Vincent Nolot Caractérisation de la loi géométrique Dijon Leçons : 2-3-39
Enoncé : SoitX une variable aléatoire dénie sur un univers quelconque à valeurs dans N?. On a équivalence entre les deux propositions :
1. X suit une loi géométrique de paramètrep∈]0,1[: pour toutk≥1,P(X =k) = (1−p)k−1p. 2. Pour toutk, l∈N?
P(X > k+l|X > l) =P(X > k) etP(X = 1)∈]0,1[.
1. ⇒2. Calculons déjà P(X > k)oùk≥1 :
P(X > k) =
+∞
X
i=k+1
P(X =i) =
+∞
X
i=k+1
(1−p)i−1p
= (1−p)kp
+∞
X
i=1
(1−p)i−1
= (1−p)kp 1
1−(1−p) = (1−p)k.
Attention : Dans ce calcul on a utilité la valeur de la série d'une suite géométrique (ou la limite de la suite des sommes partielles d'une suite géométrique) de raison1−p. Cette dernière existe puisque 0<1−p <1.
Vérions maintenant la propriété 2. Soientk, l≥1. Remarquons que l'inclusion des événements {X > l} ⊂ {X > k+l} implique{X > k+l, X > l}={X > k+l}. Ainsi on a :
P(X > k+l|X > l) = P(X > k+l, X > l)
P(X > l) = P(X > k+l) P(X > l)
= (1−p)k+l (1−p)l
= (1−p)k=P(X > k).
Enn puisqueP(X = 1) = (1−p)0p=pon a bienP(X = 1)∈]0,1[.
2. ⇒1. Supposons que la propriété 2.est vraie. Elle l'est en particulier pourk= 1. On a pourl≥1: P(X >1 +l|X > l) =P(X >1)
⇔ P(X >1 +l)
P(X > l) =P(X >1)
⇔ P(X >1 +l) =P(X >1)P(X > l).
Notons p=P(X = 1)∈]0,1[. PuisqueX est à valeurs dansN?, on a P(X >1) = 1−pet : P(X >1 +l) = (1−p)P(X > l)
= · · · recurrence
= (1−p)l−1P(X >1) = (1−p)l. Cela caractérise la loi géométrique puisque pour toutk≥1 :
P(X =k) =P(X > k−1)−P(X > k) = (1−p)k−1p.
Remarque : la proposition2.revient à dire que la v.a.d.X est sans mémoire. Et donc que la seule loi discrète sans mémoire est la loi géométrique. L'analogue pour les lois à densité est la loi exponentielle.
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