ANIPULATIONS EL EMENTAIRESEN M APLE ´ ´ SESSION1M

LICENCEMATH ´EMATIQUES 2 `EME ANNEE´ IS4 – 2005 – 2006

SESSION 1

M

´

´ M

1. G ´ENERALIT´ ES´

Le prompt est un chevron >en d´ebut de ligne. Lorsque, `a droite de>clignote le curseur , Mapleest prˆet

`a accepter l’entr´ee des commandes. Toute commandeMapledoit ˆetre termin´ee par un point virgule ”;” ou par deux points ”:” en sachant que :

• si la commande se termine par ”;”, le r´esultat est affich´e `a la ligne suivante ;

• si la commande se termine par ”:”, le r´esultat n’est pas affich´e.

Les passages `a la ligne en cours d’expression n’ont aucune importance.Maplese contente d’attendre le termina- teur ”;” ou ”:”. Le passage `a la ligne apr`es un point virgule ou deux points se fait en appuyant les touches “entr´ee” et

“shift” simultan´ement.

Maple contient un syst`eme complet d’aide. Il faut absolument savoir l’utiliser, ne serait-ce que pour ´eviter d’avoir `a connaˆıtre la liste exhaustive des fonctions pr´ed´efinies et leur syntaxe. On acc`ede `a l’aide de Maplepar le menu ”Help”. Mapleoffre alors une aide arborescente, hi´erarchique `a plusieurs niveaux. On peut ´egalement proc´eder

`a une recherche par mot-cl´e en choisissant ”Topic search”.

DansMaple, on peut rajouter des commentaires avec le symbole . Des lignes de texte peuvent ´egalement ˆetre ins´er´ees dans une feuille de calcul, pour cela utiliser par exemple la barre d’outils.

REMARQUE.Tous les exercices propos´es dans ces s´eances de travaux pratiques devront ˆetre pr´esent´es le mieux possible sur la feuille de calcul : rajouter des commentaires, le num´ero de l’exercice, et tout autre remarque que vous jugerez int´eressante.

2. QUELQUES CALCULS

Les quatre op´erations ´el´ementaires sont +,-,*,/. Pour calculer l’expression 2x, il faut taper 2*x.

L’exponentiation s’obtient en utilisant le symbole ˆ ou le symbole ** : xˆy et x**y sont deux syntaxes Maple pour l’expressionx^y. Toutes les fonctions usuelles sont impl´ement´ees surMaple, par exemple : exp(x)est la com- mande pour calculer l’exponentielle dexetln(x)(oulog(x)) celle pour calculer le logarithme n´ep´erien dex; les fonctions trigonom´etriquescos,sin,tan,arcsin,arccos,arctan; les fonctions hyperboliquescosh,sinh, tanh,arcsinh,arccosh,arctanh, etc.

2.1. CALCULS SANS AFFECTATION DE VARIABLES. EXERCICE 1.

(1) Effectuer les calculs suivants : 2+3, 244×7, 3⁴, 2 7, 2

3+5 7. (2) Entrer les instructions suivantes et observer les r´esultats :

sqrt(5); exp(x); exp(ln(x)); eˆ(ln(x)); iˆ2; Iˆ2; (1+i)*(1-i); (1+I)*(1-I);

Noter alors la diff´erence entreietIet entreeˆxetexp(x).

1

2

2.2. CALCULS AVEC AFFECTATION DE VARIABLES.

Un nom de variable commence toujours par une lettre ou le caract`ere ” ” (underline) et peut contenir des lettres (attention :majuscules et minuscules sont distingu´ees), des chiffres et des underline. La syntaxe de l’affectation est :

nomdevariable:=expression

Attention : certains noms de variables sont r´eserv´es ! Par exemple, D est un nom r´eserv´e : c’est l’op´erateur de diff´erenciation.

EXERCICE 2.Entrer les instructions suivantes et observer les r´esultats :

> a:=5; b:=2; c:=3; x:=sqrt(a); y:=sqrt(b);

> a; a+b; b*c; xˆ2+y;

> z:=x+I*y: zˆ2; expand(%);

> a:=’a’; a;

> restart; b; x;

> A:=(2*x+2)*(5*x-3); B:=subs(x=(y+2)/(y-1),A); x; expand(A); simplify(B);

On remarque que%est une variableMaplecontenant le r´esultat du dernier calcul effectu´e. %%contient l’avant-dernier calcul effectu´e et%%%l’ant´e-penulti`eme.

