Introduction à l astronomie de position et applications de la gravitation classique PHQ 574

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Introduction à l’astronomie de position et applications de la gravitation classique

PHQ 574

Yves Grosdidier Université de Sherbrooke Département de Physique

Hiver 2020

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Table des matières

1 Astronomie de position 1

1.1 Introduction et quelques définitions . . . 1

1.2 Problème fondamental : repérage d’un point sur une sphère . . . 1

1.3 Repérage d’un lieu à la surface de la Terre . . . 3

1.4 Les plans fondamentaux utilisés en astronomie . . . 3

1.5 Système des coordonnées horizontales locales . . . 5

1.6 Coordonnées horaires — Temps sidéral . . . 8

1.7 Système des coordonnées équatoriales célestes . . . 9

1.8 Système des coordonnées écliptiques . . . 13

1.9 Changements de systèmes de coordonnées . . . 13

1.9.1 Eléments de trigonométrie sphérique . . . 13

1.9.2 Rappels : matrices de passage en algèbre linéaire . . . 16

1.9.3 Exercice 1 : Relations trigonométriques dans les triangles sphériques 18 1.9.4 Passage des coordonnées horizontales locales aux coordonnées horaires . . . 22

1.9.5 Passage des coordonnées horaires aux coordonnées équatoriales célestes . . . 23

1.9.6 Exercice 2 : Passage des coordonnées horizontales aux coor- données horaires . . . 26

1.9.7 Exercice 3 : Passage supérieur des astres . . . 30

1.9.8 Exercice 4 : Durée du crépuscule astronomique sous différentes latitudes . . . 31

1.10 Précession des équinoxes — Nutation . . . 32

1.11 Le temps en astronomie de position . . . 33

1.11.1 Jours sidéral, stellaire et solaire . . . 33

1.11.2 Temps solaire vrai, moyen, civil et l’équation du temps . . . . 35

1.11.3 Relation entre le temps civil et le temps sidéral . . . 40 3

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1.11.4 Exercice 5 : Exposition énergétique de la Terre . . . 40

1.11.5 Années sidérale, tropique et civile . . . 45

1.12 Lever et coucher des astres — Durée du jour . . . 46

1.12.1 Exercice 6 : Lever et coucher d’une étoile . . . 47

1.12.2 Exercice 7 : Vénus vue de Sherbrooke à 17h de temps civil local le 16/01/2009 . . . 49

1.13 Notions sur les calendriers . . . 50

1.14 Estimation de TSG à 0h TU . . . 51

1.15 Problèmes astrométriques . . . 52

1.15.1 Mesure méridienne . . . 52

1.15.2 Réfraction atmosphérique . . . 52

1.15.3 Exercice 8 : Impact de la réfraction sur le lever et le coucher du Soleil . . . 56

1.15.4 Aberrations . . . 59

Aberration annuelle . . . 64

Aberration diurne . . . 64

1.15.5 Mouvement propre . . . 65

1.15.6 Exercice 9 : Etude du mouvement propre de Sirius . . . 67

1.15.7 Mouvement parallactique . . . 69

2 Applications de la gravitation classique 73 2.1 Problème de Kepler . . . 73

2.1.1 Un peu d’histoire . . . 73

2.1.2 Loi de la gravitation universelle . . . 74

2.1.3 Exercice 10 : Cohésion d’un satellite liquide et limite de Roche 76 2.2 Mouvement d’un point soumis à une force centrale . . . 78

2.3 Formule de Binet . . . 79

2.4 Réduction du problème à deux corps . . . 80

2.5 Loi des aires dans différents référentiels . . . 83

2.6 Equation de Kepler . . . 86

2.6.1 Le cas elliptique : présentation classique . . . 86

2.6.2 Equation de Kepler : le cas général . . . 91

2.6.3 Exercice 11 : Résolution itérative de l’équation de Kepler . . . 96

2.7 Les saisons : un modèle simple . . . 97

2.7.1 Exercice 12 : Durée des saisons pour l’année 2002 et équation de Kepler . . . 99

2.7.2 Exercice 13 : Combien de jours par année peut-on bronzer ef- ficacement au mont Mégantic ? . . . 103

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TABLE DES MATIÈRES 5

2.7.3 Exercice 14 : Durée du jour au pôle nord . . . 107

2.8 Equation du temps . . . 108

2.9 Etoiles doubles . . . 112

2.9.1 La physique des couples visuels . . . 112

2.9.2 Les binaires visuelles . . . 113

Du XVIIIème à la fin du XXème siècle . . . 113

2.9.3 Passage de l’orbite vraie à l’orbite apparente . . . 117

2.9.4 Les binaires astrométriques . . . 119

2.9.5 Les binaires spectroscopiques . . . 121

2.9.6 Les binaires à éclipses . . . 124

2.9.7 Exercice 15 : Etude du système binaire visuel Sirius . . . 126

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(7)

Chapitre 1

Astronomie de position

1.1 Introduction et quelques définitions

L’astronomie de position, ou astronomie fondamentale, a pour but l’étude de la position précise des astres sur la sphère céleste. L’astrométrie, est l’art de rapporter, par des mesures d’angles, les directions des astres à certains repères convenablement choisis.

L’astronomie de position repose sur la définition de systèmes de référence et d’échelles de temps permettant, par la suite, d’interpréter les mouvements des astres dans le cadre des lois de la mécanique et de substituer ainsi une interprétation dynamique à la seule description cinématique des mouvements (obtenus par des ob- servations astrométriques).

L’observation directe des étoiles ne conduit pas à l’appréciation de leur distance : on les estime donc toutes situées très loin de nous, et on imagine qu’elles sont placées sur une sphère de rayon très grand dont l’observateur occupe le centre : c’est la sphère céleste, de rayon supposé égal à l’unité, et centrée sur l’oeil de l’observateur. Dans tout ce qui suit, la sphère céleste sera toujours vue de l’extérieur.

1.2 Problème fondamental : repérage d’un point sur une sphère

Pour repérer un point M sur une sphère (voir figure 1.1), on choisit un plan diamétral (P)ouplan fondamentalde référence qui coupe, sur cette sphère, ungrand cercle (C), dit fondamental. On remarquera que par deux points de la surface d’une sphère il passe un grand cercle et un seul.

1

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0000 1111^M

x

m P

θ

ψ

P’

(P)

(C)

Pôle supérieur

Pôle inférieur

Méridien origine

Méridien du point M

Grand cercle fondamental Plan fondamental

Fig. 1.1 – Repérage d’un point M sur une sphère.

Les extrémités P et P’ du diamètre perpendiculaire au plan fondamental sont appelées pôles associés au grand cercle fondamental. Le demi-grand cercle PMP’ est appelé méridien de M. Il coupe le grand cercle fondamental au point m. On convient d’un méridien origine PxP’ et d’un sens de mesure sur le cercle fondamental (voir flèche sur la figure 1.1).

