Exemple d’assemblage

(1)

Exemple

d’assemblage

8

6 2 3

4

7

1

5

I V

III

IV VI

II

1 2

3 1

2 2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5

1 3 2

z }| {

1 2

2

4 1 0 1

0 1 1

1 1 2

3 5

A^e_ij

(2)

2

Assemblage par matrices élémentaires

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

8

6 2 3

4

7

5

8 6

3

2 4 5 7

8 6 3 2

4

7 5

1

1 -1 -1

-1 -1

2 2

3

1

1 3

Table

de connectivité

I

VI

II

III

IV V

I 4 5 2

II 7 5 4

III 7 8 5

IV 8 6 5

V 5 6 3

VI 5 3 2

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2

2 3

1

2

4 5

2 3

1 1

2 3

4 5 2

(3)

-1 21

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

8

6 2 3

4

7

5

8 6

3

2 4 5 7

8 6 3 2

4

7 5

1

1 -1 -1

-1 -1

-1 -1 2

-1 1

2 2

3

1

1 3

I II

III

IV V

I 4 5 2

II 7 5 4

III 7 8 5

IV 8 6 5

V 5 6 3

VI 5 3 2

2 3

1

7

4 5 ₁ ₂ ₃

1 2 3

4 5

7

4 5

7 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

VI

Assemblage par matrices

élémentaires

de connectivité^Table

(4)

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

8

6 2 3

4

7

5

2 2

3

1

1 3

I II

III

IV V

I 4 5 2

II 7 5 4

III 7 8 5

IV 8 6 5

V 5 6 3

VI 5 3 2

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2

2 3

1

5

7 8

2 3

1 1

2 3

7 8 5

7 8 5 -1 211

-1 8 6

3

2 4 5 7

8 6 3 2

4

7 5

1

1 -1 -1

-1 -1

-1 -1 2

-1 1 1 -1

-1 2 -1

VI

Assemblage par matrices

élémentaires

(5)

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

8

6 2 3

4

7

5

2 2

3

1

1 3

I II

III

IV V

I 4 5 2

II 7 5 4

III 7 8 5

IV 8 6 5

V 5 6 3

VI 5 3 2

2 3

1

8

5 6 ₁ ₂ ₃

1 2 3

5 6

8

5 6

8 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

-1 1

-1 -1

1 2

2 -1

8 6

3

2 4 5 7

8 6 3 2

4

7 5

1

1 -1 -1

-1 -1

-1 -1 2

-1 1 1 -1

-1 2 -1

-1

-1 1

1

VI

Assemblage par matrices

élémentaires

(6)

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

8

6 2 3

4

7

5

2 2

3

1

1 3

I II

III

IV V

I 4 5 2

II 7 5 4

III 7 8 5

IV 8 6 5

V 5 6 3

VI 5 3 2

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2

2 3

1

3

5 6

2 3

1 1

2 3

5 6 3

5 6 3 -1 1

-1 -1

1 1 2

2 -1 -1

8 6

3

2 4 5 7

8 6 3 2

4

7 5

1

1 -1 -1

-1 -1

1

-1 2

-1 -1 -1 2

-1 1 1 -1

-1 2 -1

-1-1

-1 1

1

VI

Assemblage par matrices

élémentaires

(7)

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

8

6 2 3

4

7

5

2 2

3

1

1 3

I VI

II

III

V

I 4 5 2

II 7 5 4

III 7 8 5

IV 8 6 5

V 5 6 3

VI 5 3 2

2 3

1

5

2 3 ₁ ₂ ₃

1 2 3

2 3

5

2 3

5 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

IV

-1 -1 1

-1 -1

1 11 2

2 -1 -1

8 6

3

2 4 5 7

8 6 3 2

4

7 5

1

1 -1 -1

-1 -1

-1

-1 -1

1 2

1

-1 2

-1 -1 -1 2

-1 1 1 -1

-1 2 -1

-1-1

-1 1

1

Assemblage par matrices

élémentaires

(8)

-1 1

11 1 2

2 -1-1 -1-1

1 2 (8U

₅

2U

₂

2U

₄

2U

₈

2U

₆

)

Réseau régulier

de triangles = Différences finies centrées

2

4 1 1 0

1 2 1

0 1 1

3 5 1

2 2

4 1 0 1

0 1 1

2 1 2

3 5 1

2

8

6 2 3

4

7

5

8 6

3

2 4 5 7

8 6 3 2

4

7 5

1

1 -1 -1

-1 -1

-1

-1 -1

1 2

1

-1 2

-1

-1 -1 -1

2

-1 1 1 -1

-1 2 -1

-1-1

-1 1

1

5 6

2 4

8

2 2

3

1

1 3

I II

III

IV V

I 4 5 2

II 7 5 4

III 7 8 5

IV 8 6 5

V 5 6 3

VI 5 3 2

VI

Assemblage par matrices

élémentaires

(9)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

Matrice

Comment construire la matrice?

