PROBABILITES. Professeur: Abderrazek BERREZIG

(1)

106

PROBABILITES

« Il est dans la probabilité que mille choses arrivent qui sont contraires à la probabilité. »

(2)

 On appelle univers l’ensemble  de tous les résultats possibles à l’issue d’une expérience aléatoire

 On appelle événement tout sous ensemble de 

 On appelle événement élémentaire tout élément de , c’est un événement contenant un seul cas possible

 On définit l’événement contraire de A ( A ) par : A A type de tirage Successif avec

remise

Successif sans remise

simultané ordre L’ordre intervient L’ordre intervient L’ordre n’intervient pas Un cas possible Un p-uplet avec

possibilité de répétition

Un p-uplet d’élément distinct

Un partie de p éléments Card()

np !

( )!

p n

A n

n p

 

!

! ( )!

p n

C n

p n p

 

Probabilité conditionnelle

Probabilité de A sachant B.

Soient A et B deux événements, l’événement B étant de probabilité non nulle. La probabilité de

l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est notée p

B

(A) (ou aussi p(A\B)). Elle est donnée par la formule

On en déduit que :

Evénements indépendants Soient A et B deux événements.

Si de plus p(A)  0,

Formule des probabilités totales

Exemple 1

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x.

2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile.

3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que x = 50.

Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne.

Les résultats seront arrondis au millième.

1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?

(3)

108

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ? 3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?

……….

Exemple 1

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

Les questions 1. et 2. sont indépendantes

1. On extrait simultanément et au hasard deux boules de l’urne.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.

a. Vérifier que P(X = 0)

³

10

puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

c. Calculer la probabilité de l’évènement suivant : A : « les deux boules tirées sont de même couleur ».

2. On effectue deux tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante :

si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.

a. En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants : B : « seule la première boule tirée est verte »,

C : « une seule des deux boules tirées est verte ».

b. Sachant que l’on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?

……….

Lois de probabilité discrètes

I. Loi de probabilité associée à une variable aléatoire discrète

On suppose que Ω est un univers fini constitué de n résultats possibles. On suppose de plus qu’à chaque résultat possible ω

1

, . . . , ω

n

est associé un nombre réel x

1

, . . . , x

n

. On définit ainsi une variable aléatoire X (une variable aléatoire est donc une fonction qui à un résultat ωi associe un nombre xi ou encore une fonction de Ω dans R). La loi de probabilité

de la variable X est la liste des probabilités p(X = x

1

), . . . , p(X = x

n

). Elle peut être représentée dans un tableau.

p

i i

p(X x )



 



1

(4)

Espérance mathématique d’une variable aléatoire X E(x)=

p

i i

i 1

x p(X x )







Variance d’une variable aléatoire X . Ecart type de X

On appelle variance de X le nombre : V(X) = E( (X –E(X))² )= E(X²)- (E(X))² On appelle écart type de X le nombre

(X)

= V(X)

Loi binomiale (ou loi de Bernoulli)

Fonction de répartition d’ une variable aléatoire

Soit (



, P (



),p) est un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire définie sur



On appelle fonction de répartition de X , la fonction définie de IR dans  ^0,1  ^par

^F ^:^x^ ^{p X}⁽ ^ ^x⁾

Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux éventualités (succès et échec, pile et face, blanc et pas blanc, obtenir le 1 ou pas quand on jette un dé...) dont les probabilités respectives sont notées p et 1 − p (p étant un réel élément de [0, 1]). Une telle épreuve est appelée épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Schéma de Bernoulli

Une expérience aléatoire consistant à répéter n fois (n étant un entier naturel non nul), de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de

paramètres n et p.

Loi binomiale

Pour justifier que X suit une loi binomiale, il suffit de dire que :



on répète des épreuves identiques et indépendantes.



chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec).



X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

Donner les paramètres d’une loi binomiale, c’est préciser :



la probabilité d’obtenir un succès sur une épreuve (non répétée). Ce paramètre est noté p.



le nombre de répétitions de cette épreuve. Ce paramètre est noté n.

Loi de probabilité associée à cette variable aléatoire et si k est un entier élément de {0, 1, . . . , n}, on a : p(X  k)  C p (1 p)

^kn ^k



^{n k}^

avec k   0,1 ,..,n 

Espérance variance et écart-type de la loi binomiale

L’espérance de la loi binomiale de paramètre n et p est E(X) = np et la variance de la loi binomiale de paramètre n et p est V(X) = np(1 − p).

Exemple 1 :

On jette un dé équilibré 10 fois de suites et on considère la variable aléatoire XX qui compte le nombre de réalisations de l’évènement AA : "Obtenir 5 ou 6".

Justifier que X suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

……….