On peut alors associer au point M deux arcs pour le repérer sur la sphère : ψ =xm^⌢ et θ=mM^⌢ .

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1.3. REPÉRAGE D’UN LIEU À LA SURFACE DE LA TERRE 3

1.3 Repérage d’un lieu à la surface de la Terre

Soit la sphère terrestre (voir figure 1.2) : le plan fondamental est l’équateur terrestre, plan perpendiculaire à l’axe nord-sud de rotation de la Terre et passant par son centre.

Le méridien de Greenwich¹ NGS sert de méridien origine et définit l’origine g sur le grand cercle fondamental équatorial. Sur ce grand cercle le sens direct est celui de la rotation de la Terre (la Terre tourne vers l’est).

Le méridien NMS d’un lieu M coupe l’équateur au point m. Le lieu M est repéré par les coordonnées géographiques suivantes :

– La longitude L =gm, comptée de 0 à 360^⌢ ^◦ dans le sens rétrograde (voir flèche sur la figure) ou, souvent (pour les calculs de positions des astres), de 0 à -180^◦ à l’ouest de Greenwich et de 0 à +180^◦ à l’est de Greenwich ;

– La latitude φ =mM^⌢ , comptée de 0 à +90^◦ dans l’hémisphère nord, et de 0 à -90^◦ dans l’hémisphère sud.

Par exemple les coordonnées de Montréal sontφ = 45^◦36^′ N etL= 73^◦30^′O. Pour l’observatoire du mont Mégantic on a plutôt φ = 45^◦27^′36^′′ N et L = 71^◦09^′ O. Le centre-ville de Sherbrooke correspond par contre àφ= 45^◦26^′53^′′ N etL= 71^◦52^′55^′′

O.

1.4 Les plans fondamentaux utilisés en astronomie

Le plan fondamental qui se présente le plus naturellement est l’horizon du lieu d’observation. C’est, par définition, le plan perpendiculaire au point d’observation à la direction du fil à plomb. Ce plan est évidemment différent d’un lieu à l’autre et comme c’est, en chaque point, le plan tangent au globe terrestre, il tourne avec la Terre. Les pôles associés à l’horizon sont le zénith, Z (au-dessus de l’horizon), et le nadir, n (au-dessous de l’horizon).

L’équateur est le plan perpendiculaire à l’axe nord-sud de rotation de la Terre au point d’observation. L’axe de rotation de la Terre restant en première approximation parallèle à une direction fixe, l’équateur définit sur la sphère céleste un grand cercle

1La ville de Greenwich, dont le nom se prononce “grèn’itch” et non pas “grinnwitch”, est une ville du Royaume-Uni située dans la banlieue de Londres. Ses coordonnées géographiques sont φ= 51^◦28^′44^′′ N et L= 0^◦0^′38^′′ E. Ces coordonnées correspondent au centre-ville de Greenwich.

Le méridien origine (L= 0^◦0^′0^′′) dont il est question ici passe en fait exactement par l’Observatoire Royal de Greenwich.

(10)

Grand cercle fondamental équatorial

Plan fondamental équatorial

0000 1111

00 11

M

m N

S

G

g

Equateur

Pôle nord terrestre

terrestre

Pôle sud terrestre

φ

Méridien de Greenwich

Greenwich

L

Fig.1.2 – Repérage d’un lieu M à la surface de la Terre (coordonnées géographiques).

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1.5. SYSTÈME DES COORDONNÉES HORIZONTALES LOCALES 5 invariable. L’équateur sépare la sphère céleste en un hémisphère nord et un hémis- phère sud. Les pôles associés s’appellent le pôle nord, N et le pôle sud, S.

L’écliptique est par définition le plan de l’orbite terrestre autour du Soleil. C’est également un plan fixe et le grand cercle écliptique, découpé sur la sphère céleste par le plan parallèle à l’écliptique et passant par le lieu d’observation, est un grand cercle fixe. Le grand cercle écliptique est ainsi la trajectoire apparente du Soleil sur la sphère céleste. L’écliptique sépare la sphère céleste en un hémisphère écliptique nord et un hémisphère écliptique sud. Les pôles associés s’appellent lepôle écliptique nord, K et le pôle écliptique sud, K’.

Les grands cercles de l’équateur et de l’écliptique font entre eux un angle i (aussi noté ε) constant en première approximation et égal à 23^◦ 26^′ 21,4119^′′ ou environ 23,4^◦. Ou de manière équivalente, on peut le définir par son sinus : sini ≈ 0,397776995. Ces valeurs sont celles fournies par le “International Earth Rotation and Reference Systems Service” (IERS) en date du 29 mars 2010. L’angle i est ap- pelé obliquité de l’écliptique. Les grands cercles de l’équateur et de l’écliptique se coupent en deux points γ (aussi appelé point vernal) et γ’ diamétralement opposés (voir figures 1.3 et 1.4). Le point γ se trouve actuellement dans la constellation des Poissons. Le Soleil, dans son mouvement apparent par rapport à l’observateur terrestre, passe au point vernal γ de l’hémisphère sud à l’hémisphère nord, à l’équinoxe de printemps, et au point γ’ de l’hémisphère nord à l’hémisphère sud, à l’équinoxe d’automne. Pour cette raison, le pointγ est appelé lenoeud ascendant, etγ’ lenoeud descendant.

1.5 Système des coordonnées horizontales locales

Pour définir ce système de coordonnées, nous avons pour (voir figure 1.5) : – Plan fondamental : l’horizon du lieu ;

– Pôles associés : le zénith, Z et le nadir, n ;

– Méridien origine : le méridien du lieu (c’est-à-dire, le méridien qui contient le Soleil à midi vrai local) ;

– Sens de rotation : le sens rétrograde.

Pour un astre M, les coordonnées dans ce système sont :

– L’azimut, A=sm, compté de 0 à 360^⌢ ^◦ dans le sens rétrograde;

– La hauteur, h =mM^⌢ , comptée de 0 à +90^◦ au-dessus de l’horizon, et de 0 à -90^◦ au-dessous de l’horizon. On utilise parfois la distance zénithale,ζ =ZM^⌢ =

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S N

S N S

N

S N

00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000

11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111

Sens de rotation de la Terre autour du soleil

Terre Terre

Terre

Equinoxe d’automne

Equinoxe de printemps

Solstice d’hiver

Solstice d’été

Plan de l’écliptique S

N Ecliptique

Equateur i

Direction du point vernal Soleil

Fig. 1.3 – Rotation de la Terre autour du Soleil.

