERTES 

EXCEPTIONNELLES  (UL) COUVERTES 

PERTES EXCEPTIONNELLES  (UL) 

NON COUVERTES PAR LE   CAPITAL REGLEMENTAIRE

De Bâle I à Bâle II

 Exemple d ’un change à terme à échéance 5 mois :   

 EAD = MtM + Nominal * Add on.

 M = Min [Max (1 an ; maturité résiduelle) ; 5 ans]

 Complexité accrue quand contrat cadre et contrat d ’appel de marge  

Exigences en Fonds propres

RWA 8 %

= *

12,5 K

Exposition * *

UL unexpected loss EL Expected

loss

LGD EAD

PD * * M

De Bâle I à Bâle II

T r a n s a c t i o n

B o r r o w e r

Default Probability

PD

P o r t f o l i o

B R W ( P D

) b ( P D

) - M T M

b ( P D

) - D M

A g g r e g a t i o n P D , L G D , F , n

Loss Given Default

LGD

Benchmark Risk Weight BRW

Maturity Adjustment

Factor

B Default Mode

DM

R W

= R W

* E A D

R W

= S U M ( R W

) + A d j u s t m e n t ( G )

Effective Maturity M<7Y

R W

= B R W ( P D

) * ( L G D

/ 5 0 ) * [ 1 + b ( P D

) ] * ( M

- 3 )

Exposure atDefault

EAD

Granularity Adjustment

G Risk Weight

RW

Portfolio Risk Weight

RWPF

PD LGD EAD M

De Bâle I à Bâle II

Plan

I. Introduction

II. Le pilotage opérationnel des activités de la banque 1. 1. Le capital économique v.s réglementaire Le capital économique v.s réglementaire

2. 2. Bâle I/II Bâle I/II

III. Le risque de remplacement et mesure de l’exposition 1. Principes généraux

2. Exemples de calculs d’exposition

3. Cadre juridique et réduction des risques

IV. Analyse de la mesure fractile

V. Calibration d’un modèle de taux

VI. Les sujets de recherche

Risque de remplacement

 Définition:

 Exposition liée à la mise en place d’un produit dérivé ou assimilé ( change à terme,  négoce de titres,swap de taux d’intérêt , etc..

 C’est le montant que l’on peut pourrait perdre avec une contrepartie quand celle­ci est  défaillante et que la position ne puisse être remplacée qu’à un prix de marché plus  élevé que celui convenu avec la contrepartie (valeur de remplacement positive)

 Si la contrepartie est insolvable est que la valeur de remplacement est négative, 

aucune perte n’est enregistrée.

Mesure du risque de remplacement

 Mark to market :

 Mesure instantanée du coût de retournement de la position

  Risque courant Moyen (RCM ou CAR)

 Evaluation selon un modèle statistique de la moyenne des occurrences positives des  MtM futurs sur la durée de l’opération

  Mesure en Credit Var (CVAR)

 Indicateur fractile à 99% de l’exposition future.

passé

Etats futurs potentiels du

marché

Aujourd’hui

Mesure du risque de remplacement

Contrat forward sur action

Profile de la CVAR d'un Forward à la monnaie vol histo 40%

0 2 4 6 8 10 12 14 16

01/01/07 01/01/08 01/01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 01/01/15 01/01/16 Date d'évaluation du risque

Valeur du sous-jacent

0.00%

200.00%

400.00%

600.00%

800.00%

1000.00%

1200.00%

1400.00%

1600.00%

valeur de l'exposition

Scénario quantile 99% du sous-jacent Scénario quantile 99% de l'exposition

Call Option européenne sur action

Profile de la CVAR d'un call à la monnaie vol histo 40%

0 2 4 6 8 10 12 14 16

01/01/07 01/01/08 01/01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 01/01/15 01/01/16 01/01/17 Date d'évaluation du risque

Valeur du sous-jacent

0%

200%

400%

600%

800%

1000%

1200%

1400%

1600%

valeur de l'exposition

Scénario quantile 99% du sous-jacent Scénario quantile 99% de l'exposition

Profile de la CVAR d'un Put à la monnaie vol histo 40%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

01/01/07 01/01/08 01/01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 01/01/15 01/01/16 Date d'évaluation du risque

Valeur du sous-jacent

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 valeur de l'exposition

Scénario quantile 99% du sous-jacent Scénario quantile 99% de l'exposition Quantile 1% du sous-jacent

