risques – un (rapide) aperçu

(1)

Dérivés actions:

risques – un (rapide) aperçu

Lorenzo Bergomi

Equity Derivatives Quantitative Research Société Générale

lorenzo.bergomi@sgcib.com

+33 1 42 13 32 95

(2)

Introduction - le Dow Jones 1920-2006 (1)

Dow Jones Industrial Average

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

1/5/1920 1/5/1940 1/5/1960 1/5/1980 1/5/2000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lin Log

(3)

Introduction - le Dow Jones 1920-2006 (2)

Densité cumulée des returns

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-20 -15 -10 -5 0

x

LOG[ P(return/vol < x) ]

DJ IA

Student mu = 3 Gaussienne

( )

2 1 2

1 2 1

µ

µ x x

ρ ₊



 



 + −

∝

(4)

Risques des produits dérivés (1 – le portage)

• Un petit exercice de comptabilité: P&L (profit & loss) entre t=0 et la maturité de l’option – à taux nuls pour simplifier:

³

³On peut réécrire le P&L total comme une somme de petits P&Ls journaliers: on sait dire si l’on perd/gagne de l’argent sans attendre la maturité.

³Il suffit de s’intéresser au P&L élémentaire sur un intervalle [t, t+δt]

En intégrant l’effet des taux:

[ ( ) ] ( )

( ) ( )

[ ] ( )

( ) ( ) ( )

∑ ∑

∑



 



 − − −

−

=

− +

−

=

−

∆ +

−

=

+ +

+

+ +

+

i

i i

i i i

i

i i

i

i i i

i

i i i

i T

S dS S

S dP t P S

t P

S dS S

S dP t P S

t P

S S S

L P

1 1

1

1 1

1

, ,

&

Prime Payoff

( ) ( )( )

[

^P ^t ^δ^t ^S ^δ^S ^P ^t ^S ^r^δ^t

] (

^δ^S ^rS^δ^t

)

L

P& = − + , + + , 1+ + ∆ −

(5)

Risques des produits dérivés (1 – le portage)

• Un petit développement limité :

- Risque sur le sous-jacent - ordre dominant : Gamma - Est-ce un gros risque ?

- Imaginons que le prix P est calculé avec le modèle Back-Scholes avec σ

P

- Stdev typique de la somme de ces P&Ls sur la durée de vie d’une option avec un hedge en delta journalier ? Dans Black-Scholes?

Dans la réalité ?

- Exemple d’un Call 1 an, vol = 20%

( ) ( )( )

[

⁻ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺

]

⁺ ^∆

(

⁻

)

⁼ ⁻_^ ⁻ ⁺ ^∆_^ ⁻ ⁺ ^L

= ²₂ ²

2 1 1

, ,

& S

dS P t d

rS dt rP

t dP rS S t

r S t P S S t t P L

P δ δ δ δ δ δ δ

2 2 2 2

2 dS

P S d dS

rSdP dt rP

dP ₌ ₋σ_P







 − +











  −



 



− 

= t

S S S dS

P L d

P δ σ_P2δ

2 2

2

& 1

2 2 2

dS P S d

= Γ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-6% -4% -2% 0% 2% 4% 6%

t δ

σ σ δt

(6)

Risques des produits dérivés (2 – le mark-to-market)

• La fonction de pricing fait intervenir d’autres paramètres :

• Sensibilités aux paramètres ?

• En règle générale, pour un payoff sur S

• Maturités longues : sensibilité par rapport aux paramètres de la dynamique

• Maturités courtes : sensibilité par rapport aux conditions initiales des sous-jacents

( ) ( )

[ ]

− +^L



 



 + +

−

=

∆ +

− +

+ +

− ²₂ ²

2 , 1

, , , ,

, ,

, δS

dS P δ d

d r dP dr δ δσ dP σ d t dP dt δ S dP

r δ S σ t δ P

δr δσ r S σ

S δ δt t

P div

div div div

div

Call K=100 Maturité = 1 an

-0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

60 70 80 90 100 110 120 130 140

Sensi vol: 1%

Sensi taux: 0.5% de variation Gamma: variation relative de 1%

Sensi taux de dividende: 0.5% de variation Call K=100 Maturité = 1 semaine

-0.03 -0.01 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15

60 70 80 90 100 110 120 130 140

Sensi vol: 1%

Sensi taux: 0.5% de variation Gamma: variation relative de 1%

Sensi taux de dividende: 0.5% de variation

(7)

Risques des produits dérivés (3 – le mark-to-market)

• Comment calibre-t-on les paramètres de pricing? Doit-on vraiment calibrer ?