(13)

1.5. SYSTÈME DES COORDONNÉES HORIZONTALES LOCALES 7

Obliquité de l’écliptique

Déplacement apparent, annuel du Soleil

γ’

0 0 1 1

Equateur .

terrestre

S (pôle sud terrestre)

axe du monde C

N (pôle nord terrestre)

Ecliptique

i

∼~ 23,5^o Soleil

Solstice d’été Solstice d’hiver

Equinoxe de printemps Equinoxe d’automne

γ

Pôle écliptique nord

Fig.1.4 – Trajectoire apparentedu Soleil sur la sphère céleste, centrée sur un observateur terrestre.

(14)

0000 1111^M

m

Méridien du point M Zénith

Z

n Nadir

Méridien du lieu

local Horizon

s Plan fondamental

Grand cercle fondamental horizontal local

horizontal local

h

A

Fig. 1.5 – Le système des coordonnées horizontales locales.

90^◦−h.

Remarque :

– Le grand cercle qui porte le méridien du lieu passe par le pôle nord ;

– Ce système de coordonnées est variable, en fonction du lieu puisque le méridien origine est le méridien du lieu, et en fonction du temps puisque le méridien origine tourne avec la Terre.

1.6 Système des coordonnées horaires et notion de temps sidéral local

Pour définir ce système de coordonnées, nous avons pour (voir figure 1.6) :

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1.7. SYSTÈME DES COORDONNÉES ÉQUATORIALES CÉLESTES 9 – Plan fondamental : l’équateur ;

– Pôles associés : les pôles nord, N et sud, S ;

– Méridien origine : le méridien du lieu (c’est-à-dire, le méridien qui contient le Soleil à midi vrai local) ;

– Sens de rotation : le sens rétrograde.

– L’angle horaire, H =sm, compté de 0 à 24 heures dans le sens^⌢ rétrograde; – La déclinaison, δ =mM^⌢ , comptée de 0 à +90^◦ au-dessus de l’équateur, et

de 0 à -90^◦ au-dessous de l’équateur. On utilise parfois la distance polaire, d=N M^⌢ = 90^◦−δ.

Remarque :

– Le grand cercle qui porte le méridien du lieu passe par le zénith Z de celui-ci ; – Du point de vue de l’invariabilité des coordonnées, ce système est mixte. Seule la déclinaison est une coordonnée invariable, parce que le plan fondamental, l’équateur, est un plan fixe. Par contre, l’angle horaire varie puisque le méridien origine, méridien du lieu, tourne avec la Terre. A cause de la rotation très uniforme de la Terre, l’angle horaire d’un astre quelconque, M, peut servir à mesurer le temps. C’est la raison pour laquelle l’angle horaire est mesuré en heures, minutes et secondes de temps.

Dans le système de coordonnées horaires relatif au lieu A, le temps sidéral est défini par l’angle horaire du point vernal, γ (voir figure 1.7) :

t=aγ=^⌢ H(γ)

1.7 Système des coordonnées équatoriales célestes

Pour définir ce système de coordonnées, nous avons pour (voir figure 1.8) : – Plan fondamental : l’équateur ;

– Pôles associés : les pôles nord, N et sud, S ; – Méridien origine : le méridien du point γ; – Sens de rotation : le sens direct.

– L’ascension droite,α=γm, compté de 0 à 24 heures dans le sens^⌢ direct; – La déclinaison, δ =mM^⌢ , comptée de 0 à +90^◦ au-dessus de l’équateur, et

de 0 à -90^◦ au-dessous de l’équateur. On utilise parfois la distance polaire, d=N M^⌢ = 90^◦−δ.

(16)

0000 1111 00

11

M

m

Méridien du point M Méridien du lieu

s

Grand cercle fondamental

Pôle sud terrestre S N Pôle nord terrestre

Equateur terrestre

équatorial équatorial Plan fondamental

Z Zénith

δ

H

Fig. 1.6 – Le système des coordonnées horaires.

(17)

1.7. SYSTÈME DES COORDONNÉES ÉQUATORIALES CÉLESTES 11

01

A

Méridien du lieu A

a Equateur terrestre γ

Point vernal

Temps sidéral

Fig. 1.7 – Temps sidéral,t, au lieu A : l’angle horaire du point γ, t=aγ.^⌢

(18)

00 11^M

m

Equateur terrestre

Méridien du point vernal

γ

α δ

Fig. 1.8 – Le système des coordonnées équatoriales célestes.

Remarque :

– Ce système est un système de coordonnées fixes ;

– Le système de coordonnées horaires a en commun avec le système des coor- données horizontales locales le méridien origine qui est le méridien du lieu, et en commun avec le système des coordonnées équatoriales célestes le cercle fondamental qui est l’équateur. Le système de coordonnées horaires joue donc un rôle intermédiaire entre le système des coordonnées horizontales locales et le système des coordonnées équatoriales célestes. Il sera utilisé dans ce sens lors de l’étude des changements de coordonnées.

(19)

1.8. SYSTÈME DES COORDONNÉES ÉCLIPTIQUES 13

1.8 Système des coordonnées écliptiques

Pour définir ce système de coordonnées, nous avons pour (voir figure 1.9) : – Plan fondamental : l’écliptique ;

– Pôles associés : le pôle écliptique nord, K et le pôle écliptique sud, K’ ; – Méridien origine : le méridien du point γ;

– Sens de rotation : le sens direct.

– La longitude écliptique,λ =γm, compté de 0 à 360^⌢ ^◦ dans le sens direct; – La latitude écliptique,β =mM^⌢ , comptée de 0 à +90^◦ vers K, et de 0 à -90^◦ vers

K’.

Remarque : c’est encore un système de coordonnées fixes qui sera plus spéciale- ment utilisé pour les problèmes concernant le système solaire. En effet, la plupart des astres du système solaire restent situés à proximité du plan de l’écliptique et, dans ces conditions, la latitude écliptique β reste petite et même parfois négligeable.

1.9 Changements de systèmes de coordonnées

1.9.1 Eléments de trigonométrie sphérique

A et C étant les pôles associés à deux systèmes de coordonnées, et B un point de la sphère céleste (voir figure 1.10), le problème du passage de l’un des système de coor- données à l’autre revient à résoudre le triangle sphérique ABC, dont on connaît deux côtés et l’angle compris, par exempleb,cetA. On se propose alors de calculerˆ aetC.ˆ On appelle système de Gauss, le système des trois relations (voir l’exercice page 18 pour l’établir) :







cosa = cosb.cosc+ sinb.sinc.cos Â sina.cos ˆC = sinb.cosc−cosb.sinc.cos Â sina.sin ˆC = sin Â.sinc

Les deux premières résolvent le problème en fournissant a etCˆ à l’aide des don- nées. La troisième, appeléerelation de fermeture, sert à vérifier les valeurs numériques de a etCˆ obtenues.

(20)

00 11^M

m

Grand cercle fondamental Plan fondamental

Méridien du point vernal

γ K

K’

Pôle écliptique sud Pôle écliptique nord

Ecliptique

écliptique écliptique

β

λ

Fig. 1.9 – Le système des coordonnées écliptiques.

