Corrig´ e de l’´ epreuve d’Optique / BTSOL 2007
J.Hormi`ere (21 mai 2007)
A - Optique g´eom´etrique Etude de l’oculaire´
1. Le symbole de l’oculairep/q/r et son param`etreasont tels que : p, q, rsont premiers entre eux ;f10 =p a;e=O1O2=q a;f20 =r a.
f10 = 45 mm = 3×15 mm e= 30 mm = 2 ×15 mm f20 = 15 mm = 1 ×15 mm Le doublet a donc pour symbole 3/2/1 et pour param`etrea= 15 mm.
2. Les formules deGullstranddonnent la distance focale image et les positions des points cardinaux.
foc0 = f10f20
f10+f20−e = 45×15
45 + 15−30 = + 22,5 mm O1Hoc= e f0
f20 = 2a 22,5
a = + 45 mm
O1Foc =O1Hoc+HocFoc=O1Hoc−foc0 = 45 – 22,5 = + 22,5 mm O2Hoc0 = −e f0
f10 = 2a 22,5
3a = – 15 mm
O2Foc0 =O2Hoc0 +Hoc0 Foc0 =O2Hoc0 +foc0 = – 15 + 22,5 = + 7,5 mm Remarque
L’oculaire est un doubletn´egatif (son foyer principal objet est virtuel) ; il est de typeDollond(ouHuygens).
Etude de l’instrument´
1. F00Foc=F00O0+O0O1+O1Foc = – 320 + 305 + 22,5 = + 7,5 mm
O0 O1 F'0 O2 H'oc Foc F'oc H'oc L0 L1 L2
∆
Remarques
-F00 est confondu avecHoc0
- La distance calcul´ee est l’intervalle optique ∆ de l’instrument.
2. (a) Comme l’observateur emm´etrope n’accommode pas, l’image instrumentaleP0 qu’il re- garde est `a l’infini. En cons´equence, l’image objectiveP0 est dans le plan focal objet de l’oculaire, et l’objet, dans le plan focal objet de l’instrument.
L0 Oc
P≡F −→ P0≡Foc −→ P0 ≡ ∞
En appliquant `a l’objectif la formule de conjugaison deNewton, on obtient : F0P .F00P0=F0P .F00Foc = −f002 =⇒ F0P= −f002
F00Foc
=−3202
7,5 = – 13 653 mm P O0=P F0+F0O0 = 13 653 + 320 = 13 973 mm, soit environ 14 m.
(b) Le diam`etre d’ouverture de l’objectif est Ø0=f00 N = 320
10 = 32 mm
Dans le premier espace interm´ediaire, la pupille est le diaphragme, conjugu´e dans cet espace, vu deP0 sous l’angle le plus petit.
Or, commeL0etL1sont dans le premier milieu interm´ediaire, ils sont confondus avec leurs conjugu´es respectifs dans le premier espace interm´ediaire.
Les angles `a comparer sont : β0, tel que tanβ0= 16
327,5 = 0,0489 β1, tel que tanβ1= 6
22,5 = 0,2667
L’angle le plus petit est celui dont la tangente est la plus petite : c’est assur´ementβ0. L0 est bien diaphragme d’ouverture, et le diaphragme restant L1 – puisque L2 n’in- tervient pas – est diaphragme de champ.
(c) Dans le premier espace interm´ediaire (espace de l’image objectiveP0), le faisceau utile issu deP0 s’appuie sur la pupille interm´ediaire, c’est-`a-dire L0.
Le faisceau utile `a la limite du champ de pleine lumi`ere, de sommetP L0 s’appuie sur la pupille interm´ediaireL0 et tangente int´erieurement la lucarne interm´ediaireL1. Le rayon du champ de pleine lumi`ereRP L0 se d´eduit du sch´ema ci-apr`es.
En effet, dans les deux triangles rectangles semblablesabb0 etacc0 on peut ´ecrire : ab
bb0 = ac
cc0, soit 305
16−6 = 327,5
16−RP L0, d’o`u l’on tire : RP L0 = 5,26 mm et ØP L0= 10,52'10,5 mm
Le grandissement transversal de l’objectif est, en valeur absolue,|gy0|=
¯¯
¯¯ f00 F0P
¯¯
¯¯= 7,5 320. Il s’ensuit le diam`etre du champ de pleine lumi`ere objet :
ØP L =ØP L0
|gy0| = 10,5×320
7,5 = 448 mm, soit environ 45 cm.