• A priori non: pricing avec coût de couverture. On couvre le risque sur un paramètre pen traitant un instrument Ode telle sorte à annuler ce risque :

Le prix donné au client pour l’option P est ajusté pour tenir compte du prix de marché de l’instrument de couverture

• Alors quel avantage de la calibration ?

•

Nous assure que le modèle price bien tous les instruments de couverture: aucun coût supplémentaire n’est encouru au moment où l’on se couvre.

³ essentiel de calibrer le modèle sur un choix pertinent d’ instruments

• Autres raisons :

Standardisation du pricing

Prix « en ligne avec la concurrence » Bénéfice psychologique

•

Quid des paramètres non couvrables ?

dp λdO dp

dP =

( ) ( ( ) ( ) )

(

Market

)

Market

Prix

p p P

p O p

O λ p P

=

≈

− +

= ˆ ˆ

(8)

Risques des produits dérivés (4 – le mark-to-market)

• Paramètres typiques pour les dérivés actions

• Volatilités

• Dividendes

• Taux

• Corrélations

• Volatilités des taux de change / corrélation avec les sous-jacents action

• Volatilité des taux / corrélations avec les sous-jacents action

• Volatilité/smile forward

• Volatilité de la volatilité

• …

• Indépendamment du modèle de pricing utilisé, il faut (1) caractériser et (2) mesurer les risques sur ces paramètres

• Pertinence de : risque de modèle

(

^t^,^S^, ^σ^, ^r^, ^div, ^....

)

⇒ P

(

^t^,^S^, ^σ^, ^r^, ^div, ^....

)

P

(9)

Volatilités (1)

Exemple de l’Eurostoxx 50 – on a tous les jours une matrice complète (K, T) de volatilités implicites

Vols implis au 8 /1 /2008 Historique des volatilités ATM 1 mois (bleu) et 5 ans (rouge)

Historique de la différence des vols implicites 3 mois K= 95% et K = 105%

- Comment décrire de façon économique la variation journalière de la nappe de vols implicites ?

2008 2007

2006 2005

2004 2003

2002 60

55 50 45 40 35 30 25 20 15 10

31-Mar-14 2-Apr-12 5-Apr-10 7-Apr-08

50 80 90 100 105 115 135 165 200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Smile 3 mois K = 95 - K= 105

0 1 2 3 4 5 6 7

2/5/2001 2/5/2002 2/5/2003 2/5/2004 2/4/2005 2/4/2006 2/4/2007 2/4/2008

(10)

Volatilités (2) – mesure des risques

• Solution 1:

translater uniformément les volatilités implicites

Est-ce une bonne idée? Modes propres de déformation des surfaces de volatilité implicite les plus « importants ».

Critère : fraction de la variance des variations de volatilité implicites expliquée :

Translation 90 – 95%

Torsion en maturité 2 – 5 % Torsion en strike 1 – 2 %

•Pb: un book d’options est en général structuré de façon telle que - exemple d’un Call Spread 90/110 3 mois

-sensibilité à une translation des vols implis: on ne voit pas de risque - & sensibilité à un changement de pente du smile autour du strike 100%

Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une translation des volatilités

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

60 70 80 90 100 110 120 130 140

Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une pentification du smile

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

( )

∑

=

k

k t k t

j i ij

i i

i

V ω T

VMV P&L

δ

δσ δσ σ M

d V dP

V δσ P&L

δ

2 2

0V ≈ 0

tT

90 100 110

(11)

Dividendes (1)

• Au moment où un dividende est versé

- l’action baisse exactement du montant du dividende - le prix de l’option est inchangé :

