22/11/05 1
Logique et algorithmique
Deux thèmes transversaux
enjeux généraux:
nous attachons beaucoup
d’importance à la bonne santé de cette option hélas trop malmenée dans les années récentes.
22/11/05 3
Il s'agit de:
privilégier les exemples attractifs en classe
.
Profiter du fait que cette option est assez souvent à effectifs pas trop chargés pour pratiquer au maximum la pédagogie de projet, en donnant aux élèves des
travaux du genre dossier, à soutenir devant la classe
22/11/05 5
A priori les élèves engagés dans cette option sont plutôt de bonne volonté, donc il faut s'appuyer là
dessus en évitant de les confronter durement à leurs faiblesses en
calcul et autres.
Logique
Il ne s’agit pas du tout de faire un cours de logique mais d’entraîner les élèves tout au long de leur
cursus.
Les exemples doivent rester simples et attractifs
22/11/05 7
Exemples de proposition
« Un homme dont le chapeau est noir se promène le long de la rivière. »
« Un nombre dont le chiffre des unités est 8 est divisible par 8 » La proposition est fausse et pourtant…
C’est vrai pour 8 , pour 48 etc.
Les quantificateurs implicites
Un nombre entier dont la
somme des chiffres est divisible par 3 est divisible par 3.
Les nombres dont le chiffre des unités est 0 ou 5 sont divisibles par 5.
Sont des propositions vraies!
22/11/05 9
Un, des , les,
« un » se rapporte à « n’importe lequel »
« les » à « tous les » qui, lui-
même, se rapporte à « n’importe le quel »
Comment travailler ces propositions?
Un nombre naturel dont le chiffre des unités est 8 est-il toujours divisible par 8?
Existe-t-il des nombres naturels qui se terminent par 8 et qui sont divisibles par 8?
Les nombres entiers qui se terminent par 8 sont-ils tous divisibles par 8?.
22/11/05 11
Négation de la proposition
Il existe un nombre se terminant par 8 et qui n’est pas divisible par 8.
D’autres exemples de raisonnement
Un nombre entier N qui a un nombre n impair de diviseurs est un carré.
Si un facteur est pair alors le produit est pair.
n étant impair tous les facteurs sont impairs…exemple de contraposée
( )( )( )
1+1 2+1 3+1...×...=
×
×
×
=
c b
a n
p p
p
N a b c
22/11/05 13
La contraposée
S’Il pleut la route est mouillée
Équivaut à
Si la route est sèche il ne pleut pas
Les critères de
divisibilité et la double implication
Si d est pair alors le nombre est divisible par 2
si le nombre est divisible par 2 alors d est divisible par 2
Double implication = propriété caractéristique
( a b c ) d
abcd
10= 10 100 + 10 + +
22/11/05 15
Le raisonnement par l’absurde
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Montrer que racine de 2 n’est pas un rationnel.
Par l’absurde toujours
« Si a divise b alors a est inférieur ou égal à b »
Si a divise b alors il existe un entier k non nul tel que b = ka
Supposons que a est strictement plus grand que b, on a alors:
a>b d’où ka >kb d’où b > kb et
enfin k < 1 ce qui est contraire au fait que k est un entier non nul.
22/11/05 17
Le raisonnement par récurrence
En terminale
Pas de parties trop calculatoires
Un exercice possible
Dans une file de voitures si une voiture est rouge, la suivante est rouge. Une des voitures est verte que peut-on affirmer?
Et si elle est rouge?
On suppose qu’il y a 100 voitures dans la file, la 37ième est rouge peut-on
connaître le nombre de voitures rouges?
Et si elle est verte? Et si la nième est rouge? Verte?
22/11/05 19
des remarques
(Il n’est pas évident pour les élèves que n+1 est le successeur de n.)
Formulation conseillée: Après avoir vérifié la propriété pour le premier entier, « Considérons un entier n tel que P(n); montrons P (n+1)»
Montrer par récurrence que la dérivée de xn est nx n-1
En Analyse
Le travail sur le signe « = »
(x +1) ² = x ² +2x+1 est une proposition toujours vraie.
(x + 1)² = ( 2x – 1) ² est vraie pour deux valeurs de x.
