Une hypothèse sur l'état superfluide

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Submitted on 1 Jan 1958

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Une hypothèse sur l’état superfluide

Jacques Winter

To cite this version:

Jacques Winter. Une hypothèse sur l’état superfluide. J. Phys. Radium, 1958, 19 (5), pp.532-535. �10.1051/jphysrad:01958001905053200�. �jpa-00235886�

UNE HYPOTHÈSE SUR L’ÉTAT SUPERFLUIDE Par

_JACQUES

_WINTER,

École _{Polytechnique,} Paris,

Résumé. 2014 L’auteur essaye de préciser une idée de F. London par une _hypothèse

supplé-mentaire : _L’adoption du _point de vue _ondulatoire, ou la délocalisation des atomes d’hélium

super-fluide, et examine _{quelques conséquences} de cette _hypothèse.

Abstract.

2014 The author

tries

to develop an idea of _{F.’ London, by} a _{supplementary assumption :}

The

_adoption

of the wave _{point of view,} which means the delocalization of _superfluid helium atoms. He discusses some

consequences

of this _assumption.

LE JOURNAL PHYSIQUE 19, 1958,

10 Idée fondamentale. - Nous

nous _proposons

de

_développer

l’idée de base de M. F. London

(aujourd’hui

décédé) :

l’hélium

_superfluide

est un

gaz de Bose-Einstein.

Mais,

dans son livre

Super-.

fluides,

tome II

(1),

cette idée une fois introduite

est _par la suite abandonnée et

_l’ouvrage

suit la

théorie

_empirique

des deux fluides de M. Tisza. Or

de toutes les idées

_théoriques

_émises,

celle-ci a au

moins le mérite de rendre

_compte

_{d’un des}

para-doxes,

dont l’ensemble constitue l’état

_{superfluide :}

l’Hélium3,

qui

suit la

_statistique

de

_Fermi,

ne

pré-sente

_pas

de

_{superfluidité.}

L’hélium

_liquide,

au

_voisinage

de la

_température

du

_point

À a une densité de

_{0,146 (environ),}

ce

_qui

correspond à 0,146

2 28.10 22

atomes _par

6,4.10-24

centimètre cube. Si nous _prenons comme estimation

grossière

du volume de

_chaque

_atome,

sa

polarisa-bilité

_égale

à

_0,205.10-24

cm3 nous arrivons à un

coefficient de

_remplissage

de l’ordre _{de 5 pour} 1000.

Du

_point

de vue

_{corpusculaire,}

il est facile de

con-cevoir que les atomes d’hélium se

_propagent

quasi-librement,

et

_quittent

les cellules conventionnelles

où on les enferme dans l’état

_liquide

_(théories

de

Lennard-Jones).

Ce

_qui

est

_{inconcevable,}

c’est

qu’une

diminution de

_température

et

_d’entropie

provoque ce résultat. M. London a

_esquivé

cette

objection

et à fait

_appel

à

_l’énergie

de vibration au

zéro

_absolu,

_d’après

la

_{mécanique quantique,}

_qui

tend à étaler l’atome d’hélium. Cette tendance

à l’étalement maintient l’état

_liquide,

en

_dépit

des attractions entre atomes différents.

Afin de chercher à

_expliquer

l’état

_superfluide,

nous irons un _pas

_plus

loin que M.

_London,

et c’est

là notre

_point

fondamental. Nous admettrons que

l’hélium

_superfluide

est un

_phénomène

_purement

ondulatoire

_(comme

les

_phénomènes

de

_diffraction)

et _que ses atomes sont

_{représentables}

_par des ondes Y’ de de

_Broglie,

délocalisées. Et c’est là

l’essentiel

_(2).

Des

_expériences

de diffraction

_ayant

(1) New-York, Wiley, 1954.

(2 ) Dans son article de la _{Physical Repiew, 1938, 54, 947,}

M. London a _exprimé cette _{idée, mais semble y avoir} renoncé

_depuis.

été faites sur l’hélium et

_{l’hydrogène}

_{moléculaire,}

il

_n’y

a _pas, nous

_semble-t-il,

de difficulté de

prin-cipe

dans cette

_hypothèse.

