Fiche de travaux dirigés en classe de 4 Année.

(1)

Cetic

de

Mbet.

Fiche de travaux dirigés en classe de 4 Année.

Année scolaire 2018 − 2019

Examinateur: Nzouekeu Mbitkeu Patrice Professeur de mathématiques.

Email: nzouekeu.patrice@yahoo.com

Exercice 1. (5 points) 1. Calcule: A =

3 4−⁵₈

7

2+⁴₃ et donne le résultat trouvé sous la forme d’une fraction irréductible. [1,5 point]

2. Exprime le nombre

B = 2√

75−3√

48− 1 4

√ 300 sous la forme a√

3 où a est un nombre rationnel à préciser. [1,5 point]

3. (a) Détermine la forme factorisée de 4x²−9 et de C(x) = 4x²−9−(2x−3)(x+ 5). [1 point]

(b) Résous dans R l’équation (2x−3)(x−2) = 0. [1 point]

Exercice 2. (5 points)

1. Résoudre dans R×R le système

x+y =30

3x+ 5y =140 [3 points]

2. Pour confectionner une robe,une couturière a besoin de la viseline et de la doublure.Le tout pour une longueur totale de 30 m.Déterminer le nombre de mètres de viseline ainsi que le nombre de mètres de doublure en sachant que:

• Un mètre de viseline coûte 300 F.

• Un mètre de doublure coûte 500 F.

• Elle a dépensé en tout 14000 F.

[2 points]

Dans un magasin,en fin de journée,le responsable a classé les 50 chèques encaissés.Les résultats se trou- vent dans le tableau suivant:

Montant en francs des chèques Effectifs Fréquence

[0; 2000[ 18%

[2000; 4000[ 30%

[4000; 6000[ 26%

[6000; 8000[ 8%

[8000; 10000[ 10%

[10000; 12000[ 8%

Total 50 100%

1. Calcule le pourcentage des chèques d’un montant supérieur ou égal à 6000 francs. [3 points]

2. Calcule les effectifs de cette distribution statistique et complète le tableau des effectifs. [3 points]

3. Calcule le montant moyen des chèques encaissés dans la journée. [3 points]

(2)

Cetic

de

Mbet.

1. Calculer les nombres suivants: A= ^5.10⁻²_2.10^×7.107 ⁵ B = ²⁺

1 4×³

2

1−⁵₃ C = ⁷₉ − ¹₉ × ³₂ [1point]

2. Mettre sous la forme a+b√

6 l’expression suivante: B = (√ 3−√

2)² [1 point]

3. Mettre sous la forme a√

b l’expression suivante: C =√

7−7√

700 +√

28 [1 point]

Soit l’expression littérale D= (2x−1)²−4

1. Développer et réduire D. [1 point]

2. Factoriser D. [1 point]

3. Calculer la valeur numérique de D pour x= ¹₂ , puis pour x= 0. [1 point]

Un père a 27 ans de plus que son fils.Dans 6 ans , l’âge du père sera le double de l’âge du fils.Trouver l’âge de chacun d’eux ?

Exercice 7. (5 points) Soit le nombre A=√

500−2√

5 + 3√

20.Ecrire A sous la forme b√

5 où b est un nombre entier.

Exercice 8. (5 points) On donne

F = 2−¹₃ 5 + ⁵₆

Calcule F, puis donne le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

On considère le polynôme suivant: P(x) = 16(x−1)² −(x+ 5)²

1. Développe et réduis P(x). [1 pt]

2. Factorise P(x). [1 pt]

3. Résous dans R l’équation (3x−9)(5x+ 1) = 0. [1 pt]

Un pot à fleurs a la forme d’un tronc de cône.Ses deux disques de base ont 10 cm et 20 cm de rayon,( O⁰A⁰ = 10 cm et OA = 20 cm ).La distance entre leurs centres O et O⁰ est 30 cm.Sur la figure (OA) et (O⁰A⁰) sont parallèles.

1. Montrer que ^SO_SO⁰ = ¹₂ [1pt]

2. Montrer que SO = 60 cm. [1pt]

3. Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de

centre O. [1pt]

4. Calculer le volume du pot.

On ne demande pas de refaire une figure. [1pt]

(3)

Cetic

de

Mbet.

