les nombres accordés
I – accords réduits
A - accords réduits stricts.
définition 1 – j'appelle gamme réduite g0(n) la somme des facteurs premiers, à la puis-sance 1, qui entrent dans la factorisation φ(n) en nombres premiers d'un entier n, et
j'appelle accord réduit strict la paire A0
n = {n, g0(n)} – qu'on peut aussi écrire A0n =
{φ(n), g0(n)} - et G0{N} – dont nous expliciterons plus loin la structure et le choix
des accolades - l'ensemble des gammes réduites g0(n).
soit donc n = p1αx p2βx...x pkω(nous remplacerons par la suite le signe "x" par "."), un entier n
quelconque factorisé selon le théorème fondamental de l'arithmétique où les pkξ sont
des nombres premiers non nécessairement différents, et pour lequel nous écrivons φ(n) = [p1αp2β….pkω] sans introduire d'ordre particulier, la factorisation étant
commu-tative. alors g0(n) = pa + pb +...+ pj, l'addition étant elle-aussi commutative, les pj, pris
dans φ(n), devant être tous différents selon la définition.
on dira que la gamme réduite g0(n) est l'image additive primale par la transformation G0,
de la factorisation φ(n) qui est elle-même l'image multiplicative première de l'entier n. j'écris g0(n) = G0[φ(n)] cette transformation.
exemple.
1960 = 8 x 5 x 49 = 23. 5. 72. G0[φ(n)] transforme φ(n) = [23572] en 2 + 5 + 7 et la gamme
réduite est g0(1960) = 2 + 5 + 7 = 14, son accord réduit strict est représenté par la
paire A01960 = {1960, 14} = {[23572],.(2+5+7)}.
on écrit : pour n = p1α.p2β...pkω, g0(n) = Σpij(n), de i1 à ij, avec j ≤. k, tous les pij devant
être pris à la puissance '1', ou, ce qui revient au même, tous différents.
remarque 1 : la définition 1 exclut le nombre '1' de l'accord car '1' n'est pas premier alors
que le théorème fondamental des nombres premiers implique '1' dans la factorisation des entiers dite première. en d'autres termes, la déf. 1 assume une homogénéité forte,
et même la plus forte possible, de la théorie des nombres premiers.
l'ensemble des entiers N est restreint à N* = N – {0, 1} = N+ - {1}.
rem. 2 : s'il y a bijection entre les entiers n et leur factorisation φ(n). par contre, plusieurs
factorisations différentes peuvent avoir la même gamme réduite, par exemple toutes les puissances d'un nombre ont même gamme réduite que lui. les éléments g0 de
G0(N) sont donc des classes d'équivalences. la relation entre les factorisations et les
gammes réduites est ainsi surjective, d'où le théorème 0.
théorème 0 : à chaque entier n il ne lui correspond qu'une et une seule gamme réduite g0(n), mais la réciproque n'est pas vraie.
démonstration : la factorisation en nombres premiers d'un entier n est unique quel que soit l'ordre des facteurs (théorème fondamental de l'arithmétique), la gamme réduite g0(n)
sations incluant les mêmes facteurs premiers, quelles que soient leurs puissances ont même somme (déf. 1) et par là-même, même gamme réduite (déf. 1).
réciproque : d'après rem·2. deux cas se produisent : soit plusieurs factorisations premières
ont mêmes facteurs premiers (à l'ordre près) mais à des puissances différentes et la
déf. 1 efface ces différences; soit plusieurs factorisations premières φi(nj), différentes
par leurs facteurs premiers sont transformées, par G0[φi(nj)] en plusieurs partages
premiers d'une même g0. par exemple la g0 = 19, avec 19 = 2 + 17 = 3 + 5 + 11,
respec-tivement factorisations premières des nombres {n/ n {2α.17β}α, β ≥ 1} et {m/ m
{3α.5β.11γ}α, β, γ ≥ 1}}.