(21)

1.9. CHANGEMENTS DE SYSTÈMES DE COORDONNÉES 15

B

A

C

a

b

c

Fig. 1.10 – Triangle sphérique intervenant dans un changement de système de coor- données.

(22)

1.9.2 Rappels : matrices de passage en algèbre linéaire

SoitV un espace vectoriel de dimensionn. On considère deux bases deV : {ej}^j et {f_j}j. On note M = a^k_i

la matrice de passage inversible de la base {f_j}j à la base {ej}^j, i.e.fi =a^k_iek (“les vecteurs de la deuxième base exprimés en fonction des vecteurs de la première base”). Dans la première base {ej}^j tout vecteur x possède des composantes (xⁱ)_i. Dans la deuxième base {f_j}j on note ses composantes (¯xⁱ)_i.

On a :fi =a^k_iek. Un même vecteur x peut s’exprimer dans les deux bases : x= ¯x^jfj =x^kek.

Or,

x= ¯x^jf_j = ¯x^j(a^k_je_k) =a^k_jx¯^je_k. Par l’identificationx=x^kek on trouve :

x^k=a^k_jx¯^j.

L’indicej étant muet, on peut donc écrire aussi : x^k =a^k_ix¯ⁱ.

Ainsi la matrice M^′ qui permet d’obtenir les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles est composée des mêmes coefficients que M.

Cependant, on a M^′ = M^T (transposée de M). Pour s’en assurer, il suffit de développer les deux systèmes x^k = a^k_jx¯^j et fi = a^k_iek. Par exemple, en dimension deux, on obtient :

f1 = a¹₁e1+a²₁e2, f2 = a¹₂e1+a²₂e2, ou,

f₁ f2

=

a¹₁ a²₁ a¹₂ a²₂

e₁ e2

Donc,

M =

a¹₁ a²₁ a¹₂ a²₂

D’autre part,

(23)

x¹ = a¹₁x¯¹+a¹₂x¯², x² = a²₁x¯¹+a²₂x¯², Donc,

x¹ x²

=

a¹₁ a¹₂ a²₁ a²₂

¯ x¹

¯ x²

et,

M^′ =

a¹₁ a¹₂ a²₁ a²₂

=M^T

La matrice de passage de la base{ej}^j à la base{fj}^j est évidemmentM⁻¹. Celle qui permet d’obtenir les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes est alors (M⁻¹)^T. On peut résumer tout cela dans les schémasfondamentaux :

{ej}^j M

←−

−→

M⁻¹

{fj}^j et {xⁱ}ⁱ M^T

←−

−→

(M⁻¹)^T {x¯ⁱ}ⁱ

Cette différence de comportement entre les vecteurs de base et les coordonnées des vecteurs a motivé un vocabulaire adapté : on dit que les vecteurs de base se transforment de façon covariante, et les coordonnées de façon contravariante. Cette différence est très importante dans le cadre de la relativité restreinte ou générale.

Exemple

Soit la nouvelle base {fj}^j définie par e1 =f1+f2 ete2 =f2. On a donc, e1

e₂

=

1 1 0 1

f1

f₂

Il s’agit de la matrice de passage de la base{ej}^j à la base {fj}^j, soit M⁻¹. Donc, x¯¹

¯ x²

= (M⁻¹)^T x¹

x²

=

1 0 1 1

x¹ x²

, C’est-à-dire,

(24)

¯

x¹ = x¹,

¯

x² = x¹+x².

1.9.3 Exercice 1 : Relations trigonométriques dans les trian- gles sphériques

1. Description de la figure et définitions

On se donne une sphère de centre O et de rayonunité(voir figure 1.11), un plan fondamental P1 et un système d’axes orthonormés Oxyz avec Oz perpendiculaire à P1 (Oy et Oz sont supposés être dans le plan de la feuille). On obtient un deuxième système d’axes orthonormés OXYZ en faisant une rotation d’angleθ autour de Ox (P2 est un plan perpendiculaire à OZ ; OY et OZ sont, bien sûr, dans le plan de la feuille).

On remarquera que par deux points de la surface d’une sphère il passe ungrand cercle (intersection de la sphère avec un plan passant par le centre O) et un seul. On appelle triangle sphérique la figure constituée par les arcs de grand cercle joignant deux à deux trois points A, B et C de la surface d’une sphère.

On appelle côtés d’un triangle sphérique les arcs de grand cercle définissant ce triangle (par exemple le côté AB^⌢ a pour valeur l’angle au centre AOB[). On appelle angles d’un triangle sphérique les angles des plans des grands cercles définissant ce triangle.

(a) Par exemple, l’angle Aˆest l’angle entre le plan contenant les points A, O et C et le plan contenant les points A, O et B ; ces deux plans ont pour intersection la droite (OA). L’angle de ces deux plans sera donc compté dans un plan perpendiculaire à (OA) : ici il s’agit du plan · · ·?

(b) A quel arc de cercle de la figure, l’angle en A du triangle sphérique peut-il être identifié :Aˆ=· · · ?

(c) Même question pour l’angle en C :Cˆ =· · · ?

(d) Même question pour l’angle en B (attention, piège) :Bˆ =· · · ? 2. Relations

On notera, respectivement,a,b etcles côtés du triangle sphérique ABC (c’est- à-dire a=BC,^⌢ b=AC,^⌢ c=AB) et^⌢ A,ˆ Bˆ et Cˆ les angles de ce triangle.

(25)

B

A

C Z z

y

x X Y F1

F2 P1

P2 E2

E1

G

D1

D2 O

Fig.1.11 – Figure utile pour l’exercice 1.9.3.

(26)

(a) Trouver, en fonction dea,b,c,A,ˆ BˆetC, les coordonnées du point B dansˆ les deux systèmes d’axes Oxyz et OXYZ. On remarquera que la projection orthogonale de B sur le plan P1 se trouve sur la droite (OF1) ; de même la projection orthogonale de B sur le plan P2 se trouve sur la droite (OF2).

(b) Ecrire la matrice de passage du système Oxyz au système OXYZ (cette matrice prend les composantes d’un vecteur selon Oxyz et fournit en re- tour les composantes de ce même vecteur sur la base OXYZ ; on sait que les colonnes de cette matrice sont constituées par les composantes des vecteurs de base du système OXYZ exprimées sur les vecteurs de base du système Oxyz).

(c) Appliquer la matrice établie en 2) b) aux coordonnées de B trouvées à la question 2) a) pour en déduire trois relations (système ou groupe de Gauss) dans le triangle sphérique ABC :

Système de Gauss







Remarque : on peut déduire de ces trois relations, six autres relations en faisant une permutation sur A, B et C.

