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Remarque sur l'intégration de certaines équations aux dérivées partielles du second ordre

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(1)

B ULLETIN DE LA S. M. F.

J. C LAIRIN

Remarque sur l’intégration de certaines équations aux dérivées partielles du second ordre

Bulletin de la S. M. F., tome 32 (1904), p. 149-152

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149

MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS.

REMARQUE SUR L'INTÉGRATION DE CERTAINES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE;

Par M. J. CLAIRIN.

Pour intégrer par la méthode de M. Darboux une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, il faut chercher si les deux systèmes de caractéristiques (G) et (F), que nous supposons distincts, possèdent des invariants. M. Goursat a étudié (4) les équations qui définissent ces invariants et il a obtenu des résultats importants; ceux de ces résultats qui sont relatifs aux invariants du second ordre peuvent être énoncés ainsi :

S)'ilexiste un invariant du premier ordre pour le système (C) de caractéristiques, il y a au plus un invariant du second ordre pour le même système ;

Si Inéquation donnée est une équation de Monge-Ampèrc^ il y a au plus un invariant du second ordre pour chaque sys- tème de caractéristiques.

Dire qu'il n'y a qu'un invariant du second ordre signifie qu'il est toujours possible d'exprimer tous les invariants de cet ordre en fonction de l'un d'entre eux et des invariants du premier ordre.

Ces deux théorèmes sont des cas particuliers de la proposition s u i v a n t e :

Si le système (C) se compose de caractéristiques du premier ordre, ce système possède au plus un invariant du second ordre.

Soit

(i) r^-f\x,y,z,p,q,s, t ) == o

une équation de l'espèce indiquée; soient en outre m cl y. les

( * ) Leçons sur les équations aux dérivées partielles du second ordre, t. Il, Ch. Vil. Les notations dont je me sers sont les nicincs que celles qui ont rie employées par M. Goursat clans cet Ouvrage.

X X X I I . 10

(3)

- 1.SO — racines de l'équation caractéristique

>-^^-«.

la racine m correspondant au système (C) de caractéristiques, c^est-à-dire au système composé de caractéristiques du premier ordre. L'équalion (i) peut être regardée comme le résultat de réiiminalion de m entre les équations

/• + ms 4- g(v,y, -s,/?, ç, m) = o, s -4- mt 4- k{x,y,z,p,q, m) = o;

W

autrement dit l'on a

/( -y»yi ^5 p. ^ ^ 0 ==

ms

-+- ^(^ y» ^ ^» ^

w

m étant une fonction de x, y, ^»7?? <7? ^5 ^ définie par la seconde équation (2).

Pour trouver tous les invariants du second ordre du système (C)^

il faut intégrer les équations

()(p <)o

àt-^às^

0

- â^^^^â^

7

^

7

^

, à^ /àf àf àf àf\à^

-+-(s+ mt) - — (-/- -}-q —- -+-S-— 4- < -- )-r- = o;

v ()y \ ày " àz àp àq / as

en remplaçant ms — / e t s + w^ par leurs valeurs, cette dernière équation devient

à^ à^ , . ()î& , . 0 ^ 9

•^^-m•^+(•P-i-m'5l)à^~s(x'•>r'z'p'qlm)àp . àv /àf àf àf àf\àv -k(x'y'^^^^)^-(^+9^+sàp-ttJq)à!=o

Supposons qu^il existe une intégrale u{x^ y, -s, p , q, s^ t) et prenons comme variables a?,y,-s,/?, y, M, < ; une fonction <p de .r, y^

z

^ Pf ?i ^î ^ devient une fonction <^ des nouvelles variables;

on a

()c& (î4> <)<I» ^(A

<)a; ~" ^v au dx9

cl Fon i)cut substituer dans cette égalité y, ;?, /?, y, < à .r, tandis

(4)

que Fon a

- 131 -

à^> <)<!» ^

^ au as

En remplaçant par leurs expressions les dérivées de ^ dans les équations qui définissent les invariants et en remarquant que u satisfait à ces équations il vient

à^>

•àt^0- à^ à^ , . à^

— + / ? ? . - — -+-(/? -4- ma) •3- àx ày •t •" as

.à^ . . à^

—^^y^fp^^)^ —^(^y^^^»^) ^ =";

t ne figure dans les coefficients que par l^intermédiairc de m ; dYilleurs, m et u étant deux fonctions indépendantes de s et t^

t figure effectivement dans ces coefficients.

Toute intégrale de ce système satisfait également aux équations à^ à^ à^ à<P àk à^

ày as àni àp àm à(j ày / as ànl ôp àm à<j ~ î

à^g à<P à^k à^ _ à m'2 àp àm^ àq ~

Diaprés cette dernière équation, si la fonction <î> existe on devra avoir entre g et k une relation de la forme

(3) a^+ ? À-+ y 4-S w = o , a, (3, Y, S désignant des fonctions de x^ .y, z, /?, q.

Admettons qu^il en soit ainsi, 0 est une fon&tion de *r,y, z^ Pi y, u définiepar les trois équations

. /à^ à^\ à^

p ( — -+- p — ) 4- Y — = o,

• \ àx 1 àz I ' àq ' . fà^ à^\ „ ô^

P ( - r - - h y - ^ - ) - h 3 -- = ± < > , 1 \ày l as I àq

. à^ à^

8 — — (t — == o.

' àp àq

Une intégrale de ce système d^équations est une intégrale du

(5)

-- 132 -.

système s u i v a n t cTéquations aux diGTérentielles totales

dz — p dx — q dy = o, a dp -4- p <^y — y dx — 8 û?y == o ;

or une intégrale de ce système est une intégrale des équations

dz — p dx q dy = o,

^•+- g ( x ^ y ^ . P . <7, ^i^)^^

0

*

dq d- À ^, y, z, p, q, ^ dx == o,

qui définissent le système (G) de caractéristiques du premier ordre, comme on le vérifie immédiatement en multipliant les deux membres des deux dernières équations respectivement par a et jî et en ajoutant, à condition de tenir compte de (3).

Le théorème est donc démontré : $ ne peut être qu'une fonc- tion de u et des invariants du premier ordre du système (C).

Nous n'avons pas restreint la généralité en supposant l'équation (i)

remplacée par le système ( 2 ) : il n'y aurait, si la chose était

impossible, qu'à efTecluer au préalable u n e transformation de

contact convenable pour substituer à l'équation donnée une

équation équivalente à un système tel que ( a ) .

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