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I. Rappels

1/ Addition avec ou sans parenthèses

3–7=–4

–57=2=2

–118=–3

–28=6 –61=–5

–618=12=12

–21–24=–21–24=–45

–7–25=–32

5–8=–3 –45–8=–53 Règles de simplifications des parenthèses

Lors d'un calcul avec parenthèses, on peut les enlever si c'est une addition. Par exemple :

–58–12 s'écrit aussi –58–12.

On peut enlever le signe  en début de ligne. Par exemple :

4–8–13 s'écrit aussi 4–8–13. Avec plus de deux nombres relatifs

A=7–124–8–5

A=74–12–8–5

A=11–25

A=–14

2/ Soustraction

Exemples

5–8=5–8=–3 ou bien 5–8=5–8=–3 De même pour :

–5–12=–5–12=–17

–8––4=–84=–4

11––18=1118=29

5,5–12=5,5–12=–6,5 Avec plus de deux termes

B=–5–83––5–1

B=–5–835–1

B=–148

B=–6

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B '=–3––2–1–4––10

B '=–32–1–410

B '=12–8

B '=4

II. Multiplication

1/ Activité

On considère l'expression B=–2–2–2–2.

Puisque l'on additionne quatre fois le même nombre, on peut écrire que

B=4×–2=4×–2. Mais –2–2–2–2=–8 donc 4×–2=–8 . On en déduit que le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est négatif.

Par ailleurs, 4×–2=–2×4 donc on se doute que le produit d'un « négatif » par un « positif » est aussi « négatif ».

Mais que se passe-t-il pour deux nombres de même signe ?

Pour deux nombres positifs, le résultat est aussi positif : 4×9=4×9=36 . Il reste à étudier le cas de deux nombres « négatifs »...

Complète la suite logique : 4×–2=–8

3×–2=–6 2×–2=–4 1×–2=–2 0×–2=0

–1×–2=2

–2×–2=4 etc.

Donc le produit de deux « négatif » est positif.

2/ Règle des signes

Propriété

Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

Le produit de deux nombres de même signe est positif.

Remarque

On peut retenir la propriété de cette façon :

•  par – donne – – par  donne –

• – par – donne 

 par  donne 

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Point méthode

A partir de maintenant, il faudra bien distinguer les règles pour additionner et celles pour multiplier.

Additionner deux nombres relatifs Multiplier deux nombres relatifs

• 8–12=–4

- négatif car –12 est le plus fort - 12–8 car ils sont de signes contraires

• –812=4

- positif car 12 est le plus fort - 12–8 car ils sont de signes contraires

• –8–12=–20

- négatif car les nombres sont négatifs

- 812 car ils sont de même signe

• 812=20

• 8×–12=–96

négatif car  par – donne –

• –8×12

négatif car – par  donne –

• –8×–12=96

positifs car – par – donne 

• 8×20=96

3/ Produit de plusieurs facteurs

Activité/Exemples

A=–4×–3×5×–1

Le résultat est soit 60 , soit –60 . Pour déterminer le signe, on fait le raisonnement suivant :

• –4×–3 est positif car – par – donne  ;

• –4×–3×5 est positif car  par  donne  ;

• –4×–3×5×–1 est négatif car  par – donne –. Donc A=–60.

B=–2×–4×1×–1×–2

B=16 car – par – donne ,  par  donne ,  par – donne – et – par – donne .

On remarque la chose suivante...

–1×1×–1=1 est positif et le nombre de facteurs négatif est pair. De même pour

–1×–1×–1×–1×1=1 .

Lorsqu'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le résultat est négatif. Par exemple :

1×–1×1×–1×–1=–1 .

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Exemples Calcule :

A=–5×2×–7×–2=–140 car il y a trois facteurs négatifs.

B=–1×–4×–5×–3=4×15=60 calcul par regroupement.

C=12×–5×3=–180 car  par – donne – et – par  donne –. D=–2,5×–10×4×–100=–10×–10×–100=–10 000 calcul par regroupement.

Méthodes

• Calcul du signe de proche en proche : –1×2×–3 est positif car – par  donne – et – par – donne .