Put Option européenne sur action

Put Option américaine avec cost of carry sur  action

Profile de la CVAR d'un Put américain à la monnaie vol histo 40% cost of carry 4%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

01/01/07 01/01/08 01/01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 01/01/15 01/01/16 Date d'évaluation du risque

Valeur du sous-jacent

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 valeur de l'exposition

Scénario quantile 99% du sous-jacent Scénario quantile 99% de l'exposition Quantile 1% du sous-jacent

Put Option américaine avec cost of carry sur  action

Mark-to-Future

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

29/01/07 29/04/07 29/07/07 29/10/07 29/01/08 29/04/08 29/07/08 29/10/08 29/01/09 29/04/09 29/07/09 29/10/09 29/01/10 29/04/10 29/07/10 29/10/10 29/01/11 29/04/11 29/07/11 29/10/11 29/01/12 29/04/12 29/07/12 29/10/12 29/01/13 29/04/13 29/07/13 29/10/13 29/01/14 29/04/14 29/07/14 29/10/14 29/01/15 29/04/15 29/07/15 29/10/15 29/01/16

Date d'évaluation

MtF

Zero coupon fixe

Profile de la CVAR ZC USD

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

01/01/07 01/01/08 01/01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 01/01/15 01/01/16 Date d'évaluation du risque

Montant de l'exposition

quantile 99% de l'exposition Exposition moyenne

Zero coupon fixe

ZC_1M ZC_6M ZC_3Y ZC_7Y ZC_30Y

29/01/07 19/02/07

02/07/07 01/12/07

31/10/08 30/01/10

02/08/12

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

valeur des taux

Maturité

Date d'évaluation

Scénarios de taux produisants l'exposition quantile

5.00%-6.00%

4.00%-5.00%

3.00%-4.00%

2.00%-3.00%

1.00%-2.00%

0.00%-1.00%

Zero coupon fixe

Structure par terme des taux

5.05%

5.10%

5.15%

5.20%

5.25%

5.30%

5.35%

5.40%

5.45%

5.50%

5.55%

1M 3M 6M 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y 30Y

Maturité

Valeur des taux

29/01/07

Structure quantile à 1%

Structure par terme des taux

4.85%

4.90%

4.95%

5.00%

5.05%

5.10%

5.15%

5.20%

5.25%

5.30%

5.35%

1M 3M 6M 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y 30Y

Maturité

Valeur des taux

30/01/07

Structure quantile à 1%

Structure par terme des taux

4.70%

4.80%

4.90%

5.00%

5.10%

5.20%

5.30%

5.40%

1M 3M 6M 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y 30Y

Maturité

Valeur des taux

01/02/07

Structure quantile à 1%

Structure par terme des taux

4.30%

4.40%

4.50%

4.60%

4.70%

4.80%

4.90%

5.00%

5.10%

1M 3M 6M 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y 30Y

Maturité

Valeur des taux

07/02/07

Structure quantile à 1%

Structure par terme des taux

4.20%

4.30%

4.40%

4.50%

4.60%

4.70%

4.80%

4.90%

5.00%

1M 3M 6M 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y 30Y

Maturité

Valeur des taux

12/02/07

Structure quantile à 1%

Structure par terme des taux

4.00%

4.10%

4.20%

4.30%

4.40%

4.50%

4.60%

4.70%

4.80%

4.90%

1M 3M 6M 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y 30Y

Maturité

Valeur des taux

19/02/07

Structure quantile à 1%

Swap Zero coupon forward

Profile de la CVAR d'un swap ZC USD/LIB 6M départ forward

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

3.00%

30/01/07 30/01/08

Date d'évaluation du risque

Montant de l'exposition

quantile 99% de l'exposition Exposition moyenne

Swap Zero coupon forward

ZC_1M ZC_6M ZC_3Y ZC_7Y ZC_30Y

29/01/07 07/02/07

06/03/07 02/06/07

02/09/07 01/12/07

02/05/08

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

valeur des taux

Maturité

Date d'évaluation Scénarios de taux produisants l'exposition quantile

12.00%-14.00%

10.00%-12.00%

8.00%-10.00%

6.00%-8.00%

4.00%-6.00%

2.00%-4.00%

0.00%-2.00%

Swap USD LIBOR 6M 10Y

Profile de la CVAR d'un swap USD/LIB 6M maturité 10Y

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

30.00%

35.00%

40.00%

45.00%

30/01/07 30/01/08 30/01/09 30/01/10 30/01/11 30/01/12 30/01/13 30/01/14 30/01/15 30/01/16 30/01/17 Date d'évaluation du risque

