ةيعمج ءاقدصأ تايضايرلا ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES

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Corrigé de l’exercice 4 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 1

ةيعمج ءاقدصأ

تايضايرلا

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES

Corrigé de l’exercice 4

du devoir Amimaths 7C 04/02/2017

Par Moctar Baba Hamdi

Exercice 4 :

Le plan complexe Pest muni d’un repè re orthonormé



O ; u , v



1° On donne dans l’équation :

 

^E :^z³^^{2ie z}ⁱ^ ²^^{2ie z 4e}²ⁱ^ ^ ³ⁱ^



^{2 i}^{ }



⁰^avec^



^{0, 2}^



.

a) Vérifie r que

 

E0 pour



^{ }⁰



admet une solution réelle à déterminer.

b) Résoudre alors dans l’équation

 

E0 .

2° a) Montrer que zest une solution de

 

^E si et seulement si ze^{ }ⁱ est solution de

 

E0

b) En déduire les solutions

 

^E .

3° On note A,BetC les images des solutions de

 

E0 avecz_A , z_B  z_C et A',B' etC' celles des solutions de

 

^E .

a) Calculer puis interpréter les complexes ^A

B C

z

z z et ^B

C A

z z z .

b) Caracté riser l’applicationrde P dans P qui à tout point M z associe

 

M' z' tel que

 

z'e zi^

c) En déduire que les triangles ABCet A'B'C'ont le mê me orthocentre.

d) Montrer que les points A',B' etC'varient sur des cercles concentriques à préciser.

Corrigé

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé .

1. , a) Vérifions que admet une solution réelle :

Si est une solution de , alors :

(2)

Corrigé de l’exercice 4 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 2

Réciproquement, il est simple à vérifie r que est bien une solution de . b) Résolution de dans :

Comme est une solution de , alors le polynôme est factorisable par .

Donc il existe deux nombres complexes et tels que :

D’où par identification :

Ainsi, est équivalente à :

Le discriminant de l’équation est :

Ses solutions sont donc :

L’ensemble des solutions de est donc :

(3)

Corrigé de l’exercice 4 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 3 2. a) Montrons que est solution de ssi est solution de :

est solution de

est solution de . b) Déduisons les solutions de :

D’après la question précédente, l’ensemble des solutions de est :

3. , , , , et .

a) Calculons et interprétons les complexes

et

:

Ainsi on a montré que est un point commun des hauteurs issues de et dans le triangle , et donc est l’orthocentre du triangle .

b) Caracté risons l’application

tel que : 1^e méthode :

L’écriture complexe de est de la forme avec et . Si , alors est l’application identique du plan (translation de vecteur nul).

Si , alors est la symétrie centrale (homothétie de rapport ) de centre (car

).

Si , alors est la rotation (car et ) de centre (car

) et d’angle .

Dans les trois cas on peut conclure que est la rotation de centre et d’angle .

(4)

Corrigé de l’exercice 4 du de voir AMIMATHS 7° C 04/02/2017 par Moc tar Baba Hamdi 4 2^eméthode :

Si , alors . Donc : . Si , alors . Donc :

.

Ainsi, est la rotation de centre et d’angle .

c) Déduisons que les triangles et ont le même orthocentre : On sait que :

Et de mê me et .

Donc transforme l’orthocentre du triangle en l’orthocentre du triangle . Et comme O est invariant par r, alors ces deux triangles ont le mê me orthocentre.

d) Montrons que les points , et varient sur des cercles concentriques : On a :

D’où les points , et varient sur des cercles concentriques de centre .