• Aucun résultat trouvé

a- par la Surveillance du Portefeuille.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "a- par la Surveillance du Portefeuille."

Copied!
21
0
0

Texte intégral

(1)

T A R I F I C A T I O N D U R I S Q U E I N D I V I D U E L D ' A C C I D E N T S D ' A U T O M O B I L E S P A R LA P R I M E M O D E L E E

S U R L E R I S Q U E PIERRE J. DELAPORTE

Paris, France

Le principe de l'assurance contre les accidents d'automobiles est la formation d'une mutualit6 oh les assur6s mettent en commun leurs risques. Si les risques des assur6s ne sont pas tous ~gaux entre eux, il est normal de demander A chacun des assur6s une prime propor- tionneUe au risque qu'il fait supporter ~ la mutualit& La tarification a pour objet l'estimation du risque propre A chaque assurd, afin de r6partir 6quitablement la charge totale de la mutualit&

On groupe habituellement les v6hicules ayant en commun plu- sieurs caractdristiques du risque telles que m~me module de voiture, m~me usage, m~me lieu de garage habituel. Nous d6signerons un tel groupement par classe de tarif.

ESTIMATION DU R I S Q U E MOYEN : TARIFICATION A LA PRIME MOYENNE On observe les accidents relatifs aux v~hicules appartenant ~ une m~me classe de tarif. Le quotient du cofit de ces accidents au nombre de voitures-ann& donne la prime moyenne pure empirique. Cette prime moyenne subit alors quelques corrections pour tenir compte de la survenance au hasard des gros sinistres et du fair que la prime indiquer dans le tarif estime le risque moyen futur et non pas le risque pass& Cette prime moyenne sera d e m a n d & ~ toutes les voitures a y a n t les caract6ristiques d6finies par la classe de tarif;

elle suppose que tous les risques de cette classe sont 6gaux, c'est-A- dire que les seuls param&res de tarification retenus sont exhaustifs pour caract~riser le risque que l'assur~ fera supporter A la mutualit&

Cependant, les compagnies d'assurances qui utilisent des tarifica- tions k la prime moyenne ont l'habitude de g6rer les polices de leur portefeuille en niant cette 6galit6 des risques:

a - par la Surveillance du Portefeuille.

Les assureurs ont l'habitude d'examiner soit les rapports du

(2)

252 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

cofit des sinistres aux primes, soit les nombres de sinistres d~clarrs sur chaque police, pour drtecter, puis rrsilier ou majorer la prime future des polices qui ont fait supporter dans le passe les plus lourdes charges A la mutualitC

b - par des rdductions de primes aux bons assurds.

Souvent les compagnies acceptent de rrduire le m o n t a n t de la prime demandre aux assurrs qui ont drclar6 peu de sinistres ou bien consentent contractuellement une bonification de prime s'il n'a pas ~t6 drclar6 d'accident.

Dans les deux cas ci-dessus l'assureur admet:

I °) que les risques individuels appartenant ~ une m~me classe de tarif ne sont pas 6gaux entre eux;

2 °) que les risques qui ont 6t~ plus lourds ou plus 16gets dans le pass6 le resteront aussi dans l'avenir.

OBSERVATION DES NOMBRES DE SINISTRES DI~CLARI~S LES ANNEES SUCCESSIVES SUR UN MEME VEHICULE

Dans une m r m e classe de tarif examinons les nombres de sinistres drclar~s pour des voitures assurres pendant deux ann~es cons~cu- tives. Classons ces voitures selon leur nombre d'accidents de la premi&re annie is' et observons leur fr~quence pendant la deuxi&me annie ~s'.

Ier EXEMPLE: Accidents aux tiers de petites voitures utilis~es pour les affaires, ayant leur garage habituel tt Paris, observ~es du

I.I.I958 au 31.12.1959

Ensemble

1958 N o m b r e d'accidents o i 2 3 4 5 2367

1958 F r r q u e n c e observre xs' o i 2 3 4 5 o,59o 1959 F r ~ q u e n c e o b s e r v r e g s ' 0,395 o,717 o,962 x,168 1,278 x,643 0,568 1959 Fr~quence estimre

E [IS/1Sq o,4I 7 0,682 0,947 1,212 x,477 1,742 0,590

La frrquence estim~e

EE slxs']

est obtenue au moyen de la for- mule (3) ci-apr~s.

2e EXEMPLE: Accidents aux tiers de voitures Simca 7 CV, usage promenade, garage habituel Paris

(3)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 253 Ensemble

~958 Nombre d'accidents o I 2 3 4 5 289

1958 Fr6quence observ6e is' o I 2 3 4 5 0,326

I959Fr6quence observ6e as' o,223 o,4o4 o,477 0,833 3,ooo 3,ooo o,283 1959 Fr@quence estim@e

E [~s/ls" ] 0,236 0,459 0,682 0,905 I,i28 1,351 0,326

3e EXEMPLE: T o u s a c c i d e n t s d6clar6s p e n d a n t les 4 premi@res ann6es s u r des v o i t u r e s s o r t a n t d ' u s i n e , d ' a p r 6 s P. D e p o i d (voir [I] 1, p. 117). L e s fr6quences estim6es s o n t ici corrig@es de la d i m i n u t i o n p r o g r e s s i v e de la fr~quence d u e ~t ce q u e les v o i t u r e s 6 t a i e n t t o u t e s n e u v e s ~t l'origine et ~t l'61imination des v6hicules les plus accident@s.