rem. 3 : à cette occasion, on peut nommer la relation opposée (et non inverse) à G0[φ(n)] =
g0(n), G-1[g0(n)] = Φ(ni) qui représente l'ensemble des factorisations de ni nombres
ayant g0 pour gamme réduite d'après rem. 2 et exemple ci-dessus. (voir plus loin les
accords cousus). la composition des deux transformations n'est pas commutative : G0
o G-1 ≠ G-1 o G0. en effet G0 s'applique à une seule factorisation φ(n) et retourne un
en-tier g0(n). G-1 transforme un entier g en sa partition première, c'est-à-dire son
en-semble de partages en sommants premiers (ne comptant qu'une fois les partages ne différant que par la position des sommants) de cardinal sg. chaque partage représente
une factorisation différente des autres c'est-à-dire sg nombres n1, n2, , ng tels que n1
≠ n2 ≠ ≠ ng.
voici la série des 25 premiers g0 :
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 g0(n) 2 3 2 5 5 7 2 3 7 11 5 13 9 8 2 17 5 19 7 10 13 23 5 5
lemme : la transformation G-1 conserve l'ordre de N.
dém. : soient g0(m) et g0(n) deux gammes réduites telles que g0(m) < g0(n). ces gammes
réduites sont sources de deux multiplicités de factorisations M et N telles que toutes les factorisations de M sont inférieures à toutes les factorisations de N. en consé-quences tous les mi sont inférieurs à tous les nj, en particulier m < n.
théorème 1 : tout nombre premier p est égal à sa gamme réduite; g0(p) = p, et son accord
réduit strict est le doublon tautologique A0
p = {p, p}.
dém. : évidente d'après déf. 1, rem. 1 et 2 (p est l'unique facteur premier de sa factorisation).
en particulier, théo. 2 : les nombres premiers '2' et '3' sont les seuls dont les accords réduits ne contiennent que leurs puissances, selon déf. 1 et théo.1. on écrit : A0
2n = {2n, 2} et
A0
3n = {3n, 3}, n > 1
dém. : en effet, ce sont les seuls nombres premiers qui ne sont sommes d'aucuns nombres premiers autres qu'mêmes, selon déf. 1, rem. 1 et réc. théo. 0, ils sont à eux-mêmes leur unique partage premier, ce qui entraîne qu'aucune factorisation autre que 2α ou 3α, α ≥ 1, ne peut être source de leur g0. pour cela on peut les nommer nombres indécomposables.
théo. 3 : le premier (le plus petit) nombre premier somme de deux nombres premiers autres que lui-même est donc '5', 5 = 2 + 3. n'étant constitué que de '2' et '3' il est aussi le seul à ne connaître qu'un seul partage premier autre que lui-même dans lequel les fac-teurs premiers qui le constituent sont indécomposables.
dém. : '5' n'est pas concerné par le théo. 2; ses deux partages premiers sont '5' et '2 + 3', soit
5 = 2 + 3, respectivement factorisations premières des nombres {n/ n {5α}}α ≥ 1 et
{m/ m {2α.3β}}α, β ≥ 1. j'appelle famille additive F5 la réunion des ensembles séparés
– c'est-à-dire sans élément commun – du nombre '5'. ainsi, F5 = {5α} + {2β.3γ} =
{{5α}, {2β.3γ}}α, β, γ > 1. (en annexe, la liste des f premières familles).
rem. 4 : ainsi le suivant, '7', est tel que 7 = 2 +5, factorisations respectives de F7 = . {{7α},
{2β.5γ}}α, β, γ > 1.
théo. 4 : la gamme réduite du produit de k nombres entiers est égale à la somme des gammes réduites de ces nombres, diminuée éventuellement des facteurs premiers égaux dont on ne garde qu'un (théo.1).
on a : g0(Πnq) = g0(n1) + g0(n2) + … + g0(nq) = Σpi(n1) + Σpj(n2) + … + Σpz(nq) – δab…z où
δab…z = 0 si tous les facteurs premiers pab…z sont différents, ce qui signifie qu'aucun
des nombres nq n'a de diviseur commun avec un autre, et δab…z = (cab…z – 1)pab…z, où
les cab…z représentent le nombre de facteurs premiers identiques, indices par indices.