• Les dividendes prochains sont connus avec une bonne précision

• Ceux versés plus tard dans le futur sont estimés

Sur les indices: div swaps

- Risque sur leur montant

- Risque sur le modèle de dividendes Div. en cash

Div. en yield Autres …

(

^T ^S

)

^P

(

^T

( )

^S ^D

( )

^S

)

P

S D S S_T _T

−

=

−

=

+

−

− +

, ,

( ) ( )

^S ^µ^S

D

D S D

=

50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00

Jan-02 Apr-02 Jun-02 Sep-02 Dec-02 Mar-03 Jun-03 Sep-03 Dec-03 Mar-04 Jun-04 Sep-04 Dec-04 Mar-05 Jun-05 Sep-05

Y2002 Y2003 Y2004 Y2005 Y2006 Y2007 Y2008 Y2009 Y2010 Y2011 Y2012 Y2013

Y2014 Y2015

(12)

Dividendes (2)

•

Vols implis des vanilles dépendent du modèle de dividende utilisé ³ risque de modèle

•

Un cas intéressant: le Call sur max

- Bien couvert en Vega par Calls vanille de même maturité - Pas d’impact des divs proches de la maturité

- Faible sensibilité intrinsèque au modèle de dividende

- Forte sensibilité au modèle de dividende

Vols implis vanille

15%

20%

25%

50 100 150 200

Yield Cash

− +

= ( max )

Payoff S

_τ

K

τ

(13)

La saga récente des produits multi sous-jacents (1) 1997 - 2006

Produits multi sous-jacents de distribution à capital garanti Everest 1997

10 ans / 12 actions ³

Altiplano

10 ans / 12 actions Si au cours des 5 dernières années, aucune action < 60% de sa valeur intiale

³ 300%

sinon ³

Kilimanjaro

6 ans / 12 actions Coupon annuel de 6% tant qu’aucune action du basket < 60% de sa valeur initiale;

les actions qui traversent la barrière sont successivement éliminées du basket A maturité ³100%

Atlas

6 ans / 16 actions Non garanti

A maturité on enlève les actions ayant connu les 3 meilleures et les 3 pires performances ³105% du basket equipondéré des 10 restantes





 +  ^T_j^j

S S

0

min

% 100

i

+











 −

+

∑

j j j T

S S

N1 1

% 100

0

(14)

La saga récente des produits multi sous-jacents (2) 1997 - 2005

Emeraude 2004

10 ans / 20 actions Chaque année, l’action dont la performance depuis t = 0est la plus élevée est figée à son niveau, avec un minimum de 200% de son niveau initial.

A maturité ³100% + la performance maximale par rapport à t = 0 du panier equipondéré, floorée à 0.

Produits à sortie anticipée – à capital garanti

Oxygène 2003

6 ans / 3 indices A la fin de la 3ème année, sortie possible si la moyenne trimestrielle de la performance du basket depuis t = 0 dépasse 125% ³125%

Si on reste dans le produit, à maturité :

³Min( 125% , 100% + moyenne trim. de la perf. depuis t=0, sur 6 ans)

Titanium 2003

8 ans / 16 actions Coupon annuel

Dès que la somme des coupons versés dépasse 30%, on reçoit chaque année un coupon supplémentaire de 10%

… Et tous les produits hybrides Equity/Forex/Fixed Income/Commodity imaginables























 −

∑

−

0 ,

% 16 , 1 1 min

max

j 1

j τ

S S_i

S N

(15)

Corrélations (1)

•

Une écrasante majorité des dérivés actions sont multi sous-jacents

- Leur prix fait intervenir des hypothèses de corrélation. Ex : cadre Black-Scholes

- Comment mesure-t-on des corrélations ?

- Les corrélations sont-elles stables dans le temps ? Exemple d’un basket mondial

- Que se passe-t-il lorsque corrélation implicite et réalisée diffèrent ?