On considère la figure géométrique suivante où l’on observe un triangle équilatéral et un rectangle. On pose AD= 12, DE = 5 et AC =x

1. Calcule en fonction de x les périmètres P₁(x) et P₂(x) respectivement du triangle équilatéral et du rectangle. [1 pt]

2. Calcule P₁(2), P₁(3), P₂(4), P₂(8) . [1 pt]

3. Pour quelle valeur de x a-t-on

P1(x) = 15,P2(x) = 20. [1 pt]

1. Représente graphiquement les applications affines f(x) = 3x et g(x) = 34 −2x dans un repère.

Unité sur les axes : 1 cm pour une unité sur l’axe des abscisses et 1 cm pour deux unités sur l’axe

des ordonnées. [2 pts]

2. Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) =g(x) ? [0,5 pt]

3. On veut entourer la partie rectangulaire avec 25 m de bordure.

(a) Résous l’inéquation 34−2x <25. [1 pt]

(b) Pour quelle valeur minimale de x peut-on entourer complètement

la partie rectangulaire. [0,5 pt]

1. Calcule I et donne le résultat sous forme de fraction irréductible I =

1 2+3

1

2−3 ÷ ³⁵3⁻¹

5+1 [2 points]

2. On considère le polynôme P(x) = 16−(2x+ 1)².

(a) Développe et réduis P(x). [1 point]

(b) Factorise P(x). [1 point]

(c) Résous dans R l’équation (−2x+ 3)(2x+ 5) = 0. [1 point]

1. Calcule et donne le résultat sous la forme la plus simple possible: B = ²⁷₃^×73×2⁻²⁶×7^×12×3⁻³ [2 points]

2. Résous dans R² le système

x+y= 23

15x+ 28y = 462 [2 points]

3. A la rentré scolaire Franck va dans un magasin et achète des cahiers de deux types. Sachant qu’il a acheté en tout 23 cahiers et que parmi les cahiers achetés certains coûtent 1500 F l’un et d’autres coûtent 2800 F l’un, calcule le nombre de cahiers de chaque type sachant que Franck a dépensé en

tout 46200 F. [1 point]

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,−→ i ,−→

j ). L’unité de longueur est le centimètre. On considère les points A(2; 1) , B(−2; 3) , C(5; 7) et D(−4;−1).

(4)

Cetic

de

Mbet.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs −→

AB , −→

AC et −−→

BD. [1,5 point]

2. Démontrer que les vecteurs −→

AB et −→

AC sont orthogonaux. [0,5 point]

3. Quelle est la nature de triangle ABC. [0,5 point]

4. Démontrer que les vecteurs −→

AC et −−→

BD sont colinéaires. [0,5 point]

5. Calculer les coordonnées du point I milieu de [BC]. [1 point]

6. Calculer la distance AC. [1 point]

L’unité de longueur est le centimètre. Sur la figure ci-dessous ABCD est un rectangle; les droites (HF) et (EG) sont parallèles.

On donne AG= 7 , DE = 3 , AD = 4 et AH = 2.

1. Montrer que AE = 5. [1 point]

2. Calculer AF. [1 point]

3. On pose GB =x. Calculer en fonction de x l’aire A du

rectangle ABCD. [1 point]

4. En déduire une valeur numérique de cette aire pourx= 2.

[1 point]

5. Trouver deux valeurs de x pour que cette aire soit

supérieure à 30. [1 point]

1. Calcule I et donne le résultat sous forme de fraction irréductible I =

1 2 + 3

1

2 −3 ÷

3 5 −1

3 5 + 1

[2 points]

2. Développe et réduis le réel A= (2 +√

3)² [1 point]

3. Factorise B avec B =x²−7−4√

3 [1 point]

4. Résous dans R l’équation x²−7−4√

3 = 0 [1 point]

(5)

Cetic

de

Mbet.

Une enquête portant sur la récolte du café a donné le diagramme à bande ci-contre , représentant le nombre de planteurs et la masse en tonnes de leurs récolte. La production est regroupée en classes.

1. En utilisant le graphique ci-contre, trouver le nombre de

planteurs interrogés. [1 point]

2. En utilisant le graphique ci-dessus, recopier et compléter le tableau suivant: [(0,5×6)point]

Classes [0; 10[ [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ Total

Effectifs 14 12 30 10

Fréquences en pourcentages 14% 18% 30% 10%

3. Combien de planteurs ont au moins 40 tonnes ?[1 point]

Exercice 18. (5 points) L’unité est le mètre.

Une route traverse un champ rectangulaire ABCD tel que AD = 6 ; AB = 8 et BI = 2,1 comme l’indique la figure ci-dessous. On pose BJ =x.