Solutions :

1. Description de la figure et définitions (a) Il s’agit du plan P1.

(b) Aˆ=F1D1=^⌢ F\1OD1.

(c) Cˆ =E2F^⌢ 2=E2OF\2.

(d) Il faudrait un plan orthogonal à la droite (OB) pour pouvoir répondre. La figure n’étant pas complète, l’angle en B n’est pas identifiable.

2. Relations

(a) Dans le repère Oxyz on a :

B







cosF\1OB.cosF\1OG

−cosF\1OB.sinF\1OG sinF\1OB

(27)

1.9. CHANGEMENTS DE SYSTÈMES DE COORDONNÉES 21 Or :

( F\1OB = ^π₂ −AOB[ = ^π₂ −c F\1OG = F\1OD1− ^π₂ = ˆA− ^π₂ Alors, dans le repère Oxyz, les coordonnées de B sont :

BOxyz





sinc.sin ˆA sinc.cos ˆA cosc

De la même manière, dans le repère OXYZ :

B







cosF\2OB.cosGOF\2

−cosF\2OB.sinGOF\2 sinF\2OB

Mais :

( F\2OB = ^π₂ −a

GOF\2 = ^π₂ −E2OF\2 = ^π₂ −Cˆ Alors, dans le repère OXYZ, les coordonnées de B sont :

BOXYZ





sina.sin ˆC

−sina.cos ˆC cosa

(b) La matrice de passage demandée est la suivante :





1 0 0

0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ





(c) En vertu de ce qui précède, nous pouvons écrire l’équation matricielle suivante :

(28)





sina.sin ˆC



 =





1 0 0

0 cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ













En développant le produit matriciel du membre de droite et en remarquant queb =θ, on obtient les relations :





sina.sin ˆC



 =





sinc.sin ˆA

cosθ.sinc.cos ˆA−sinθ.cosc sinθ.sinc.cos ˆA+ cosθ.cosc





et donc le système demandé :







cosa = cosb.cosc+ sinb.sinc.cos ˆA sina.cos ˆC = sinb.cosc−cosb.sinc.cos ˆA

sina.sin ˆC = sin ˆA.sinc

1.9.4 Passage des coordonnées horizontales locales aux coor- données horaires

Nous avons à résoudre le triangle sphérique NZE (voir figure 1.12 page 24) dont les éléments sont (φ est la latitude du lieu) :











Aˆ≡A−π Cˆ ≡2π−H a≡ ^π₂ −δ b ≡ ^π2 −φ c≡ ^π₂ −h

Les relations de passages des coordonnées horizontales locales aux coordonnées horaires sont alors (voir exercice page 26) :







sinδ = sinφ.sinh−cosφ.cosh.cosA cosδ.cosH = cosφ.sinh+ sinφ.cosh.cosA

cosδ.sinH = cosh.sinA

Et pour le problème inverse (c’est-à-dire, trouver (A, h), sachant (H, δ) donné), nous trouvons (voir ce même exercice) :

(29)







sinh = sinφ.sinδ+ cosφ.cosδ.cosH

−cosh.cosA = cosφ.sinδ−sinφ.cosδ.cosH cosh.sinA = cosδ.sinH

A partir de la relation qui donne sinh, il est facile de comprendre l’origine des cercles polaires et des tropiques. Les deux cercles polaires sont les parallèles des régions polaires au-delà desquels il existe au moins une journée où le soleil ne se lève pas en hiver, et ne se couche pas en été. Leur latitude, nord ou sud égale l’angle d’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre par rapport à l’axe céleste (l’obliquité de l’écliptique). Leur distance angulaire aux pôles est de 23^◦26^′ (la même distance angulaire sépare les tropiques de l’équateur). La partie du globe située entre les deux tropiques, comprend tous les points de la Terre où le Soleil apparaît au zénith à midi solaire une ou deux fois dans l’année. Au nord du tropique du Cancer ou au sud du tropique du Capricorne, le soleil n’atteint jamais une hauteur de 90^◦ et ne se trouve jamais à la verticale du sol. Sur les tropiques mêmes, le Soleil atteint le zénith une fois l’an, lors du solstice.

1.9.5 Passage des coordonnées horaires aux coordonnées équa- toriales célestes

Soit un lieu A donné. Sur la figure 1.13, représentons le méridien de l’astre M qui coupe l’équateur en un point m. Nous avons :

aγ=⌢ am^⌢ +mγ^⌢

En faisant le choix sur l’équateur d’un sens de mesure, par exemple le sens rétro- grade, nous avons :

– am=^⌢ H (angle horaire de l’astre M) ;

– mγ^⌢ (dans le sens rétrograde) = γm^⌢ (dans le sens direct) =α.

Alors, sachant que aγ^⌢ est le temps sidéral local, nous pouvons écrire : ⌢

aγ = am^⌢ +mγ^⌢ t = H+α

Le rattachement des deux systèmes de coordonnées s’effectue grâce à cette relation, la déclinaison étant la même coordonnée dans les deux systèmes. Cette relation permet le calcul de l’angle horaire H d’un astre à chaque instant sidéral t, connais- sant l’ascension droire α de cet astre.

Chaque observatoire possède une horloge dite sidérale(voir page 35).

(30)

000 0 111

0 0 1 1 1 000 000

111 111

Horizon local

Equateur E

. Z (zénith) Méridien du lieu

terrestre H

(direction sud)

s n

(direction nord) D

s’

axe du monde e

o

Sens de rotation

Mesure A Mesure H

C

Fig. 1.12 – Passage des coordonnées horizontales locales aux coordonnées horaires : le triangle sphérique utile.

(31)

01 01

M

m

δ

γ A

Méridien du lieu A

a Equateur terrestre

Fig. 1.13 – Passage des coordonnées horaires aux coordonnées équatoriales célestes.

(32)

1.9.6 Exercice 2 : Passage des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires

1. Supposons données les coordonnées horizontales locales (A, h) et la latitude du lieu, φ. A l’aide d’un dessin, définir le triangle sphérique adéquat et écrire un système de Gauss permettant d’en déduire les coordonnées horaires (H, δ).

Donner le système de Gauss pour le problème inverse (passage de (H, δ) à (A, h)).

2. En un lieu de latitude φ = 27^◦ 43^′ 57^′′ on veut étudier une étoile dont les coordonnées équatoriales célestes sont : α= 2h 53min 58s etδ= +60^◦ 21^′ 53^′′. (a) Calculer les coordonnées horaires de cette étoile à son lever et à son coucher ; (b) Quel est le temps sidéral au lever et au coucher de cette étoile ? (c) Quelles sont ses coordonnées horizontales locales aux instants sidéraux du lever et du coucher ?

