EPFLAlgèbre linéaire 1ère année 2007-2008
Corrigé de la série 19
Exercice 1. Calculons les valeurs de T∗ sur la base standard (e1, e2, e3) : T∗(e1) =
3
X
i=1
he1, T eiiei =he1, e1+e3ie1+he1, e1+e2+e3ie2+he1, e3ie3 =e1+e2, T∗(e2) =· · ·=e2,
T∗(e3) =· · ·e1+e2+e3.
Par conséquence : T∗(u, v, w) = (u+ w, u+ v + w, w). On a [T∗](e1,e2,e3) =
1 0 1 1 1 1 0 0 1
= [T]∗(e
1,e2,e3), ce qui conrme un résultat du cours.
Exercice 2.
(a) D'après l'exercice 7 de la série 15, la liste p0 = 1
√2, p1 = r3
2x, p2 = 3 2
r5 2
x2 −1
3 !
est une base orthonormale de V. On calcule : T∗(p0) =
2
X
i=1
hp0, T piipi =hp0,0ip0+hp0,0ip1+hp0,3 2
r5 2x2ip2 CommeT p0 = 0, il s'ensuit que T 6=T∗, est T n'est donc pas auto-adjoint.
(b) On a[T](1,x,x2) =
0 0 0 0 0 0 0 0 1
, d'où [T](1,x,x2) = [T]∗(1,x,x2). Cela ne pose pas une contradic- tion au fait queT n'est pas auto-adjoint, comme la base(1, x, x2)n'est pas orthonormale.
Exercice 3. Par l'exercice 4 de la série 8, on a V = ker(p)⊕im(p), et p est la projection sur U := im(p) le long de W := ker(p).
Supposons d'abord que p est auto-adjoint. Pour montrer que p est une projection ortho- gonale, il faut prouver que W = U⊥. Comme V = U ⊕ W ainsi que V = U ⊕ U⊥, les sous-espaces W et U⊥ sont de même dimension. Il sut donc de voir que W ⊆ U⊥. Soit v ∈ W = ker(p) et prenons w ∈ U = im(p). Il existe u ∈ V tel que w = p(u). Alors : hv, wi = hv, p(u)i = hp∗(v), ui = hp(v), ui = 0. Comme w était arbitraire, ça montre que v ∈U⊥.
Soit maintenant p une projection orthogonale. Alors W =U⊥. Pour v, w ∈ V, comparons hpv, wiethv, pwi. Pour cela, écrivonsv =v0+v1 etw=w0+w1, avecv0, w0 ∈U etv1, w1 ∈W, et calculons :
hpv, wi=hp(v0+v1), w0+w1i=hv0, w0 +w1i=hv0, w0i, hv, pwi=hv0+v1, p(w0+w1)i=hv0+v1, w0i=hv0, w0i.
Par conséquent, hpv, wi=hv, pwi pour toutv, w∈V, et donc p∗ =p.
Exercice 4. On considère F2, muni du produit scalaire usuel, et TA, TB : F2 → F2, où A = 1 2
2 0
et B =
0 1 1 0
. Évidemment, A =A∗ et B =B∗, alors TA et TB sont auto-adjoints.
Mais AB=
2 1 0 2
6=
2 0 1 2
= (AB)∗, doncTA◦TB n'est pas auto-adjoint.
Exercice 5. C'est le même argument que pour V de dimension nie : Soit v ∈ V. Alors hw, Sv−S0vi =hw, Svi − hw, S0vi =hT w, vi − hT w, vi = 0 pour tout w ∈V. Comme h−,−i est non-dégénérée, il s'ensuit que Sv − S0v = 0 et donc Sv = S0v. Comme c'est vrai pour n'importe quel v ∈V, on a bien que S=S0.
Exercice 6.
(a) Pour p∈V, on a R1
0 rpq =R1
0(rp)q =hrp, qi= ev1(rp) = (rp)(1) =r(1)p(1) = 0. (b) Pour p:=rq, on a R1
0 r(rq)q =R1
0 rqrq =hrq, rqi=krqk2 6= 0parce que rq 6= 0(comme évidemmentq 6= 0). Par (a), on obtient cependant R1
0 r(rq)q= 0. Contradiction ! Exercice 7.
(a) Soient p, q ∈ V. Alors hp, Dq+D∗qi = hp, Dqi+hDp, qi = R1
0 pq0 +R1
0 p0q = (pq)|10 = p(1)q(1)−p(0)q(0).
(b) Soit q(x) = x et p ∈ V. Alors hp, Dq+D∗qi = p(1)·1−p(0)·0 = p(1) = ev1(p). Le polynôme q0 := Dq+D∗q aurait alors la propriété hp, q0i = ev1(p) pour tout p ∈ V. Par l'exercice précédent, un telq0 n'existe pas. Contradiction ! L'hypothèse que D∗ existe était donc fausse.
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