Sur les courbes intégrales du champ de gradient

Texte intégral

(1)Sur les courbes intégrales du champ de gradient Didier d’Acunto. To cite this version: Didier d’Acunto. Sur les courbes intégrales du champ de gradient. Mathématiques [math]. Université de Savoie, 2001. Français. �tel-00002710v2�. HAL Id: tel-00002710 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00002710v2 Submitted on 14 Apr 2003. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2)

(3) !#"$&%'#()"+*-,.*-/0&%'1325467%8(:9<;3*>=@?. ACBED. FHGIA JLKMBNDPOQGIA R!SUTWVIXYD[Z\FHGIA ] B. J_^`Zba. c. ] G. XYD[Z ] R!GdSeT. fhgjilknm odm oqpsrHftpvuxwlf y5z7{.|}@~3{}}# $$}@6@$}. }@~{}}-+ z>|}@~3yz&~t7{$}}-z>|}@{}+ ¡~¢}@y$£|}¥¤¦7#z&} ¤#§$@#¨£|©«ªh|£¬3@6|®@{}y §7 o¯o¯m°u oW±£wrH²d³qftp }@#7~|´ }-µ{@¶·'z7§zy¸}© ¹6º»¼»¾½!¿¸À¸Á

(4) Â¿&Ã / ¥ 3 .I !*5"Ä%ÅÆÇ"8#È¢*5=8=8*5;3"ÄÉ Ê (Ë*5"+=8( %82-,.*-Ì ;3"+Í#Í Ê * (ÏÎ Ê Æ ¥ Ð

(5) Ñ

(6) Ò ,74ÓÅÆ¾"+ÈÔ*5=8='*5;."ÄÉ Ê (Ë*5"+='(%'2Õ,¦Ö Ê Í*>"8= ×Ø«ºÙtÚ£Û¡º3À¸Á

(7) Â¿&ÃÓ Ü / ¥Ý 5Ë

(8) (:,ÞÅÆ¾"8#È¢*5=8=8*5;3"É nÊ ( Ë*5"8=8(%'2ß,.* Æ¾"+&Ë* Êà *Å/07"8=8*5( á á)*@Éâ ¿ãÃÚ¢äÁ

(9) Û!ÀnäåÂ·æ¦Â¿¸ç ÒÕ éèÒ¥ÝÒ "8ê>ë='ê@%'#ÈÅÆÇ"8#È¢*5=8=8*5;3"ÄÉ Ê (Ë*>"8=8( %82ß,.*ß=$5Ë#()*#Å&ìé14!2>"+ë<É ()"+* à %'*>;3"¡,.* 13í5=8* ì ¥Iî *5á ()ï!*#Å!Æ¾"+ÈÔ*5=8='*5;."ÄÉ Ê (Ë*5"8=8(%'2Õ,.* 7á)á:,.á (), ¥ Ü Æå7%8"8( à *ÅÆÇ"8#È¢*5=8=8*5;3"ÄÉ Ê (Ë*5"+=8( %82Õ,.* ¸Ë( *Å!ì´174!25"+ë.

(10)

(11) ðòñ¡óLñ¡ô

(12) õ«öÄñ¡óLñ¡÷Ðø.ù ì ÖÏ*5=+%ï"+È¢( =7;

(13) úl13*>;3"8*5=á)*>=ï3á ;3=2>%'"' Ê Í#*5=,.*áÔ Ê ;3(%¥9;«Öû Ê =8*=8;3"+ï3"8* Ê ,üCï!* Ê =8*5"¥ü%'#;3= à *5;

(14) ú09;3(¼ Ê % à Ê %8"8( 3;32ü6á®Öý à5à #4Cï3á ( ='=8*54C* Ê %,.* à *-%'"$5Ë#( á®þ á Ê ÖÏë069<;«ÖÏ* Ê ,.*-%'*5á =4C4* Ê %'= 9<;«ÖÏ Ê ï!*5;.%ï3"8* Ê ,."+*Õ=$ï3á ;34C*Å3È¢*5"+4C*5"ná *5=në*5;

(15) ú·*>%áÔ7( ='=8*5"n=8 Ê *5=8ï3"8(%nË7Í! Ê ,.*5"7;ÓÍ#"82Õ,.*5= Ê %'*5= à "8( =+%7á á)( Ê *5=¸Å<ï!#;3" =8*=8#;.Ë* Ê ( "´,.*n%'#;.%'*5= à *5= ï!*5"+=' Ê3Ê *5=´9<;3*ßÎ@Öý7(*5;6ï3áÔ7( ='( "éü"+* Êà Ê %'"+*5"¸þ ÿ * Ê * =7;3"'( =Î+74 7()=%'"+ï "+*54C*5" à ()*>" Ò "8ê>ë

(16) =8ê>%8È Ò ;3"8,

(17) ë Ýï!#;3"·4ÓÖý5Ë( "Ó à5à ;3*>()á á (ÅÜ( à (Õü ì´14!25"+ëþ á7;3"$H2@%'2lï3á ;3=9;3*l4C Ê ,.( "8* à %8*5;3",.*Ó%813í5=8*lï!* Ê , Ê % à *5= Ê3Ê 25*5=¸þ ( "8*09;3* Î@Ö¨(¦ï3ï3"+()=Ð2 Ê #"84C2>4C* Ê %nü=8 Ê·à Ê % à %Ü=8*5"'(%Ü; Ê *5;3ï313254()=84C*#þ ÿ *ï!;3"+"$7()=Ü2>Í<7á)*>4C* Ê %Ü2 à "+()"+* !*7; à #;3ï·=8;3" à *5=Ü Ê3Ê 2>*5=Ðï=8=825*5=n7;

(18) ú à %825=Ü,.* Ò "8ê>ë

(19) =8ê>%8ÈÅ<4 ( = à *>=Ð4C#4C* Ê %8=+Éá:ü-=8 Ê %Ðï3á ;3=nü á *5;3"nï3á: à *Õ, Ê =4C*>=n='#;.Ë* Ê ()"+=9<;3*=8;3"n; Ê *ÕÈÔ*5;3( á)á *-,.*ï7ï3( *5"¸þ ¸Ë(:, "+#%84 Ê Å¡()áßë Ó9<;3*>á:9<;3*>= Ê3Ê 25*5=4 ( Ê %8* Ê Ê %Å¡4ÓÖý°#;.Ë*5"Ä%á *5=ï!#"+%'*5=,.* à *>%; Ê ( É Ë*5"+=-9<;«ÖÏ*5=+%-á:·Í#25#4C2>%'"+()*C"+25*5á á)*#Å«* Ê Í;3(), Ê %-4C*5=ï3"8*54C( *5"+=-ï=¸þ á Í"' Ê ,.*>4C* Ê % à Ê %8"8( 3;32 ü2>Ë*5( á á)*>"4 à ;3"+()#=8( %82, Ê = à *-,.46( Ê *þ ÿ *Õ=8;3()=*ú

(20) %'"+í54C*54C* Ê %13 Ê #"829;«Öû( áå7(%¥ à5à *5ï.%82,.* ï3"82>='(),.*5" à * ÿ ;3"+ëþ !*5"Ä%Õ/l#;3=8=8;H à5à *5ï.%82á: á * à %';3"+*,.* à *4 Ê ;3= à "8( ï.%þ á¼Ë# =$ Ê =¥,.( "8*9<;«ÖÏ( á¾ à Ê %8"8( 3;32 ü 425á)( #"8*5"-,.*64 Ê ( í5"8* Ê ÊtÊ 25Í#á ()Í#*73á)* á:·"82¸, à %'( Ê ,.* à *>%8%8*C%'1.í5='*#þ«*5=,.( = à ;3=8=8() Ê =9;3* Ó Ê #;3=é5Ë Ê =ß*5;3*5=ß4ÓÖÏ Ê %ß* Êà ;3"'Í#2ü2>%'* Ê ,."+* à *5"+%$( Ê =ß"825=8;3á%&%'=´;C4