I ee ann6e Nombre d'accidents o I /> 2 840

- - Fr6quence observ6e o i 2,50 o,671

2e ann6e Fr@quence observ6e o,47 0,72 I,O6 o,631 - - Fr@quence estim@e o,469 o,71o I,O66 - - 3e ann6e Fr@queuce observ6e 0,39 o,6o o,9o o,517

-- Fr@quence estim6e 0,384 o,582 0,874 - -

4 e alm@e Fr6quence observ6e 0,33 0,45 o,58 o,386

-- Fr6quence estim6e 0,287 o,434 o,652 - -

On o b s e r v e ainsi q u e le c l a s s e m e n t des v o i t u r e s selon les n o m b r e s c r o i s s a n t s d ' a c c i d e n t s qu'elles o n t eus la premi@re ann@e d o n n e des fr@quences c r o i s s a n t e s d ' a c c i d e n t s les ann@es s u i v a n t e s .

MODULE REPRI~SENTANT LA SURVENANCE DES ACCIDENTS DES VOITURES D'UNE Mf~ME CLASSE DU TARIF

D d s i g n o n s p a r :

s, la v a r i a b l e al6atoire n o m b r e de sinistres d ' u n e v o i t u r e d@ter- min@e i p e n d a n t u n e dur~e u n i t a i r e ( p o u r simplifier nous p r e n d r o n s u n e a n n i e ) , s, est d o n c le risque d ' a c c i d e n t d ' u n e v o i t u r e i.

is' ~, 2s' ,, • • ~s', les n o m b r e s observ@s de sinistres de c e t t e v o i t u r e i p e n d a n t la I ~re, la 2e . . . . la l ~me ann6e 6tudide.

F (s) la f o n c t i o n de r 6 p a r t i t i o n des v a r i a b l e s s~ des v o i t u r e s de la classe 6tudi@e du tarif.

P ( j s ' d s , ) la p r o b a b i l i t 6 p o u r q u ' u n e v o i t u r e de risque s, air j s', a c c i d e n t s au c o u r s de l a / ' ~me ann6e.

N o u s a v o n s montr@ (voir [3], P. 122) q u e l ' e n s e m b l e des r ~ s u l t a t s s t a t i s t i q u e s pr@c6dents p o u v a i t ~tre r e p r 6 s e n t 6 p a r u n mod&le oh 1) Les nombres entre crochets renvoient ~ la bibliographie ~ la fin de l'article.

(4)

254 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

la probabilitd, qu'une voiture prise au hasard dans la classe ait s' accidents la premiere annde, est

+ ~

P (s') = J" P (s'ls). dF(s) (I)

sO

oh so est le risque minimum d'une voiture.

On a montrd (voir [4], P. 88 A 90) que la probabilitd P (~s~]s,) dtait donnde par la loi de Poisson

jS'~

S~

P ( : ' , [ h ) = e-', s' w (2) J t-

La fonction de rdpartition F(s) peut prdsenter diverses formes analytiques selon la client61e du mod61e de v~hicule, la sdlection des risques faite par la compagnie d'assurances ~ la souscription et par la surveillance du portefeuille. On a donnd une mdthode gdn~rale de d~termination de cette forme analytique par les Types de K. Pearson (voir [3], formules I, 2 et 6).

Ce mod61e permet une reprdsentation statistiquement satisfai- sante:

x o) des nombres de sinistres observds sur l'ensemble des vdhicules d'une classe (voir [3], P. z27 et zz8; [4], tableau z);

2 °) des nombres de sinistres d'une annde pour chaque voiture, connaissant les nombres de sinistres des ann6es antdrieures. En effet, si l'on suppose le risque s t de chaque voiture stable au cours du temps 1) le hombre probable des sinistres de 2e annde est l'esp6- rance m a t M m a t i q u e de slide par le nombre d'accidents observd la 1 ~re annde

# ~

f s. P ( : ' 1 s). dF

(s)

" (3)

I P

(:'Is). (s)

$0

1) O n a m o n t r 6 ([6] a p p l i c a t i o n des f o r m u l e s N°0 6 et 7) que, d ' a p r ~ s les o b s e r v a t i o n s des n o m b r e s de sinistres de 2 ann6es cons6cutives, les m o d i f i - cations au cours du t e m p s du risque des v o i t u r e s d ' u n e classe 6talent s t a t i s t i - q u e m e n t n6gligeables.

(5)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 255

Ces espdrances mathdmatiques li6es sont indiqu6es c o m m e ,,fr6quence estimde" dans chacun des 3 exemples ci-dessus. L'action de la SurveiUance du PortefeuiUe qui r6silie les polices a y a n t des nombres de sinistres dlev6s a pour effet de diminuer progressive- ment les frdquences moyennes observdes dans les statistiques des compagnies d'assurances.

On a montrd (voir [6], formules 2 et 5) que, d'apr6s les statistiques des voitures assurdes par l'Urbaine et la Seine 1), la distribution des risques individuels a l e plus souvent pour forme la probabilit6 dl6mentaire:

a b

d F (s) = ~(b)" e'aCs--s°~" (s - So) ~ - x . as

(4)

off F(b) est l'intdgrale eulerienne compl6te de seconde esp~ce et so (risque minimum), a et b sont des param6tres propres A la classe du tarif. On a indiqu6 une mdthode gdndrale d'estimation de ces param~tres par le m a x i m u m de vraisemblance ([6] formule 5).

Les courbes de distribution des risques ([6] fig. I e t 2) donn6es pour divers mod61es de vdhicules m o n t r e n t que, pour un m~me lieu de garage et un m~me usage, les risques individuels varient tr6s fortement et que leur aire commune est tr~s importante: 66 °//o en Province (zone Normale) et 78 ~o A Paris, alors que les puissances SAE de ces voitures varient de 12 A 75 CV. Les risques individuels petits et moyens sont A peu pr6s les m~mes pour tous les types de vdhicules qui se difffrencient surtout par les plus gros risques individuels dont les frdquences sont beaucoup plus 61ev6es pour les voitures de fortes puissances. Ceci explique que le risque m o y e n soit diff6renci6 selon les types de v6hicules, alors que les risques individuels ont des distributions peu diff~renci6es. Les diff6rences entre les risques proviennent pour la plus grande part de la clientele qui choisit le vdhicule et non pas des diff6rences qui existent entre les divers modules de v6hicules. Ceci explique de 16g~res diff6rences entre les risques moyens des diverses classes de tarif, alors que la diff6renciation est surtout tr&s forte entre les risques individuels A l'int6rieur d'une classe. C'est dire que le risque mis en mutualit6 varie beaucoup plus avec l'assur6 qu'avec les caract6ristiques

1) Nous remercions v i v e m e n t M.A. Pla, M . J . Mouillard et Melle G.