La délocalisation et

l’abandon total du modèle cellulaire sont en

oppo-sition brutale avec la théorie usuelle des

liquides (3).

Mais _pour

_expliquer

des

_phénomènes

_aussi

para-doxaux,

il semble nécessaire de faire une

hypo-thèse violente.

_Pourvu,

bien

_entendu,

_qu’elle

ne sorte pas du cadre de la

mécanique quantique,

sans

quoi,

l’explication

perdrait

son intérêt. Ce

_reproche

ne nous semblerait pas

justifié. Mais,

bien

_entendu,

le lecteur reste

_juge.

Avant de _passer aux

_{applications,}

il est néces-saire de matérialiser cette

_hypothèse

_par un modèle

mathématique,

aussi

_simple

_que

_possible,

et

_qu’on

aurait

_toujours

le loisir de

_compliquer

si l’idée de

base de cette théorie était retenue.

MODÈLE

_{MATHÉMATIQUE. -}

Nous considérons donc un volume

_{V, rempli}

_par un _{gaz, dont}

_chaque

atome est

_représenté

_par une fonction T

_qui

s’étend à tout le volume. Un atome se

_déplacera

dans un

champ,

créé _par l’action de tous les _autres,

qui

sera tantôt

dirigé

dans un _{sens, tantôt dans} un autre sens. Admettons _que ce

_champ

est

_périodique

et

_comprend

une suite de vallées et de barrières de

potentiel ;

en un

_mot,

un ensemble de

_cellules,

séparées

par des barrières et étendues à tout le

volume. Afin de

_simplifier,

nous nous bornerons à

examiner le cas d’une seule

_dimension,

laissant de

côté toutes les difficultés dues

_{à la}

structure

_spatiale

et

_qui

ne sont _pas essentielles _pour nous. Le

pro-blème consiste à _comparer ce

qui

se _{passe pour}

l’hélium

_liquide

ordinaire

_(atome

renfermé dans

une cellule de

_potentiel)

et le

_superfluide

_(atome

compris

dans un ensemble de cellules et de

bar-rières).

Nous suivrons la solution de MM. Goldman

et Krivtchenkof

_(4).

Le

_problème

est le suivant :

(3) Les _expériences de diffraction des rayons X mettent

en évidence des variations de densité régulière, que la

structure délocalisée devra _présenter aussi.

(4) « _{Sbornik Zadatch po kvantovoï} mekhanike _»,

Moscou, 195 7. A vrai _dire, il

_{s’agit dans}

la

_plupart

des cas

de véritables études et non d’exercices pédagogiques.

533

Un

_champ

_V(x)

_(fig.

₁₎

est _{constitué par} un

ensemble de N cuvettes de

_{potentiel identiques,}

séparées

par des barrières

identiques.

En admettant

qu’on

puisse appliquer

la méthode

_quasi

_classique,

déterminer les niveaux

_d’énergie

dans le

champ

V(x).

Comparer

le

_spectre

_{énergétique}

obtenu avec le

_spectre

énergétique

d’une seule

cuvette.

La méthode _{consiste à admettre que,} dans

l’expo-nentielle

_e’n,

_{p est}

une fonction très lentement

variable de x. Cette

_hypothèse

est

_raisonnable,

le

champ

moyen

n’ayant

aucune raison de varier

brusquement.

Une difficulté

_surgit

aux

_points

_pour

lesquels

p =

0,

_car il

y a un facteur.

1

Et comme nous étudions un

atome

lié

au

sys-tème,

son

_énergie

_{E’ coupera}

nécessairement ’la

courbe

V à

_{chaque oscillation,}

comme

_l’indique

la

figure

1,

sinon cet atome

_quitterait

le

_milieu,

là où

le

_potentiel

frontière viendrait

_{à manquer,}

c’est-à-dire sur une surface libre. La

_figure

_suppose le

milieu enfermé dans un

_récipient

(V

s’élève aux

limites),

mais cela

_peut

ne _{pas être le cas, p}

s’annulera à

_chaque

intersection de E et V

On raccorde des sommes

d’exponentielles,

avec _{+ .} et -, réelles

(E > V )

et

imaginaires (E

V),

aux

points

d’intersection dé

E et

_V,

Pour tenir

_compte

de cette

_difficulté,

on utilise des

règles

de

corres-pondance

entre

_{exponentielles}

réelles

_{et imaginaires.}

La condition

_spectrale

s’obtient en écrivant

_qu’il

n’y

a _pas d’ondes

convergentes

du dehors vers le

domaine étudié.

