Produit des Complexes GraphComplexes.tex
Repr´ esentation graphique du produit de deux complexes
On consid`ere deux nombres complexes u∈C etv ∈Cet leur repr´esentation graphique par des vecteurs du plan.
On sait que la repr´esentation graphique de la somme est le vecteur d’affixeu+v somme des deux vecteurs d’affixes respectives u etv.
Il est moins facile de faire la repr´esentation graphique du produit de ces deux vecteurs.
On va effectuer une repr´esentation g´eom´etrique sur un exemple : u×v = (3 + 2i)(4−i) = 14 + 5i
Interpr´ etation de la multiplication de 1 par u = 3 + 2i
On voit que le produit 1×u= 1×(3 + 2i) peut ˆetre interpr´et´e graphiquement en disant que le vecteur d’affixe (u) est obtenu en faisant subir au vecteur d’affixe (1) une similitude Su.
Su :
de centre O
de rapport |u|=√
32+ 22 =√ 13 d’angleα= arg(u) tel que :
( cos(α) = √3
13
sin(α) = √2
13
u
0• 1 i
On voit que le vecteur d’affixe (u) est la diagonale d’un rectangle construit `a partir du vecteur d’affixe (1) utilis´e comme unit´e et ayant pour cˆot´es respectifs (3) et (2).
Interpr´ etation du produit de v par u avec la mˆ eme m´ ethode
v.u= (4−i)×(3 + 2i) = 14 + 5i
v.u
v
0• 1
i
♣♦♥
♠ 1 / 3 LATEX 2ε
Produit des Complexes GraphComplexes.tex
Interpr´ etation de la multiplication de 1 par v = 4 − i
On interpr`ete de mˆeme le produit 1×v = 1×(4−i) `a l’aide d’une similitude Sv.
Sv :
de centre O
de rapport |v|=p
42+ (−1)2 =√ 17 d’angleβ = arg(v) tel que :
( cos(β) = √4
17
sin(β) = √−1
17 v
0• 1
i
−i
On voit que le vecteur d’affixe (v) est la diagonale d’un rectangle construit `a partir du vecteur d’affixe (1) utilis´e comme unit´e et ayant pour cˆot´es respectifs (4) et (−1).
Interpr´ etation du produit de u par v avec la mˆ eme m´ ethode
v.u= (3 + 2i)×(4−i) = 14 + 5i
u.v
u
0• 1
i
♣♦♥
♠ 2 / 3 LATEX 2ε
Produit des Complexes GraphComplexes.tex
Comparaison des deux constructions : en vert u × v en bleu v × u
u.v
u
v
0• 1
i
♣♦♥
♠ 3 / 3 LATEX 2ε