Chardon de l'aide qu'ils nous o n t apport6e pour cette 6tude.

(6)

256 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

g~n~rales de la classe. La prime qu'il est 6quitable de demander chaque assure doit donc vafier avec les caract6ristiques g6n6rales de la classe mais surtout avec les caract6ristiques individuelles du risque.

ESTIMATION PROGRESSIVE DU RISQUE INDIVIDUEL

La tarification des risques devrait se faire d'apr~s la valeur s, du risque de l'assur6 i. Ceci n'est pas possible puisque le risque s, est n~cessairement inconnu, mais, cependant, il peut ~tre estim6.

L'assureur devra donc, ~ chaque instant, prendre pour base de la prime du risque s, la meiUeure estimation qu'il peut en faire. Ceci entraine pour l'assureur une suite d'estimations successives faites pour chaque risque i au d~but de chaque ann6e d'assurance.

Soit F (s) la fonction de r6partition des risques individuels d'une classe du tariff La somme des probabilit6s des risques individue]s est J" d F ( s ) = I.

*0

Apr+s une ann6e d'observation des risques, les probabilit6s d'une valeur de s~ ne sont pas les m~mes si le risque n'a eu aucun sinistre, a eu I sinistre, a eu 2 sinistres, etc. Ces probabilit6s sont donn~es par les distributions li~es suivantes, telles que la somme des aires de l'ensemble de ces distributions soit ~gale ~ I.

La probabilit6 616mentaire de s, s'il n'est survenu aucun sinistre pendant la I ~re ann6e est:

P (o] s) . dF(s) = e'*. d F (s) (5) s'il est survenu I sinistre:

P (~ Is). d F ( s ) = s. e ' " . d F ( s ) (6) s'il est survenu xs' sinistres:

S (~s 3

P (ls'[s) . a F ( s ) = . e S . , t F ( s ) (7)

iS + ]

D'une mani6re analogue on 6crira les probabilit6s 616mentaires de s, sachant que le nombre total de sinistres d6clar6s pendant les 2 premi6res ann4es sur la voiture i e s t 2s,:

~ P (xs'~[s). P ( , s ' , l s ) . d F ( s ) - - s#'+**" e -e* d F ( s ) (S) fis', + , s ' , ) ! " "

(7)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 257

D'une mani~re g6n6rale la probabilit6 61~mentaire de s, sachant que le nombre total de Sinistres d6clar6s pendant les k premi&res anndes sur la voiture i e s t ks,:

P P . . . P =

. e "k*. d F ( s ) (9)

(ls'~

+ . . .

+ ~s'~)!

EXEMPLE 3 - - Assurance de responsabilit~ civile des voitures de la classe de tarif: voitures Renault--modUle Dauphine, usage:

Affaires, lieu de garage habituel Paris, en I958-I959.

L'~tude des sinistres d~clar~s donne une probabilit~ ~l~mentaire de la forme (4) dont les param~tres, estim~s par la m6thode du maximum de vraisemblance, sont a = 3,862 b = 1,6oo et so = o.

Sur la figure No. I, on a represent&

en pointill6: la courbe de densit~ de probabilit~ des risques s~

en trait continu: les courbes de densit~ de probabilit~ des risques s~

sachant qu'il a 6t~ d~clar~ o sinistre, ou I sinistre, ou 2 sinistres, pendant la I ~re ann6e.

en tirets: les courbes de densit6 de probabilit6 des risques s, sachant qu'il a 6t6 d6clar6 o sinistre, ou I sinistre, ou 2 sinistres, pendant l'ensemble des 2 premieres ann6es.

On volt imm6diatement que les courbes de densit6 de probabilit6 sont tr~s diff6rentes les unes des autres d~s que l'on connait les sinistres de la I ~re ann6e, a fortiori lorsqu'on connait les sinistres des 2 premieres ann6es.

EXEMPLE 4 - - Assurance de responsabilit6 civile et de dommages la voiture pour la classe de tarif: voiture Peugeot, module 4o3, usage: commerce, lieu de garage habituel: villes de moyenne im- portance (zones 3-4) en 1958-1959. Les diverses courbes des densit6s de probabilit6 indiqu6es ci-dessus sont repr6sent6es sur la figure No. 2.

On peut proposer deux mdthodes d'estimation progressive du risque individuel d'accident d'apr~s les distributions li6es indiqu~es dans les formules (5) ~ (9).

x7

(8)

258 RISgUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

Densit6 de probabilit6 des risques s, ~ l'origine et densit6s de probabilit6 li~es par les sinistres de la premiere ann6e ou des 2 premieres ann6es

z , 8

1,6 1,4 1 , 2

l , O

0,8 O,6

l o ",

!1! \~ \ ",.

!l \ \ \

t \ \ ":

,[ t si- \ \ ".

0'4 i " ~ TM • " '

I

O,2

r

0,5 i i ,5 si

~XxX " I

Fig. i

0 , 8 . . . . I I

S ¢ ~ "%,%,,

°.6 / / - ' " ' ~ ~ . ~ " ' . , .

-rt~ /[ -- X \°.,, \

" ~ % .%.,

0,4

o,2

I / i

o o,5 t 1,5 s~

Fig. 2

I o) Estimation du risque individual par le risque le plus probable,

c ' e s t - A - d i r e p a r la d o m i n a n t e des d i s t r i b u t i o n s li6es. C e t t e h i 6 r a r c h i - s a t i o n des g r a v i t d s des r i s q u e s e s t celle q u e d 6 s i r e r a i t l ' a s s u r ~ .