O
0O
1P
0F
ocL
0L
1PL
0a b c
b' c'
16
R
PL0305 327,5
6
Le demi-champ apparent de pleine lumi`ere estω0P L, tel que : tanωP L0 = RP L0
foc0 = 5,26
22,5 =⇒ ωP L0 = 13,16˚
Le champ apparent de pleine lumi`ere a donc une valeur d’environ 26,3˚.
(d) Le cercle oculaire est le conjugu´e du diaphragme d’ouverture dans l’espace image de l’instrument.
En appliquant les formules deNewton : Foc0 CO= −foc02
FocL0
= −22,52
−327,5 = + 1,55 mm
O2CO=O2Foc0 +Foc0 CO= 7,5 + 1,55 = 9,05 mm, soit environ 9 mm.
ØCO = Ø0
¯¯
¯¯ foc0 FocL0
¯¯
¯¯= 32× 22,5
327,5 = 2,2 mm
(e) La pupille de l’œil est plus petite que le cercle oculaire : elle diaphragme artificielle- ment l’instrument.
En appliquant l’inverse du grandissement aux pupilles de l’instrument, d´ej`a explicit´e dans la question pr´ec´edente, on trouve comme nouvelle ouverture utile de l’objectif : ØPe= 327,5
22,5 ×2 = 29,11 mm (environ 29 mm).
Comme le champ moyen de l’instrument (dans le cas d’un syst`eme avec un seul dia- phragme de champ) est obtenu pour une pupille de diam`etre tendant vers z´ero, la diminution de la pupille va donner un accroissement du champ de pleine lumi`ere et une diminution du champ total.
Dans le cas de figure trait´e, la limite du champ de pleine lumi`ere est donn´ee par l’intersection, avec le plan de l’image objective, du rayon qui passe par les bords sup´erieurs de la pupille et de la lucarne.
Quand la pupille diminue, ce rayon tourne autour du bord de la lucarne interm´ediaire
b’, et le point PL0 s’´eloigne de l’axe optique. D’o`u l’accroissement du diam`etre du champ de pleine lumi`ere.
O
0O
1P
0F
ocL
0L
1PL
0b'
Pupille intermédiaire
Lucarne intermédiaire
3. L’instrument donne d’un objet `a l’infini une image objective situ´ee dans le plan focal image de l’objectif et une image instrumentale situ´ee dans le plan focal image de l’instrument.
L0 Oc
∞ −→ F00 −→ F0 FocF00.Foc0 F0=−foc02 =⇒ Foc0 F0= −foc02
FocF00 = −22,52
−7,5 = + 67,5 mm O2F0=O2Foc0 +Foc0 F0 = 7,5 + 67,5 = + 75 mm
L’image instrumentale, situ´ee apr`es le verre d’œil, est bien r´eelle.
Sa dimension peut ˆetre calcul´ee `a partir de la focale de l’instrument d’optique : f0= −f00foc0
∆ =−320×22,5
7,5 = – 960 mm y0=|f0|.θ(rad) = 960×9,3 10−3= 8,93 mm, soit environ 9 mm.
B - Optique physique
1. Construction par les surfaces d’onde.
Les rayons des cercles sont inversement proportionnels aux indices de r´efraction.
Voir construction `a la fin.
2. Le rayon ordinaire est polaris´e perpendiculairement `a l’axe du cristal.
Les deux rayons ´etant polaris´es `a angle droit, on en d´eduit la polarisation du rayon extra- ordinaire.
3. Comme le plan d’incidence est perpendiculaire `a l’axe du cristal, les r´efractions des rayons ordinaire et extraordinaire suivent la loi deDescartes-Snell(nsini=n0sini0).
Le rayon ordinaire passe en J dans un milieu plus r´efringent (n > no) : il se rapproche donc de la normale, et est d´evi´e vers le haut.
Le rayon extraordinaire, au contraire, passe dans un milieu moins r´efringent (n < ne) ; il s’´eloigne de la normale, et est d´evi´e vers le bas.
A la sortie du second prisme en` Ko et Ke, les deux rayons passent dans un milieu moins r´efringent (1< no etne) ; ils s’´eloignent des normales.
Voir construction `a la fin.
