EB n°1

ECO 1 LMA Mathématiques Le 2 février 2021

EB n

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Durée : 4h

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice 1

Soitf la fonction numérique définie sur [0,+∞[ par la relation : f(t) = ln(1 +t) + t²

1 +t². 1.

(a) Étudier les variations def.

(b) Justifier que ln(1 +t) = lnt+ ln(1 +¹t. En déduire la limite du rapport f(t)

t lorsquettend vers +∞.

2. Soitnun entier naturel non nul. On considère l’équation : (En) :f(t) = 1

n

(a) Montrer que l’équation (En) admet une solutionαn et une seule.

(b) Montrer que la fonctionf admet une fonction réciproque. Dresser le tableau de variation def⁻¹ . En déduire le sens de variation et la limite de la suite (αⁿ)n∈N^×.

(c) Déterminer la limite du rapport f(t)

t lorsquettend vers 0 par valeurs strictement positives.

En déduire la limite de la suite (nαⁿ)n∈N^×.

Execice 2

Soitf la fonction définie surRparf(x) = e^x e^2x+ 1

1. (a) Montrer quef est paire et étudier les variations de f sur [0 ; +∞[. En dédéduire les variations def surR.

(b) Montrer qu’il existe un unique réelℓtel quef(ℓ) =ℓ. Justifier : 06ℓ61

2 (on donnef(1/2)<1/2 ) (c) Montrer que pour tout réelx:|f^′(x)|6f(x)61

2 2. On définit la suite (uⁿ)^n∈Npar :

u0= 0 et∀n∈N un+1=f(uⁿ) (a) Montrer que, pour toutn∈N un∈[0,1

2] (b) Montrer que, pour toutn∈N:

|uⁿ+1−ℓ|61

2|uⁿ−ℓ| puis |uⁿ−ℓ|6 1 2ⁿ⁺¹ (c) En déduire que la suite (un) converge versℓ.

(d) Ecrire un programme en Scilab permettant d’obtenir une valeur approchée deℓ à 10⁻³ près.

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Exercice 3

Dans tout l’exercice,on notenun entier supérieur ou égal à 1 etAl’événement contraire d’un événementA.

On suppose que dans une certaine région, pendant une période donnée, seuls deux états météo sont possibles : le beau temps et le mauvais temps.

L’étude des bulletins météo du passé laisse penser que le temps qu’il fait un certain jour de cette période dépend du temps qu’il a fait la veille de la façon suivante :

• s’il fait beau un jour donné, la probabilité qu’il fasse beau le lendemain est égal à 4 5;

• s’il fait mauvais un jour donné, la probabilité qu’il fasse mauvais le lendemain est égal à 2 5. On s’intéresse à une période débutant le jour 1, jour au cours duquel il a fait beau.

Pour tout entiern>1,on note :

• Bⁿ l’événement : “il fait beau le journ” ;

• Bⁿ l’événement : “il fait mauvais le journ” ;

• uⁿ=P(Bⁿ) etvⁿ =P Bⁿ . 1. (a) Donner la valeur deu1.

(b) Déterminer les probabilités conditionnellesP^Bn(Bn+1) etPBn(Bn+1).

2. (a) À l’aide de la formule des probabilités totales, établir la relation :∀n∈N^∗, un+1= ⁴₅uⁿ+³₅vⁿ. (b) En déduire pour toutn∈N^∗, un+1 en fonction deuⁿ.

(c) Déterminer pour toutn∈N^∗,l’expression deuⁿ en fonction den.

(d) Calculer lim

n→+∞uⁿ et interpréter ce résultat.

3. (a) Montrer que pour toutn∈N^∗,on a :vn+1= ¹₅uⁿ+²₅vⁿ.

(b) Pour toutn∈N^∗,on noteXⁿla matrice colonne suivante :Xⁿ= uⁿ

vⁿ

.

Déterminer la matrice carréeK,indépendante den,qui vérifie la relation suivante :

∀n∈N^∗, Xn+1=XⁿK.

(c) À l’aide d’un raisonnement par récurrence, donner pour toutn∈N^∗,l’expression deXⁿ+1en fonction deX1et K.

(d) En déduire l’expression (sous forme d’un tableau) de la matriceKⁿ en fonction den.

4. (a) Soit Uⁿ l’événement “il fait beau pendant lesn premiers jours de la période considérée”. Calculer P(Uⁿ).

(b) SoitVⁿl’événement “il fait beau au moins deux fois lors desnpremiers jours de la période considérée”.

CalculerP(Vⁿ).

Exercice 4

Dans ce problème, n désigne un entier naturel non nul et E désigne l’ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2n.

Sia0, a1, . . . , a2n sont 2n+ 1 réels etQest le polynôme défini surRpar : Q(x) =

X2n

k=0

a^kx^k,

1. On définit une suite (R^k)^k∈N^∗ de polynômes par : pour tout réelx,

R1(x) =x, R2(x) =x²−2 et pour tout entierk supérieur ou égal à 2,

Rk+1(x) =xR^k(x)−Rk−1(x) (a) Déterminer les polynômesR3 etR4.

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(b) Montrer que, pour tout entierk strictement positif, R^k est un polynôme de degré k vérifiant pour tout réelxnon nul, l’égalité :

R^k

x+1 x

=x^k+ 1 x^k

(c) Pour tout réela, déterminer, s’ils existent, les réels x non nuls qui vérifient la relation suivante : x+1

x=a.

2. Dans cette question, Qdésigne un polynôme de degré 2n défini par :Q(x) = P²ⁿ

k=0

akx^k, tel que a2n soit non nul et tel que, pour tout entierk de l’intervalle [[0, n]], l’on ait :a^k=a2n−k.

On définit alors le polynôme Qe par :

Q(x) =e aⁿ+ Xn

k=1

a^n−kR^k(x).

(a) Vérifier que 0 n’est pas racine deQ.

(b) Soitxun réel non nul, on pose : y=x+1 x. Montrer que Q(x)

xⁿ est nul si et seulement siQ(y) est nul.e

Quel est l’intérêt de ce résultat dans la recherche des racines deQ? (c) On suppose quenest égal à 3 et queQest défini par :

Q(x) =x⁶+x⁵−9x⁴+ 2x³−9x²+x+ 1.

Déterminer les racines de Q.

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