• On rassemble, dans sa tête ou par écrit, les nombres négatifs :

–2×5×–1×–8

=–2×–1×–8×5

=–16×5

=–80

• On compte le nombre de facteurs négatifs. S'il est pair, le résultat est positif ; s'il est impair, le résultat est négatif.

–2,5×–4×–1×–100=1 000 car il y a quatre facteurs négatif.

–12,547×100×–5×–2=–12 547

Rappels

Pour multiplier un nombre décimal par 10 , 100 , 1000 … il suffit de décaler la virgule de 1 , 2 , 3 … chiffres vers la droite. Si besoin, on rajoute des zéros.

45,5687×100=4 556,87 1,2×1000=1200

III. Quotient de nombres relatifs

Activité

• 24

6 se traduit par l'équation suivante 24=6×?. On va appliquer ce principe pour découvrir les règles de signes concernant la division.

• 24

–6 =? se traduit par 24=–6×?. Puisque moins par moins donne plus, le résultat est négatif : 24

–6 =–4 .

• De même –24

6 =–4 .

• –24

–6 =? se traduit par –24=–6×?. Puisque moins par plus donne moins, on a –24

–6 =4

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Propriété

• Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

• Le quotient de deux nombres de même signe est positif.

Quelques rappels de calcul mental

• Pour diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000… on décale la virgule de 1, 2, 3… rang vers la gauche :

526,21÷100=5,2621 ; 6,7÷1000=0,0067

• Il faut connaître la table de 11 : 11×2=22

11×3=33

…

11×9=99 11×10=110 11×11=121

• Il faut évidemment connaître ses tables pour faire des divisions : 72÷9=? est équivalent à 9×?=72 , donc 72÷9=8 .

• La barre de fraction 

 symbolise le résultat d'une division ! 10

4 =2,5 ; 7

2=3,5 ; 5 2=2,5 .

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IV. Tableau récapitulatif

(voir le site du collège ou le polycopié) Somme

(addition)

− et − donne − −3−5=−8

− et  donne ...

... ça dépend : −35=2 ; 3−5=−2

 et − donne ...

 et  donne  3,55,3=8,8

Différence − et − donne ... ... ça dépend : −3−−5=−35=2 ;

−5−−3=−53=−2

(soustraction) − et  donne − −3−5=−3−5=−8

 et − donne  3−−5=35=8

 et  donne ... ... ça dépend : 3−5=3−5=−2 ;

5−3=5−3=2

Produit − par − donne  −0,5×−0,5=0,25

− par  donne − −7×8,1=−56,7

 par − donne − 0,01×−12,5=−0,125

 par  donne  7×8=56

Quotient − par − donne  −1,5

−0,5=3

− par ^ donne ⁻ −12÷10=−1,2

 par ⁻ donne ⁻ ⁻²³^=−1,5

 par ^ donne ^ 126÷2=6 3

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V. Conduire un calcul

1/ Rappels : ordre de priorité

Exemples

• 9–512=412=16 « On calcule de gauche à droite » ou bien 9–512=21–5=16

• 9–5×12=9–60=–51 155×2=1510=25

« La multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction »

• 9–5×215÷32=9–1052=16–10=6

« La multiplication et la division sont sur un même niveau de priorité »

• 7–552–8–7=7–5×–1–7=75–7=5

« Les parenthèses sont la priorité absolue » Ordre des priorités

• Les parenthèses

• Les multiplications et les divisions.

• Les additions et les soustractions.

2/ Exemple type

A=–42–15–5×7÷–4

A=–42–15–35÷–4 « On a calculé 5×7=35 » A=–42––20÷−4 « On a calculé 15–35=–20 » A=–42–5 « On a calculé –20÷–4=5 »

A=–42–5 « Retrancher par un nombre revient à ajouter son opposé » A=–47

Exemple

A'=38–18–5×4÷2

A'=38–18–20÷2 où 18–20 est a comprendre comme 18–20

A'=38––2÷2

A'=38––1

A'=381 ou bien A'=381 A'=39

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