(9)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 259 L'4tude qui en a 4t4 faite [5] a montr~ qu'eUe fournit une solution int4ressante pour l'estimation progressive d'un risque, mais qu'eUe ne peut servir de base ~ une tarification de l'assurance automobile sans une modification importante des habitudes actuelles.

2 o) Estimation du risque individuel par le risque probable.

Sous le nom de ,,Prime modelde sur le risque" on a drift 4tudi4 [4]

l'efficacit4 de cette m6thode de tarification de l'assurance automo- bile. Dans cette m4thode, on estime chaque ann4e le risque indivi- duel par son esprrance math4matique li4e par l'information d4j~t c o n n u e .

A la souscription de la police, l'estimation de la prime de premiere ann4e, appel4e encore prime initiale, se fait d'apr~s l'esp4rance math4matique de la classe de tarif, c'est-~-dire par

+ ~

E [is't] = j" s . d F ( s ) (IO)

#0

La prime de 2e ann4e s'obtient au d4but de la 2e ann4e d'apr~s l'esp4rance math4matique de la fr4quence s,, sachant que la voiture i appartient ~t la classe de tarif et qu'il a 6t4 d4clar4 zs', sinistres p e n d a n t la I ~re ann4e. Cette esp4rance math4matique li4e est donn4e par la formule (3).

L'estimation des primes des ann4es suivantes se fait d'une ma- nitre analogue. En grn4ral, l'estimation de la prime de la (k + I) ~me ann4e d'assurance se fait d'apr~s l'esp4rance math4matique du risque s, li4e par les nombres is',, ~s', . . . . ks', de sinistres d4clar4s pendants les k premieres ann4es d'assurance.

i s , i , ,]

+ S ~ , 2 s t , . . . k S -~- - -

+ m

$ s.P(xs'ts).P(=s'l

]" P(xs' I s). P(=s' [ s) . . . P(~s' I s). dF(s)

# e + ~

y s,*',+" • • + . * ' + 1 . e - , , .

dF(s)

- - , n + t O

j. s,S',+... +~', .e-*S.dF(s)

"0

En d4signant par c le cofit moyen des sinistres de la classe de tarif et par g le t a u x de frais g4n4raux (y compris commissions et

(10)

260 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

chargement de sdcuritd), la prime commerciale modelde sur le risque de la voiture i pour la (k + I) ~me annie est donnde par

/¢+1 I-It = c ' E [ / ¢ + l s'lllS't' 2s'i . . . . ks't] (12) I - - g

La tarification par prime modelde sur le risque a les principales propridtds suivantes [5]:

Propridtd I

Chaque annde, la somme des primes per~ues est dgale ~ la somme des colts des sinistres et des frais gdndraux.

Propridtd 2

La prime modelde sur le risque, demandde ~ un vdhieule i, pour l'annde k + I, est toujours dgale ~ son espdrance mathdmatique i nnd ivid uelle.

I1 en rdsulte que:

a) le ddpart d'un risque i quelconque ne l~se pas l'dquilibre du portefeuille de la compagnie puisque chacun et l'ensemble des risques restants sont encore tariffs ~ leur espdrance mathdmatique;

b) l'assureur qui, par concurrence, propose au risque i une prime infdrieure A la prime modelde sur le risque travaille en-dessous de l'espdrance mathdmatique du risque. L'espdrance math6matique de son gain est donc ndgative et, en rdpdtant de nombreuses fois cette opdration, il subira ndcessairement une perte importante.

Propridtd 3

Si le risque est stable au cours du temps quand la durde d'assuran- ce k croit, la prime modelde k+l l-Ii sur le risque i tend asymptotique- ment vers celle de la vraie valeur s t initialement inconnue et cette asymptote est inddpendante de la distribution initiale F(s) des risques de la classe du tariff Autrement dit, la prime asymptotique d'un risque i e s t inddpendante des erreurs de la classification initiale de ce risque, c'est-g-dire inddpendante du tarif initial.

Sur les figures 3 et 4 on a indiqud, pour les exemples 3 et 4 ci- dessus respectivement, quelques courbes d'esp~rance mathdmatique du cheminement. Pour cela on a pris pour dchelle des ordonndes

(11)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 261 la valeur du risque, sur le graphique de gauche: valeur vraie du risque individuel, sur le graphique de droite : esp6rance math6mati- que lide de s, utilis6e pour la prime model6e sur le risque, et pour 6chelle des abscisses; graph!que de gauche: la densitd de probabilit6 des risques individuels s~ ; graphique de droite: les ann~es successives t d'estimation de chaque risque individuel i.

D i s t r i b u t i o n des risques i n d i v i d u e l s et esp6rances m a t h 6 m a t i q u e s du c h e m i n e m e n t de l ' e s t i m a t i o n du r i s q u e i n d i v i d u e l c h a q u e ann6e

s, I E [s',j, s',, ~s',,...}

,~ I / J

/ F

j

L c ~ '

/ '

t --..---

1,6 1,4 1,2 I,O o,S o,6 o, 4 0,2 (i I 2 5 IO

Densit6 de probabilit6

Fig. 3

s t = 2 ,

________---

I S* = I , 5

$ 1 ~ O , 5 St ~ O,Z

= O , I ,

x 5 2 0

Ann6es

Le graphique de gauche fait apparaitre la fr~quence avec laquelle chacune des gravit6s de risque individuel s t existe dans le porte- feuille de la compagnie d'assurances.

Sur le graphique de droite, on a indiqu6 en trait continu, pour quelques valeurs du risque individuel st = o,I; 0,2; 0,5; I,O; 1,5;

2,0, les courbes donnant les esp6rances math~matiques des risques (correspondant ~ la prime model6e qu'aurait ~ payer la I ~re ann6e, la 2e annie, etc. chacun de ces risques).