Solutions :

1. Pour un objet fixé, nous supposons les coordonnées horizontales locales (A, h) données ; notre but est d’établir les coordonnées horaires (H, δ) de cet objet en fonction de (A, h). Une manière de dessiner la figure utile est donnée ci- dessous. Dans cette figure, l’objet pour lequel le changement de coordonnées sera effectué est l’étoile E. Toutes les indications de la figure sont évidentes mais attachez une grande importance aux sens de mesure de l’azimut A et de l’angle horaire H (voir cours).

(33)

00 00 11

00 00 11 11 11 000 000

000 111 111 111

Horizon local

Equateur E

. Z (zénith) Méridien du lieu

terrestre H

(direction sud)

s n

(direction nord) D

s’

axe du monde e

o

Sens de rotation

Mesure A Mesure H

C

Le problème revient à la résolution du triangle sphérique ZEN. L’azimut de E est donné par l’arc A =snH^⌢ , sa hauteur par l’arc h =HE^⌢ (ou, ce qui est également utile, sa distance zénithale ζ =ZE). De plus, l’angle horaire de E^⌢ est H =s^′^⌢oD, sa déclinaison est δ =DE. La latitude du lieu se retrouve dans^⌢ l’angle φ=N Cn.[

Pour résoudre le triangle sphérique ZEN, nous allons utiliser un système de Gauss. Le système de Gauss adéquat doit faire apparaître(A, h)dans le membre de droite (ce qui est donné), et (H, δ) dans le membre de gauche (ce que nous cherchons).

Une comparaison directe avec la figure 1.11 (finalement, on assimile le triangle ABC au triangle ZEN), nous conduit aux identifications suivantes (mais ne confondez pas l’angle en A, A, avec l’azimut,ˆ A!) :

(34)











Aˆ≡HCn[ =A−π Cˆ≡s[^′CD = 2π−H a≡ ^π2 −δ

b≡ ^π₂ −φ c≡ ^π₂ −h

En injectant ces identifications dans le système de Gauss on obtient :







Nous obtenons les relations de passages des coordonnées horizontales locales aux coordonnées horaires :







sinδ = sinφ.sinh−cosφ.cosh.cosA cosδ.cosH = cosφ.sinh+ sinφ.cosh.cosA

cosδ.sinH = cosh.sinA

Le problème inverse (c’est-à-dire, trouver (A, h), sachant (H, δ)donné) revient à résoudre le même triangle sphérique ZEN, mais en utilisant la matrice de passage inverse(la matrice de passage de l’exercice page 18 pour une rotation d’angle −θ) :





1 0 0

0 cosθ sinθ 0 −sinθ cosθ





Cette matrice de passage appliquée aux coordonnées de B donne :







 =





1 0 0

0 cosθ sinθ 0 −sinθ cosθ









sina.sin ˆC





Après développement, on trouve :







cosc = cosb.cosa+ sina.sinb.cos ˆC sinc.cos ˆA = sinb.cosa−cosb.sina.cos ˆC

sinc.sin ˆA = sin ˆC.sina

(35)

1.9. CHANGEMENTS DE SYSTÈMES DE COORDONNÉES 29 Nous pouvons réutiliser les identifications :











Aˆ≡A−π Cˆ ≡2π−H a≡ ^π2 −δ b≡ ^π₂ −φ c≡ ^π₂ −h Et nous obtenons enfin :







sinh = sinφ.sinδ+ cosφ.cosδ.cosH

2. En un lieu de latitude φ = 27^◦ 43^′ 57^′′ on veut étudier une étoile dont les coordonnées équatoriales célestes sont : α= 2h 53min 58s etδ= +60^◦ 21^′ 53^′′. (a) Nous connaissons δ, il nous faut calculer H. Le système de Gauss de passage des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales locales nous fournit en particulier :

sinh= sinφ.sinδ+ cosφ.cosδ.cosH

Le lever et le coucher de l’étoile correspondent à une hauteur nulle,h= 0.

Alors : cosH =−tanφ.tanδ.

Numériquement, on trouve : cosH ≈ −0.92413657, et finalement : Hlever ≈ 202^◦ 27^′ 41^′′≈13h29min 50,7s

Hcoucher ≈ 157^◦ 32^′ 18^′′≈10h30min 9,24s (b) Nous avons la relation générale :t =α+H, d’où :

tlever = 2h 53min 58s+Hlever tcoucher = 2h 53min 58s+Hcoucher Et enfin :

tlever = 16h23min 48,7s tcoucher = 13h24min 7,24s

(36)

(c) (A, h) au lever et au coucher ?h = 0dans les deux cas, et nous avons les deux relations :

Ces deux relations se simplifient en :

cosA = −cosφ.sinδ+ sinφ.cosδ.cosH sinA = cosδ.sinH

D’où nous calculons finalement : Au lever,

H=Hlever

cosAlever ≈ −0,98199242 sinAlever ≈ −0,1889203 et au coucher,

H =Hcoucher

cosAcoucher ≈ −0,98199199 sinAcoucher ≈ −0,18892252 Et enfin :

Alever ≈ 190^◦ 53^′ 23^′′

Acoucher ≈ 169^◦ 06^′ 36,3^′′

1.9.7 Exercice 3 : Passage supérieur des astres

De la première formule de transformation des coordonnéesH etδen coordonnées horizontales, déduire la formule de la distance zénithale des astres au moment du passage supérieur (i.e. quand l’astre passe et culmine au méridien d’un lieu quelconque).

Solutions :

Nous avons la relation :

sinh= sinφ.sinδ+ cosφ.cosδ.cosH

(37)

équateur équateur

Pôle nord

Z Z

nord

sud sud nord

Pôle nord

*

ζ

δ

φ ζ

δ

φ 90−φ

90−φ Astre

Astre

Horizon Horizon

(a) Culmination au sud (b) Culmination au nord

δ < φ δ > φ

Fig. 1.14 – Culmination d’un astre : (a) au sud du zénith ; (b) au nord du zénith.

Quand un astre passe au méridien, nous avons H = 0, et donc : sinh= sinφ.sinδ+ cosφ.cosδ

Par définition la distance zénithale est : ζ = 90^◦−h. Et donc notre relation peut encore s’écrire :

cosζ = sinφ.sinδ+ cosφ.cosδ cosζ = cos(φ−δ)

Cette dernière équation a pour solution : ζ =±(φ−δ).

Puisque, par définition, la distance zénithale est toujours positive ou nulle, nous avons (voir figure 1.14),

ζ =







φ−δ pour δ < φ (l’étoile culmine au sud du zénith) 0^◦ pour δ =φ (l’étoile culmine exactement au zénith) δ−φ pour δ > φ (l’étoile culmine au nord du zénith)

1.9.8 Exercice 4 : Durée du crépuscule astronomique sous dif- férentes latitudes

Quand le Soleil descend sous l’horizon plus bas qu’à 18^◦, survient la nuit complète (la fin du crépuscule astronomique, par définition).