Montant de l'exposition

quantile 99% de l'exposition Exposition moyenne

Swap USD LIBOR 6M 10Y

ZC_1M ZC_6M ZC_3Y ZC_7Y ZC_30Y

29/01/07 19/02/07

02/07/07 01/12/07

31/10/08 30/01/10

02/08/12 30/01/17

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

30.00%

valeur des taux

Maturité

Date d'évaluation

Scénarios de taux produisants l'exposition quantile

25.00%-30.00%

20.00%-25.00%

15.00%-20.00%

10.00%-15.00%

5.00%-10.00%

0.00%-5.00%

Swap USD LIBOR 6M 10Y OTM

Profile de la CVAR d'un swap USD/LIB 6M maturité 10Y

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

30/01/07 30/01/08 30/01/09 30/01/10 30/01/11 30/01/12 30/01/13 30/01/14 30/01/15 30/01/16 30/01/17 Date d'évaluation du risque

Montant de l'exposition

quantile 99% de l'exposition Exposition moyenne

Cross Currency Swap

Profil de la CVAR d'un Cross Currency Swap USD/EUR 3M maturité 10Y

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

140.00%

30 /0 1/ 07 30 /0 1/ 08

30 /0 1/ 09 30 /0 1/ 10

30 /0 1/ 11 30 /0 1/ 12

30 /0 1/ 13 30 /0 1/ 14

30 /0 1/ 15 30 /0 1/ 16

30 /0 1/ 17 Date d'évaluation du risque

M o n ta n t d e l 'e x p o s it io n

quantile 99% de l'exposition

Exposition moyenne

Cadre juridique et réduction du risque

 Appels de marge : un accord contractuel en vertu duquel une première  contrepartie fournit une sûreté à une deuxième contrepartie lorsqu’une  exposition de la deuxième contrepartie envers la première dépasse un  certain montant (seuil de marge) et avec une constatation périodique  (période de marge en risque).

 Transactions OTC traitées sous appels de marge :

55%

31/12/04

30%

31/12/02

 Contrat de collateralisation : système d’appels de marge (Credit Support  Annex, CSA­ISDA)

 Le montant de la garantie évolue avec la valeur de liquidation du portefeuille

 Un calcul périodique de cette valeur permet d’ajuster les dépôts en collatéral via les  appels de marge.

• Fréquence d’appels de marge (Remargin period)

• Franchise (threshold)

• Montant minimum de transfert(Minimum transfert amount)

• Délai de liquidation(grace period)

Cadre juridique et réduction du risque

Cadre juridique et réduction du risque

 Contrat cadre ISDA : mécanisme de résiliation et de compensation (close­

out netting)

 Droit de résilier(close­out) l’ensemble des opérations régies par le contrat cadre en cas  de défaut de la contrepartie.

 Droit de compenser les dettes et créances réciproques et d’établir un solde net de  résiliation à recevoir ou à payer (netting).

 Permet de réduire les exigences en fonds propres.

 Permet une réduction de notre exposition au risque et permet une consommation  moindre des lignes de crédit.

 Clauses de résiliation anticipée

 Clauses de défaut (résiliation de toutes les opérations)

 Clauses de circonstances nouvelles (résiliation des opérations affectées)

 Clauses conditionnelles (ownership, downgrading, break clause …)

Suivi du risque de remplacement

 Obtention d’une autorisation est obligatoire avant la conclusion d’une  opération de marché avec une contrepartie externe

 Les limites représentent une limite maximale de risques de contrepartie  autorisée sur groupe

 Elles sont proposées au département des risques par le secteur de suivi du 

client

Suivi du risque de remplacement

 Son objectif est de contrôler le respect des règles en vigueur par les opérateurs  Front Office.

 En règle générale, l’exposition globale ne doit pas dépasser la limite globale.

 Si Exposition globale>Limite globale, il y a dépassement.

 Le dépassement peut être « ACTIF » ou « PASSIF »        

   ­ Dépassement « PASSIF     »: il est dû à l’évolution des conditions de marché sans  nouvelle opération.

   ­ Dépassement « ACTIF » :       résulte de la conclusion d’une nouvelle opération.