(12)

262 R I S Q U E INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

On voit i m m ~ d i a t e m e n t sur les figures 3 et 4 que, d6s les premi6res armies, la diffdrenciation entre les risques individuels est tr6s forte et q u ' h p a r t i r de la 8e ou de la xoe annde, la courbe d'espdrance r n a t h d m a t i q u e d u c h e m i n e m e n t est voisine de la v a l e u r vraie d u risque, qui est son a s y m p t o t e .

Distribution des risques individuels et espdrances mathdmatiques du cheminement de l'estimation du risque individuel chaque annde

s, I E [s',h s',, ,s',,...]

I'5 r /

/ / /

-

\

~ = o , 5

.~ = o,z

o,8 o,6 o,4 o,= o x 2 5 to x5 2o

Densit6 de probabilit6 A~n~

Fig. 4 Propridtd 4

Pour chaque dasse de risques, la tarification par la prime moddde a une efficacitd maximum.

E n effet, d~signons p a r eX, l ' e s t i m a t i o n d u risque individuel i prise p a r le t a r i f d'assurances pour l'ann6e k. L a variance des sinistres p a r r a p p o r t a u tarif est:

~ = f (es't - - eX~) ~ . P(ls', l st). P(zs', l s t ) . . . P(e--1 s'l l st). dF(s) =

m e

= E [ts'l S I lS'i . . . . k_l$'l] - - 2t~k ~. E [/¢s' I I 1s'l . . . . k--is'i] + ~.~ (I3)

(13)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

263

cette variance est minimum pour:

~ k x - 2 E

ks'~lls~

. . . . k - 1 ~ + 2 k h = °

donc pour kX~ = E [ks'tllS't . . . . ~_lS',] (14) La variance est donc minimum lorsque le tarif prend pour esti- mation du risque l'espfrance mathdmatique du risque lide par les ant~cddents, c'est-A-dire pour la tarification par la prime model6e sur le risque.

I1 rdsulte de ceci que toutes les autres mdthodes de tarification des risques d'une classe sont moins efficaces que la Prime Modelde, en particulier la prime du risque moyen, les bonifications pour petits nombres de sinistres, etc.

Efficacitd de la prime moyenne par rapport ~i la prime modelde pour la k ~rne annde d'assurance, pour une classe du tarif

Ddsignons par kV la variance des sinistres de la k ~me ann6e par rapport ~ l'esp6rance math6matique li6e par les sinistres des k-I ann6es ant6rieures

+ ~

, v = f E Eks'tl ', k_l 'l} '.

8 0 lmt~O tdt=O 7~Jtr-- 0

_P (1s'ls) . . . P ( k s ' l s ) . d E ( s ) (15) alors ooV est la variance due ~ la survenance au hasard des sinistres d'une annde si l'on connait exactement chacun des risques indivi- duels s t ;

iV est la variance de premiere ann6e qui est la m~me si l'on utilise la prime moyenne ou la prime model6e.

Donc, ~ l'intdrieur d'une classe de tarif, l'efficacit6 de la tarifica- tion A la prime moyenne par rapport A la tarification ~ la prime model6e est

, V - - ~oV (16)

~e -- iV - - o~V

La figure 5 reprdsente la variation de cette efficacit6 pour le troisi6me exemple (Renault, Dauphine) et pour le 4e exemple (Peugeot 403). Ces courbes m o n t r e n t que l'efficacitd de la tarification

(14)

264 RISQUE INDIVIDUEL D'ACC!DENTS D'AUTOMOBILES

par la prime moyenne devient mauvaise d~s les premieres anndes et qu'elle est d ' a u t a n t plus mauvaise que le risque moyen est plus 61evr. Dans t o u s l e s cas, l'efficacit6 tend asymptotiquement vers z6ro quand la dur~e d'observation augrnente.

Efficacild globale de la prime moyenne par rapport ~ la prime modelde pour l' ensemble des k premieres anndes d'assuranee

L'efficacit6 des tarifications peut aussi ~tre examinre pour Yen- semble des primes per~ues de la premi&re A la k ~me annre. Ceci correspond b. l'efficacit6 que r~alise une compagnie d'assurance qui applique ces m~thodes de tarification aux polices de son porte- feuille; c'est aussi la mani~re dont un assur6 a cotis6 A la mutualit6 pendant l'ensemble des k premi+res annres d'assurance, selon le mode de tarification qui lui est appliquC Pour obtenir cette effica- cit6 globale, drsignons par: Z une somme ]E 6tendue de ts' = o A ~ s ' = + oo ~"

t19 l'esprrance m a t h r m a t i q u e lire correspondant ~t la prime modelde sur le risque

# = E [~s'l is', ~s', . . . j_ls']

+ ~

k v ' = I Z Z . . . Z { i s ' + . . . + k s ' - ( x 1 9 + . . . + k 1 9 ) } ~.

% trot s t

k

• P (I s'ls) . . . P (ks' Js).dF(s) = Z ~V (17)

# - I

la variance des sinistres autour de la prime model~e (ce r~sultat tr&s simple provient de l'utilisation des esprrances m a t h r m a t i q u e s lires successives).

++0

k v ' = I X X . . . ~ ( i s ' + ~ s ' + . . . + k s ' - k s ) ~.

+o #s tin, i f

. P ( i s ' I s ) . . . P (~s'[

s). dF(s)

(I8)

la variance des sinistres autour du risque moyen.