(38)

1. Dans combien de temps, après le coucher du Soleil (supposé ponctuel), tombera la nuit pendant les équinoxes à l’équateur terrestre ?

2. Même question pour +45^◦ de latitude ? 3. Même question pour +60^◦ de latitude ?

Solutions :

1. Nous avons :φ= 0^◦ (nous sommes à l’équateur) et δ_⊙ = 0^◦ (nous sommes aux équinoxes). Il convient de calculer l’angle horaire du Soleil au coucher et l’angle horaire du Soleil au début du crépuscule astronomique, quand sa hauteur vaut -18^◦. L’intervalle de temps entre ces deux événements fournira la réponse.

La relation,

sinh= sinφ.sinδ+ cosφ.cosδ.cosH se réduit à :

sinh= cosH

Si h = 0^◦, cosH = 0 et donc H = 6h. Si h =−18^◦, cosH ≈ −0,30901699437 et donc H≈7h 12min. La durée du crépuscule vaut donc 1h 12min.

2. Dans ce cas, la relation utile se réduit à (la latitude n’est plus nulle, mais vaut +45^◦) :

sinh= cosφ.cosH

Après calculs, nous trouvons une durée de : 1h 43min 39sec.

3. Nous utilisons la même relation que pour la question précédente, avecφ= +60^◦. Après calculs, nous trouvons une durée de : 2h 32min 41sec.

1.10 Précession des équinoxes — Nutation

Jusqu’à présent, nous avons considéré que les plans fondamentaux des deux sys- tèmes de coordonnées principaux (les équatoriales célestes et les écliptiques) étaient des plans fixes. En réalité, ni l’un ni l’autre ne le sont. Notamment, l’axe de rotation de la Terre ne reste pas parallèle à lui-même, mais décrit lentement un cône à la

(39)

1.11. LE TEMPS EN ASTRONOMIE DE POSITION 33 manière de l’axe d’une toupie. Ainsi, le pôle nord N décrit en environ 25770 ans un petit cercle (cercle de précession) de la sphère céleste d’axe KK’ (l’axe des pôles écliptiques). Voir figure 1.15.

Ce mouvement s’effectue dans le sens rétrograde de sorte que le point γ rétrograde d’environ 50,26” par an et que toutes les longitudes écliptiquesse trouvent par suite augmentées de cette même quantité. On nomme cet effet précession des équinoxes ouprécession luni-solaire, découvert par Hipparque (≈129 av. J.-C.). Actuellement, le pôle nord terrestre se trouve à environ 1^◦ de l’étoile α de la Petite Ourse (l’étoile polaire). Dans 11800 ans il se trouvera près de Véga. Le Soleil et la Lune exercent sur la Terre un couple de forces qui tend à ramener l’équateur terrestre sur le plan de l’écliptique (i tend à diminuer). Ce couple est à l’origine de la précession des équinoxes et donne à l’axe de rotation terrestre un mouvement s’apparentant à celui d’une toupie en fin de course.

Le cône décrit par l’axe des pôles n’est pas régulier, il est en outre légèrement oscillant le long du cercle de précession. Le pôle décrit en plus une petite ellipse d’axe 18,4” autour du pôle moyen, en 18,6 années. Ce dernier phénomène est appelé nutation, et est dû surtout à la Lune, dont l’orbite est inclinée sur l’équateur (voir figure 1.16).

1.11 Le temps en astronomie de position

1.11.1 Jours sidéral, stellaire et solaire

La durée de la rotation de la Terre par rapport à une direction fixe dans l’espace, par exemple celle du point vernalγ (direction fixe en première approximation), définit lejour sidéral : 23h 56min 4,0905 sec. Tous les siècles, le jour sidéral s’allonge d’environ 0,0016 secondes car la Terre ralentit son mouvement de rotation.

Le jour stellaire, lui, est la durée de la rotation terrestre par rapport au passage au même endroit de la Terre de la même étoile ; à cause de la précession, il diffère du jour sidéral d’environ 0,0084 sec (puisque γ rétrograde de 50,26”/365,25636 par jour soit le rapport de la précession moyenne par une année sidérale²). Un jour stellaire dure 23h 56min 4,0989 sec.

2L’année sidérale est la durée totale prise par la Terre pour parcourir au complet sont orbite autour du Soleil. Plus loin nous distinguerons l’année sidérale de l’année tropique qui détermine l’alternance des saisons.

(40)

Obliquité de l’écliptique

Déplacement apparent, annuel du Soleil

Trajectoire du pôle nord terrestre en raison de la précession des

équinoxes

0 0 0 1 1 1

Equateur .

terrestre

axe du monde C

Ecliptique

i

∼~ 23,5^o Soleil

Solstice d’été Solstice d’hiver

Equinoxe de printemps Equinoxe d’automne

γ

Pôle écliptique nord

* Véga

* Etoile polaire Pôle céleste actuel Pôle céleste en l’an 14000

Cercle de précession

Fig. 1.15 – Précession des équinoxes.

5^o

0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000

1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111

0000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111

S N

Ecliptique

Equateur

i Plans extrêmes de l’orbite lunaire

Fig.1.16 – Plans extrêmes de l’orbite lunaire, vue depuis la Terre. Le plan de l’orbite lunaire est en moyenne incliné de 5,14^◦ par rapport à l’écliptique.

(41)

1.11. LE TEMPS EN ASTRONOMIE DE POSITION 35 Mais les activités humaines sont liées au mouvement apparent du Soleil : nous considérons qu’un jour s’est écoulé quand le même point de la Terre, A, revient en face du Soleil (voir figure 1.17). Cette dernière durée est appelée jour solaire. La Terre progresse sur son orbite en parcourant en moyenne environ 0,98 degrés d’arc (360 degrés divisés par la durée d’une année sidérale soit environ 360^◦/365,25636 ou 0,98561^◦), ce qui correspond à 3 min 56,555 sec de temps par jour (quantité obtenue à partir d’une règle de trois sachant que 360 degrés correspondent à 24h). On remarque que les 24h solaires que nous associons à la durée du jour correspondent bien à la somme du jour sidéral et des 3 min 56,555 sec.

Une horloge sidérale est une horloge réglée selon le temps sidéral. Elle indique à un instant donné le méridien d’ascension droite qui culmine au lieu où elle est implantée. Une telle horloge avance donc d’un peu moins de quatre minutes par jour par rapport à une horloge habituelle ; ainsi si une étoile est visible au méridien à 23h 22 min (de votre montre), la nuit suivante elle y passera à environ 23h 18min. Tout observatoire possède sa propre horloge sidérale.