(21) ,.*5=+%'*Üï3"8( úC,.*9<;3*5á)9<;3*5= 13*5;3"+*5=,.*=8#4C4C*5( á«ï!*>"',.;3*5=¸þ)þ þ ÿ *áÖÏ* Ê "8*54C*5" à ( *¥Ë

(22) (Ë*54C* Ê %þ « * %'"$5Ë#7()á,¦Ö ,34_Æå"+;3=8(.= (4ÓÖýn!*7; à #;3ï( Ê ;3* Êà 2þì´*´È¢;.%å; Ê *é4C%'(Ë#7%8() Ê =8;3ï3ï3á 254C* Ê É %7( "8*Õï!#;3",.254C Ê %'"+*5" à *5"+%$( Ê ="82>=';3á%&%'=,.* à *@%8%'*¥%'13í5=8*þ ÿ *á)*Õ"+*54C*5" à ()*=8( Êà í5"8*54C* Ê %,¦Ö¨5Ë#()" à5à *5ï.%'2Õ,.*"$7ï3ï!#"+%'*5"n4 Ê %8"$5Ë#( á«*>%ná ;3(«*@ú.ï3"8( 4C*¥%8;.%8*4 Í"'7%8( %8;,.*þ Ê 2>%7Í*C=825ï7"8*C4 Ê 3;3"8*7;t,.* à *5á ;3( ,.*6ÆÇ&%'"8( à * "+"83Å¦;h='*5;.á)*54* Ê %9;3*5á:9;3*5=-"' Ê Í#25*5= ,.*·%$3á *5=69<; Ê , ÎÖû*@ú.ï!#=8*°* Ê =8254C( Ê 7()"+*þ 4Cï!#=8='( 3á *Ó,.*°ï7=8='*>" à *5"Ä%7( Ê =6,.2@%( á = 9; Ê ,ò; Ê È¢"+ Êà *>4C* Ê %Õ,.*=8;3" à ( á)=¥Ë;3=¥( Êà (%'*6ü,.2@Ë*5á ï3ï!*5" ï!#( Ê %Õ,.25á ( à 7%¸þ)þ þ *5=¥"8*546"89<;3*5=¥*>%=8*5= 9<;3*5=+%8() Ê = Ê %%'#;#Î#;3"8=2>%82-ï!*5"Ä%'( Ê * Ê %8*5=*>%* Ê "8( à 13( =8=$ Ê %8*5=¸þ ÿ *-=8;3( =%8"8í5=13*5;3"8*5;

(23) úÓ9<;«ÖÏ()á¼7( % à É à *5ï.%82-,

(24) *ÕÈ£( "8*ï7"+%8()*Õ,.; ÿ ;3"+ëþ ¾ÊÊ Å#Î*"8*54*5" à ( * î *5á ( ï!*ìÜ Ê Cï!#;3"n4ÓÖ¨¸Ë( "ÜÈ7( %á®Öû13 Ê3Ê *5;3",¦Ö >%'"8*¥4C*543"+*Õ,.; ÿ ;3"+ëþ.

(25) ìé*>"+%7( Ê *5=ï!*5"+=' Ê3Ê *5=n Ê % à 4Cï

(26) %'22 Ê #"84C254* Ê %nï!;3"n4C#(Þ%'#;.%7;°á) Ê Í6,.* à *>%+%'*-5Ë* Ê %8;3"8*þ ü *5#"8Í*>=ìé#4%8*9<;3(®Å3,.*Õ/7"8=8*5( á á)*-ü 7"8=8Ë

(27) ( *Åï."8( =ná *¥%8*54Cï3=n,.*¥ï"É ÿ *¥ï!* Ê =8*Õ,¦Öý7!#"',Ó

(28) %7Í#*5"n4C*5=nï3"+3á í54C*>=4 &%'1325467%'()9<;3*>=þ "8í5=n=8( Êà í5"8*>4C* Ê %Å.4C*5" à (þ ;3*,

(29) ()"+*9<; Ê , Ê * Ê %'* Ê ,HË* Ê ( ",.;ÝÈÔ Ê , ,.*á:Óï3()í à *á)*5=4#%8= µ

(30) } y{Ôy·y¸z# 7Ôy % "!$# &} %n }y@|ß§&y$z7'~ ¥$ % ; ,.*5á:ül,

(31) * Ê #=,.( = à ;3='=8( Ê = $z&§!'}@~Þy§& y ='( à * Ê ÖÏ*5=+ Í#2542>%'"8()9<;3*5= à ÖÏ*5=+% 5Ë# Ê %Ç%'#;.%ßüáÔï!*5"8=8 Ê3Ê *Ü

(32) 4 54C*Ð9<;3*éË#; Ê *ÐÍ"' Ê ,

(33) *Üï"Ä%ß,.*Ð4C*>=Ç"8*5=8ï!* à %8=þ /Ó ÊÓà 13*>" %'25ï.1 Ê *Å à *ÈÔ;.%; Ê "825*>á«ï3á:( =8()"5þ (*) {H#z&Ô+y }C z7~ }y¸}7¢Ôy5}}@~s}@{ ,h$|<z7}+y $}@.{ ,h@{

(34) 0 /5z&~|}y}y$y¢~.y}@|¥$}@-{ ,h@{ $#@{3 }@~1| 32«Ô~Þ$}@~4| ß|{·#z7{&$7:yé§&y$#@{3 }@y@| 0§ '56 *¥áÔÍ#2542>%'"8( *Õ;·È¢<#%¸Å3* Ê ï7=8= Ê % ï7"Ð,.*5= à #;3ï3=Ü,.*Í;.*5;3á)*#Å.,.*>=ÐÈ¢#;3=é"8( "8*5=é*>%n7;.%'"+*5=é3á:Í#;3*5=Ðá ;3"8,.*5=Ð4 7( =é%8*5á á)*54* Ê %Ð! Ê3Ê *5=¥þ)þ þ à ÖÏ*5=8%nï= à á:( 0" 7 #;.%*5=+%,.( %n*>%n%';°á *=$( =¸þ)þ þ $z7'~ ¾67¢~|}~Þ7~|Üz&~#8 {

(35) ~t8 '5 ìé*>=6 Ê3Ê 25*5=ï=8=825*5=C;v / áÔ7( ='=8*5"+ Ê %* Ê 4C#(Ðá *=8;.Ë* Ê ()",.*4C4* Ê %'=Í#"82¸3á *5=*>% * Ê "+( à 13()=8=$ Ê %'=¸þ ÿ Ö¨( 4C*5"'( =* Êdà *>%+%'*l à5à 7=8() Ê "+*54C*5" à ()*>"=8( Êà í5"8*>4C* Ê % %'#;3=á *5=4C*54."8*5=,.; á:!#"$&%'#()"+*þ ÿ *ï!* Ê =8*ï7"+%'( à ;3á ( í5"8*54C* Ê %Õü î *5" Ê Ê ,¦ÅÞÆÇ&%'"8( à Ê #%8"8*Ì 3 ,.; ,ìÜ?@Å¦ì´13"8( =ÄÉ %'#ï313*=+%'ï«Å4 à 7"+%'*-=8 Ê 7)þ þ*>%;.%8"8*5=ï3"8#3á)í>4C*5=?@Å è Ë*>=Î*ÕË*5;