L'efficacit6 globale est alors

k

Z tV - - k. ~oV

_ ~ V ' - - ~oV' , . , (19)

ke' kV" - - ~V' -- ~V" - - k. ooV

(15)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

265

Efficacit6 de la tarification h la prime m o y e n n e par rapport h la tarification par prime model6e

~e I ,o o,8

0,6

\ \

o,4

\F

O,2 j

i

Efficacit6 de l'ann~e k

Dauphine Peugeot 4o3

IO 15 20

Ann6es k Fig. 5

k e

"2 x,o i

"~o66-

0,4

0,2

0 I I

Efficacit6 pour l'ensemble des k premieres ann6es

/ D a u p ~ n e

i I

3 5 io I5 20

Ann~es k Fig. 6

Les courbes d'efficacit~ globale, de la tarification tt la prime moyenne par rapport tt la tarification par la prime model~e, sont donn6es sur la figure N o 6 pour les exemples 3 et 4- Dans chaque cas, l'efficacit~ globale de la prime moyenne tend vers z~ro quand le nombre d'ann~es d'assurance crolt. Pour 5 et pour Io ans d'assu- rance respectivement, on a une efficacit~ de la prime moyenne par rapport tL la prime model~e, de I4,O % et 5,3 % pour la Dauphine, de II,2 % et 3,8 % pour la Peugeot 4o3.

(16)

266 R I S Q U E INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES PR]~SENTATION D'UN TARIF A PRIME MODEL]~E SUR LE RISQUE Quelques a m ~ n a g e m e n t s de ces principes g r n r r a u x d e v r o n t ~tre faits p o u r la p r r s e n t a t i o n c o m m e r c i a l e d ' u n t a r i f A p r i m e m o d e l r e sur le risque:

I o) on simplifiera la p r r s e n t a t i o n en e x p r i m a n t d a n s la police le seul m o n t a n t de la p r i m e initiale llFI~ et u n t a b l e a u des coefficients m u l t i p l i c a t e u r s K de la p r i m e initiale p e r m e t t a n t d ' e x p r i m e r la p r i m e de l ' a n n r e l + I en f o n c t i o n de la p r i m e initiale et d u n o m b r e t o t a l de sinistres d~clar~s p e n d a n t les l p r e m i e r e s annres.

Ce m u l t i p l i c a t e u r K est une f o n c t i o n K ( S ' I I ) d u n o m b r e t o t a l de sinistres observes en l anndes S' = lS', + 2s', + . . . + ts',, mais il est i n d r p e n d a n t de la r 6 p a r t i t i o n de ces s' sinistres e n t r e c h a c u n e des I annres.

r t i

K = E [Z+l s ~[ i s ~, 2s ~ .. . . : ' , ] (20) E hs'd

Voici A t i t r e d ' e x e m p l e ces m u l t i p l i c a t e u r s de c o r r e c t i o n p o u r l ' a s s u r a n c e de responsabilit~ civile d ' u n e v o i t u r e 5 CV R e n a u l t , m o d u l e D a u p h i n e , usage Affaires, a y a n t P a r i s p o u r lieu de garage h a b i t u e l : (exemple No. 3 ci-dessus)

B A R t ~ M E I

Nombre d'annres &observation

I 2 3 4 5 6 7 8

Nombre de sinistres

avec r~glement

o I 2

3

4

5 6 7

8

10 9

0,794 1,29I 1,787 2,284 2,780 3,277 3,773 4,270

0,659 1,o71 1,482 1,894 2,306 2,718 3,I29 3,541 3,953 4,365

0,563 o,915 1,266 1,618 1,97 o 2,322 2,673 3,o25 3,377 3,729 4,o8o

o,491 0,798 I,IO5 1,412 1,719 2,026 2,333 2,64 ° 2,947 3,254 3,561

0,436 0,708 o,981 1,253 1,525 1,798 2,070 2,342 2,615 2,887 3,I6O

0,392 0,636 o,881 1,126 1,371 1,615 1,86o 2, IO 5 2,35 o 2,595 2,839

o,356 o,578 0,800 1,o22 1,244 1,467 1,689 1,911 2,I33 2,355 2,578

0,326 o,529 o,733 o,936 I,I4O 1,343 1,546 1,749 1,953 2,156 2,36o 2 °) on a r r o n d i r a les valeurs des coefficients K ~t des m u l t i p l e s de 5 ~o afin de d i m i n u e r le n o m b r e de v a l e u r s distinctes q u e p e u t p r e n d r e la prime.

(17)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

267

3 o) on maintiendra, a u t a n t qu'il est possible, le coefficient K k une valeur infdrieure ou dgale A i et on supposera que pour les valeurs K > 0, 0 dtant une limite donnde qui ddpend des tarifica- tions des assureurs concurrents, les assurds quitteront la compagnie.

Les valeurs de K infdrieures A I dans le barAme I devront alors

~tre majordes de teUe sorte que l'espdrance mathdmatique de l'en- semble des nouvelles valeurs K ' des coefficients K, multiplide chacune par A (K') probabilitd d'encaissement de la prime, soit au plus dgale A l'espdrance mathdmatique des risques conservds. Si s' ddsigne le hombre de sinistres ddclards en l anndes et G(s'l/) la probabilitd d'observer s' sinistres en l anndes, les K' doivent remplir chaque annde la condition:

K ' . G ( s ' I / ) . A ( K ' ) >~ Z g . C ( s ' l l ) . h ( K ' ) (21)

#°--O 1'--0

Le b a r , m e 2 a dtd dtabli sous cette condition (2I) avec A(K') = I si K ' < 1,3 et A(K') = o si K ' >/1,3. D ' a u t r e part on a limitd supdrieurement ~t 2 les valeurs de K ' ~ faire figurer sur la police, afin d'dviter d'alarmer inutflement rassurd.

