1SIO2 16 octobre 2019 Contrˆole 1 de math´ematiques approfondies
Exercice I
A partir des recensements effectu´es tous les dix ans, on a ´etabli le tableau suivant qui` donne l’´evolution de la population fran¸caise en millions d’individus entre 1851 et 1911.
Peu de donn´ees sont disponibles pour l’ann´ee 1871.
Population Population Population Population Population Population
en 1851 en 1861 en 1881 en 1891 en 1901 en 1911
Rang de la
d´ecennie :xi 0 1 3 4 5 6
Population
en mil-
lions :yi
35 37,4 37,7 39,9 39 39,6
Source : INSEE
Partie A : Approximation de la population en 1871.
1. Placer sur le graphique ci-dessous le nuage de points de coordonn´ees (xi; yi ).
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire, arrondi au centi`eme, de cette s´erie.
3. Un ajustement affine paraˆıt-il justifi´e ?
4. Donner une ´equation de la droite d’ajustement affine deyen fonction de xobtenue par la m´ethode des moindres carr´es. Les coefficients seront arrondis au milli`eme.
5. On d´ecide d’ajuster ce nuage de points par la droite (d) d’´equationy= 0,7x+ 35,9.
Donner les coordonn´ees de deux points de cette droite et tracer cette droite sur ce mˆeme graphique.
6. `A l’aide de ce mod`ele, estimer la population en 1871.
Partie B : ´Evolution de la population apr`es 1911.
1. Les donn´ees de l’INSEE (Institut National de la Statistique et des ´Etudes ´Economiques) montrent qu’en 1921 la population fran¸caise ´etait d’environ 39,2 millions de per- sonnes. Le mod`ele utilis´e dans la partie A pr´evoyait-il ce r´esultat ?
2. Sachant qu’en 2011 il y avait 65,2 millions d’habitants en France, pensez-vous que ce mod`ele reste valable jusqu’`a nos jours ? On attend une r´eponse argument´ee.
Exercice II
Deux groupes A et B ont obtenu lors d’un QCM commun les notes sur 10 suivantes :
Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 1 1 0 0 1 2 2 4 4 2 4
B 0 2 1 0 1 3 2 2 7 4 0
On demande au professeur quel est son meilleur groupe. Que r´epond-il s’il consid`ere que le meilleur groupe est celui :
1. dont le meilleur ´el`eve a la meilleure note ? 2. dont la note moyenne est la plus forte ?
3. dont la dispersion des notes autour de leur moyenne est la plus faible ? 4. dont la note m´ediane est la plus haute ?
5. o`u l’´ecart interquartileQ3−Q1 est le plus grand ?
Exercice III
D´eterminer les solutions de
x2�25 ; x2>6 ; 1
x <2 ; √ x�8 On pourra justifier `a l’aide d’un sch´ema rapide d’une courbe de fonction usuelle.
SIO1 9 novembre 2016 Corrig´e du contrˆole 1 de math´ematiques approfondies
Exercice I
Partie A : Approximation de la population en 1871.
1. Nuage de points de coordonn´ees (xi; yi ).
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2. La calculatrice donne un coefficient de corr´elation lin´eaire r�0,89 . 3. r est proche de 1 donc un ajustement affine est justifi´e.
4. `A l’aide de la calculatrice, une ´equation de la droite d’ajustement affine de y en fonction dex obtenue par la m´ethode des moindres carr´es est y= 0,701x+ 35,881 (Les coefficients sont arrondis au milli`eme).
5. On d´ecide d’ajuster ce nuage de points par la droite (d) d’´equationy= 0,7x+ 35,9.
Pour x = 0, on trouve y = 0,7×0 + 35,9 = 35,9. La droite passe par le point de coordonn´ees (0 ; 35,9).
Pour x = 13, on trouve y = 0,7×13 + 35,9 = 45. La droite passe par le point de coordonn´ees (13 ; 45).
Cette droite est trac´ee sur ce mˆeme graphique.
6. `A l’aide de ce mod`ele, estimons la population en 1871. Le rang de la d´ecennie est 2.
Rempla¸cons xpar 2 dans l’´equation de la droite.y= 0,7×2 + 35,9 = 37,3 . Selon ce mod`ele, nous pouvons estimer `a 37,3 millions la population fran¸caise en 1871.
Partie B : ´Evolution de la population apr`es 1911.
1. Les donn´ees de l’INSEE (Institut National de la Statistique et des ´Etudes ´Economiques) montrent qu’en 1921 la population fran¸caise ´etait d’environ 39,2 millions de per- sonnes.
En 1921, le rang de la d´ecennie est 7. y= 0,7×7 + 35,9 = 40,8.
Selon le mod`ele utilis´e dans la partie A, nous pouvons estimer `a 40,8 millions la population fran¸caise en 1921.
Ce mod`ele donne une ´evaluation un peu haute du r´esultat.
Nous pouvons cependant estimer que le mod`ele permettait d’avoir une estimation proche du r´esultat (+4 %, ce qui paraˆıt acceptable).
2. Sachant qu’en 2011 il y avait 65,2 millions d’habitants en France. En 2011, le rang de la d´ecennie est 16.y= 0,7×16 + 35,9 = 47,1.
Selon le mod`ele utilis´e dans la partie A, nous pouvons estimer `a 47,1 millions la population fran¸caise en 2011.
Par cons´equent, il apparaˆıt que ce mod`ele ne reste plus valable jusqu’`a nos jours.
L’estimation minimise la population de pr`es de dix-huit millions.
Exercice II
Deux groupes A et B ont obtenu lors d’un QCM commun les notes sur 10 suivantes :
Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 1 1 0 0 1 2 2 4 4 2 4
B 0 2 1 0 1 3 2 2 7 4 0
On demande au professeur quel est son meilleur groupe.
1. Si le professeur consid`ere que le meilleur groupe est celui dont le meilleur ´el`eve a la meilleure note, alors il r´epond : le groupe A, puisque dans ce groupe, 4 ´el`eves ont obtenu la note 10 et aucun dans le B.
2. Le groupe o`u la note moyenne est la plus forte est le A : xA�6,9 etxB �6,4
3. Le groupe o`u la dispersion des notes autour de leur moyenne est la plus faible est le B :
σA�2,69 et σB �2,48 4. Le groupe dont la note m´ediane est la plus haute est le B :
MA= 7 et MB = 7,5
5. Les deux groupes pr´esentent le mˆeme ’´ecart interquartileQ3−Q1= 3 : groupe A : Q3 = 9 etQ1= 6
groupe B :Q3= 8 et Q1 = 5
Exercice III
• x2 �25 a pour solution [−5 ; 5].
25
−5 0 5
• x2 >6 a pour solution ]− ∞; −√
6[ ∪]√
6 ; +∞[.
6
−√
6 √
0 6 1
1
• 1
x <2 a pour solution ]− ∞ ; 0[∪]12; +∞[.
2
1 2 0 1
1
• √
x�8 a pour solution [0 ; 64].
8
0 64