Racine de ab= racine de a fois
racine de b est vraie si a et b sont positifs
22/11/05 21
Et; ou
Bien sûr en probabilité
x² = 4 si et seulement si x = 2 ou x = -2
3 inférieur ou égal à 5
Le nombre entier n est divisible par 12 s’il est divisible par 3 et par 4et
Si un nombre entier est divisible par 2 et par 6 est-il
nécessairement divisible par 12?
Variation de fonctions et logique
Soient a et b deux réels tels que a < b a-t-on toujours (parfois, jamais) f (a) < f (b)?
A-t-on (toujours parfois, jamais) f (a) = f(b)?
Quand les élèves donnent un
exemple pour preuve c’est un vrai problème de quantificateur
22/11/05 23
dans un même problème il arrive que l’on rencontre:
f ( x ) = 2 x² -3x + 1
Résoudre: f (x)= x + 1
Développement décimal d’un nombre rationnel
par exemple 45/13
Dans les divisions successives on a au plus 13 restes différents
(pourquoi?) que se passe-t-il quand on retombe sur un reste déjà rencontré?
22/11/05 25
En géométrie dans l’espace
« Trois points alignés en réalité sont alignés ou confondus sur le dessin»
Si trois points sont alignés sur le dessin le sont-ils dans la réalité?
Trois points ne sont pas alignés sur le dessin, que peut-on
conclure?
Si deux droites sont parallèles ou sécantes
En réalité le sont-elles sur le dessin?
Sur le dessin le sont-elles en réalité?
22/11/05 27
deux plans sont parallèles
un plan coupe les deux alors les deux droites d’intersection sont parallèles: si elles ne l’étaient pas les deux plans ne seraient pas
parallèles.
Le théorème du toit
« Si trois plans sont sécants deux à deux alors les trois droites
d’intersection sont soit sécantes soit parallèles. »
22/11/05 29
L’algorithmique
Savoir écrire un algorithme simple en langage naturel.
Savoir programmer un algorithme simple sur un tableur, une
calculatrice ou un logiciel dédié.
Comprendre ce que produit un algorithme donné en langage naturel.
Savoir écrire un algorithme
A et B sont deux entiers naturels
donnés.
a, b et r sont des entiers naturels.
Etape1: On pose a = A, b = B
Etape2: r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Étape 3: si r est non nul, remplacer a par b et b par r et revenir à l’étape 2.
Étape 4: afficher b, PGCD de A et B.
22/11/05 31
Savoir programmer un algorithme sur un
tableur
entrer A entrer B
2005 1150 1 855
1150 855 1 295
855 295 2 265
295 265 1 30
265 30 8 25
30 25 1 5
25 5 5 0
5 0 #DIV/0! #DIV/0!
Savoir programmer un algorithme sur une
calculatrice
Calcul d’un PGCD
4254 A
1146B
Lbl1
R=A-B*Int(A/B)
If R=0 Goto 2 (TI); R=0 =>Goto2(casio)
BA
RB
Goto 1
Lbl2
22/11/05 33
Utiliser un logiciel dédié
a = 2005 b = 1230 r = 775
a = 1230 b = 775 r = 455
a = 775 b = 455 r = 320
a = 455 b = 320 r = 135
a = 320 b = 135 r = 50
a = 135 b = 50 r = 35
a = 50 b = 35 r = 15
a = 35 b = 15 r = 5
a = 15 b = 5 r = 0
Le PGCD de 2005 et 1230 est 5
Exécution terminée.
Instructions exécutées : 57
Colonne de gauche
# Déclaration des variables
Entier A ; B ; a ; b ; r
# Entrées
Donner à A la valeur 2005
Donner à B la valeur 1150
# Initialisations
Donner à a la valeur A
Donner à b la valeur B
22/11/05 35
Déroulement de l’algorithme
[Début de la boucle]
Donner à r la valeur reste(a,b)
Afficher " a =" ; a; " b =" ; b ;"
r = " ; r
Aller à [Sortie] si r=0
Donner à a la valeur b
Donner à b la valeur r
Aller à [Début de la boucle]
Affichage final:
45/ Afficher "Le PGCD de" ; A ; " et" ; B ;
" est " ; b
Le PGCD de 2005 et 1150 est 5
Exécution terminée.
Instructions exécutées : 45