Q C M :

1) On donne l’arbre pondéré ci-contre où R et G sont deux événements d’un espace probabilisé avec

^{p G}  ³

 5

. Quelles sont les probabilités p et q de l’arbre pondéré : a)

p ¹ et q ¹

2 2

 

b)

p ³ et q ¹

4 4

 

c)

p ³ et q ²

5 5

 

d)

p ¹ et q ³

4 4

 

2) Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X

dont on donne la loi de probabilité :

(5)

110

Xi 0 1 2

p(X = xi) 0,1 0,3 0,6 L’espérance mathématique de X est :

a)

E(X) 1,5

b)

E(X)0,9

c)

E(X)0,5 3) Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :

Xi 1 2 3 4 p(X=xi) a 2a 3a 4a

 La probabilité d'obtenir 1 est : a) 1

5^b) 1

10 c) 1

 L'espérance de X est :

a) 1 b) 3 c) 6

4) Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués

« non » et 3 sont marqués « blanc ».

Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 millimes. Il tire ensuite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 millimes, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin est marqué « blanc », il reçoit 20 millimes.

Le jeu est :

a) : favorable au joueur b) : défavorable au joueur c) : équitable

Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à :

a) 216

625 b) 544

625 c) a) 2 5

Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.

La probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à : a) 4

15 b) 11

30 c) a) 11 15

(6)

Extraits des sujets de Bac BAC 2020 Principale

BAC 2017 Principale

(7)

112

………

BAC 2019 contrôle

(8)

BAC 2018 Principale

………

(9)

114

………

BAC 2017 Principale

………

BAC 2016 Contrôle

(10)

………

BAC 2014 contrôle

………

(11)

116

………

BAC 2012 Principale

………

(12)

BAC 2013 Contrôle

………

PROBABILITES. Professeur: Abderrazek BERREZIG

PROBABILITES

Probabilité de A sachant B.

Soient A et B deux événements, l’événement B étant de probabilité non nulle. La probabilité de

l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est notée p

(A) (ou aussi p(A\B)). Elle est donnée par la formule

On en déduit que :

Evénements indépendants Soient A et B deux événements.

Si de plus p(A)  0,

Formule des probabilités totales

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x.

2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile.

3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que x = 50.

Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne.

Les résultats seront arrondis au millième.

1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ? 3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?

……….

……….

……….

……….

……….

……….

……….

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

Les questions 1. et 2. sont indépendantes

1. On extrait simultanément et au hasard deux boules de l’urne.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.

a. Vérifier que P(X = 0)

puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

c. Calculer la probabilité de l’évènement suivant : A : « les deux boules tirées sont de même couleur ».

2. On effectue deux tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante :

a. En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants : B : « seule la première boule tirée est verte »,

C : « une seule des deux boules tirées est verte ».

b. Sachant que l’on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?

……….

……….

……….

……….

……….

Lois de probabilité discrètes

I. Loi de probabilité associée à une variable aléatoire discrète

On suppose que Ω est un univers fini constitué de n résultats possibles. On suppose de plus qu’à chaque résultat possible ω

, . . . , ω

est associé un nombre réel x

, . . . , x

. On définit ainsi une variable aléatoire X (une variable aléatoire est donc une fonction qui à un résultat ωi associe un nombre xi ou encore une fonction de Ω dans R). La loi de probabilité

de la variable X est la liste des probabilités p(X = x

), . . . , p(X = x

). Elle peut être représentée dans un tableau.



Espérance mathématique d’une variable aléatoire X E(x)=



Variance d’une variable aléatoire X . Ecart type de X

On appelle variance de X le nombre : V(X) = E( (X –E(X))² )= E(X²)- (E(X))² On appelle écart type de X le nombre

= V(X)

Loi binomiale (ou loi de Bernoulli)

Fonction de répartition d’ une variable aléatoire

Soit (

, P (

),p) est un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire définie sur

On appelle fonction de répartition de X , la fonction définie de IR dans  0,1  par

Epreuve de Bernoulli

Schéma de Bernoulli

Une expérience aléatoire consistant à répéter n fois (n étant un entier naturel non nul), de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de

Loi binomiale

Pour justifier que X suit une loi binomiale, il suffit de dire que :

on répète des épreuves identiques et indépendantes.

chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec).

X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

Donner les paramètres d’une loi binomiale, c’est préciser :

la probabilité d’obtenir un succès sur une épreuve (non répétée). Ce paramètre est noté p.

le nombre de répétitions de cette épreuve. Ce paramètre est noté n.

Loi de probabilité associée à cette variable aléatoire et si k est un entier élément de {0, 1, . . . , n}, on a : p(X  k)  C p (1 p)

On appelle fonction de répartition de X , la fonction définie de IR dans  ^0,1  ^par