(36) ú°%%813í5=8*-=';3"4C Ê 3;3"8*7; ü 98;& : 1 7ý?@ÅÆå7%8"8( à Å.*>% î "82¸,.2>"8( à þ Ê *Ðï!* Ê =825*6 < * à %';3*5;.='*Ðï!;3" ,.( Ê *Õ®ü9<;3(7Î*Ü,. Ê.Ê *Ü=8;

(37) Ë* Ê %¾á®Öû#"',

(38) "8*Ü,.*Ð4C()=8=8( Ê þ þ)þ7;"8*>%8;3" ,.*á:4C( =8='( Ê 7=7=7 ?Å7( Ê ='(«9<;«Öý7;

(39) úÓ7;.%'"+*5==8* à "82>%7( "8*5=¸þ ÿ *Ó4C*°áÔ à 13*l,¦ÖÏ; Ê ï!*@%'(% 4C% >* % ,¦ÖÏ; Ê Í"' Ê ,x=$7á);.%6ï!;3"CáÖ¨4C( Ò 2¸,."+( þ>\%8;3= à *5;ú *>% à *5á á *5=?7 ?Ü5Ë* à 9<;3(3Î@Ö¨(¦*<Þ* à %';32; Ê ! #;.%,.* à 13*54C( Ê þ ì ÖÏ*5=+%%'#;.% Ê &%';3"+*5á)á *54C* Ê %¥9;3*4C*>=ï!* Ê =825*5==8*Õ%'#;3" Ê * Ê % Ë*5"8=4 È74C( á)á *þ ÿ * Ê *-á)*>=¥;3"'( = ï7=ß!*; à ;3ïCË

(40) ; à *5= ,.*5" Ê ()í5"+*5=é Ê3Ê 25*5=¸þ</07()=ß( á)= Ê *n4ÓÖÏ* Ê Ë ;,."+ Ê % ï 7=¾%'"8#ï«þ.>d4C*5=¾ï"+* Ê %'=¸Å 4 ï!*>%'(%'*=8*>;3" î á #"8* Êà **>% 7ï31A@>áþ.

(41) B. CEDGFIH. JKHML. N. CPORQIS*TRHML. 5Û!À¿½«äåÂ&WÀ7ÚÔ½ Û. ÚÚ£Ú. . V. À¿7Â&W#À&Â¿ÁÃ½'XÙtÚ£Û¼Ú£ÙhºZYÔÁÃ 9þ9 ÆÇ"8#ï3"8( 2>%'25=,.*5=n=8%8"8; à %8;3"8*5=n7É4C( Ê ()46á *5==8;3"Üá)* à #"8ï3=,.*5=n"825*5á =WþÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ 9\þ [ ì´"+ï3=,.^ * ]"8,

(42) ë·,¦Öû; Ê *Õ=+%'"+; à %';3"+*7É4C( Ê ()4 7á * þ þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ. U. U 9 _. ½!¿7Û¡ÁÂ¼Û¼Úb½!¿7ÙhÁ0ÃÂ¿cYÔºdY¢½ Û?e Â¡Á

(43) Â¿6äÁÃÀ¿ºgf>ÁgWÀ½ Ú¢¿ÁÃCäåÂhWAi¡ºÙH»säÁje!¿ºäåÚÔÁ

(44) Û!À k [.þ9 ìÐ=n7É4C( Ê ()4 7áÐþÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþl9m [.\þ [ þ 9n ï3ï.á)( à &%'( Ê 7; à =Æáë Ê #4C(:áþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕl. `. a. º ÔÁ

(45) Â¿&ÃrW¿7Ú:À&Ú4s¦Â¡Á

(46) ÃºÃ>çÙH»¡À¸½À7Ús«Â«Á

(47) Ã `qt þ9 7á)*5;."8= à "8(%'()9<;3*5==+ë

(48) 4Cï.%8#%8(:9;3*5= þ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþv[._ þ\[ 7á)*5;."8= à "8(%'()9<;3*5==+ë

(49) 4Cï.%8#%8(:9;3*5=nÍ2 Ê 2>"$7á)( =825*5= þ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ u 9 þ u ú.*54Cï3á *5=n*>% *54 7"'9<;3*>= þ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ u [. p qY o. u u u x. ½ Â¿6yÇÁÃ6Ú£Û À¸ãze!¿ºZYÔÁÃº!Â*{!½ Ú£ÃÚ£Û¡º'eÁä}|)Â¼Û¡ÁR~y¼¿Álº.Àç¡»åÚs«Â«Á þ9 Ê 25Íá (%'2-,.*«#ÎÄ=8( *( à ê þ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ þ\[ ì´;3"+!*5=( Ê %825Í"'á *5=7;·Ë#()=8( Ê 7Í*-,¦ÖÏ; Ê°Ê (Ë*7; &%ëï3(:9;3*_þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ þ u ì´;3"+!*5=( Ê %825Í"'á *5=,.*á Ê Í;3*5;."( Ê Ê ( *tþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ. w t. x . ½ Â¿6yÇÁÃ6Ú£Û À¸ãze!¿ºZYÔÁÃCäãz~ÇÛ¼Ú¢Ã¸Ã5ºqyY¢ÁÃ þ9 ì´;3"+!*5=( Ê %825Í"'á *5="+*54 "89<;73á *5=Cþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ þ\[ 25ï"'7%'"+( à *5="825*>á)á *5=`þ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþÕþÕþ-þÕþÕþ-þÕþ Ú £ÚÔ½ !¿º»i¼ÚÔÁ. a yY Ze. oZt u u n - tIU 9 . (. tZ.

(50) ( (.

(51) . O:TRvJldORQI. . «*5=-%81325#"8( à ()* Ê =,.*5=-4C,.í5á)*>= {.º!ÛIäÁ

(52) Û·¿7ÚÔÁÃ Å0 Ú4Y«ÚÔÁ Å#;t* Êà #"8* â Ú4Y4YÔº<ç *@% V À¸Á

(53) Ú£Û i¡½!¿7Û ? Ê %"8*54 7"'9;32·7;Ý4()á ( *5;ò,.*5= Ê3Ê 25*5= 9<;3*,.* Ê #43"+*5;3=8*5= 1980 ï."8#ï3"8( 2>%'25=Õ,.*5=* Ê =8*543á *5=*>%Õ,.*5=-7ï3ï3á ( à &%'( Ê =Õ='*54(É7á Í253"+(:9;3*5=Õï3"+&Ë* Ê 7()* Ê %-,.* 9;3*5á)9<;3*5=¼ú.( 4C*>=¡=8()4ï3á)*>=Å>"8*5Í#"8#;3ï!25=, Ê =¡á * à Ê3à *5ï.%,.*¾=+%'"8; à %';3"8*5=«7É4C( Ê ()46á *5=¸þ ÇÊ 9=.'9#?Å 4Ú Y«ÚÔÁ 4 Ê %8"8*9;3*á:Ó=+%'"+; à %';3"+* R * Ê Í#* Ê ,."825* ï"á *5=* Ê =8*543á *5= =8*54(É7á)Í#253"+(:9;3*5=*>%-áÔ·È¢ Êà %'( Ê *@ú

(54) ï! Ê * Ê %'( *5á á)* exp *5=+%-7É4( Ê ( 4 7á *þ ÊtÊ * à Ê =8(),.í@É "+*5"$, Ê = à *n%'"$5Ë#( á!9<;3*,.*5= =8%8"8; à %8;3"8*5= 7É4C( Ê ()4 7á *5=´=8;3" á * à "+ï3=é,.*5= "825*5á =¸þÆ¼#;3" ,