Pour

_l’exposé

de la méthode

_algébrique

très

ingénieuse qui

permet

de résoudre un

problème

à lV

_étages,

nous _renvoyons à

_l’ouvrage

cité

(chap.

II,

no

_11).

_

Résultat. -

Chaque

niveau

_{énergétique}

_E,

afférent à une seule cuvette est

coupé

en N compo-santes et l’on a

avec

E(g)

désignant

l’énergie

Em

initiale afférente au cas d’une seule _{cuvette. IL,} masse de l’atome étudié..

Conséquence.

- Les niveaux

énergétiques

des

atomes

_d’hélium

_liquide

ordinaire se scinderont

en N

composantes,

lors de la

_{délocalisation}

d’un ensemble de lf atomes. La

moitié

des

_composantes

sera activée la moitié sera stabi.

lisée

Applications :

10 4He et 3He. - Pour

simplifier,

remplaçons

Ip(x)1

par une valeur _moyenne

_p

posons al

bl

=

b,

a2 = 1. L’écart

AE.

maximum

(n

=

N)

vaudra

Pour une

_température

T voisine de

_0°,

tous les

atomes de 4He tomberont sur le niveau le

_plus

bas

et seront donc stabilisés _par

_perte

de

_l’énergie

AE.

Si l’on admet

_{(ce que}

nous examinerons en

₂₀₎

_que

l’entropie

du

_superfluide

=

0,

S

_entropie

du

_liquide

_{normal que} nous _prenons

égale

à

_{1,6 joules/gr.}

_degré

_(5).

Si

nous _{prenons T} =

2,2

Si l’on _pose

_{p2,= 2{l. H}

_(H

_{valeur moyenne} de E -

_V,

E

_énergie

minimum non

_perturbée

par la

superfusion),

on verra

_qu’on

_peut

facilement trouver une telle valeur de AE.

D’ailleurs

la formule

₍₁₎

donne

(5) DAUNT et _SMITH, Reviews Mod. Physics, 195,1, 26, 192.

(6) La valeur de H a été choisie à _{peu près} en accord

avec les valeurs calculées de V, page 22 du livre cité de M. London. 1 a été _{choisi par tâtonnement de façon à} retrouver la valeur _{expérimentale} de AE = TS. La valeur

ainsi choisie est _{trop petite,} si on _{la compare} à la _longueur d’onde de de _Broglie de _{l’atome d’hélium pour} une vitesse voisine de celle de l’agitation thermique à 20 _(on

trou-verait X/2 = _5,5

Á)

_{mais elle est raisonnable si on} le compare

aux _{écarts des maxima de densité obtenus par les} mesures

de

rayons X. Aussi bien s’agit-il ici d’un calcul _grossier fait pour le cas fictif d’une seule dimension, dans le but de voir si on trouve des ordres de grandeur raisonnables.

ce

qui

montre _que

_{pour des}

ordres de

_grandeur

raisonnables

de 1 et de

_H?

on trouve une valeur

de AE à _peu

_près

en accord avec

_{l’expérience,}

en

appliquant

la formule de Goldman et Krivtchenkof. Les atomes de 3He se

distribueront,

en vertu du

principe

de

_Pauli,

sur tous les états

_perturbés,

les

uns

_activés,

les autres stabilisés - il

n’y

aura donc

pas

d’énergie

de

stabilisation,

et le

phénomène

de

superfusion

ne _{pourra donc pas} se

_produire,

ailleurs

qu’au

zéro absolu.