2.3. L’ ´EVALUATION NUMERIQUE´ .

Lorsque l’on entre5/3;,Maplerenvoie l’expression 5 3

qui est de typefraction. Si l’on d´esire avoir une valeur approch´ee de 5/3, il est n´ecessaire d’´evaluer num´eriquement le r´esultat renvoy´e parMaple. Pour cela on utilise la fonctionevalf: la commandeevalf(5/3);renvoie

1.666666667

avec 10 chiffres significatifs (et non pas 10 d´ecimales) par d´efaut. Si l’on souhaite avoir plus de chiffres significatifs il faut auparavant le signaler par l’instruction

Digits:=20;

si, par exemple, l’on demande 20 chiffres significatifs. Ce nombre de chiffres significatifs est valable jusqu’`a nouvelle modification. Pour un calcul ponctuel, on peut se contenter de la commande : evalf(5/3,20).

EXERCICE 3.

(1) Demander l’´evaluation des expressions : 5 7,√

5,Pi,pi,exp(1),ln(2),sin(Pi/2),cos(pi/3). Noter au passage la diff´erence entrePietpi.

(2) Demander une ´evaluation avec 50 chiffres significatifs de 1 1+√

3. 2.4. CALCULS AVEC DES RACINES.

La commande rationalize ´elimine les racines dans les d´enominateurs. La commandeexpandd´eveloppe les expressions factoris´ees.

EXERCICE 4.On posex=7+√

2 ety=1−5√

3. Calculerx²y³et x+y

x²−y sous la forme la plus simple.

2.5. CALCULS AVEC DES COMPLEXES. Maple peut effectuer des calculs avec des expressions complexes, par exemple : les commandesRe(z); Im(z); abs(z); argument(z); evalc(w);renvoient respectivement la partie r´eelle, la partie imaginaire, le module, l’argument dans]−π,π]d’un complexez(appel´e argument principal), et la forme alg´ebrique du complexew.

EXERCICE 5.

3

(1) Calculer 1+i

2+3i,(1+i)³sous forme alg´ebrique.

(2) On posex=2+3i√

5 ety=2−i√

3. Donner une valeur approch´ee avec 30 d´ecimales de la partie r´eelle de x²

x+y.

3. LES FONCTIONS

Pour d´efinir une fonction, on peut proc´eder de deux mani`eres. Par exemple, pour la fonction f(x) =x², on peut taper :

f:=x->xˆ2;

ou

f:=proc(x) xˆ2 end;

L’op´erateur@est l’op´erateur de composition des fonctions.

EXERCICE 6.D´efinir les fonctions f(x) =x²etg(y) =y⁵−e^y

2 . Calculerg◦f,g(f(4))etg(f(−2)).

La d´eriv´ee premi`ere d’une fonctionfs’obtient par la commandediff(f(x),x)en forme d’une expression.

La fonction d´eriv´ee est trouv´ee avec la commandeD(f).

EXERCICE 7.Trouver la d´eriv´ee premi`ere des fonctions f etgci-dessus. Trouver la valeur de f⁰et deg⁰en 0.

Les d´eriv´ees successives s’obtiennent en rajoutant un argument dans la fonctiondiff: par exemple la commande diff(g(u),u$2)renvoie la d´eriv´ee seconde deg. De mˆeme pour les fonctions d´eriv´ees f⁽ⁿ⁾qui peuvent ˆetre trouv´ees avec(D@@n)(f).

EXERCICE 8.Trouverg⁽⁵⁾et sa valeur en 0.

4. LES EXPRESSIONS

L’expression 2x+t(y+4)est de type ”somme”, avec deux op´erandes qui sont eux-mˆemes des expressions : 2xet t(y+4). Les fonctionswhattype,nops,op, permettent de r´ecup´erer le type, le nombre d’op´erandes et les op´erandes d’une expression.

EXERCICE 9. Quel est le type et le nombre d’op´erandes de l’expressionA=2x+t(y+4)? Trouverop(2,A). Quel est le type des expressions 2x ett(y+4)? (noter queop(A)renvoie les op´erandes de l’expressionAsous forme de suite). Donner le type et les op´erandes des expressions suivantes :B= (x+y−1)³,C=3x+1

x+3 etE=sin(ax+b).

4.1. CONSTRUCTIONS D’EXPRESSIONS.

Outre les op´erations et les fonctions usuelles, on dispose enMapled’une structure de donn´ees classique : la liste.