(55) Ê3Ê *5"ß; Ê *nË

(56) ( =8( Ê = à 13254 &%'()9<;3*,.; à ,."8*n7É4C( Ê ()4 7á®Å Ê ï!*>;.% "$7ï3ï!*5á *5" ; Ê "+25=8;3á É %$7%( 4Cï!"Ä% Ê %¥, hc ü 4Ú Y4Y¢Á¿ à þÏÈþ%'1325#"8í54 * 9þ 9þ 9 ?9;3(Ç,.( =+%'( Ê Í#;3*á *5==8%8"8; à %8;3"8*5= 7É4C( Ê ( 4 á *5= ,.*ná:ÈA > Ê =8;3(Ë# Ê %' * à *5á á *5=´9;3(3=8* à 4ï!"Ä%'* Ê % à #4C4C*Üá:¥=+%8"8; à %8;3"8* ,

(57) *5=* Ê =8*543á *5==8*54C( É7á)Í#253"8()9<;3*>=*>% à *5á á *5=9;3( à Ê %'( * Ê3Ê * Ê %áÔÈ¢ Êà %8() Ê *@ú.ï! Ê * Ê É %8( *5á)á *þ¼ßÖý Ê 7á)#Í#()*¸Ë* à á:Ó=+%8"8; à %';."8*,.*>=* Ê =8*543á *5==8*54C( ÉÄ7á Í25."8()9<;3*5=*5=+%4C#( Ê = 2@Ë

(58) (:,

(59) * Ê %'*·,.í5=9<;«Öû Ê 2@%';,.( *á:l%8ï!#á Í#( *·*>%á:lÍ25#4C2>%8"8( *·,.*5=ÈÔ Êà %'( Ê =,.2 Ê ( =ÄÉ =$73á *5=¸þ¾ìé* à (´*5=+%,ÞÖý7;.% Ê %ï3á);.=Ë

(60) "$7(´ï!#;3"á *5==+%8"8; à %';."8*5= à Ê %8* Ê Ê %áÔÓÈ¢ Êà %8() Ê *ú.ï! Ê * Ê %'( *5á á)*ò Ê ï!*5;.% Ë#()" ï7"+%8( à ;3á)( í5"+*54C* Ê %á)*5= %8"$5Ë#;

(61) ús,. * ÚÔ½ Û *>% ¹6½ Y£Ú£Û ï!#;3"Õ,

(62) *5=Õï3"+3á í54*5=-,.* à á %8;3"8*ï3È6 6* Ê3Ê *C#;hï!#;3"Õ,.*5=¥%'1.25"+í54C*5=Õ,.*ï3"+25ï7"$É %8( Ê Ï¡( É .¢?8?þ (%Ü4 7(%'* Ê Ê %Ü; Ê *È¢ Êà %'( Ê f ,.* à áÔ7=8=8* C 2 ,.2 Ê ()*=';3"é; Ê ;.Ë*5"+% U ,.* Rn þ #%8 Ê = K (f ) áÖÏ* Ê =8*543á *,.*5=Ë#7á)*>;3"8= à "8(%'()9<;3*>=Õ,.* f þ ;3ï3ï!#=8 Ê = K (f ) Ê (å*>% 9;3* *5=+%éï30 "8#ï3"8*þ á "+=éï7"éá *%'1.25"+í54C*,.* 3"$&%'( Ê ,¦Ö ×$i¿ÁÃÙhº!Û¼Û 0Å *5=+%é; Ê * f f þ ( 3"$&%'( Ê á) à á *54C* Ê %n%8"8(Ë

(63) (:á *=8;3" à 1#9;3* à #4Cï!#=$ Ê %8* à Ê3Ê *@ú

(64) *Õ,.* R \ K0 (f ) Ê %8*á®ÖÏ1<ë

(65) ï!%'13í5=8*,.*-ï3"+ï3"+*>%'2Å!9;3*5á)á *5= à Ê ,.(%'( Ê ==8;3ï3ï3á 254C* Ê %7()"+*5=È7;.%+É( á=8;3" j ï!;."n.%8* Ê ( "á: 3"$&%'( Ê * Ê ,.*513#"8=,¦Öû; Ê * Ê =8*543á)* Ê (¡,

(66) * f R ì´ Ê ='(),.25"+ Ê = ; Ê ï!áë 'Ê 4C* þ ) á #" 8. = ( á * . ú ) ( + = 8 % * ; * 8 = *543á)* Ê (Å Ê Ê f : Cn → C %8*5áÞ9;3* *5=+%é; Ê * 3"$&%'( Ê ∞ á à 7á *54C* Ê %é%'"+( Ë

(67) (:7∆á)*#þ.⊂ÆÇ7C" n −1 *ú.*54Cï3á *fÅ.:á *5C=Ü%8"$\5fË7;

(68) (∆) ú·,.*→â ºC¿7Â\Ã∆4Ú ¡Ã «Ú à È0þ ûÆÇ7¡" £?´2>%8;C,.( * Ê %,."( <Þ25"+* Ê %'*>= à Ê ,.(%'( Ê = ( ()(.

(69) 8= ;C=$ Ê %8*5=,.*¥%'"+( Ë

(70) (:7á)( =$&%'( Ê þ nÊ *Õï7"+%8()*Õ,.;°ï3"8#3á í54C* à Ê =8( =8%8*ü,.2>%8*5"84C( Ê *5"n; Ê %8*5á¦* Ê =8*543á * 9<;3( Ê *¥='#(%ï=Ü%'"+ï·Í#"$ Ê ,¦þ Ê·Ê #%8* á *ï3á ;3=nï!*>%'(%* Ê ='*543á * ∆ Bf ï!#;3"Üá *¸9<;3*>á¦á *¥"825=8;3á%&%Üï3"82 à 2¸,.* Ê %n*5=+%ÐË

(71) "$7(®þ Ê ,.(%n9<;3* *5=+%Üá®Öû* Ê ='*543á *Õ,.*>= ∆ Bf ï!#( Ê %'=Ð,.*3( È¢;3" à 7%8() Ê =Ð#; Ë7á *5;3"8=Ü7%ë

(72) ï3()9<;3*5=Ð,.* þ Ê =é%8;3=éá *5= à 7= à Ê %'( * Ê % á *5=-Ë7á *5;3"8= à "8(%'()9<;3*5=,.* þåìé*5ï!* Ê , Ê %Å à 4C4* f ï!*>;.% Ê * ï7 = >%8"8* ∆ï3"8#ï3"8*#Å ∆ ï!*>;.% à Ê %'* Ê ( ",¦Öý7;.%'"+*5=nË#f7á)*>;3"8=¸Åï.ï!*5á)25*>= {.Zº YÔÁ

(73) Â¿&fr Ã W¿7Ú:À&Ú s«Â¡Á

(74) Ã ¢dY|:Ú£?Û ~ÇÛ¼Ú þ á*>=8% Ê &%';3"+*5á,¦ÖÏ*5='=$5ë*5",.*l"827á)( =8*5"á:H%8"8(Ë

(75) (:á ( =&%'( Ê 7;4Cë* Ê ,.; à 174Cï ,

(76) *CÍ"'#,.( * Ê %-,.* þ« Ê Ê ï3"8#ï3"8*>%82C2>Ë* Ê %';3*5á á * ,.* Ê 2 à *5=8=8( %8* á "+=ÕáÖÏ2>%';,.*6,.; f f à 4Cï!#"+%8*54C* Ê %´7=+ë

