CHAPITRE 3 : LES ANNUITÉS Leçon 1 : Généralités
On appelle annuités, une suite de versements effectués à des intervalles de temps égaux ou constants.
L’intervalle de temps séparant le paiement de deux annuités est appelé la Période.
N.B : La période peut être l’année, le trimestre, le mois, on parle donc quelque fois de trimestrialités, de semestrialités, de mensualités.
Les annuités (Versements) sont versées :
Soit dans le but de constituer un capital : Ce sont des Annuités de placement ou de capitalisation
Soit dans le but de rembourser une dette ou d’un emprunt : Ce sont des Annuités de remboursement ou d’amortissement
Les annuités peuvent être versées :
Soit en Début de période : C’est le cas généralement des annuités de placement.
Exemple : Dès la signature du contrat, un premier versement est effectué
Soit en Fin de période : C’est le cas généralement des annuités de remboursement ou d’amortissement et des annuités de capitalisation.
Exemple : Le premier remboursement d’un prêt peut intervenir à la fin de la première période - Le montant des versements peut être :
Soit Constants : On parle dans ce cas d’annuités constantes
Soit Variables : On parle dans ce cas d’annuités variables Remarque
1- Dans la pratique, on assimile à des annuités :
- Les loyers versés par le locataire à un propriétaire de local - Les charges d’utilisation d’un matériel
- Etc.
2- En terminale G2, nous nous limiterons aux annuités constantes
FIN DE LA LEҪON 1
Leçon 2 : Annuités Constantes de Fin de Période
I. Calcul de la valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de fin de période : Capitalisation
Professeurs
M. ADOU KAKOU MARIUS RÉSUMÉS DES COURS RESTANT À FAIRE
Année Scolaire 2019 - 2020 M. DE BEDI HERVE BLA NCHARD
Classes : TG2 D et TG2 E Lycée Technique d’Abidjan Matière : Mathématiques Financières
Thèmes : ANNUITES – EMPRUNTS INDIVIS
1. Définition
La valeur acquise par une suite d’annuités de fin de période est la somme des valeurs acquises de chaque annuité immédiatement après le versement de la dernière annuité.
2. Formule générale de la valeur acquise
Désignons par : a : Le montant de l’annuité constante ; n : Le nombre de versements ou d’annuités i : l’intérêt de 1 F ; Vn : la valeur acquise par la suite d’annuités à l’époque n, au moment du paiement ou du versement de la dernière annuité.
N.B : La table 3 de la table financière donne les valeurs : (1+i)n – 1 i
3. Utilisation de la Formule Générale de la valeur acquise 1.1. Calcul l’annuité constante (a)
A partir de la formule générale de la valeur acquise, on peut tirer la formule de l’annuité constante comme suit :
1.2. Calcul du nombre d’annuités (n)
A partir de la formule générale précédente, on peut tirer l’expression suivante qui permet de déterminer le nombre d’annuités n :
On peut lire la valeur entre parenthèse dans la table 3 1.3. Calcul du taux d’intérêt (i)
Le taux s’obtient aussi par la formule précédente c’est-à-dire :
2. Applications sur la Capitalisation d’une Suite d’Annuités de Fin de Période Exercice 1 : Calcul de la valeur acquise (Vn)
1- Calculez la valeur acquise par une suite de versements ou annuités de 70 000 F du 31 Décembre 1979 au 31 Décembre 1990 au taux de 5,5%.
2- Alice est née le 03 Février 1990. Pour son 1er anniversaire, son père lui ouvre un compte bancaire et y dépose la somme de 150 000 F. Il s’engage à verser le même montant jusqu’à la majorité d’Alice. Sachant que la majorité est fixée à 18 ans, déterminez le montant qu’obtiendra Alice à sa majorité au taux d’intérêt de 9,25%.
Exercice 2 : Calcul de l’annuité constante (a)
1- Un capital de 500 000 F a été constitué par le versement de 15 annuités constantes de fin de période capitalisées au taux de 10%.Quel était le montant de l’annuité constante ? (Arrondir au franc supérieur)
2- Pour financer un projet de 5 000 000 F, M. ISSOUF s’engage à verser à son banquier 6 semestrialités, la 1ère dans 6 mois. Un accord est obtenu au taux de 6,25%.