La syntaxe est celle d’une suite mise entre crochets :

> L:=[1,2,a,x+y,1/x]; whattype(L); nops(L);

Si on connaˆıt le terme g´en´eral de la suite, on a int´erˆet `a utiliser l’op´erateurseq:

> S:=seq(kˆ2,k=1..10); [S];

Attention, contrairement `a une suite, une liste est consid´er´ee comme une expression en Maple. On peut donc lui appliquer les fonctionswhattype,nopsetop:

> L:=[seq(x-k,k=1..5)]; whattype(L); nops(L);

> for j from 1 to nops(L) do op(j,L) od;

(Noter au passage la structure d’une boucle dansMaple.)

EXERCICE 10. Construire la liste des coefficients de la lignen=15 du triangle de Pascal en calculant les coefficients binˆomiauxCn^p.

4

4.2. CONVERSIONS LISTE-EXPRESSION.

La fonctionconvertagit sur les expressions (et les listes). La syntaxe est : convert(expression,option).

Lorsque l’option est l’une des suivantes, ”list”, ”+”, ”*”, les op´erandes de l’expression sont conserv´es, mais le type est modifi´e. Par exemple, entrer les lignes suivantes et analyser les r´esultats obtenus :

> A:=5*xˆ2-6*x+2; convert(A,list); convert(A,`*`);

> L:=[seq(x-k,k=1..10)]; convert(L,`*`); expand(%);

EXERCICE 11.Construire la listeLdes coefficients de la lignen=15 du triangle de Pascal en utilisant la formule : C_n^p=n

1 n−1

2 n−2

3 · · ·n−p+1

p .

(utiliser la commandeconvertpour calculer ce produit). ´Ecrire une boucle qui affiche la sommeL[1] + ... + L[i]pourivariant de 1 `a 15. Utiliser maintenant la commandeconvertsurLpour v´erifier le r´esultat.

4.3. L’OPERATEUR MAP´ .

Il est possible d’appliquer une mˆeme fonction `a tous les op´erandes d’une mˆeme expression. Pour cela, on fait appel `a l’op´erateurmap. La syntaxe est

map(fonction, expression).

Par exemple :

> f:=x->1/x; A:=x+y+z; map(f,A);

> f:=x->xˆ2; map(f,1+1); map(f,x+1); A:=(x+1)/(x-1)+(2*x+1); map(f,A);

En particulier, pour cr´eer facilement une table des valeurs d’une fonction, on peut proc´eder de la fac¸on suivante :

> f:=x->ln(1+x); X:=[0.1,0.5,1/2,1,4,10]; Y1:=map(f,X); Y:=map(evalf@f,X);

EXERCICE 12.Calculer de deux mani`eres diff´erentes la somme des cubes des 20 premiers entiers naturels impairs.

4.4. FACTORISATION ET DEVELOPPEMENT´ .

On utilise les deux fonctionsfactoretexpandsur des expressions. Par exemple, entrer les lignes suivantes et analyser les r´esultats obtenus :

> factor(aˆ2-bˆ2);

> for k from 1 to 8 do factor(aˆk-bˆk) od;

> factor(xˆ3-xˆ2-3*x+3); factor(xˆ3-xˆ2-3*x+3,sqrt(3));

> expand((x+1)ˆ15);

EXERCICE 13.D´ev´eloper(x−2)²⁰et

5x+1 5

7

. Factorisere^a+b+e^a,puisx¹⁴+1.

4.5. CONVERSION ET SIMPLIFICATION D’EXPRESSIONS.

On s’int´eresse ici aux expressions contenant des fonctions trigonom´etriques, exponentielles ou logarithmes. On utilisera les fonctions de conversion expand, combine, simplify et convert. Par exemple, entrer les lignes suivantes et analyser les r´esultats obtenus :

> expand(tan(2*x)); expand(sin(5*x)); combine(sin(x)ˆ4,trig);

> convert(arcsinh(x),ln); convert(cos(x),tan);

> assume(x>-1): assume(y>0): combine(3*ln(x+1)+2*ln(y),ln);

> combine(exp(aˆ2)*exp(b)ˆ3,exp); convert(exp(I*x),trig); convert(sin(x),exp);

EXERCICE 14.Lin´eariser sin⁶(x)cos⁵(x). FactoriserS=sin(x) +sin(2x) +sin(3x) +sin(4x) +sin(5x).