Plan

I. Introduction

II. Le pilotage opérationnel des activités de la banque 1. 1. Le capital économique v.s réglementaire Le capital économique v.s réglementaire

2. 2. Bâle I/II Bâle I/II

III. Le risque de remplacement et mesure de l’exposition 1. Principes généraux

2. Exemples de calculs d’exposition

3. Cadre juridique et réduction des risques IV. Analyse de la mesure fractile

V. Calibration d’un modèle de taux

VI. Les sujets de recherche

La mesure de risque fractile

 Le risque fractile d’un portefeuille pour le niveau de confiance α est défini  par la formule suivante :  

 On note N le nombre de scénarios de simulation, et MtF(θ) la valeur  calculée du mark­to­future pour le i­ème scénario à la date θ . 

( )

{ ^{θ α} }

α θ = V P MtF < V _t =

CVaR ( ) inf ( ) F

La mesure de risque fractile

 Fractile empirique  :

( ) _{{ }}

[ ]

  

 





 



∉ ∈

=

+

∈ MtF t N IN

IN t N

MtF t

MtF f

( ) α N

( N N

i i ^α α α

α )

) ( )

(

1 ,...,

2

,

1

La mesure de risque fractile

 L­estimateur du fractile proposé par Harrel et Davis

( ) _{{ }}

[ ^{( )} ] ^{( )}

1 ,...,

2 ,

1 a MtF t

t MtF

HD _i

N

i

N N i

i i ∑

∈ = = ⋅

α

( ^{N N} ) ^I ( ^{N N} )

I

a _i ^N = _{i / N} α + 1 , ( 1 − α ) − _{( i − 1 ) / N} α + 1 , ( 1 − α )

∫

∫ ^{− − − = − − −}

= ^{p q} _u ^u x ^p x ^q dx

q q p

p I

dx x

x q

p

0

) 1 ( )

1 ( 1

0

) 1 ( )

1

( ( 1 )

) , ( ) 1

, ( et

) 1

( )

,

( β

β

La mesure de risque fractile

 Intervalle de confiance :  

 Soit       la suite classée en ordre croissant de l’échantillon résultant de N  tirages indépendants identiquement distribués  de la variable aléatoire X. On note q

  le fractile d’ordre α de la distribution de X. 

 Pour tout entier r, s tels que       et       

( ) X

∈1

( ) ( ) ( )

( ^{, 1} ) ( ^{, 1} )

) 1

( )

1 ( )

1

(

1 )

( )

(

+

−

− +

−

=

−

⋅

=

 

 



 ⋅ −

−

 

 



 ⋅ −

=

<

−

<

=

≤

<

− −

=

−

=

−

=

∑ ∑

∑

s N s I r

N r I

C C

C

q X

P q

X P X

q X

P

i N i

s

r i

i N i

N i

N

s i

i N i

N i

N

r i

i N

s r

s r

α α

α α

α

α α

α α

α α

N s r < ≤

≤

1

La mesure de risque fractile

 Conséquence : Pour trouver un intervalle de confiance d’ordre ξ  sur le  fractile q

 , il suffit de trouver r et s tels que 

 L’intervalle de confiance est alors donné par 

( ) _α ( ) ^ξ

α r , N − r + 1 − I s , N − s + 1 ≥ I

[ X , r X s ]

La mesure de risque fractile : Intervalle de  confiance

Nombre de scénarios 500 1000 3000 10000 30000 100000 300000 1000000 Fractile empirique (indice) 495 990 2970 9900 29700 99000 297000 990000 491 984 2959 9881 29666 98938 296893 989805 500 997 2981 9920 29734 99062 297107 990196 98.20% 98.40% 98.63% 98.81% 98.89% 98.94% 98.96% 98.98%

100.00% 99.70% 99.37% 99.20% 99.11% 99.06% 99.04% 99.02%

"Majorant à 95%" du fractile (indice) 499 996 2980 9917 29729 99052 297090 990164

"Majorant à 95%" du fractile

(indice/nombre de scénarios) 99.80% 99.60% 99.33% 99.17% 99.10% 99.05% 99.03% 99.02%

99%

Niveau de fractile

Bornes de l'intervalle de confiance à 95%

sur le fractile (indice)

Bornes de l'intervalle de confiance à 95%

sur le fractile (indice/nombre de

Intervalle de confiance

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

950 960 970 980 990 1000

Index

P ro b a b ili té 95%

97.50%

99%

Variabilité de l’estimation : impact du nombre de  scénarios sur la précision

Risque fractile à 99%

900 1400 1900 2400 2900 3400 3900 4400 4900 5400

10 100 1000 10000 100000

Nombre de scénarios

Fractile

Empirique (99%)

Estimateur HD (99%)

Borne inf de l'intervalle de confiance (99%)

Borne sup de

l'intervalle

de confiance

(99%)