1. Calcule AC , sin\DCA ; déduis-en alors une valeur approchée à 10⁻² près de mes \DCA. [2points]

2. On note A l’aire totale du champ. (la route n’est pas considérée). Vérifie que A = ^48+2,1x₂ . [1point]

3. Quelle doit être la valeur de x pour que les droites (IJ) et (AC) soient parallèles ? [1point]

4. Dans tout ce qui suit , BJ =x= 2,8.

(a) Calcule IJ. [1point]

(b) Démontre que (IJ) est parallèle à (AC). [1point]

(c) Calcule la valeur de l’aire A; donne la nature du quadrilatèreAJ IC puis, déduis-en la largeur

h de la route. [2points]

(d) L’Etat décide de payer au propriétaire du champ les dommages causés par le passage de cette route à raison de 10000 FCFA le mètre carré. Combien recevra ce propriétaire si en plus , les cultures détruites sont évaluées à un montant de 350000 FCFA. [2points]

A l’occasion des fêtes de fin d’année, un parent dispose d’une somme de 120000 francs cfa pour ses trois enfants agés respectivement de 3 , 6 et 11 ans. Les parts sont proportionnelles aux âges. Détermine la

somme qui revient à chacun des enfants. [4 points]

Arthur désire aller nager dans un club multisports qui lui propose les deux possibilités suivantes:

Option A: 1000 frs par séance.

(6)

Cetic

de

Mbet.

Option B: un forfait annuel de 10000 frs auquel s’ajoute une participation de 500 frs par séance.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant:

Nombre de séances annuelles 12 25 Somme payée suivant l’option A

Somme payée suivant l’option B

[2 points]

2. On appelle x le nombre de séances de natation annuel d’Arthur.

(a) Exprimer en fonction de x la somme A(x) payée avec l’option A. [1 point]

(b) Exprimer en fonction de x la somme B(x) payée avec l’option B. [1 point]

3. On considère les applications f et g définies par : f(x) = 1000x et g(x) = 500x+ 10000. Dans la suite du problème on admettra que l’application f est associée à l’option A et que l’application g est associée à l’option B.

(a) Construire les représentations graphiques des applications f et g.(Unités sur les axes: 1 cm représente 2 séances en abscisse et 1 cm représente 4000 frs en ordonnée) [2 points]

(b) Arthur dispose de 26000 frs. Lire sur le graphique le nombre de séances annuel de natation qu’il peut effectuer avec chacune des deux options.

(Justifier par des tracés en pointillé.) [2 points]

(c) Déterminer par calcul à partir de combien de séances en un an, l’option B est plus avantageuse

que l’option A. [2 points]

Soit l’expression littérale: P = (x−1)² + (x−1)(x+ 2)

1. Développer et réduire P. [2 points]

2. Donner la forme factorisée de P. [2 points]

3. Résoudre dans R l’équation(x−1)(2x+ 1) = 0 [1 point]

Exercice 22. (5 points) 1. Le réel(2+√

5)−3√

20s’écrit sous la formea+b√

5, oùa etbsont des nombres rationnels.Trouver

les nombres a et b. [1pt]

2. Soit l’expression littérale: P = (x−1)²+ (x−1)(x+ 2)

(a) Développer et réduire P. [1pt]

(b) Donner la forme factorisée de P. [1pt]

(c) Résoudre dans R l’équation (x−1)(2x+ 1) = 0 [1pt]

3. Résoudre dans R×R le système

a+b = 36

4a+ 2b = 90 [1pt]

Albert , François et Jean veulent connaître leurs notes de mathématiques à la composition.Le professeur leur dit :

” les notes d’Albert et de François sont respectivement proportionnelles à 3 et 4 , les notes de François et de Jean sont respectivement proportionnelles à 2 et 3.La somme des trois notes est 36.”

Quelle est la note de chaque élève ?

(7)

Cetic

de

Mbet.

1. Calculer les produits suivants:

(a) A= (√

3−2)(√ 3 + 2) (b) B = (3−2√

2)(3 + 2√ 2) (c) C= (3−2√

2)² 2. Montrer que 2>√

3 et en déduire que 2√ 3>3.

3. On posep= ^√¹

3+2 , q=

√3−3 3+2√

3 , r =p

17−12√

3. Mettre chacun de ces réels sous la formea+b√ 3 où a et b sont des entiers relatifs.

Dans le plan rapporté à un repère (O,−→ i ,−→

j ),On considère les points A(0,2) , I(−1,0) , C(−2,−2) et le cercle (C) de centre I passant par A.