Travail à Faire : Calculez le montant de la semestrialité Exercice 3 : Calcul du nombre d’annuités(n)
Vn = a [(1 + i)n – 1]
i
a = Vn x i . (1 + i)n – 1
(1 + i)n – 1 = Vn i a
(1 + i)n – 1 = Vn i a
1- Combien d’annuités constantes de 75 000 F faut-il verser en fin de période pour obtenir par capitalisation au taux de 7%, une valeur acquise ou un capital de 769 485 F ?
2- Combien d’annuités constantes de 10 000 000 F faut-il verser en fin de période pour obtenir au taux de 10% une valeur acquise de 100 000 000 F ?
Exercice 4 : Calcul du taux d’intérêt (i)
1- Quel est le taux qui permet d’obtenir par capitalisation de 10 annuités de 45 800 F, versées en fin de période, un capital de 625 370 F au moment du versement de la dixième annuité ?
2- Quel est le taux d’intérêt qui permet d’obtenir par capitalisation de 11 annuités de 10 000 000 F versé en fin de période un capital de 150 000 000 F au moment du versement de la
11ème annuité ?
II. Calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période : Actualisation
1. DéfinitionLa valeur actuelle d’une suite d’annuités est égale à la somme des valeurs actuelles de chaque annuité.
2. Formule Générale de la valeur actuelle
Pour apprécier la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes, plaçons-nous au moment de la signature du contrat c’est-à-dire une période avant le premier versement ou la première annuité. Soit Vo
cette valeur actuelle. La valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes est égale à la somme des valeurs actuelles de chacune des annuités. On a le schéma suivant :
N.B : Les valeurs de 1- (1+i)-n / i se lisent dans la table 4. V0 est la valeur actuelle à l’époque 0 et non au moment du versement de la 1ère annuité.
3. Utilisation de la Formule Générale de la valeur actuelle 3.1. Calcul de l’annuité constante (a)
De la formule générale précédente de la valeur actuelle, on déduit la formule de l’annuité constante comme suit :
N.B : Les valeurs de i / 1- (1+i)-n se lisent dans la table 5 3.2. Calcul du nombre d’annuités (n)
On peut calculer le nombre d’annuités n à partir de la formule générale de la valeur actuelle ou de l’actualisation c’est-à-dire à partir de :
N.B : L’expression entre parenthèse peut se lire dans la table 4
3.3. Calcul du taux d’intérêt (i )
On peut obtenir la formule du taux d’intérêt i à partir de la formule générale de la valeur actuelle ou de l’actualisation c’est-à-dire à partir de :
Vo = a x 1 – (1 + i)-n i
a = Vo x i . 1 – (1 + i)-n
1 – (1 + i)-n = V0 i a
1 – (1 + i)-n = V0 i a
N.B : L’expression entre parenthèse peut se lire dans la table 4
4. Applications sur l’Actualisation d’une suite d’annuités constantes de fin de période Exercice 1 : Calcul de la valeur Actuelle (Vo)
1. Calculez la valeur actuelle d’une suite de 15 annuités de fin de période un an avant le versement de la première annuité. Taux 5%, montant de l’annuité = 50 000 F.
2. GBAGBADE vient d’acquérir une machine à crédit. Il doit verser 5 annuités de 4 000 000 F payables en fin d’année, la 1ère venant à échéance dans 1 an. Calculez la valeur actuelle de la machine au taux de 10%.
Exercice 2 : Calcul de l’annuité (a)
1. Sachant que la valeur actuelle d’une suite de 6 annuités constantes de fin de période est de 450 000 F, Calculez le montant de l’annuité constante au taux de 4%.
2. ZEZE doit s’acquitter d’une dette de 20 000 000 F. Il obtient de son créancier le paiement en 5 annuités constantes, la 1ère sera versée dans 1 an. Calculez le montant de l’annuité constante au taux de 14,5%.
Exercice 3 : Calcul du nombre d’annuités (n)
Quel est le nombre d’annuités n de 1 000 000 F actualisées au taux de 8% qu’il faut verser pour obtenir un an avant le premier versement une valeur actuelle de 6 246 888 F.