Variabilité de l’estimation : impact du nombre de  scénarios sur la précision

Largeur relative de l'intervalle de confiance à 95%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

10 100 1000 10000 100000

Nombre de scénarios

Fractile à 95%

Fractile à 97.5%

Fractile à 99%

Plan

I. Introduction

II. Le pilotage opérationnel des activités de la banque 1. 1. Le capital économique v.s réglementaire Le capital économique v.s réglementaire

2. 2. Bâle I/II Bâle I/II

III. Le risque de remplacement et mesure de l’exposition 1. Principes généraux

2. Exemples de calculs d’exposition

3. Cadre juridique et réduction des risques

IV. Analyse de la mesure fractile

V. Calibration d’un modèle de taux

VI. Les sujets de recherche

Schéma générique de production des indicateurs  de risques

Module de Diffusion des

sous-jacents

Module de Pricing des instruments

Mark-to-Future

Mesures de

risque

Calibration : plateforme de prototypage

Matrix, Markit, Bloomberg …

Analyse statistique

Modèles de processus

Calibration Diffusion des

modèles

ACP,QQ plots, Test d’homoscédasticité, 

Modèles gaussiens, GARCH, à sauts …

Algorithmes MV, EM … MC, Quasi MC … 

SI

Sous-jacents risqués

Backtesting

Un modèle de Taux d’intérêt

 Objectif :

 parvenir à étudier la structure par terme des taux d’ intérêt en observant les    corrélations sur des données historiques de taux swap et déposit . 

 En déduire une loi jointe. 

 Générer des scénarios de structure par terme des taux dans le futur.

 Choix des variables :  logarithme des taux swap

 Analyse factorielle :

 facteurs obtenus en effectuant une ACP sur la matrice donnant l’évolution journalière  du logarithme des taux.

 En général, 3 facteurs suffisent à expliquer la variance globale

Notre modèle de taux d’intérêt

.

 soit       le taux swap de maturité      à la date 

 On pose 

 On considère alors le vecteur 

 Soit 

) (t

R _i T _i t

)) ( log(

)

( t R t

y _i = _i

 

 





 

 





=

) (

) (

) ( )

(

9 2 1

t y

t y

t y t

Y

∑ =

∞ =

m j

j i

i y t

Y m

..

1

) 1 (

) )

( (

) )

( 1 (

) cov(

1 ,

,

∞

=

∞ −

−

=

= ∑ ^{m j k j}

k

i k

i j

i j

i y t y y t y

Y m M

Un modèle de Taux d’intérêt

Décomposition en Facteurs

 On décompose le vecteur des log Return dans la base ortho normale des  facteurs:

Les       étant les axes principaux de l’Analyse en Composantes Principales  (vecteurs propres de M)

          On a :

  On effectue cette projection uniquement sur les trois premiers axes  principaux.

∑ =

∞ +

=

9 ..

1

) ( )

(

k

k j

k

j Y x t F

t Y

F k

k t j

j

k t Y t Y F

x ( ) = ( ( ) − ^∞ )

 L’Exemple du taux Deposit / swap EURO

 Historique du taux

Décomposition en Facteurs

 Matrice de variance covariance du logarithme du taux

 Les trois premiers axes principaux

Interprétation des axes principaux

 Le premier axe principal correspond à un mouvement en niveau de la  courbe des taux. Le poids des maturités courtes est plus fortes dans le 

facteur parce que les maturités courtes ont des volatilités plus importantes.

 Le deuxième axe décrit les mouvements de pente de la courbe des taux. Cet  axe oppose les taux de maturité inférieur à 1 an aux taux de maturité 

supérieurs à 1 an.

 Le troisième axe correspond à un mouvement de courbure de la courbe des 

taux (battements). Cet axe oppose les taux de maturités intermédiaires aux 

taux de maturités très court et très long.

Dynamique des facteurs

 On s’interroge à ce stade sur la dynamique de      

 Le graphe ci­après nous donne l’évolution des       dans le temps.   

3 , 2 , 1 ),

( t k = x _k

)

(t

x

Modélisation de la dynamique des facteurs

 Modèle d’évolution : processus de retour à la moyenne.

 Le modèle sera valide s’il réussit à reproduire l’allure des facteurs dans un  intervalle de confiance qu’on l’on spécifiera.

 Le modèle  adopté est le suivant:

) ( ))

( (

)

( t a b x t dt dW t

dx _i = _{i i} − _i + σ _{i i}

Régression sur les facteurs

 SAS nous fournit aussi les facteurs c’est­à­dire les processus ramenés dans la base  des composantes principales.