( )

^ˆ ^ˆ ^ˆ

(

^, ^ˆ ^, ^ˆ ^, ^K

)

2

1 ²

ij i i j

ij i

j i j i ij

i i

i rP P S

dS dS

P S d dS S

S dP q dt r

dP +

∑

− +

∑

ρ σσ = σ ρ

∑

_^









 −

−

=

ij

j i ij j

i j i j i j

i ρ σ σ δt

S S

δS δS dS dS

P S d

S L

P ˆ ˆ ˆ

2

& 1

2

(16)

Corrélations (2)

• Comment se couvrir sur la corrélation réalisée ?

- le correlation swap

- Stabilité de la couverture en corrélation?

• Comment mesurer le risque de corrélation ?

- Comment « déformer » une matrice de corrélation ? Ex.

• Risque de modèle sur la corrélation ?

( )

^^





 −

= −

∑

≠

ρ N ρ

N i j

ij ˆ

1 Payoff 1

( ) ( )

^^





= 

= ₋

∑

2 1

2 ln _τ

i τ τ i

i

τ τ j τ

τ i

τ τ j τ i

ij S

x S x

x x x ρ

Sensibilité à la corrélation - pour 1pt de correl

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

Call K = 100 Call K = 150 Everest

ρij

d dP

( ) ¹ (

^Histo

)

Histo ij

ij

ρ

λ d d ρ λ

ρ λ

ρ = + − ˆ = − 1 −

ˆ 1

(17)

Risque de modèle (1)

• Un modèle rustique de pricing d’option

- Modèle simple de « dynamique » du sous-jacent : sous-jacent gelé Equivalent à pricer en BS à vol nulle

• Un modèle un peu moins rustique : Black Scholes

( ) ( )

[ ]

( )

²

2 2 2

2 1 2 1

2 , 1

,

&

δS K δ S

δS dS

P d

δS dS

P t d

dt δ S dP

δ S

t P δS

S δt t P L

P

−

=

−

=

−

=

∆ +

− + +

−

=

(

−

)

⁺

=

= P S K

dt dP 0

K

60 70 80 90 100 110 120

0 50 100 150 200 250

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 S

P&L

2 2 2 2

2 ˆ

dS P S d σ dt

dP = −







 −

−

= t

S S dS

P S d L

P δ σ2δ

2 2 2 2

2 ˆ

2

& 1

60 70 80 90 100 110 120

0 50 100 150 200 250

-5 0 5 S

P&L

(18)

Risque de modèle (2)

• A nouveau de la comptabilité - avec quelques paramètres supplémentaires – pas de taux pour simplifier

En utilisant une fonction de pricingPissue du modèle Black-Scholes : le P&L se réécrit comme :

( ) ( )

[ ]

+K







 + −

−







 − −

 −







 +

−

=

∆ +

− +

+ +

+

−

=

σ δ p σδ dpd

P σ d

δ S σδ dSd

P p d

δ S dSdpδ

P d

σ σ δ d

P p d

dp δ P S d

dS δ P p d

dpδ σ dP σ δ d t dP dt δ S dP

p δ S σ

t P δp

σ p δ S σ

S δ δt t P L

P

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ 2

ˆ 1 , ˆ

, ˆ , ˆ,

, ˆ ,

&

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 ˆ

dS P S d σ dt

dP = −

+K







 + −

 −







 −

 −



 



 −

 −







 +

= δpδσ

σ dpd

P σ d

δ δS σ dSd

P p d

δ δS dSdp

P σ d

σ δ d

P p d

dp δ P t d

δ S σ

δS dS

P d p S

dpδ σ dP σδ d L dP

P ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ 2

ˆ 1 ˆ 2

& ˆ

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

Termes d’ordre 1:

couvrables en delta

Gamma / Theta

Gammas Theta ??

(19)

Risque de modèle (3) – le modèle de volatilité locale

• A une nappe de volatilités implicites donnée correspond une surface de volatilité locale qui redonne les prix de marché des options vanille.

• En quoi ce modèle diffère-t-il de Black Scholes ?

• Quelle dynamique jointe du spot / des vols implis implique-t-il ? Est-elle plus/moins raisonnable ?