(10)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

Matrice

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

Triangle 1 : (1 5 4)

Boucle sur tous les éléments (triangles) Ajouter à ce qui était

présent

Composante déjà remplie

= +

11

(11)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

Matrice

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

= +

11

présent

(12)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(13)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(14)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(15)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(16)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(17)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(18)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

Triangle 9 : (7 11 10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(19)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

Triangle 10 : (7 8 11)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

= +

présent

Matrice

(20)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

Table de connectivité

Comment mettre en oeuvre?

(21)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4

1 5 4 1 5 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

On suppose que chaque noeud a au plus 10 noeuds voisins

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

Noeud 1 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 1 Noeud 5 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 5 Noeud 4 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 4 Procédure simultané d’assemblage

Nombre d'éléments par lignes

3 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0

Table de connectivité

(22)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2 1 2 5

1 5 4

1 5 4 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 3 0 3 4 0 0 0 0 0 0

On suppose que chaque noeud a au plus 10 noeuds voisins

Noeud 1 déjà rencontré : 1 et 5 existent sur ligne 1, mais pas 2

Noeud 2 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 2 Noeud 5 déjà rencontré : 1 et 5 existent sur ligne 5, mais pas 2

Nombre d'éléments par lignes

Table de connectivité

(23)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2 1 2 5 6

1 5 4

1 5 4 2 6

2 6 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 4 0 3 5 3 0 0 0 0 0

On suppose que chaque noeud

a au plus 10 noeuds voisins Nombre d'éléments

par lignes

Table de connectivité

(24)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6 1 5 4

1 5 4 2 6

2 6 5 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 5 3 3 5 4 0 0 0 0 0

par lignes

Table de connectivité

(25)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6

1 5 4 8 7

1 5 4 2 6

2 6 5 3 4 8 7

4 8 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 5 3 5 5 4 3 3 0 0 0

par lignes

Table de connectivité

Noeud 4 déjà rencontré : 4 existe sur ligne 4, mais pas 8 et 7

Noeud 8 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 8 Noeud 7 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 7

(26)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6

1 5 4 8 7

1 5 4 2 6 8

2 6 5 3 4 8 7

4 8 7 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 5 3 5 6 4 3 4 0 0 0

par lignes

Table de connectivité

Noeud 4 déjà rencontré : 4, 5 et 8 existent sur ligne 4

Noeud 5 déjà rencontré : 4 et 5 existent sur ligne 5, mais pas 8 Noeud 8 déjà rencontré : 4 et 8 existent sur ligne 8, mais pas 5

(27)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6

1 5 4 8 7

1 5 4 2 6 8 9 2 6 5 3

4 8 7

4 8 7 5 9

5 9 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 5 3 5 7 4 3 5 3 0 0

par lignes

Table de connectivité

(28)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6

1 5 4 8 7

1 5 4 2 6 8 9

2 6 5 3 9

4 8 7

4 8 7 5 9

5 9 8 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 5 3 5 7 5 3 5 4 0 0

par lignes

Table de connectivité

(29)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6

1 5 4 8 7

1 5 4 2 6 8 9

2 6 5 3 9

4 8 7 11 10

4 8 7 5 9

5 9 8 6 7 11 10 7 11 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 5 3 5 7 5 5 5 4 3 3

par lignes

Table de connectivité

Triangle 9 : (7 11 10)

Noeud 7 déjà rencontré : 7 existe sur ligne 7, mais pas 11 et 10

Noeud 11 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 11 Noeud 10 jamais rencontré : indiquer tout les noeuds du triangle sur la ligne 10

(30)

2

1 3

5

4 6

8

7 9

11 10

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6

1 5 4 8 7

1 5 4 2 6 8 9

2 6 5 3 9

4 8 7 11 10 4 8 7 5 9 11 5 9 8 6

7 11 10 7 11 10 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

1

2

3

4 5

6

7

8 9

10

4 5 3 5 7 5 5 6 4 3 4

51 On suppose que chaque noeud

par lignes

Table de connectivité

Triangle 10 : (7 8 11)

(31)

Trois tableaux : valeurs, ind, nbe

Stockage CSR : A(51), JA(51), IA(12)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 5 4 2

1 2 5 6 3

2 3 6

1 5 4 8 7

1 5 4 2 6 8 9

2 6 5 3 9

4 8 7 11 10 4 8 7 5 9 11

5 9 8 6

7 11 10 7 11 10 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 5 4 2 1 2 5 6 3 2 3 6 1 5 4 8 7 1 5 4 2 6 8 9 2 6

5 3 9 4 8 7 11 10 4 8 7 5 9 11

5 9 8 6 7 11 10 7 11 10 8

1 5 10 13 18 25 30 35 41 45 48 99

A

JA

IA

valeurs

ind

4 5 3 5 7 5 5 6 4 3 4

nbe

(32)

In order to take advantage of the large number of zero elements, special schemes are re- quired to store sparse matrices. The main goal is to represent only the nonzero elements, and to be able to perform the common matrix operations. In the following, denotes the total number of nonzero elements. Only the most popular schemes are covered here, but additional details can be found in books such as Duff, Erisman, and Reid [77].