1. Montrer que les points A et C sont symétriques par rapport à I. En déduire que C appartient au cercle (C). Faire la figure.

2. Soit (T) la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AI).

(a) Que représente la droite (T) pour le cercle (C) ?

(b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (T) avec l’axe des abscisses , et tracer (T).

3. Soit B(4,0) et J le milieu du segment [AB].

(a) Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.

(b) Montrer sans faire de calculs que les droites (BC) et (IJ) sont parallèles.

(c) Quelle est la nature du triangle ABC ?

(d) Soit K le milieu du segment [BC]. Montrer sans faire de calculs que d(I, K) = d(A, J) , et en déduire que K appartient au cercle (C)

4. Soit (∆) la droite d’équation x+ 2y+ 1 = 0.

(a) Montrer que la droite (∆) est parallèle à la droite (AB) et qu’elle passe par le milieu du segment[CJ].

(b) Quelle est la nature du quadrilatère CIJ K ?

(c) Déduire des deux questions précédentes que la droite (∆) et la droite (IK) sont confondues.

Un père en mourant décide de distribuer une somme (S) à ses trois enfants Alima , Abdou et Ali. Les parts respectives x , y et z sont inversement proportionnelles à ²₃ , ⁴₅ et ⁸₃. Après partage , Abdou reçoit 641000 F.

Taches:

1. Calcule la somme (S) à partager. [3 points]

2. Calcule les parts respectives de Alima et Ali. [3 points]

3. Abdou décide de placer sa part à la banque au taux d’intérêt annuel composé de 15%. En combien

d’année atteindra-t-il la part de son frère Alima ? [3 points]

(8)

Cetic

de

Mbet.

La figure ci-contre représente un château d’eau composé d’un pylône cylindrique en béton , dont la base est un disque de 1m de rayon , au dessus duquel se trouve un réservoir composé d’un tronc de cône surmonté d’une cuve cylindrique. La hauteur du réservoir est de 1,7m. Ce château ravi- taille un village de12000 habitants consommant chacun7ld’eau par jour.

Un mètre cube de cette eau coûte 25F. Une élite de ce village supporte les 10% des frais de consommation d’eau.

1. Quel est le volume de la partie cylindrique du réservoir ? [3 points]

2. Le réservoir plein peut-il satisfaire ce village en

un seul jour ? [3 points]

3. Quel est le montant payé par les villageois en une semaine ?

(On prendra π= 3,14) [3 points]

Exercice 28. (5 points) On donne A= ¹⁺

√ 5

2 et 2,236 <√

5<2,237 1. Justifier que _A¹ =

√5−1

2 . [1 point]

2. Calculer A−1 puis en déduire que _A¹ =A−1. [1 point]

3. A partir de ce qui précède justifier que A² =A+ 1. [1 point]

4. Donner un encadrement de _A¹ par deux nombres décimaux consécutifs d’ordre 3. [1 point]

5. Vérifier que _A¹ + 2 =A+ 1 puis en déduire que _A¹ + 2 =A². [1 point]

La mère de Samira travaille au deuxième étage d’un immeuble. En face de cet immeuble , il y’a un chantier en construction. Chaque fois que Samira rend visite à sa mère sur son lieu de travaille , elle aime rester debout à la fenêtre du bureau pour regarder du haut de ses 1,60 mètres , la grande grue de (3 +√

3) tonnes installée au milieu du chantier. Ayant remarqué l’intéret de Samira pour la grue , sa mère lui fournie le schéma ci-dessous avec l’aide d’un géomètre. Sur ce schéma , Samira est à6,4mètres du sol et elle voit la grue sous un angle de 61^◦. Son champ visuel fait un angle de 22^◦ avec le sol.(voir la figure ci-dessous). Toute émerveillée , Samira se propose de calculer la hauteur de la grue.

Taches:

1. Calculer la distance qui sépare l’immeuble de la

grue. [3 points]

2. Calculer la hauteur de cette grue au centimètre près.

[3 points]

3. Cette grue peut-elle supporter une charge de masse m =

√ 6+√

√ 2 6−√

2 tonnes ? [3 points]

(9)

Cetic

de

Mbet.