Exercice 4 : Calcul du taux
Calculez le taux qui permet d’obtenir par actualisation de 8 annuités de 150 000 F versées en fin de période, une valeur actuelle de 800 240 F.
FIN DE LA LEҪON 2
Leçon 3 : Annuités Constantes de Début de Période
Lors d’un placement, le versement de la 1ère annuité s’effectue à l’époque 0 c'est-à-dire à la conclusion du contrat. Chaque annuité est versée en début de période.
I. Calcul de la Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de début de période : Capitalisation
1. Formule Générale de CapitalisationLa première annuité est versée à l’époque zéro alors on aura :
Avec : a : Montant de l’annuité constante ; n : Le nombre d’annuités ; i : Le taux d’intérêt Vn : La valeur acquise
2. Utilisation de la Formule Générale pour le calcul de l’annuité constante, du taux et du nombre d’annuités
Le calcul de ces trois éléments (a ; i et n) est possible à partir de la formule générale de la capitalisation ou valeur acquise Vn. La démarche est la même que dans le cas des annuités constantes de fin de période.
Exemple
De la formule générale de la valeur acquise ci-dessus, on déduit la formule de l’annuité constante comme suit :
a= Vn x i . (1+i) x (1+i)n -1 Vn = a (1+ i) x (1 + i)n – 1 i
Donc:
a= Vn (1+i)-n x i (1+i)n - 1
3. Application
Exercice 1 : Calcul de la valeur acquise
1. Une personne a pris l’engagement de verser à une société de capitalisation au profit de son enfant, une somme de 200 000 F par an, pendant 20 ans. A l’époque du premier versement, l’enfant était âgé d’un an.
De quelle somme l’enfant disposera-t-il à sa majorité (21 ans) sachant que les intérêts sont calculés au taux de 4% par an ?
2. TOUNKARA ouvre un compte bancaire au taux de 6,25% par semestre. Il verse le même jour 500 000 F et s’engage à verser le même montant tous les semestres pendant 5 ans. Calculez le capital constitué à la fin du contrat.
Exercice 2 : Calcul de l’annuité
Quelle somme constante faudra t – il verser tous les ans pour constituer un capital de 10 000 000 F en 5 ans au taux de 13%.
II. Calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de début de période : Actualisation
1. Formule Générale d’Actualisation2. Utilisation de la Formule Générale d’actualisation pour le calcul de l’annuité, du taux et du nombre d’annuités
Il faut se référer à la formule donnant la valeur actuelle Vo. 3. Application
1. Quelle est la valeur actuelle d’une suite de 8 annuités constantes de 10 000 F, la première venant à échéance immédiatement ? Taux 5%.
2. Quelle est la valeur actuelle d’une suite de 10 annuités de 2 000 000 F placés en début de période au taux de 13,5% ?
FIN DE LA LEҪON 3
FIN DU CHAPITRE 1
Vo = a (1 + i) x 1 – (1 + i)-n i
CHAPITRE 2 : EMPRUNTS INDIVIS Leçon 1 : Généralités
I. Définition d’un emprunt indivis
Un emprunt indivis est un emprunt ordinaire contracté auprès d’un seul prêteur (Banquier, établissement financier, capitaliste, Etc.). L’emprunt indivis entraîne pour l’emprunteur le service au profit du prêteur, d’annuités comportant deux éléments :
- L’intérêt du capital restant dû
- Le remboursement d’une partie de la dette N.B : Les remboursements annuels portent le nom d’amortissements.
II. Les Eléments de l’emprunt indivis
Un emprunt indivis est composé des éléments suivants : la valeur du capital emprunté noté Vo ; la durée de l’emprunt noté n ; l’amortissement de chaque période noté m ; l’intérêt payé chaque période
noté I ; l’annuité (ou la semestrialité, ou la trimestrialité, ou la mensualité) de la période notée a telle que a = m + I ; le taux nominal d’intérêt de l’emprunt noté i .
1. La valeur du Capital emprunté (Vo)
C’est le montant de l’emprunt. Il sert de base au calcul du premier intérêt (I1).
2. L’Amortissement (m)
L’amortissement est le remboursement périodique d’une partie de la dette. La somme de tous les amortissements est égale au montant de l’emprunt. Vo étant le montant de l’emprunt, soit m1, m2, m3,….. ; mn les amortissements successifs, on a :
Vo = m1 + m2 + m3 + ….. + mk 3. L’Intérêt (I)
L’intérêt représente le loyer du capital prêté en contre partie du risque encouru par le prêteur.