 D’après le modèle:

 Ce qui nous donne comme solution exacte:

) ( ))

( (

)

( t a b x t dt dW t

dx _i = _{i i} − _i + σ _{i i}

σ ε

) 1

2 ( ) ²

1 ( )

( )

( ^{a t a t} e ^{2 a t}

e a b

e t x t

t

x + ∆ = ^{− ∆} + − ^{− ∆} + − ^{− ∆}

 En régressant donc      sur      on  peut donc récupérer par estimation  par les moindres carrés ordinaires les paramètres du modèle.

 La régression s’écrit alors:

 On a alors 

) (t X )

( t t

X + ∆

) ( )

( )

( t t A BX t t

X + ∆ = + + ωη

) 1 ln(

t B a = − ∆

B b A

= −

1 1 ²

² 2

B a

= − ω σ

Régression sur les facteurs

Calculs des paramètres

Vérification des hypothèses des MCO.

 On vérifie cependant si les hypothèses de la régression par les MCO sont vérifiés  en l’occurrence l’Homoscédasticité des résidus, i.e en outre l’indépendance entre  les résidus et les variables explicatives et l’indépendance des résidus.

 Le test d’indépendance entre les variables explicatives et les résidus est accepté. 

On est donc bien dans le cadre de l’application des MCO. Toutefois on constate  que les résidus ne sont ni indépendants, ni gaussiens. Il suffit juste d’observer les  Kurtosis des résidus pour s’en apercevoir ou observer les résultats des tests 

d’adéquation de Kolmogorov Smirnov.

 La kurtosis au sens où l’entend SAS vaut:

²)² 3 (

) ( ⁴

−

= E X

X

K E

Statistiques sur les résidus de la régression

3.90608971 -0.05715

0.031789 0

1686

K u rto s is s k ew n e s s

E c a rt-typ e m o ye n n e

N

A xe3

3.00804337 0.14516

0.067066 0

1686

K u rto s is s k ew n e s s

E c a rt-typ e m o ye n n e

N

A xe2

1.92253328 0.5 62897

0.216706 0

1686

K u rto s is s k ew n e s s

E c a rt-typ e m o ye n n e

N

A x e 1

M o m e n ts d e s ré s id u s

3.90608971 -0.05715

0.031789 0

1686

K u rto s is s k ew n e s s

E c a rt-typ e m o ye n n e

N

A xe3

3.00804337 0.14516

0.067066 0

1686

K u rto s is s k ew n e s s

E c a rt-typ e m o ye n n e

N

A xe2

1.92253328 0.5 62897

0.216706 0

1686

K u rto s is s k ew n e s s

E c a rt-typ e m o ye n n e

N

A x e 1

M o m e n ts d e s ré s id u s

Normalité des résidus

Construction des intervalles de confiances sur le  taux

 L’on connaît parfaitement la loi du facteur on peut donc à chaque date t calculer  le fractile à 99% qui lui est associée.

 En résumé:

        suit une loi normale de variance 

i i

i i

i t y x t F x t F x t F

y ( ) = ^∞ + ₁ ( ) _{1 ,} + ₂ ( ) _{2 ,} + ₃ ( ) _{3 ,} ) ( ))

( (

)

( t a b x t dt dW t

dx _i = _{i i} − _i + σ _{i i}

) 1

2 ( ) ²

²(

i i i

e

t = σ a −

σ

)² )

( (

)² )

( (

)² )

(

( σ ₁ t F _{1 , i} + σ ₂ t F _{2 , i} + σ ₃ t F _{3 , i} )

(t

y _i

Intervalle de confiance sur les facteurs

Intervalle de confiance sur les facteurs

Intervalle de confiance sur les facteurs

construction des intervalles de confiance sur le 

taux 2 ans

construction des intervalles de confiance sur le 

taux 15 ans

Evolution des volatilités court­terme théoriques

 On peut représenter l’évolution des volatilités court terme en fonction des 

maturités.

Conclusion

 L’hypothèse d’une volatilité constante dans le modèle décrivant la 

dynamique des facteurs ne nous permet pas d’aboutir à des intervalles de  confiance pertinents. Un modèle à un facteur (une seule source 

d’incertitude) est insuffisant pour décrire et mettre en relief les scénarios  extrême. Il faut aussi modéliser la volatilité.

 De nombreuses études s’y sont pencher: GARCH, modèles SABR, etc..