L’unité de longueur est le centimètre. On ne demande pas de reproduire la figure sur ta copie. Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraies grandeurs :

♣ SABCD est une pyramide régulière de base le carré ABCD ;

♣ La section de cette pyramide par un plan parallèle au plan(ABC) est le carré A⁰B⁰C⁰D⁰ ;

♣ Le point I est le milieu du segment [BC] et les droites (SI) et (BC) sont perpendiculaires.

On donne AB= 4 ; A⁰B⁰ = 2 ; SI = 4√

2 et SB = 6.

1. Justifie que SB⁰ = 3. [3 points]

2. Justifie que l’aire latérale de la pyramide SABCD est 32√

2 cm². Calcule une valeur approchée de l’aire latérale du tronc de pyramide ABCDA⁰B⁰C⁰D⁰ (On prendra√

2'1,4). [3 points]

3. Calcule l’aire latérale de la petite pyramide SA⁰B⁰C⁰D⁰. [3 points]

On considère le polynôme P(x) =x√

3(x−1) + (4x−2)(x√ 3−√

3)

1. Développe, réduis et ordonne P(x) suivant les puissances décroissantes de x. [2 points]

2. Écris P(x) sous forme d’un produit de polynômes du premier degré en x. [2 points]

3. Résous dans Q puis dans Z l’équation (x−1)(5x√

3−2√

3) = 0. [1 point]

On donne un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm.

1. Faire la figure. [0,5 point]

2. Montrer que BC = 10 cm. [1 point]

3. (a) Calculer le cosinus de l’angle ABC[. [1 point]

(b) En déduire à un degré près la mesure de l’angle ABC.[ [0,5 point]

4. Soit M un point de [AB] et N un point de [AC] tels que (M N) soit parallèle à (BC) et AM = 3

cm. Calculer AN et M N. [2 points]

La remise des copies de mathématiques dans une classe de quatrième année comptant pour la deuxième séquence a donné les résultats suivants:

(10)

Cetic

de

Mbet.

11 10 08 07 06 05 09 09 08 11 12 13 14 04 15 13 13 16 06 08 09 10 11 12 10 06 05 07 05 09 06 04 07 13 14 13 06 05 04 08 11 13 14 12 13 07 08 10 11 12 07 08 09 10

1. Combien d’élèves ont-ils participé au devoir ? [1 point]

2. Quelle est la nature du caractère étudié ? Justifie ta réponse. [1 point]

3. Dresse le tableau des effectifs et des fréquences de cette série statistique. [2 points]

4. Quel est le mode de cette série? [1 point]

5. Détermine le pourcentage d’élèves ayant une note contenue dans l’intervalle ]8,5 ; 13,75[.[1 point]

6. Représente le diagramme en bâtons de la série. [2 points]

7. Calcule la note moyenne de mathématiques pour cette séquence. [2 points]

Exercice 34. (10 points) Situation:

Une couturière a installé son atelier dans un local peu accessible par les taxis , dont le coût mensuel de loyer est de 50000 francs CFA. Elle paie un forfait mensuel de 2500 francs pour la consommation d’électricité. Elle utilise également des personnels. Elle coud des tenues scolaires et les vend aux détail- lants suivant deux formules:

Formule 1: 4000 francs CFA pour une tenue avec livraison gratuite à domicile ;

Formule 2: 3500 francs CFA pour une tenue et 8000 francs CFA de frais de livraison quelque soit la distance et le nombre de tenues à transporter.

Pour chaque tenue vendue , un bénéfice de 1000 francs CFA est réalisé dont 125 francs sont réservés pour le salaire du personnel. Ce bénéfice réalisé permet de couvrir sans économie , les charges dues aux salaires des personnels , au loyer et à la consommation d’électricité. La couturière fait d’autres activités dans son atelier.

Pour confectionner ces tenues , la couturière dispose de 38000 francs CFA pour l’achat des boutons qui sont de deux types: des boutons dorés et des boutons simples. Un bouton doré coûte 25 franc de plus qu’un bouton simple. La couturière achète au total 550 boutons dont 200 dorés.

Tâches:

1. Calcule le prix d’un bouton de chaque type. [3 points]

2. Calcule le nombre de tenues à confectionner par mois pour couvrir toutes ses charges sans faire

d’économies. [3 points]

3. Calcule le nombre de tenues à acheter par un revendeur pour faire la même dépense quelque soit le

tarif choisi. [3 points]

(11)

Cetic

de

Mbet.

la figure ci-dessous représente une paire de ciseaux , d’axe de symétrie (F).

On donne en centimètres AB = 6 , AO= 5 et DC = 10.