dém. : le produit de k nombres premiers est le produit de leurs factorisations c'est-à-dire la factorisation de leurs produits. comme ce sont des nombres premiers alors théo.1; et cette factorisation est unique, il n'y a donc aucuns facteurs identiques. on écrit : Πpk =
p1.p2…..pk, d'où par G0, g0(Πpk) = p1 + .p2+ ….+ pk. d'où le théo..
la gamme réduite du produit de z nombres non premiers dont certains ont au moins un fac-teur premier commun s'écrit g0(n1 x n2 x … x nz) = p11 + p12 + …+ p1i + p21 + p22 + … +
p2j + … + pz1 + … + pzk. si plusieurs, au moins deux, facteurs sont identiques, leur
somme équivaut, par G-1, à une puissance c > 1, ce qu'interdit la déf. 1. soit pc de tels
facteurs, pour ne garder qu'une seule occurrence de ces facteurs conformément à la
déf. 1, il faut donc éliminer les facteurs en trop, soit c – 1, ce qui s'écrit (cab…z –
1)pab…z, : il y a ca facteurs premiers pa identiques, cb facteurs premiers pb identiques,
etc., d'où la formule.
cette somme est assimilable au cardinal de la réunion de k ensembles ayant, au moins deux à deux, des éléments communs. on a : g0(Πnk) = g0(Πpk) – δab…z.
récapitulatif : g0(n1x … x nz) = g0(n1) + … + g0(nz) si aucun facteur premier n'apparaît plus
d'une fois et g0(n1x … x nz) = g0(n1) + … + g0(nz) - δab…z sinon, les indices de δ
repré-sentant les occurrences superflues modulo la déf. 1 des facteurs premiers.
déf. 2 – j'appelle nombres accordés réduits (nar) les entiers appartenant au k-aire (ou liste)
C0
k = {a, b, …, z, …} tels que g0(a) = g0(b) = … = g0(z) = … = k. j'appelle accord ré-duit un tel k-aire C0
6 = 2.3, g0(6) = 2 + 3 = 5, plus généralement pour n = 2α.3β alors g0(n) = 2 + 3 = 5, soit C05
= {5, 6, …, 2α.3β, …}; on énoncera que '5' et '6' sont accordés réduits modulo 5. rem. 5 : alors que l'accord réduit strict A0
n = {n, g0(n)} ne correspond qu'à un seul
nombre, l'accord réduit C0
n concerne une multiplicité de nombres.
théo. 5 : chaque nombre premier p n'appartient qu'à un et un seul accord réduit C0
p. il y a
donc au moins autant d'accords réduits que de nombres premiers.
dém. : un nombre premier est égal à sa gamme réduite, celle-ci ne connaît donc pas d'autre factorisation par le théo. fondamental de l'arithmétique, d'où le théo.
théo 6 : tout nombre premier p est le premier (ou borne inférieure) de son accord réduit C0
p. on a C0p = {p, a, b,…}.
dém. : soit n = p1 + … + pk l'entier plus petit que p ayant même g0 afin d'appartenir au
même accord réduit C0
p. on a simultanément : n < p et p1 + … + pk = p. or selon la
théorie arithmétique des sommants, le produit des sommants d'un partage est > au nombre sommé. donc ou bien p1 + … + pk = p et n ≥ p, ou bien n < p et p1 + … + pk ≠
p et donc g0(n) ≠ g0(p) ce qui fait que C0n ≠ C0p.
théo 7 : tout entier n, autre que '1', '4' et '6', premier ou non premier, peut être gamme ré-duite d' un accord réduit C0
n. G0(N) = N – {0, 1, 4, 6}.
dém. : pour '1' d'après déf. 1 et rem. 1.
'4' est exclusivement tributaire de '2'; 4 = 2 + 2, seul entier pour lequel l'addition se con-fond avec la multiplication et celles-ci avec la puissance : 2 + 2 = 2 x 2 = 22. il ne peut
donc jamais apparaître comme gamme réduite par déf.1.