I = Capital restant dû x Taux d’intérêt (i) 4. L’Annuité (a)
On désigne par annuités une suite de sommes payables à des périodes constantes. L’annuité se compose du remboursement d’une partie de la dette appelé amortissement et de l’intérêt sur le capital restant dû.
Annuité (a)= Amortissement de même rang + Intérêt sur capital restant dû III. L’Emprunt Indivis classique
Il faut entendre par emprunt indivis classique un emprunt indivis remboursable par annuités constantes.
IV. Emprunts Indivis classiques à Annuités Constantes 1. Relation entre les Annuités Constantes et les Amortissements Quel que soit l’emprunt on retient la relation suivante :
an = mn (1 + i)
Règles : Lorsque les annuités sont constantes c’est-à-dire a1 = a2 = ……. = an-1 = an, les amortissements varient en progression géométrique croissante de raison (1 + i) et de premier terme m1 et on peut écrire :
Exemple :
m2 = m1 (1 + i)1-1 <=>
m20 = m1 (1 + i)20-1 <=>
N.B
mn = an (1 + i)-1
mn = m1 (1 + i)n-1
m2 = m1 (1 + i) m20 = m1 (1 + i)19 mn = mn-1 (1 + i)
2. Relation entre les Annuités Constantes et le Capital Emprunté
Vo = a x 1 – (1 + i)-n i
3. Relation entre le Capital Emprunté et les Amortissements Vo = m1 + m2 + m3 + ……… + mn
Les amortissements forment la somme d’une géométrique de raison (1 + i) et de premier terme m1 et on a :
Vo = m1 + m1 (1 + i)1 + m1 (1 + i)2 + …….. + m1 (1 + i)n-1
a. Calcul de Vo en fonction de m1, de i et de n Vo = m1 x (1 + i)n – 1
i
b. Calcul du premier amortissement m1 en fonction de Vo, de i et de n m 1 = Vo x i
(1+ i)n – 1
4. Calcul d’un Amortissement Quelconque
La valeur d’un amortissement quelconque est obtenue à partir de la loi d’amortissement : mn = m1 (1 + i)n-1
5. Application
Exercice 1 : Le 30 Mars 1990, une société contracte un emprunt de 7 500 000 F au taux de 8%. Cet emprunt est remboursable par annuités constantes du 30 Mars 1991 au 30 Mars 1999. Calculez le montant du premier amortissement.
Exercice 2 : Reprenez l’exercice 1 et calculez : le cinquième amortissement m5 = m1 (1 + i)5-1 et le dernier amortissement m9 = m1 (1 + i)9-1 .
6. Calcul de l’annuité a
1.1. Directement par actualisation des annuités a Vo = a x 1 – (1 + i)-n
i
1.2. A partir du premier amortissement m1 a = m1 + (Vo x i)= m1 + I1
Avec: I = V0 x I Or m 1 = Vo x i
(1 + i)n – 1
FIN DE LA LEҪON 1 Leçon 2 : Tableau d’amortissement d’un emprunt indivis
I. Présentation
Il se présente comme suit :
Période Dette en début
De période Intérêt Amortissements Annuités Dette en fin de
période
1 D1= Vo I1=D1xi m1= a1-I1 a1=m1+I1 D1 – m1
2 D2=D1-m1 I2=D2xi m2=a2-I2 a2=m2+I2 D2 – m2
… --- --- --- --- ---
n Dn=Dn-1- mn-1 In=Dn x i = an- mn mn=an-In an=mn+In Dn – mn=0
II.Applications
Soit un emprunt de 2 500 000 F remboursable en 5 ans par un système d’annuités constantes au taux de 8% l’an. La première annuité est payée un an après l’emprunt.
Travail à Faire : Etablissez le tableau d’amortissement de cet emprunt de deux façons différentes : 1. A partir de l’annuité constante ‘’a’’ ;
2. et à partir du premier amortissement m1. a = Vo x i
1 – (1 + i)-n
a = Vo x i 1 – (1 + i)-n
a = Vo x i . 1 – (1 + i)-n