1. Calcule OH. [2 points]

2. Montre que OC = ²⁵₃ . [2 points]

3. Calcule , sous forme de fraction irréductible , la longueur

AC de ces ciseaux. [1 point]

Exercice 36. (5 points) 1. Calcule: A =

3 4−⁵

8 7

2+⁴₃ et donne le résultat trouvé sous la forme d’une fraction irréductible. [1,5 point]

2. Exprime le nombre B = 2√

75−3√

48− ¹₄√

300 sous la forme a√

3 où a est un nombre rationnel

à préciser. [1,5 point]

3. (a) Détermine la forme factorisée de 4x²−9 et de C(x) = 4x²−9−(2x−3)(x+ 5). [1 point]

(b) Résous dans R l’équation (2x−3)(x−2) = 0. [1 point]

Exercice 37. (10 points) 1. Calcule

A= 2

3 +³₄

2

3 −³₄ ÷

1 2 − ⁴₅

1 2 + ⁴₅

2

[2 points]

2. Factoriser les expressions littérales suivantes:

(a) P(x) = (x²−3x) + (2x−5)(3−x) [2 points]

(b) Q(x) = (3x−2)²−(x+ 5)(2−3x) [2 points]

3. Simplifier les fractions rationnelles suivantes:

(a) F1(x) = ^x_x+1²⁻¹ [1 point]

(b) F₂(x) = ^x²_2x(x−5)^−10x+25 [1 point]

4. Calculer la valeur numérique de H(x) = x²−2x+ 1 pour x= 0 [2 points]

On considère les nombres réels suivants: A = √

40 + 7√

90− 3√

250 , B = √

63 + 2√

28 − 3√ 7 , C = √

75 +√

48 + √

25 , D = (√

3−4)(2−√

3) , E = (2√ 2−√

5)(√ 2 + √

5) , F = (3√

2 + 5)² , G= ³

1+√

2 , H = ²⁺

√ 3

−√

2+1 , I = ¹⁺

√

√ 2 3

1. Ecrire A et B sous la forme a√

b où a et b sont des nombres à déterminer. [2 points]

2. Ecrire C sous la forme a+b√

c. [2 points]

3. Calculer D ; E et F. [3 points]

4. Ecrire G ; H et I sans radical au dénominateur. [3 points]

(12)

Cetic

de

Mbet.

ABCD est un quadrilatère quelconque. M est le milieu de[AB], N est le mileu de [BC], P est le milieu de[CD]etQest le milieu de[AD]. On veut montrer que le quadrilatèreM N P Q est un parallélogramme.

1. Dans le triangle ABD :

(a) Ecris la propriété de Thalès. [1 point]

(b) Montre que (QM) est parallèle à (BD). [1 point]

(c) Montre que QM = ^BD₂ . [1 point]

2. Dans le triangle CBD :

(a) Ecris la propriété de Thalès. [1 point]

(b) Montre que (N P) est parallèle à (BD). [1 point]

(c) Montre que N P = ^BD₂ . [1 point]

3. En utilisant les questions qui précèdent,

(a) Montre que (M Q) est parallèle à (N P). [1 point]

(b) Montre que M Q=N P. [1 point]

(c) Montre que M N P Q est un parallélogramme. [1 point]

On considère le polynôme P(x) =x√

3(x−1) + (4x−2)(x√ 3−√

3)

1. Développe, réduis et ordonne P(x) suivant les puissances décroissantes de x. [2 points]

2. Écris P(x) sous forme d’un produit de polynômes du premier degré en x. [2 points]

3. Résous dans Q puis dans Z l’équation (x−1)(5x√

3−2√

3) = 0. [1 point]

L’unité de longueur est le cm. On ne demande pas de reproduire la figure sur ta copie.

Sur la figure ci-contre qui n’est pas en grandeurs réelles :

♣ SABCD est une pyramide régulière de sommet S et de base le carré ABCD ;

♣ Un plan parallèle au plan de base coupe le segment [AS] en A⁰ ;

♣ I est le milieu de [AB] ,

On donne AB= 6 ; ^SA_SA⁰ = ¹₃ ; SI = 6 et SI⁰ = 2.

1. Justifie que A⁰B⁰ = 2. [3 points]

2. Justifie que l’aire latérale de la pyramide SA⁰B⁰C⁰D⁰ est égale à 8

cm². [3 points]

3. Calcule l’aire latérale du tronc de pyramide. [3 points]