( ) ( )

( )

S t SdWt

rSdt dS

t T

S dK K

C K d

dK K dC q r dT qC

dC t

S

, 2 ,

2 2 2 2

σ σ

+

=

==

− +

= +

S S K

K

dK σ d dS

σ

d

⁼

≈ 2

10 12 14 16 18 20

3/1/2006 3/31/2006 4/30/2006

3500 3600 3700 3800 3900 4000

Vol impli ATM 3m Vol impli ATM 5y Eurostoxx50

Eurostoxx 50 - mat 1 an

10 15 20 25

80 90 100 110 120

Smile original Smile S = 105%

Smile S = 95%

(20)

Risque de modèle (4) – l’exemple de la digitale américaine

• Digitale americaine – paye 1€ dès que le sous-jacent passe en dessous de la barrière Maturité 1 an, limite = 80%

Dans le cadre B.S. Gamma / Vega bien couverts par la digitale Européenne double:

•

A la traversée de la limite, on revend la digitale Européenne

Risques résiduels :

- valeur du skew le jour où on traverse la limite - risque de gap

³ modèles différents impliquent dynamiques du smile différentes ³prix différents

Gamma

0 2 4 6 8 10 12 14 16

80 90 100 110 120

Euro double Americaine

Vega

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

80 90 100 110 120

Euro Double Americaine 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

80 85 90 95 100 105 110 115 120

Euro double Americaine

(21)

Risque de modèle (5) – la volatilité forward – les cliquets

• Exemple: Call ATM forward paye à t= T

₂

• Dans le modèle B.S. la fonction de pricing s’écrit:

- fait intervenir la volatilité forward, , les taux, pas le sous-jacent - pas de delta àt=0– trader en vacances jusqu’à T₁

- dynamique des arguments de la fonction de pricing: pas pricée par le modèle ³ indice d’un sérieux risque / problème de modèle

• Dans le modèle de volatilité locale la fonction de pricing fait explicitement apparaîtreSet produit un delta non-nul àt = 0

- est-ce une meilleure solution ?

³ Le cliquet est en réalité une option sur , pas sur S: attention à ne pas se tromper de sous-jacent

!!

+

 





 



 −1

1 2

T T

S

S t T

₁

T

₂

ˆ

12

σ

ˆ

12

σ

( σ ^ˆ

12

^, r ^, ^L )

P

r σ ˆ

₁₂

,

( S ^, σ ^ˆ

1

^, σ ^ˆ

2

^, r ^, ^L )

P

_T^K _T^K

ˆ

12

σ

(22)

Risque de modèle (5) – la volatilité forward – l’exemple du Napoléon

• Napoléon

- on observe chaque année les 12 performances mensuelles de l’Eurostoxx50 - on paye en fin d’année un coupon fonction de la plus basse de ces performances

Risk Magazine: juillet 2002

• Risque de modèle:

- dynamique des vols implis forward

- dynamique jointe vols implis forward / sous-jacent

Risk Magazine: février 2004

Eurostoxx vol ATM 5y

10 15 20 25 30 35 40

01/01/02 01/01/03 01/01/04 12/31/04 12/31/05

( ⁸ ^% ^min ) ¹

1

− + =

+

=

− i

i i

S

r S r Coupon

ˆ² 0

2

ˆ

ˆ = >

Γ

dσ P d

σ

σ 0

ˆ

2

ˆ = <

Γ

dSdσ P d

σ S

(23)

Conclusion

• Risques

-Mesure macroscopique au niveau d’un book -Méthodologie de mesure d’un risque doit refléter :

- sa pertinence au regard des occurrences historiques - sa matérialité : impact sur le book

• Risque de modèle:

-Peut – souvent – être detecté même dans un modèle fruste -Questions de base :

- Quels sont les vrais sous-jacents sur lesquels porte l’option ? Leur dynamique est-elle pricée par le modèle ? - Quels sont les instruments de couverture? Leur dynamique est-elle correctement pricée par le modèle ? - Si impossibilité de se couvrir: les niveaux de portage des paramètres sont-ils raisonnables ?

- Le modèle condense-t-il des risques de nature différente en un seul paramètre ? (ex. vol-of-vol & forward skew) - Réponses à ces questions s’apprécient produit par produit

- Ne pas « subir » le modèle – choisir