(77) 4Cï.%'%'()9<;3*n,.* ∇f (x) 9<; Ê , f (x) → t Å t ∈ C Å#ï!;." |x| → ∞ þ ;3ï3ï!=8 Ê =9;«Öû( á¾*@ú.( =+%'*C; Ê Ë#( ='( Ê 7Í*;.Ë*5"+% V ,.* t ∈ C Å %'*5á¾9<;3*Cï!#;3"Õ,.*5= |x| =8; C=$4C4* Ê %Í"' Ê ,¦Å þ («áÔ à Ê ,.( %8() Êt =8;3(Ë# Ê %8*Å!7ï3ï!*5á 25* à Ê ,.(%'( Ê ,.* f (x) ∈ Vt Z * º Ye!¿º?Û eÁ Å.*5=+%nË2>"8( 25r £¤¦¥ Å ∃ C > 0 |x| · |∇f (x)| ≥ C 7á "+= *5=+%n; Ê * 3"$&%'( Ê %8"8(Ë

(78) (Ô7á *7;Ó,.*5=8=8;3=,.* £Ë( " ¨ÆÇ7¡" £?@þ ÇÊ È7( %¸Å3( á«*@ú.( =+%'* f Vt =8*5;3á *54C* Ê %Õ; ÊhÊ 43"8* Ê (¾,.*Ë7á *5;3"8= 7;H,.*5=8=8;3=-,

(79) *5=$9;3*5á á)*5=áÔ à Ê ,.(%'( Ê t∈C ,

(80) */7á Í"' Ê Í#* Ê Öû*5=+% ï=6Ë25"8( 25*þ *lï3á ;3=¸Å à *>%+%'* à Ê ,.(%'( Ê *5=+% ; Ê * à Ê ,.(%'( Ê =8; C=$ Ê %8*Õ,.*¥%'"8(Ë

(81) (:7á)( =$7%8() Ê *>%ï!*>"84C*>%,. Ê3à ,¦Öû*ú.ï3á ( à (%'*>" þ ∆. Ê =ná)* à =n"825*5á®Å3; Ê 8" 25=8;3á%&%ï3á ;3=Í#2 Ê 25"$7á«È¢;.%ï3"8#;.Ë2Õ"+2 à *54C4C* Ê %ï7"¨§ Â¿=X Å © ¿&¿½ >* % V Ú£Ùh½ Û !ï ;."°; Ê * 7ï3ï3á ( à &%'( Ê ='*54(É7á Í253"+(:9;3*t,.* à áÔ7=8='* 2 ä«ç?

(82) º 3 C ¤ Ò É É ¢?@þ « *5="+25=8;3á%7%8=ï3"82 à 2¸,.* Ê %'=¸ë< Ê %á ( *5;v, Ê =áÔ à &%'25Í#"+()*=8*54C( Éá Í#253"8()9<;3*Å¼ Ê ï!*>;.%,

(83) Êà =8*,.*54 Ê ,.*5"Ü=¸Öû( á)=Ü Ê %,.*5= Ê á #Í;3*5=nï!#;3"n,.*5=nÈÔ Êà %'( Ê =ÜË( Ë# Ê %, Ê = ; Ê *=+%'"+; à %';3"+*-7É4( Ê ( 4 7á *þ Ê =á®Öû*5=8ï!#( ",¦Ö¨¸Ë( "; Ê %'1.25"+í54C*,.*Õ%'"+( Ë

(84) (:7á)( =$&%'( Ê ï!#;3"; Ê *ÈÔ Êà %'( Ê ,.2 Ê ( ='=$73á * Å!( á¼È7;.%¥,¦Öý7!#"',0á à á ( ='*5"á *5=ï #( Ê %'=,.* 7;

(85) É ,

(86) *5='=8;3=¡,.*5='9<;3*5á =¡ ÊÊ *¾ï!*5;.%¡ï7= f3"+*5"¸þ&ì´4C4*¾á: à Ê ,.(%8() Ê ,.* /0á Í#"$ Ê Í*ß=8R; %¼ü 7=8=8;3"8*5"¾áÔ%'"+( Ë

(87) (:7á)( =$&%'( Ê Å( áÈ7;.% ,.2 à "8( "8*ná®Öû* Ê ='*>43á *,.*5= ï!#( Ê %'=ß-ª à *>%8%8* à Ê ,.(%'( Ê *>=8%Ð4()=8** Ê ,.25È7;.%þ Ê *ï"Ä%'( *¥,

(88) * Ê %'"+*%8"$5Ë#( á à Ê =8()=+%'*¥ü-2>%';3,.()*5" à *>%Ð* Ê ='*543á * 9;«Öû ÊÊ #%'*>"$ þ Ê ï!#( Ê %Ü,

(89) * =¸Ö¨ï3ï!*5á á *; Ê *Ë7á *5;3" à "8(%'()9<;3*=+ë

(90) 4Cï

(91) É K∞ (f ) K∞ (f ) %8#%8(:9;3*°,.* þ ( *5=+% 1 á #"8= *5=+% Ê (¢Ë#()« " Ö ¢?@þ > ï7"+%8()",

(92) *·á:ü.Å f f C K∞ (f ) Ê =¸Öû( Ê %825"8*5=8=8*Cï3á ;3=Õï7"+%'( à ;3á ( í5"8*54C* Ê %;

(93) ú ï3"8#ï3"8( 2>%'25=-,.*5= à #;3"8!*>=-( Ê %'25Í#"$7á *5=,.; à 14ï°,.*Í#"$,.()* Ê %,¦ÖÏ; Ê *%'*5á á *¥È¢ Êà %'( Ê þ ÇÊ * < *>%¸Å à *%'"$5Ë#7()áÞï!*5"+4C*>%Üá®Öû2>%8;,.*,.*>= 1ë

(94) ï!*5"8=8;3"+È à *5=,

(95) * Ê (Ë*7; ,¦Öû; Ê *È¢ Êà %'( Ê ,.2 Ê ( =8=73á **>%¥,.*5=9<;3*5=+%'( Ê ="8*5á:7%8( Ë*5= (Ë.

(96) 7;%'1.25"+í54C*Ð,.* 3"$&%'( Ê £Ë#7á)*>;3"8=¾7%ë

(97) ï3()9<;3*5=¸Å7"+*>%'"' à %8() Ê =8;3"¼; ÊÊ (Ë*7;7%ë

(98) ï3()9<;3*Å * ¬ i¡½ Ù þ þ)þ ?þ #;.%'*5= à *5=Ü9<;3*5=+%'( Ê =Ü=8 Ê %Üá)( 25*5=üá: Ê (%';,.*C#; Ê Ê ? à Ê Î* à %';3"+*Õ,. ,

(99) *Õá:á Ê Í;3*5;3",.*5= à #;3"8!*5=( Ê %825Í"'á *5=* Ê %'"8*5=,

(100) *5;

(101) ú Ê ( Ë*;

(102) úÞþ ;·,.253;.%Ü,.*5=n Ê3Ê 25*5=9 ;®m3Åg¬ i¡½ Ù -ï3"8#ï!=82¥,.* à 4ï3"8* Ê ,."+*á * à #4Cï!"Ä%'*54C* Ê % ,

(103) *5=Ü%8"$7Î* à %'#()"+*5=,.; à 174Cï°,.*¥Í"'#,.( * Ê %;·4Cë* Ê ,ÞÖû#;.%'( á)=Üï3"8Ë* Ê Ê %,

(104) *á:Í#257É 42>%'"+()*6=8*54C( ÉÄ7á Í25."8()9<;3* *>%=8*54C( É Ê áë%8(:9;3*þ¼«*5==+%'"+; à %';3"+*5=7É4C( Ê ()46á *5=5ë Ê % á *r 4 >4C*6%ë