'6' est en outre tributaire de '3' : 6 = 2α.3β avec α, β = 1. pour que '6' soit gamme réduite, il faut qu'il existe une factorisation dont la somme des facteurs premiers selon déf. 1 donne '6', or cela n'est pas.
de ces faits, N est donc diminué des quatre nombres '0', '1' (théo. 1), '4' et '6'.
rem.6 : il s'agit d'une première équation diophantienne élémentaire (n'utilisant pas la
sous-traction) : trouver des nombres premiers dont la somme égale '6'. on peut vérifier à cette occasion qu'il n'en est pas de même de tout autre entier n tel que n = 2α.3β avec α, β > 1, à commencer par '12' qui peut s'obtenir par : 12 = 7 + 5 = 7 + 3 + 2, sommes respectivement gammes réduites de 35 = 5.7, et plus généralement de 5α.7β, et de 42 = 2.3.7, et plus généralement de 2α.3β.7γ. (voir plus loin les accords cousus)
théo. 8 généralisation du théo. 6 : tous les éléments g0 de G0(N) = N – {0, 1, 4, 6} sont
borne inférieure de leur accord réduit C0 n.
démo. : un nombre entier n quelconque est le plus petit partage en sommants de sa parti-tion par la même raison qu'au théo. 6.. en conséquence tous les partages transformés par G-1 en factorisations, nécessairement différentes puisque premières, sont > au
théo. 9 : la somme g0(n, n') de deux gammes réduites g0(n) et g0(n') est la gamme réduite
du produit des deux nombres n, n' avec n ≠ n'. on écrit : g0(n, n') = g0(n) + g0(n') =
g0(n x n'). la réc. est vraie.
dém. : g0(n) = pn1 + … + pnj et g0(n') = pn'1+ … + pn'k. on a donc g0(n) + g0(n') = pn1 + … +
pnj+ pn'1+ … + pn'k. deux cas se présentent : même raisonnement qu'au théo. 4. déf. 3 – j'appelle synchronisation la paire {a, C0
a} que j'écris syn(a), où 'a' est un entier
quelconque tel que les facteurs premiers de 'a' à la puissance 1 (déf. 1) forment la gamme réduite de tous les 'ai' appartenant ainsi à C0a. les C0a forment donc les classes
d'équivalences a.
on écrit a = pα1.pβ2…pωk d'où g0(a) = g0(ai) = p1+ p2+ … + pk, ai C0a, c'est-à-dire C0a = {a,
a1, a2, …, ai, …}.
exemples.
a = 233 x 1012 x 103 = 12783903401, on a g
0(a) = g0(ai) = 23 + 101 + 103 = 227, et C0a =
{12783903401, 227, …, 5503187, …, 23α.101β.103γ, …}. '227' étant premier, il est
égal à sa gamme réduite et appartient donc à la relation d'équivalence C0
227 = C0a.
à partir de théo. 4 on peut ordonner les produits 23α.101β.103γen écrivant C0227 = {227,
239269, 232.101.103, …, 23α.101β.103γ, …}. un accord réduit ainsi ordonné devient le
n-uplet C0*
n et la synchronisation correspondante {a, C0*a}, synchronisation ordonnée. déf.4 : je distingue deux classes de synchronisation : la classe P0 = {2, 3, 5, …, p
i, …}
formée exclusivement des g0 nombres premiers, et la classe Q0 = {8, 9, 10, …, n, …}
composée de tous les autres entiers.
déf. 5 : un entier n a une gamme réduite g0(n) qui est elle-même un entier n' de gamme
réduite g0(n') etc.. j'appelle cascade la suite g0(g0(…(g0(n))) = g0k(n) où k est le
nombre de cascades successives. j'appelle niveau de l'entier n le nombre k. on peut ainsi écrire : A0
n = {n, g0(n)}, A0g0(n) = {g0(n), g0(g0(n))} = {g0(n), g20(n)}
rem. 6 : les éléments de Q0 sont des entiers dont les g0 ne sont pas tous inclus dans la
classe P0. il y a des entiers appartenant à Q0 pours lesquels G
0[φ(n)] ne fournit pas de
partages premiers eux-mêmes sommables premiers. par exem-ple 14 = 2.7 et G0[14] =
2 + 7 = 9 élément de Q0.