The simplest storage scheme for sparse matrices is the so-called coordinate format.

The data structure consists of three arrays: (1) a real array containing all the real (or com- plex) values of the nonzero elements of in any order; (2) an integer array containing their row indices; and (3) a second integer array containing their column indices. All three arrays are of length , the number of nonzero elements.

The matrix

will be represented (for example) by

AA 12. 9. 7. 5. 1. 2. 11. 3. 6. 4. 8. 10.

JR 5 3 3 2 1 1 4 2 3 2 3 4

JC 5 5 3 4 1 4 4 1 1 2 4 3

In the above example, the elements are listed in an arbitrary order. In fact, they are usually listed by row or columns. If the elements were listed by row, the array which contains redundant information might be replaced by an array which points to the beginning of each row instead. This would involve nonnegligible savings in storage. The new data structure has three arrays with the following functions:

A real array contains the real values stored row by row, from row 1 to . The length of is .

An integer array contains the column indices of the elements as stored in the array . The length of is Nz.

An integer array contains the pointers to the beginning of each row in the arrays and . Thus, the content of is the position in arrays and where the -th row starts. The length of is with containing the number , i.e., the address in and of the beginning of a fictitious row

number .

Thus, the above matrix may be stored as follows:

AA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

JA 1 4 1 2 4 1 3 4 5 3 4 5

IA 1 3 6 10 12 13

This format is probably the most popular for storing general sparse matrices. It is called the Compressed Sparse Row (CSR) format. This scheme is preferred over the coordinate scheme because it is often more useful for performing typical computations. On the other hand, the coordinate scheme is advantageous for its simplicity and its flexibility. It is often used as an “entry” format in sparse matrix software packages.

There are a number of variations for the Compressed Sparse Row format. The most obvious variation is storing the columns instead of the rows. The corresponding scheme is known as the Compressed Sparse Column (CSC) scheme.

Another common variation exploits the fact that the diagonal elements of many matrices are all usually nonzero and/or that they are accessed more often than the rest of the elements. As a result, they can be stored separately. The Modified Sparse Row (MSR) format has only two arrays: a real array and an integer array . The first positions in

contain the diagonal elements of the matrix in order. The position of the array is not used, but may sometimes be used to carry other information concerning the matrix.

Starting at position , the nonzero elements of , excluding its diagonal elements, are stored by row. For each element , the integer represents its column index on the matrix. The first positions of contain the pointer to the beginning of each row in and . Thus, for the above example, the two arrays will be as follows:

AA 1. 4. 7. 11. 12. * 2. 3. 5. 6. 8. 9. 10.

JA 7 8 10 13 14 14 4 1 4 1 4 5 3

The star denotes an unused location. Notice that , indicating that the last row is a zero row, once the diagonal element has been removed.

Diagonally structured matrices are matrices whose nonzero elements are located along a small number of diagonals. These diagonals can be stored in a rectangular array , where is the number of diagonals. The offsets of each of the diagonals with respect to the main diagonal must be known. These will be stored in an array . Thus, the element of the original matrix is located in position

of the array , i.e.,

The order in which the diagonals are stored in the columns of is generally unimpor- tant, though if several more operations are performed with the main diagonal, storing it in the first column may be slightly advantageous. Note also that all the diagonals except the main diagonal have fewer than elements, so there are positions in that will not be used.

Format CSR (Compressed Sparse Row)

•

Un tableau AA contenant les valeurs a(i,j) stockées ligne par ligne, des lignes 1 à n; La longueur de AA est Nz

•

Un tableau JA contenant les indices de colonnes des éléments a(i,j) par rapport au stockage dans AA. La longueur de JA est Nz

•

Un tableau IA contenant les pointeurs au début de chaque ligne dans les tableaux AA et JA. Ainsi, le contenu de IA(i) est la position dans les tableaux AA et JA où la i-ème ligne débute. La

longueur de IA est n+1 avec IA(n+1) contenant le nombre IA(1)+Nz, i.e. l’adresse dans A et JA du début de la ligne fictive numérotée n+1.