20

_{Disparition de l’entropie.}

- Dans le modèle

cellulaire,

nous _pouvons considérer

_qu’à

la

_limite,

pour T -

0,

nous avons N oscillateurs dont

l’entropie

tendra vers NK

_{log Zo, Zo}

étant la valeur de la somme d’état

el’ F-21 Es, .... étant les niveaux

d’énergie

successifs. ’

Dans le cas du modèle

_{délocalisé,}

_pour T -

0,

S -

_k(log

_{N + 1 ) .}

Pour T

_donné,

et N assez

_grand,

nous _{voyons que}

_l’entropie

du

_superfluide

sera

beaucoup plus

petite

que celle du fluide. Or les films

_superfluides

les

_plus

minces

_ayant

une

épais-seur de

_quelques

centaines

d’angstrôms,

nous

pouvons admettre que N sera > à 109.

Ceci _{montre que} la

_superfusion

ne _pourra

embrasser

_qu’un

très

_grand

nombre d’atomes à la

fois,

au

_départ

de l’ordre d’au moins

106, qui

s’accroîtra

_{rapidement quand}

T tendra vers zéro.

Une

_objection

se

_{présente :}

La formule

S .-.- k

(log

N -E-

1)

n’est valable _{que si les}

niveaux _{ci, ez,} ... sont

indépendants

de N.

Or,

ici,

si nous nous

_reportons

à la valeur de

I1Em,

nous

voyons

qu’il

n’en est rien. En tenant

compte

de

ces N

niveaux,

et en

_portant

les termes

corres-pondants

dans

_{l’expression}

de

_l’entropie

d’un sys-tème de

Bose,

on trouverait une

_entropie

propor-tionnelle à N. A notre

_avis,

cette

_objection

ne

s’applique

pas. En

effet,

le

système

délocalisé est

« self-consistent )) : Le

champ

V doit résulter de la

distribution des atomes dans l’état le

_plus

stable.

Si un nombre non

_négligeable

d’atomes se trouvent

dans des états tels que n

_{N, d’énergie}

non

minimum,

il se

_produira

des

répulsions

intenses,

dont notre

_formalisme

self consistent ne tient _pas

compte.

Ces forces favoriseront l’état

_minimum,

qui

apparaîtra

comme

_{approximativement unique.}

Dans le cas de

Fermi,

même l’état minimum

self-consistent devient

_impossible.

30 Effet fontaine ou force

thermique.

- C’est

l’effet le

_plus

difficile à

_comprendre.

Comment le

superfluide

est-il _{attiré par} une

_région

à

tempé-rature un _peu

plus

élevée ? Nous n’avons vu aucune

interprétation

de ce

phénomène,

mais seulement

des écritures

(forces

proportionnelles

à

_grad

_T),

_qui

en tiennent

_compte

sans

l’expliquer.

Du

point

de vue d’une théorie délocalisée ou

_ondulatoire,

l’expli-cation n’est _pas

_{simple ;}

mais tout au

_moins,

l’on

voit

_poindre

une lueur : l’atome d’hélium en contact avec une source de chaleur absorbe un

quantum

qui

le relocalise dans la zone chaude.

Il y aurait là un effet

_quantique,

_présentant

des

similarités avec l’effet

_{photoélectrique :}

ce n’est

plus

le

_{photon qui}

se localise sur l’électron

_qui

l’absorbe,

c’est ici l’atome de matière

_qui

se localise sur le

_photon

en _{l’absorbant. Le}

_photon

est ici un

quantum

de vibration

_thermique

de la

_région

chaude et est donc localisé sur un atome de cette

région.

Il se transmettra donc sur le

_petit

élément de l’onde T

_qui

l’avoisine et où se localisera l’atome

superfluide.

Le vide résultant

_produira

le courant

superfluide

vers la zone chaude.

Pourquoi

la localisation se fait elle au

_voisinage

de l’atome chaud ?

Soit B l’atome chaud

_localisé,

_(po(B),

_p.E(B)

ses

fonction d’onde non activées et

_{activées, A}

l’atome

superfluide, T(,4)

son onde non

_localisée,

_cp(A)

ses

ondes localisées. L’élément de matrice associé à la

transition

sera, si H

représente

la

_{’perturbation,}

interaction

_{électrostatique}

autre A et

_B,

Si

_{y_,(A)}

est

_éloigné

de

_B,

l’élément de matrice

sera

_négligeable

car H sera

_négligeable

_{pour A} et B

éloignés,

et donc la transition

_impossible.