la suite des cascades k, aboutit à un élément de P0. par convention on notera k = 0 pour les
nombres premiers (selon le théo. 1), k = 1 pour les entiers dont la cascade aboutit immédiatement à un élément de P0, k = 2 pour ceux qui aboutissent à un élément de
Q0, etc. j'appelle nombres bas les composants de Q0 de niveau 1, et nombres hauts
ceux pour lesquels k ≥ 2. on peut donc distinguer deux sous-classes de Q0, celle des nombres bas Q0
bas et celle des nombres hauts Q0haut dont voici un début de listage
Q0
bas = {(8, 9, 10, 12), (16, 18, 20), (22, 24, 25), (32), (34), (36), (40), (44), (48, 49, 50),
Q0
haut = {(14, 15), (21), (26, 27, 28, 30), (33), (35), (38, 39), (42), (45, 46), (51, 52), (55,
56, 57), (60, 62, 63), (65, 66, 68, 69, 70), (74, 75, 76, 77, 78), (82, 84, 85, 86, 87), (90, 91, 92, 93, 94, 95), (98, 99), 102, …}.
rem 7. : les parenthèses comptent le nombre d'éléments de la sous-classe Q0
x qui précèdent
ceux de la sous-classe Q0
y. chacune de ces sous-classes "troue" la classe Q0. listons les
parties entre parenthèses de chaque sous-classe par leur cardinal et appelons sériation שbas (à lire "sine bas") la suite obtenue pour Q0bas, et שhaut (à lire "sine haut") celle
pour Q0
haut :
שbas = 4331111131111211…, et שhaut = 2141121223355562…
il sera intéressant de savoir si ces deux sériations obéissent à une loi où sont aussi disper-sées que les nombres premiers, et forment deux nombres irrationnels. on comparera aussi שpremier avec שQ0.
théo. 10 : tous les accords réduits C0
n sont de cardinal infini. dém. évident.
rem. 7 : puisque tous les entiers n à partir de '2' (modulo théo. 5) peuvent être sour-ces des
gammes réduites d'accords réduits C0*
n, il y a donc א0 de ces n-uplets.
B – accords réduits cousus.
théo. 11 : tout entier n > 5 connaissant plusieurs partages en sommants premiers, il est source d'autant de factorisations que de partages.
dém. : il appert de la théorie des partages en sommants d'un nombre n, qu'il existe au moins deux partages en sommants premiers de l'entier n > 5; il suffit alors de faire de ces sommants premiers les facteurs premiers de la composition de nouveaux nombres a, b, …, z.
ex. et déf. 6 : 16 = 3 + 13 = 5 + 11 = 2 + 3 + 11 d'où 3.13 = 39, 5.11 = 55 et 2.3.11 = 66; je dis que ces quatre nombres, {(16), 39, 55, 66} sont cousus ensemble et j'utilise les mêmes termes pour les accords réduits correspondants. '16' est le raccord de l'en-semble {39, 55, 66}. (parallèle avec la théorie des livres ouverts).
rem. 8 : on a g0(39) = g0(55) = g0(66) = 16, d'où 39, 55 et 66 C016. l'accord réduit de '16'
est C0
2 (ex. déf. 2), ainsi C02 et C016 sont cousus ensemble ce qui donne le théo. 8.
théo. 12 : C0
n et C0nk sont cousus ensemble.
dém. : par construction.
déf. 7 : j'appelle trame la réunion des accords réduits stricts et cousus.
annexe : familles Fn des n premiers nombres entiers.
F2 = {2α}
F3 = {3α}
F7 = {7α, 2β.5γ} F8 = {3α.5β} F9 = {2α.7β} F10 = {3α.7β, 2α.3β.5γ} F11 = {11α} F12 = {5α.7β, 2α.3β.7γ} F13 = {2α.11β} F14 = {3α.11β} F15 = {2α.13β} F16 = {5α.11β, 2α.3β.11γ} F17 = {2α.3β.5γ.7δ} F18 = {5α.13β, 7α.11β, 2α.3β.13γ, 2α.5β.11γ} F19 = {2α.17β} F20 = {2α.5β.13γ, 2α.7β.11γ, 3α.17β} F21 = {2α.19β,3α.5β.13γ, 3α.7β.11γ, 2α.3β.5γ.11δ}