(105) ï!*,.*ï3"+ï3"+()2@%'25=,.* %8ï!#á)#Í#()*4C,.25"825*Å Ê 2>%';,.( *5"'lá *5=9<;3*5=+%8() Ê = ï."82 à 2¸,.* Ê %'*5=, Ê = à *>%*5=8ï3"8(%á:ü

(106) þ Ë# Ê %,.*6%'"'(%'*5"-á * à =Í2 Ê 25"$7áé,¦Öû; Ê * È¢ Êà %'( Ê ,.2 Ê ( =8=$3á *,.2 Ê ()* =';." Rn %8;

(107) %-* Ê %'( *5"5Å«( áß*5=+%-( 4Cï!#"+% Ê %,

(108) *6"'ï3ï!*>á)*5"Õá * à 4ï!"+%8*54C* Ê %-,.; à 174Cït,.*CÍ"'&É ,

(109) ()* Ê %,¦Öû; Ê *È¢ Êà %'( Ê ,.2 Ê ( *=';3"Ü; Ê ;.Ë*5"+%n #" Ê 2þ Ò ;."',

(110) ë l à ¯È Ò q; [6£?C4C Ê %'"+29<;3*Å!ï!#;3"; Ê *È¢ Êà %'( Ê ,

(111) 2 Ê ( ='=$73á * f Å!,.* à áÔ7=8=8* Å¼,.2 3Ê ()*, Ê =; Ê #;.Ë*>"+%!#" Ê 2,.* n Å¡()á *@ú.( =8%8*; Ê * à Ê =+% Ê %'* =+%8"8( à %'*54C* Ê % C1 ï!#=8(%'(Ë*Å ,.( =8 Ê =Å#9<;3(.467Î#"8*Ðá:á Ê Í;3R*>;3"ß,.*Ð%8;

(112) %'* à ;3"+!*Ü( Ê %'25Í#"$7á)*Ü,.; à 14Cï ,

(113) *ÕÍ#"$,.( * M Ê %,.* þ f. (%4 7( Ê %'* Ê Ê %; Ê *-È£4()á á *,.2 3Ê ()=8=$.á)* F ,.*ÕÈ¢ Êà %8() Ê =,.* à á:7='=8* C 1 Å,.2 Ê ( *5= =8;3",.*5=;.Ë*5"+%'=¥,.* n Å!%8;3= à Ê %'* Ê ;3=,3 Ê =; Ê 4r 54C* à #4Cï à % þ Ê #.%'( * Ê % 7á "+=á *¥%'1325#"8í54C*=8;3R(Ë# Ê %9<;3( à Ê =+%'(%';3*á *"825=8;3á%&%ï3"8( Êà ( ï7á,.; KWAi¡º»åÚ:À&¿¸Á ` ¬ i¡ã<½!8 ¿ °.Ùhr Á ±I² U ²³ 3},#Ôy@|}Ð{

(114) ~ }$z7~.y@|7~|}éy|@®>|}@6}@~|

(115) §z&y£|£¢#} M |}5¢ }@{}¼§z7{

(116) K |z7{.|} />z7~Þ>|®z7~0µ ´¾~:y$y¸5} f ∈ F å z7~{}@{}y$z7{

(117) ¸$}yÔ~|'# }y7{°¬3&§ }'7}@~| ∇f }y@| 6¶ ¸z7'$}Ð§7 MK Ì´( * Ê 9<;«ÖÏ;.%'( á ()=$ Ê %¥,.*>=#3Î*@%'==8( 4C( áÔ7( "8*5=¥ü à *>;

(118) úlï3"+25=8* Ê %'25=ï" Ò ;."',

(119) ë 6, Ê = Ò q ; [®Åá:-ï3"+*5;.Ë**5=+%é=8* Ê =8()3á *54C* Ê %n,

(120) ( < 25"8* Ê %'*þ

(121) %'* à 1 Ê (:9;3* à Ê =8( =8%8*ü à #4Cï7"8*5" ï!#;3" à 19<;3*Õ25á 254C* Ê % ,

(122) *-á:È£4()á á * Å3á:á Ê Í#;3*5;3",.*5= à #;3"8!*5=( Ê %825Í"'á *5=,.; f F à 14ï ∇f ü à *5á á *C,¦Öû; Ê * à #;3"8!*C,.2 3Ê ()=8=$73á)*=8( Í Ê *5;3=8*54C* Ê % à 13#()=8( *þ¦!" Ê * ; Ê ()ÈÔ"+4C* =¸Öû#.%8()* Ê %* Ê =8;3( %8*ü°á®Ö¨(),.*,.*6á:°È¢#"84;3á * ,.*ìÜ7; à 1<ëÉ+ì´"8#ÈÔ%8 Ê ï!;3"-á: á Ê Í;.*5;3",.*5= à #;3"8!*5=¸þ Ê =á * à =ï!#á ë Ê 4C(:7áÅ! Ê ,. Ê3Ê *á #"8=; Ê *!#" Ê *; Ê ()ÈÔ"+4C**@ú

(123) ï3á)( à (%'*ï!;3"á: á Ê Í;.*5;3"Ð,.*>= à ;3"+!*5=é( Ê %825Í"'á *5=é,.; à 174Cï,.*Í"'#,.( * Ê %¸Å à 7á à ;.á)25** Ê È¢ Êà %'( Ê ,.; Ê 4."8*Õ,.*¥Ë#"+(Ô73á *5= n *>%,.;l,.*>Í"+2 d ,.;°ï!áë Ê' 4C*þ Ì ()* Ê 9<;3*á)*C"+*5=8%8*6,.* à *%8"$5Ë#( áß=¸Ö¨7%+% à 13* ü2>%';,.( *5"-,.*>=-È¢ Êà %8() Ê =,.2 3Ê ()=8=$73á)*5= =8;3"n,.*5=n#;.Ë*5"Ä%'= Ê Ê !" Ê 25=¸Å3( á«*5=+%ï3ï"+;Ó2@Ë

(124) (:,

(125) * Ê %,.* à Ê =$ à "8*5"n; Ê *¥ï"Ä%'( * Ê Ê Ê 25Íá ( Í*73á *üá®Öû2>%8;,.*-,.* à *@%8%'*Õ!#" Ê *Õ; Ê ()È¢#"84*þ ÇÊ * < *>%Å à *Õï3"+3á í54C*Õ4C*@%,.2+Î+ü Ë.

(126) * Ê 5Ë# Ê %-,.*5=ÕË#7á)*>;3"8=-ï7"+%'( à ;3á ( í5"8*5=-ï!#;3"ÕáÔ·ÈÔ Êà %'( Ê 9<;3*Cá®Öû Ê 7ï3ï!*5á *5"$Ó;3=8=8( f {.ºZYÔÁ

(127) Â¿&Ã

(128) W¿7Ú:À7Ús«Â«Á

(129) ÃºÃ5ç¡ÙH»¡À¸½À&Ús«Â¡ÁÃ þ á)á *5=n=' Ê %,.2 Ê ( *5=,.*á:ÈA> Ê =';3(Ë# Ê %'*r =8;3ï3ï!#=8 Ê = ,

(130) 2 Ê ()* =8;3"; Ê ;.Ë*5"+%!" Ê 2 Å¡á®Öû* Ê =8*543á)*,.*>=Ë#7á)*5;3"+= à "8(%'()9<;3*5= 7=+ë