1.11.2 Temps solaire vrai, moyen, civil et l’équation du temps

Par définition, le temps solaire vrai local est l’angle horaire du centre du Soleil : H_⊙ = t −α_⊙. Le midi vrai (H_⊙ = 0) peut être exactement déterminé au passage du Soleil au méridien. Mais ce temps, facilement observable, ne varie pas de façon linéaire : il est affecté des irrégularités des mouvements de la Terre. Aussi a-t-on créé une échelle de temps uniforme, que nous pouvons conserver avec les horloges mécaniques ou atomiques. Letemps solaire moyenest le temps vrai, corrigé de toutes les irrégularités, appelées équation du temps E :

tmoyen =tvrai+E.

Les écarts E peuvent atteindre jusqu’à 15–17 minutes. E a pour origine i) le car- actère elliptique de l’orbite terrestre et ii) l’obliquité de l’écliptique. Voir les figures 1.18 et 1.19 du Bureau des Longitudes³.

3Le Bureau des longitudes a été créé par une loi de la Convention Nationale du 7 messidor an III (25 juin 1795) dans le but de reprendre la maîtrise des mers aux Anglais, grâce à l’amélioration de la détermination des longitudes en mer. Cet organisme doit donc, à l’imitation du Board of Longitudes anglais, créé en 1714, résoudre les problèmes astronomiques que pose la détermination de la longitude à une précision toujours meilleure, d’où son nom. Mais ses attributions vont bien

(42)

A

A Direction du soleil

Direction du soleil

Terre Soleil

un jour sidéral plus tard

3 min 56 sec 3 min 56 sec

Direction initiale du Soleil

Fig.1.17 – Jour solaire et jour sidéral. Sur la figure, la position de la Terre est donnée entre un instant initial et un jour sidéral plus tard (remarquez que le lieu A pointe vers la même direction dans les deux positions). La durée 3 min 56 sec correspond à l’angle 0,98 degrés décrit dans le texte.

(43)

1.11. LE TEMPS EN ASTRONOMIE DE POSITION 37

Fig. 1.18 – Equation du temps E (en minutes) pour 1999. En abscisse : le jour de l’année. Crédit : Institut de Mécanique Céleste et de Calculs des Ephémérides, et Bureau des Longitudes (http ://www.imcce.fr).

(44)

Fig.1.19 – Concrétisation de l’équation du temps dans le ciel de Crimée (région située au nord de la mer Noire, en Russie). Cette courbe est une analemme (ou analème).

Une analemme désigne la figure tracée dans le ciel par les différentes positions du Soleil relevées à une même heure et depuis un même lieu au cours d’une année calendaire. Crédit : V. Rumyantsev/observatoire de Naucsny.

(45)

1.11. LE TEMPS EN ASTRONOMIE DE POSITION 39 Ces temps solaires sont comptés à partir de midi, quand le Soleil passe au méri- dien, i.e. H_⊙ = 0. On appelle temps civil d’un lieu le temps moyen de ce lieu, augmenté de 12 heures. Le jour civil commence à minuit :

tcivil=tmoyen+ 12h.

Enfin, l’unification de l’heure sur la Terre est faite par le système des fuseaux horaires.

On définit comme temps universel (TU) le temps civil de Greenwich. Or les angles horaires H1 et H2 d’un même astre observé au même moment depuis deux lieux de longitudes L1 et L2 sont tels que (évident si on prend le sens rétrograde pour les deux angles) :

H1 +L1 =H2+L2,

d’où l’on déduit en particulier (puisque la longitude de Greenwich est nulle), T U =tcivil+Longitude,

quel que soit le lieu d’observation considéré, i.e. quel que soit le couple de temps civil et de longitude donné.

Enfin si la direction étudiée est celle du point γ, l’invariant H +L permet de relier le temps sidéral de Greenwich (TSG) à celui de n’importe quel autre lieu de la Terre (t) :

HG+LG =H+L→T SG=t+L

En général, on s’intéresse à l’expression du temps sidéral d’un lieu en fonction de celui de Greenwich : on at=T SG−L. Un moyen de faire disparaître le signe moins devant la longitude est de mesurer les longitudes dans le sens direct, c’est-à-dire

−L → +L, ce qui motive le choix de longitudes géographiques comptées positive- ment à l’est de Greenwich (cf. section 1.3 page 3). Avec cette nouvelle convention on a t=T SG+L.

Notons enfin qu’aujourd’hui le Temps universel coordonné(UTC) est une échelle de temps adoptée comme base du temps civil international par la majorité des pays.

UTC est une échelle de temps comprise entre leTemps atomique international(TAI) qui est stable mais déconnecté de la rotation de la Terre et le Temps universel (TU), directement lié à la rotation de la Terre et donc lentement variable. Le mot “coor- donné” indique que le Temps universel coordonné est en fait identique au Temps

au delà, puisqu’il est chargé de la rédaction de la Connaissance des Temps, publication annuelle (toujours existante) contenant des tables astronomiques créée en 1679. II doit également assurer la rédaction d’un annuaire propre à régler ceux de la République.

(46)

atomique international dont il a la stabilité et l’exactitude à un nombre entier de secondes près, ce qui lui permet de coller au Temps universel à moins de 0,9 s près.

1.11.3 Relation entre le temps civil et le temps sidéral

Les nécessités de l’observation nous amènent constamment à passer du temps civil local (directement relié au TU via le système des fuseaux horaires) au temps sidéral local, et vice-versa. Pour un lieu situé à l’est de Greenwich, il faut prendre les longitudes positives. Il faut également convertir les longitudes en heures sachant que 24h sidérales équivalent à 360 degrés.

Sachant que,

1. un jour solaire moyen vaut un jour sidéral augmenté de 3min 56,555sec ; 2. les almanachs astronomiques fournissent le temps sidéral de Greenwich pour

chaque jour de chaque année à 0h TU (c’est-à-dire minuit à Greenwich), T SG, alors, pour un lieu géographique quelconque de longitudeL, le temps sidéral local, t_L,t

civil, à tcivil heures de temps universel TU vaut :

tL,tcivil =T SG+tcivil+ 3min 56,555sec× tcivil 24h +L,

ou encore (le facteur donné ici provient du “International Earth Rotation and Refer- ence Systems Service” (IERS) en date du 29 mars 2010),

tL,tcivil =T SG+tcivil×1,002737909350795 +L

Dans l’exercice page 49 on montre un exemple de calcul de position depuis Sher- brooke.

La figure 1.20 indique les coordonnées équatoriales du Soleil, α_⊙ et δ_⊙, aux sol- stices et aux équinoxes, ainsi que la valeur du temps sidéral de Greenwich à 0h TU pour ces quatre instants. Attention : ces valeurs ne tiennent pas compte de l’équation du temps ; l’erreur est donc de l’ordre deE. Dans la section 1.14 on montre comment obtenir une estimation plus précise.

1.11.4 Exercice 5 : Exposition énergétique de la Terre

La Terre orbite autour du Soleil selon une trajectoire elliptique. De cette trajectoire on peut déduire la distance moyenne de la Terre au Soleil : d0. Au périhélie