Le

phéno-mène de relocalisation

_est,

comme la

_{délocalisation,}

associé à une transition

_quantique,

mais avec

absorption

de chaleur.

40 Film

superfluide.

- Nous

avons fait

ailleurs

_{(7) l’hypothèse}

_{que la viscosité était} due à

la

_rupture

de liaisons entre atomes A et

_B,

doués de vibrations

_thermiques.

_Si

l’atome B est un atome fixe d’une

_paroi,

A l’atome de la couche d’hélium au contact de la

_{paroi, l’énergie}

de,liaison

se calculera _par un élément de matrice

_analogue

à

celui du

_paragraphe

_3°).

Il sera

beaucoup

_plus

petit,

et de ce fait

_{négligeable,}

si A est délocalisé.

Si A et B

_{appartiennent}

tous deux au

super-fluide,

la

_réponse

est moins évidente. Si A et B

ont le même

_T,

leur interaction sera forte et cela constituera la cohésion du

_superfluide.

Si A et B

appartiennent

à des filets

_voisins,

il faut d’abord

expliquer pourquoi,,

précisément,

la délocalisation

s’arrête entre les deux filets. Sans

_quoi,

on ne

pourrait

pas

parler

de deux filets. Il doit exister

entre eux des

_décalages

de

_potentiel

dus au

_gradient

de vitesse. Les distributions de densité, seront

décalées dans les deux filets et l’atome

_A,

du filet

_1,,

aura une _grosse

_probabilité

d’être réfléchi sur la

surface de

_séparation

de 1 et du filet 2. En raison

de ce

_décalage,

un élément de matrice de la

(7) J. _WINTER, Considérations sur la théorie des _liquides. Ann. Inst. H. Poincaré, 1954, 24, 1-33.

535

forme

_{fT(,4 )2}

_{’’(B) 2}

dv..( dVB

sera forcément

petit,

et il

_n’y

aura donc

_guère

de viscosité

inté-rieure.

Pourquoi,

maintenant,

la vitesse d’écoulement

d’un film

_{superficiel superfluide,}

ou film de

Rollin,

est-elle limitée

_{supérieurement ?}

Cette vitesse étant de l’ordre de 50 à 100

_cm/s,

_l’énergie

_cinétique

est

insuffisante _pour

_produire

une relocalisation au contact de la

_paroi.

Il faudra faire

_appel

à une

image

purement

ondulatoire ou

_optique.

Il doit

exister une barrière de

_potentiel

à la surface de la

paroi, qui s’oppose

à la

_{pénétration}

de

_T(A).

Si

l’énergie

cinétique

de A est

_suffisante,

_{il y} aura

franchissement de la barrière et

_absorption

super-ficielle. _{Il y} aura

_donc,

comme dans tout écou-lement

_{hydrodynamique,}

une couche de Prandtl et

le

_phénomène

du film de

_Rollin,

sans

_viscosité,

s’évanouira. Il ne

_s’agit

_ici,

bien

_entendu,

_que

d’hypothèses.

Manuscrit reçu le 31 _janvier 1958.

REVUE DES LIVRES

FRIEDEL _(J.), Les dislocations _(In-8 16-25, viii-314 pages,

avec 155 _figures, Paris,

Gauthier-Villars, 1956 ;

broché :

3 500 _F, cartonné : 3 800 _F.)

L’étude des défauts cristallins et en _particulier des dis-locations s’est _{développée rapidement} durant ces dernières

années. La notion de dislocation joue un rôle _important

dans la _{physique des solides. On sait maintenant que leur}

présence altère non seulement _{les propriétés} plastiques des

cristaux, mais aussi un assez _grand nombre d’autres

pro-priétés intéressantes : par exemple la vitesse de croissance,

les _{propriétés électromagnétiques,} la _diffusion, les effets des irradiations.

Cet ouvrage a _{pour but,} une mise au point, _{pour le}

lecteur français des _{principales propriétés} des dislocations. Il est issu d’un cours fait successivement à l’École des Mines de Paris, au laboratoire de l’I. R. S. I. D. à

Saint-Germain-en-Laye et à la section de _{métallurgie appliquée} du C. E. A.