(131) 4Cï.%8#%8(:9f;3*5=¸Å Ê #%82 ÅÞ*5=+% à Ê =+%'(%';32V,.*5=¥Ë#á *5;3"8= à "8(%'()9<;3*5=*>%Õ,.*5=Ë7á *5;3"8= K (f ) à "8(%'()9<;3*5==';3"á *-!#"',l,.* a V þ #;.%á *-ï3"+3á í54C* à Ê =8( =8%$(%,. Êà ü2>Ë#á ;3*5"á:Cá Ê É Í#;3*5;3",.*5=%8"$7Î* à %'#()"+*5=,.; à 14ïv,.*Í"'#,.( * Ê %C7;ÝË( =8( Ê 7Í#*·,.*5= 3"+*5= −1 Å ï!#;3"¾%'#;.%'*5= á *5=¾Ë7á *5;3"8= þ Ê ,¦Öû#.%'* Ê ( "ßáÔ¥!#" Ê * Å Ê à Ê f%'#;3(c) "Ê 2 c ∈ Ka (f ) MK á *ï3"8#3á í54C** Ê ( 2@Ë

(132) ( %$ Ê ¤% ·¥á *5=ÜË7á *5;3"8= à "8(%'()9<;3*5==+ë

(133) 4Cï

(134) %'%'()9<;3*5=¸þ «*5=´Ë#á *5;3"8= à "8(%'()9<;3*>=n7=8ë4Cï.%'%'()9<;3*5=Ð,¦ÖÏ; Ê *È¢ Êà %'( Ê ,.2 Ê ( =8=$3á *( Ê ;3* Êà * Ê % ,

(135) *4 Ê ()í5"+* à Ê =82¸9<;3* Ê %'*á * à 4ï!"Ä%'*54C* Ê %-,.; à 14CïH,

(136) *Í"'#,.( * Ê %-( Ê =8(ß9<;3*á: %8ï!#á Í#( *·,.*5= 3"+*5=¸þ ; Ê , á:ÓÈ¢ Ê3à %'( Ê *5=+%,.2 Ê ( *=8;3"; Ê ;.Ë*5"+%!#" Ê 2Å()á ë =8*5;3á *54C* Ê %; Ê Ê #43"8* Ê (¾,.*Ë#á *5;3"+= à "8(%'()9<;3*>=-=+ë

(137) 4ï.%'%'()9<;3*5=C à È3 Ò ;q[®¢?@Å *>% ,

(138) Êà ; Ê·Ê 43"8* Ê (¦,.*¥%ë

(139) ï!*5=Ð%'#ï!á #Í()9<;3*5=nï!;3"Ðá)*5= 3"8*5=n,.*¥áÔÈ¢ Êà %'( Ê þ!ì´* à ( Ê ;3=ß4Cí Ê *nü à Ê =8(:,.25"+*5"Ç* Ê =8;3(%'*Ü; Ê *ÐÈ¢ Êà %'( Ê ,.2 Ê ( ='=$73á *n,.2 Ê ( *Ü=8;3"Ç; Ê #;.Ë*5"Ä% Ê Ê !" Ê 2Õ,.* n þ R. (%´; Ê *È¢ Êà %'( Ê ,.2 3Ê ()=8=$73á)* f : Rn → R ,

(140) * à áÔ7=8=8* C 1 þìé#4C4C*, Ê = á * à 7= à 4Cï3á *@ú

(141) *Å Ê 2>%';,

(142) ()*á)* à 4Cï!#"+%8*54C* Ê %,.* ∇f (x) 9<; Ê , |x| → ∞ *>% f (x) → c þ ( Ê0à Ê =8(),.í5"8*-á *5=Ë7á *5;3"8= c ∈ R ï!#;3"á *5='9<;3*5á á *5= Ê 67;3=8='( ∇f (x) → 0 Å( á*5=+% ï!#=8=8()3á *9;3*n%'#;.%'*ÜË7á *5;3" ï3"8( =8*ï7" á:¥È¢ Ê3à %'( Ê =&%'( =8È7=8='* 9<; Ê , c f ∇f (x) → 0 ,

(143) *>Ë

(144) ( * Ê %=8; 6=$74C4C* Ê %Í#"$ Ê ,v;ÝË#( =8( Ê 7Í#*°,.; Ê ( Ë*; −1 £()áé*@ú.( =+%'*·,.*5= |x| ÈÔ Êà %'( Ê ==8*54(É7á)Í#253"+(:9<;.*5=,.*Õ,.*5;

(145) úË7"8(:73á)*>=9<;3(« Ê % à *>%8%8*Õf ï&(c) %'13#á Í#( *&?@þ á¼*>=8%,. Ê3à ( Ê ,.( ='ï!* Ê =73á *,.*4C,.( *5"á: ,.2 3Ê ( %8() Ê ,.*-Ë#á *5;3" à "+( %8(:9<;.*ü6á®Öû( Ê Ê ( Ê ,.*·4C( *5;

(146) úò=8(%';3*5"á)*>=Ë#á *5;3"+=C* Ê á *5='9<;3*5á á *5=C( áÐëv0; Êxà 1 Ê Í#*54C* Ê %6,

(147) *%ë

(148) ï!* %8ï!#á Í#()9<;3*þ!ì´44C*¥, Ê =Üá * à = à #4Cï3á *@ú.*Å

(149) Ê°à Ê =8(),.í5"8*¥á)*5=ÐË#7á)*5;."8=n,.* ï!;3" f á *5='9<;3*5á á *5=áÔ à Ê ,.( %8() Ê ,.*-/0á Í#"$ Ê Í* Ê Öû*5=+%ï7=ÜË25"+( 25*#þ (% þ |x| · |∇f (x)| → 0 ßÖÏ* Ê =8*543á *n,.*5=¾"825*5á = Ê *ÐË25"+( Ê %¾ï=¾á: à Ê ,.(%'( Ê ,.*/07á)Í#"$ Ê Í#*Å Ê #%82 Å c K∞ (f ) ,

(150) 25='( Í Ê * à *¥9<;«Öû Ê 7ï3ï!*5á á)*5"',.25=8"+4 7()=Ðá®Öû* Ê =8*543á *,

(151) *5=éË7á *5;3"8= à "+( %8(:9;3*5=ü-á®Öû( Ê Ê ( ,

(152) * þ Ê 4 Ê %8"8*, Ê =ná)* WAi¡º»åÚ:À¿Á o á *¥%'132>"+í54C*=8;3( Ë# Ê ^ % f ¬ i¡ã<½!8 ¿ °.Ùh¸ Á ±I² ` ²º¹ }~3y¸}@65 } K (f ) }$y·##}@{

(153) $y0@£|£@{}$y0&y¶§ |z|£@{}yl}y@| ∞ ´Ç~» ( Ê ='(®Å* Ê ,.*513#"8=Ü,¦Öû; ÊÊ 43"8* Ê (¦,

(154) * 3"8*>=Å à #"8"8*5=8ï! Ê , Ê %7;

(155) ú Ë#á *5;3"+= à "+( É %8()9<;3*5=*@%C;ú Ë#7á)*>;3"8= à "+( %8(:9;3*5=CüÓáÖÏ( Ê 3Ê (Å¼á * à 14CïÝ,.*Í#"$,.( * Ê % Ë2>"8( *á: ∇f à Ê ,.(%'( Ê ,.*/07á)Í#"$ Ê Í*#Å='#(% |x| · |∇f (x)| ≥ C ï!;3" x =8(%';32 * Ê ,.*513#"8=,ÞÖû; Ê Ë(.