B A R ' M E 2

N o m b r e d ' a n n d e s d ' o b s e r v a t i o n

3 ,~ 5

N o m b r e d e s i n i s t r e s

~ v e c

r~glement

o

I

2 3 4 5 6

7

0,90

I

1,60 2 2

0,80 I 1,3o 1,80 2

o,75 0,6 0,95 0,85

1,2 I

1,5 1,4

2 1,7

- - 2

0,55 0,8

I

I)2 1,5 1,8 2

o,45 0,7 0,9 I 1,3 1,6 1,8 2

L'espdrance mathdmatique du cheminement de la prime relative

~t ce b a r , m e 2 a dtd indiqude en traits poJntill6s sur la figure No. 3 pour les valeurs du risque individuel s~ = o,I; 0,2; o,5 et I. On voit immddiatement sur ce graphique r i m p o r t a n c e de la perte de discrimination, entre les risques, que l'on accepte pour des motifs commerciaux.

(18)

268 RISQUE I N D I V I D U E L D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

4 o) on a analyse le fonctionnement d'un march6 en regime de libre concurrence off une ou plusieurs compagnies W pratiquent la tarification A prime model~e sur le risque et les autres la tarifica- tion ~t prime moyenne (voir [5], 2e cas). On a observ6 que les com- pagnies W pourraient dprouver des difficultds pour r~aliser des contrats nouveaux, si leur prix de revient de 1 ~re annde est sup6rieur A la prime demandre par la plupart des autres assureurs.

Les compagnies W devront alors utiliser en premiere annie une prime inf~rieure A leur prix de revient, mais adopter une strat~gie de modification de la prime des anndes suivantes qui r~ponde A la double condition:

- - l'insuffisance des primes de premib,re annie doit 6tre amortie au cours des n premib,res annres, en t e n a n t compte d'une cadence de disparition des bons risques;

- - les primes s u # r i e u r e s ou ~gales ~ 0 lois la prime de premib,re a n n i e ne seront pas recouvrdes.

Voici, sur l'exemple pr~cddent, le barb,me des coefficients K" des primes model~es que pourrait adopter une compagnie W dont le prix de revient de premiere a n n i e serait sup~rieur de 15 % ~ la prime qu'elle devrait adopter comme prime initiale, afin d'etre bien placre d&s la premiere annre vis-A-vis de la concurrence.

On a adrnis 0 = 1, 3, n = 4, cadence de disparition des bons risques = IO % par an et on a limit6 le barb.me ~t K" = 1, 5 puisque la concurrence est tr~s vive.

B A R E M E 3

Nombre d'annres d'observation

5 6

Nombre de sinistres

a v e c

r~glement I

o,95 ,45 1,50

2 3

o,

9---~-- 0,9"---7 1,20 I I,OO 1,50 1,40 1,50

4 0,80 0,95 1,25 1,40 1,50

0,70 0,85 I,IO 1,4o 1,5o

0,60 0,75 I~O0 1,25 1,50

L'usage de ce barb,me permet de compenser en 4 ans une insuffi- sance de 15 % de la prime de premib,re annie, mais entraine pour

(19)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

269

la compagnie W un investissement en r6serves techniques de 15 % du chiffre d'affaires la premi&re ann6e, 12,8 ~/o la deuxi~me et 5,6 % la troisi~me ann6e.

5 o) Le coefficient K' acquis par un assur6 peut normalement

~tre conserv6 lorsqu'il change de voiture, car ce coefficient caract6ri- se beaucoup plus l'assur6 que le v6hicule. Notons que le risque d'un assur6 peut se modifier au cours du temps en am61ioration comme en aggravation. On pourra alors limiter l'application des bar&mes aux 6, 8 ou IO derni~res ann6es d'observation du risque.

6 o) La prime model6e sur le risque fait a u t o m a t i q u e m e n t la surveillance du portefeuille car elle stabilise les bons risques et, en p6nalisant les risques lourds, incite ces derniers A quitter l'assu- reur W. On aura donc avantage, lors de la souscription d'une nou- velle police, ~ demander dans la proposition d'assurance quels ont 6t6 les sinistres des derni~res ann6es pr6c6dentes pour 6tablir la police avec une prime initiale normale, mais en tenant compte d~s la premiere ann6e d'un coefficient K' relatif aux ant6c~dents.

7 °) La formation, pour une compagnie, d'un tarif ~ prime modelde sur le risque ndcessite pour chaque classe de tarif:

a) la connaissance statistique du cofit total des sinistres par voiture-annde pour la premiere annie d'assurance, afin d'estimer la prime initiale qui d6pend de la politiqu~ de recherche et d'accep- tation des nouveaux risques;

b) la connaissance statistique de la distribution des nombres de voitures ayant eu o, I, 2, . . . sinistres avec r~glement, afin de d6terminer la forme analytique de la fonction F(s) de r6partition des risques et d'en estimer les param~tres. La fonction F(s) permet alors de calculer les bar~mes des multiplicateurs de correction de la prime initiale, dans la forme du b a r , m e 2.

Certaines r6gularitds statistiques (voir E6]) qui apparaissent dans les fonctions F(s) permettent de former seulement une famille de bar&mes 2 correspondant ~ des fr6quences probables croissant en progression g6om6trique.

c) la connaissance de la prime moyenne pratiqu6e par les com- pagnies concurrentes, afin de savoir si la compagnie W doit r6duire sa prime initiale et former alors le bar&me correspondant du type du b a r , m e 3.

(20)

270 RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES

On voit que cette m~thode de tarification utilise le cofit total par voiture-ann6e et une correction progressive d'apr6s la fr6quence observ~e des sinistres sur la voiture consid~r~e; eUe ~vite d'introdui- re le cofit moyen des sinistres dont l'usage est dangereux par la d6claration toujours incertaine des petits sinistres. On pourrait, afin d'~viter l'effet de certaines irr~gularit6s dans la d6claration de ces sinistres, ne les consid~rer qu'~ partir d'un cofit minimum tel que 50 Francs (US $ io.oo). Ceci permettrait de corriger le fait que certains assures ne d~clareront pas leurs petits sJnistres pour b~n~ficier d'une prime moindre dans l'avenir. Les bar6mes de coefficients multiplicateurs devraient alors ~tre modifies en consequence.