Dans une _{première partie} sont _exposées les _propriétés

générales des dislocations : théorie _élastique des

dislo-cations, déplacement des _{dislocations, glissement,} lacunes

et atomes interstitiels, « montée » des dislocations,

dislo-cations _imparfaites, croissance des cristaux.

La seconde _partie traite des ensembles de dislocations. Il semble _qu’un bon cristal possède en _général environ 106

à t 0’ dislocations par centimètre carré réparties suivant un

réseau à trois dimensions. Les déformations _plastiques

mul-tiplient ces dislocations jusqu’à des densités de 1010 à 1012

par centimètre carré au maximum. Ces dislocations

s’empilent souvent les unes sur les autres d’une façon

caractéristique qui durcit considérablement les cristaux. Un traitement thermique des cristaux déformés réduit la

den-sité de leurs dislocations et leur rend une

_partie

au moins de leur ductibilité ; les dislocations se _{réorganisent} en des

ensembles

_plus

stables _qui sont souvent des _{joints séparant} des blocs cristallins faiblement désorientés. Les défor-mations de _fluage à chaud- combinent les effets des défor-mations et des traitements

_thermiques..

Enfin la troisième _partie est consacrée aux interactions des dislocations avec d’autres défauts. Parmi ces _défauts,

les _impuretés sont sans doute les _{plus importants,} et _quatre

des _{cinq chapitres} de cette _{partie développent} leur étude

assez _compliquée et encore _imparfaite. L’interaction des

dislocations avec d’autres _{perturbations} du réseau

cris-tallin est considérée _plutôt comme un moyen d’étude des

dislocations _présentes. On étudie l’action des dislocations

sur _{la diffraction des rayons X, l’absorption optique,} la conductibilité _électrique et la saturation .de

l’aiman-tation.

Dario PÉCILE. DECAULNE _(P.), CrILLE (J. C.) et PELEGRIN _(M.), Problèmes

d’asservissements _{(avec solutions),} 1 _vol., 19 x 28 cm, 160 _{pages, 179 figures, Dunod, Paris, 1958 :} relié 2400 F. Ce recueil est ordonné suivant le _plan de _l’ouvrage

prin-cipal (Analyse dans J. _Physique Rad., Physique appliquée, 1957, 18, 53 _A), mais forme néanmoins un ensemble

indé-pendant. La _{progressivité} des exercices a été _{soigneusement}

étudiée et les _principaux sont _accompagnés d’une solution détaillée. Il n’intéresseront pas seulement l’étudiant. Le

professeur trouvera des _problèmes sur les notions fonda-mentales _qu’il pourra adapter à son _gré, et le technicien découvrira certainement dans ce livre des _{aspects auxquels}

il n’est pas accoutumé.

Pierre LAURENCEAU.

FRANÇON (M.), Expériences de _{physiques. Expériences} de démonstration. (1 vol., 24 x 16 cm, 340 pages, 520 _figures.) Éditions de la Revue _{d’Optique théorique}

et _{instrumentale, Paris, 1958 :} 3 000 F.

Au début du siècle un Recueil _{d’expériences} élémentaires

de _{Physique, auquel} de nombreux _{physiciens français} avaient _apporté leur concours sous la direction d’Henri

Abraham, paraissait en librairie. Cet ouvrage a rendu et

rend encore de très _grands services dans _{l’enseignement} élémentaire.

L’ouvrage de M. Françon se _place à un niveau _plus

élevé, en gros celui de la proprédeutique des Facultés.

Chargé de _{l’enseignement} de la _Physique du certi-ficat S,. P. C. N. à la Faculté des Sciences de _Paris,

ensei-gnement qu’il conçoit à _juste titre sous une forme très

expérimentale, l’auteur décrit un _grand nombre d’expé-riences dont _certaines, en _particulier en _optique, sont très

belles et très démonstratives. Le _rappel des notions de

bases _{correspondantes} facilite la liaison des _expériences

entre elles et leur interprétation. ,

. Destiné essentiellement _aux étudiants _ce livre rendra

aussi de _grands services aux _professeurs du second _degré pour l’illustration .de leur enseignement et il contribuera

certainement à éveiller des vocations dè physiciens.