(156) à 4Cï à %,.* Rn *@% C ; Ê * à Ê =8%$ Ê %'* =+%'"+( à %8*54C* Ê %ï!=8(%'(Ë*,.25ï!* Ê , Ê %,.; à #4É ï à %¸þ ( Ê =8(®Å3á * à 174CïÓ,.*Í#"$,.( * Ê %"827á ()=8*á:%'"+(Ë

(157) (Ô7á ()=$&%'( Ê ,.*á:È¢ Êà %8() Ê f 7;Ó,.*5=8=8;3= ,

(158) * à 1#9<;3* à #4Cï!#= Ê %8* à Ê3Ê *@ú.*,.* þ ª ,.25=8()Í Ê * R \ (K∞ (f ) ∪ K0 (f )) K0 (f ) á®ÖÏ* Ê =8*543á *-,.*5=ÜË#á *5;3"+= à "+( %8(:9;3*5=,.*á:È¢ Êà %8() Ê þ f Ê Í2 Ê 25"'á ( =8*l* Ê =8;3(%'* à *Ó"82>=';3á%$7% , Ê =6á)* à = ,¦ÖÏ; Ê *ÓÈ¢ Ê3à %'( Ê ,.2 Ê ()=8=$.á)*0,.* à áÔ7=8='* C 1 ,.2 Ê ( *Å à *>%8%'*ÈÔ( =¸Å<=8;3" ; Ê ;.Ë*5"+% Ê Ê !#" Ê 2 Ω þ.ì´*9<;3(®Å,¦Öû; Ê * à *>"+%7( Ê * È£. > Ê Å3"8*>Ë()* Ê %ü"+*¸,.2 Ê ( "n; Ê *4C2>%'"+(:9;3* ()*546 Ê3Ê ( * Ê3Ê * à 4Cï.á)í>%8*Õ=8;3" þ Ω. « * à 17ï3(%'"+* u ,.( %¸Å* Ê %'"+*7;.%'"8*#Å9;«Öý7;Ë#( =8( Ê 7Í#*,¦ÖÏ; Ê *ÜË#á *5;3" à "8(%'()9<;3*7=+ë

(159) 4Cï

(160) É %8#%8(:9;3* ,¦ÖÏ; Ê *CÈ¢ Êà %'( Ê ,

(161) 2 Ê ( ='=$73á * Å«( áß*@ú

(162) ()=+%'*C; Êtà 13*54( Ê ,.2 Ê ( =8=$3á *6=8;3"Õá)*É 9;3*5áåáÔ à Ê ,.(%'( Ê ,.*/0á Í"' Ê Í#**5=+%¥f4C()=8** Ê ,.25È7;.%þ¼>QáÖ¨(),.*,¦ÖÏ; Ê %'*>á à 13*54C( Ê Å Ê ,. Ê3Ê *7;l,.253;.%,.; WAi¡º»åÚ:À¿Á w Å; Ê *Õ( Ê 25Í<7á ( %82,.;°%ë

(163) ï!*^«#ÎÄ=8( *( à ê-ï!#;3"á * à 14ïÓ,.*ÕÍ#"$,.( * Ê %7;·Ë#()=8( Ê Í#*-,.*á:Ë#á *5;3" à "+(%'()9<;3*-=+ë

(164) 4Cï.%8#%8(:9;3*þ ¬ i¡ã<½!8 ¿ °.Ùh½ Á ±I² o £ 5Û¡zã eZº Y£Ú:À¸ãhä¿ Á ¾ ½ f>ºÃÚÔ Á À Ú W-Á ¥ ² ³ ¼},#Ôy@|}-{~Þ}Â/5z7~Þ>|£z7~ µ´¾~3ÔyÃ y55 } ψ }@|¦{

(165) ~Þ}$z7~.y@|7~|}éy@|>|}@6}@~|

(166) §zy£|Ô#} C |}5¢ }y@{} §z7{

(167) x y{ Äòy576}@~| 7$7~ °}@|´y$£|{Õy{-{

(168) ~ÞÂ} ´é@'}-#z7:y¢~Þ}} 6##}@{

(169) @£|®@{}&y¶7§ |z7|@{+} nz7~ ·© |x| · |∇(ψ ◦ f )(x)| ≥ C . à Ê =+%'"8; à %'( Ê ,.* Ê * ï3"+

(170) ,.;3(%ÎÄ46( =,.* È¢ Êà %'( Ê !#" Ê 25*·7; Ë( =8( Ê Í#* ,

(171) *áÔ°Ë#á *5;3" à "8(%'()9<;3*·7=8ψë4Cï.%'%'()9<;3*þ 2 Ê 4C#( Ê =Å()á´*5=+%ï!=8=8().á)*, Ê = à *5"+%$( Ê = à =,¦Öû#.%'* Ê ( "á *-4r 54C*%ë

(172) ï!*,¦ÖÏ( Ê 25Í<7á ( %82¸Ë* à ; Ê *-È¢ Êà %'( Ê !#" Ê 25*þ Ê =; Ê %8*5á à =¸Å à #4C4*·á *5= à #;3"8!*5=( Ê %'25Í#"$7á)*>=6,.; à 14ï ∇f *>% ∇(ψ ◦ f ) à ( Êà (),.* Ê %¸ÅÇá: à Ê ,.(%'( Ê ,.*/07á)Í#"$ Ê Í*6*5=+%-Ë25"8( 25*6ï!#;3"-á:°È¢ Êà %8() Ê ψ ◦ f þ Ê #.%'( * Ê %á "+= á:%8"8(Ë

(173) (:á ()=$&%'( Ê ;°Ë#()=8( Ê Í#*,.* à *>%+%'*Ë#á *5;3" à "8(%8(:9<;3*7=8ë4Cï.%'%'()9<;3*þ!ìé*>%+%'*ÕÉ =8*5"ÄË&%'( Ê ,. Ê.Ê *Å«, Ê =á)* à 7=Õ,¦ÖÏ; Ê *=+%'"8; à %';3"8*7É4( Ê ( 4 7á * Ê * à Ê %'* Ê Ê %ï=á: ÈÔ Êà %'( Ê *@ú.ï! Ê * Ê %8()*>á)á *Å&; Ê * à Ê ,.( %8() Ê =8; 6=$ Ê %'*Å*@ú

(174) ï3"8( 4C25* * Ê %'*5"84*´,¦Öû*ú.ï!=$ Ê %Å ï!#;3"Õ9<;«ÖÏ; Ê *Ë#7á *5;3" à "8(%'()9<;3*6=+ë

(175) 4ï.%'%'()9<;3*=8(%Õ; Ê *Ë7á *5;3"Õ,.*3( È¢;3" à &%'( Ê þ Ê ,

(176) ( %n7á "+=Ü9<;«Öû; Ê *Ë7á *5;3"Ð,.*.()ÈÔ;3" à &%'( Ê 9<;3( Ê Öû*>=8%éï=é; Ê *Ë#á *5;3" à "+( %8(:9<;.**5=+%Ð; Ê * {.Z º YÔÁ

(177) Â¿6º.Àç¡»¼4Ú s¦Â¡ Á ¢dY|)Ú£?Û ~ÇÛ¼Ú þ Ê =¡á:Ü=8;3(%'*ß,.; W.i«º»åÚ:À¿Á w Å5 Ê 2@%';,.( *Å;4Cë* Ê ,.; #%,.; à 174Cï-,.*¾Í#"$,.( * Ê %Å á *5= à 1 Ê Í#*54C* Ê %'=¥,.*-%ëï!*%8ï!#á)#Í#(:9<;.*,.*5= 3"8*5=¥,ÞÖû; Ê *È¢ Êà %'( Ê ,

(178) 2 Ê ( ='=$73á * þ f ÇÊ * <Þ*@%Å#=8( c *5=+%ß; Ê *ÜË#7á)*>;3" à "8(%'()9<;3*=+ë