Pratiquement, le tarif d'assurance se pr~sente sous la forme d'une

~num~ration de mod61es de v~hicules, avec la description d'origine du risque et les garanties accord6es. Pour chaque cas on indique le m o n t a n t de la prime initiale et le num~ro du b a r , me ~ utiliser. Ce bar,me, qui sera reproduit sur la police, doit ~tre pris dans la suite des bar6mes qui couvrent l'~ventail des fr6quences moyennes ob- serv~es. Pour un tarif d'assurance des voitures ~ ,~ roues (sauf camions et autocars), 14 bar6mes normaux et 14 bar6mes m a j o r , s ont suffi pour tous les cas.

CONCLUSION

L'analyse statistique des accidents d6clar~s pour chaque v6hicule a mis en Evidence que dans des classes d'assur~s, qu'on croit homo- g6nes parce que tous ont ~ la fois les m~mes caract6ristiques ext~- rieures du risque, il existe de tr6s fortes differences entre les risques individuels des assures. On a alors cherch6 un mod61e capable de donner une repr6sentation statistiquement satisfaisante de la sur- venance des accidents.

Le principe d'~quit~ n6cessaire au bon fonctionnement des assurances veut qu'il soit demands ~ chaque assure une prime pro- porfionneUe au risque qu'il pr~sente ~ la rnutualit~.

L'association du mod61e avec ce principe d'~quit~ conduit ~ deux solutions dont une d'efficacit~ maximum est celle que nous avons d~sign~e par P r i m e modelde sur le risque. C'est une m~thode de tarification du risque individuel par les esp6rances math6matiques successives du risque li6es par les sinistres d~jA d6clar~s.

(21)

RISQUE INDIVIDUEL D'ACCIDENTS D'AUTOMOBILES 2 7 I Cette m r t h o d e devrait ~tre utilisre en partant d'une prime initiale d~terrninre de mani~re statistiquement correcte. Cependant, s'il n'en est pas ainsi elle reste bonne car l'estimation a s y m p t o t i q u e de la prime est indrpendante des erreurs qui ont pu ~tre commises dans l'estimation de la prime initiale.

Les 6tudes des stratrgies que peuvent adopter une ou plusieurs compagnies d'assurances pratiquant la prime model~e sur le risque si elles sont seules ~t le faire, ou bien toutes les compagnies si eUes pratiquent cette m~me mrthode, conduisent ~t trouver un 6quilibre du portefeuiUe de chacune de ces compagnies et donc, en cas de g~n~ralisation, un ~quilibre du march~ de l'assurance automobile.

Cet 6quilibre ne peut exister dans un march6 oh l'on utilise la prime du risque moyen, sauf par la constitution d'ententes ou de monopole de fait.

BIBLIOGRAPHIE

[I] DEPOID, P. : E t u d e de la fr6quence et de la bortification p o u r non sinistre dans un portefeuiUe , T o u s risques moderne". Bull. Trim. Inst. Actuaires F r a n ~ s , No. 227, J u i n 1959, p. io3-i23.

[2] DELAPORT~, P. J.: Quelques probl~mes de S t a t i s t i q u e Math6matique pos6s p a r l'assurance automobile et le bonus pour non sinistre. Bull.

Trim. Inst. Actuaires Fran~ais, No. 227, J u i n 1959, p. 87-IO2.

[3] DELAPORTE, P. J., Un probl~me de tarification de l'assuraaace accidents d'automobiles examin6 p a r la Statistique Math6matique. Compte rendu du X V I e Congr~s I n t e r n a t i o n a l d'Actuaires, Bruxelles I96O, vol. 2, p. 12I-I3 5.

[4] DELAPORTE, P. J.: Sur l'efficacit6 des crit~res de tarification d e l'assu- rance contre les accidents d'automobiles. Colloque de I'A.S.T.I.N., R g t t v i k 1961. The A S T I N Bulletin, vol. II, p a r t i, Jan. 1962, p. 84-95.

R e p r o d u i t dsns : Bull. Trim. Inst. Actuaires Fran~ais, No. 238, Mars 1962, p. 4I-5 I.

[5] DELAPORTE, P. J.: Probl~mes de strat6gie pos6s p a r la tarification de l'assurance contre les accidents d'automobiles et estimation progressive du risque d'accident. I n t e r n a t i o n a l F e d e r a t i o n of O p e r a t i o n a l Research Societies, Proceeding 3 d Conference, Oslo, J u l y I963, Dunod, Paris, p.

572-582.

[6] DELAPORTE, P. J.: L ' e s t i m a t i o n statistique progressive du risque indivi- duel d ' a c c i d e n t et la taxification de l'assurance automobile. Bull. of t h e I n t e r n a t i o n a l Statistical Institute, O t t a w a 1963, t. 4 o, I re livraison, p.

275-284.

Références

Documents relatifs

[r]

Baguette pour aciers inoxydables austénitiques spécialement conçue pour l’assemblage des aciers ferreux et inoxydables, des aciers difficilement soudables et les liaisons pour

Le Projet d’Aménagement et de Développement Durables (PADD) est le document dans lequel le conseil municipal de HERBITZHEIM exprime les orientations générales qu'il retient

Les priorités porteront sur le développement de partenariats structurels entre établissements (au sein du PO et hors PO), sur une politique d’aide à la réussite à l’attention

BARRE DE CHARGE, PLATINE TRANSLUCIDE 25 mm. Le galon VELOURS est fait pour être jumelé avec le galon SETAX. Tous les profilés à scratch CHYC vont avec un galon HOOK..

[r]

For stable spaces (~hat is, for spaces isomorphic to its square) one has the following stronger result.. isomorphic for every

Nous 6nonr ~t la fin du second paragraphe, le r6sultat d'approximation dans le eas particulier des points minimaux, et, dans le troisi6me paragraphe, nous l'appli- quons pour