Symétrie centrale

(1)

Symétrie centrale

Collège Saint-Exupéry d’Eguzon (36270)

1 Symétrique d’un point.

2 Propriétés de la symétrie centrale.

3 Centre de symétrie d’une figure.

(2)

Comment imaginait-on les jardins au XVII^èmesiècle ?

(3)

Symétrie centrale

⁵^ème

André Le Nôtre (1613−1700), le plus célèbre des jardiniers français, a créé de nombreux jardins à Versailles, Vaux-Le-Vicomte, Chantilly, . . .

(4)

On lui doit aussi le jardin de Villandry dont nous verrons le plan dans quelques instants.

(5)

Symétrie centrale

⁵^ème

Quels outils et propriétés mathématiques a utilisé Le Nôtre pour créer ces parterres ?

(6)

(7)

Symétrie centrale

⁵^ème

Ces jardins dits« à la française »ont une ambition esthétique et symbolique.

(8)

(9)

Symétrie centrale

⁵^ème

Voici quelques exemples de symétries axiales sur le plan des jardins de Villandry :

(10)

(11)

Symétrie centrale

⁵^ème

Le but du chapitre est d’expliciter les propriétés de ces points d’intersection.

(12)

1

Symétrique d’un point.

2

Propriétés de la symétrie centrale.

3

Centre de symétrie d’une figure.

(13)

Symétrie centrale

⁵^ème

SoientAetOdeux points distincts.

Dire queA′est le symétrique deApar rapport àOsignifie que le pointOest le milieu du segment[AA′].

O

A A′

Définition

(14)

O

A A′

Définition

Remarques:

(15)

Symétrie centrale

⁵^ème

O

A A′

Définition

Remarques:

i) On passe du pointAau pointA^′en effectuant

(16)

O

A A′

Définition

Remarques:

i) On passe du pointAau pointA^′en effectuant un demi-tour autour du pointO.

(17)

Symétrie centrale

⁵^ème

O

A A′

Définition

Remarques:

i) On passe du pointAau pointA^′en effectuant un demi-tour autour du pointO. ii) Dans la symétrie de centreO,

(18)

O

A A′

Définition

Remarques:

i) On passe du pointAau pointA^′en effectuant un demi-tour autour du pointO. ii) Dans la symétrie de centreO, le pointOest son propre symétrique.

(19)

Symétrie centrale

⁵^ème

O

A A′

Définition

Remarques:

On dit que c’est unpoint invariant.

(20)

O

A A′

Définition

Remarques:

(21)

Symétrie centrale

⁵^ème

O

A A′

Définition

Remarques:

On dit que c’est unpoint invariant.

(22)

1

Symétrique d’un point.

2

Propriétés de la symétrie centrale.

3

Centre de symétrie d’une figure.

(23)

Symétrie centrale

⁵^ème

Méthode de construction :

(24)

Pour tracer le symétrique(d^′)de la droite(d)par rapport au pointO:

(d)

O

(25)

Symétrie centrale

⁵^ème

Pour tracer le symétrique(d^′)de la droite(d)par rapport au pointO: - placer deux points distinctsAetBsur la droite(d);

(d)

O

(26)

(d)

O A

(27)

Symétrie centrale

⁵^ème

(d)

O A

B

(28)

- tracerA^′etB^′, symétriques respectifs deAetBpar rapport àO;

(d)

O A

B

(29)

Symétrie centrale

⁵^ème

(d)

O A

B

A^′

(30)

(d)

O A

B

A^′

(31)

Symétrie centrale

⁵^ème

- tracerA^′etB^′, symétriques respectifs deAetBpar rapport àO; - tracer la droite(A^′B^′).

(d)

O A

B

A^′

B′

(32)

(d)

O A

B

A^′

(33)

Symétrie centrale

⁵^ème

(d)

O A

B

A^′

B′

(34)

Nous verrons dans les exercices que la symétrie centrale conserve le parallélisme

(35)

Symétrie centrale

⁵^ème

Nous verrons dans les exercices que la symétrie centrale conserve le parallélisme , les longueurs

(36)

Nous verrons dans les exercices que la symétrie centrale conserve le parallélisme , les longueurs , les mesures d’angles

(37)

Symétrie centrale

⁵^ème

Nous verrons dans les exercices que la symétrie centrale conserve le parallélisme , les longueurs , les mesures d’angles et les aires.

(38)

Autrement dit, nous noterons les :

(39)

Symétrie centrale

⁵^ème

Autrement dit, nous noterons les :

• Si deuxdroitessont symétriques par rapport à un point, alors ces droites sont parallèles.

• Si deuxsegmentssont symétriques par rapport à un point, alors ces segments sont de même longueur.

• Si deuxanglessont symétriques par rapport à un point, alors ces angles sont de même mesure.

• Si deuxcerclessont symétriques par rapport à un point, alors ils ont le même rayon et leurs centres sont symétriques.

Propriétés

(40)

1

Symétrique d’un point.

2

Propriétés de la symétrie centrale.

3

Centre de symétrie d’une figure.

(41)

Symétrie centrale

⁵^ème

Dire qu’un pointOest centre de symétrie d’une figure signifie que cette figure reste inchangée lorsqu’on lui applique la symétrie de centreO.

Définition

(42)

Exemples:Voici les centres et axes de symétrie de quelques figures usuelles.

(43)

Symétrie centrale

⁵^ème

Triangle isocèle

Un axe de symétrie Pas de centre de symétrie

(44)

Triangle isocèle Triangle équilatéral

Un axe de symétrie Trois axes de symétrie

Pas de centre de symétrie Pas de centre de symétrie

(45)

Symétrie centrale

⁵^ème

Triangle isocèle Triangle équilatéral Rectangle

O

Un axe de symétrie Trois axes de symétrie Deux axes de symétrie

Pas de centre de symétrie Pas de centre de symétrie Un centre de symétrieO

(46)

O

Pas de centre de symétrie Pas de centre de symétrie Un centre de symétrieO Losange

O

(47)

Symétrie centrale

⁵^ème

O

Losange Carré

O O

(48)

O

Losange Carré Cercle de centreO

O O O

(49)

Symétrie centrale

⁵^ème

Entraîne-toi!

En direct de l’Histoire :les cartes à jouer.

Jusqu’au XVII^ème siècle, les personnages dessinés sur les cartes à jouer se présentaient « en pied ». . .

Puis, on eut l’idée de la présentation « à deux têtes ».

Depuis, de nombreuses cartes possèdent un centre de sy- métrie : elles sont ainsi « à l’endroit », quelle que soit la façon dont on les tient !