Modélisation des phénomènes de dissolution lors des phases précoces et avancées d'un accident grave de réacteur nucléaire

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Modélisation des phénomènes de dissolution lors des

phases précoces et avancées d’un accident grave de

réacteur nucléaire

Julien Belloni

To cite this version:

Julien Belloni. Modélisation des phénomènes de dissolution lors des phases précoces et avancées

d’un accident grave de réacteur nucléaire. Autre. Ecole Centrale Paris, 2009. Français. �NNT :

2009ECAP0008�. �tel-00453295�

ÉCOLE CENTRALE DES ARTS

ET MANUFACTURES

« ÉCOLE CENTRALE PARIS »

THÈSE

présentée par

Julien BELLONI

pour l’obtention du

GRADE DE DOCTEUR

Spécialité : Energétique

Laboratoire d’accueil : EM2C

SUJET : MODELISATION DES PHENOMENES DE DISSOLUTION LORS

DE LA PHASE PRECOCE D’UN ACCIDENT GRAVE DE REACTEUR

NUCLEAIRE

Soutenue le 9 Février 2009

devant un jury composé de :

Florian FICHOT

IRSN-DPAM, Cadarache (Ingénieur) Examinateur

Dominique GOBIN FAST-Paris 6, Orsay (D.R.)

Président

Benoît GOYEAU

EM2C-ECP, Châtenay-Malabry Examinateur

(Professeur, co-directeur de Thèse)

Christophe JOURNEAU CEA-DEN, Cadarache (Ingénieur) Rapporteur

Michel QUINTARD IMFT-INPT, Toulouse

Examinateur

(D.R.,co-directeur de Thèse)

Gérard VIGNOLES LCTS-UB1, Bordeaux (Professeur) Rapporteur

Je tiens tout d'abord à remer ier M. Dominique Gobin d'avoir a epté de présider mon jury de thèse ainsi que Christophe Journeau et Gérard Vignoles pour en avoir été les rapporteurs. Leurs remarquesm'ont ététrès utilespour perfe tionner e mémoire.

Cette thèse a étéréalisée au sein du Laboratoire d'Etude et de Simulation des A idents Majeurs(LESAM)duServi ed'EtudeetdeModélisationduCombustibleensituation A - identelledel'IRSNàCadara he.Jeremer ietoutparti ulièrement JoëlleFleurotquim'a a ueilli dansson laboratoire. Je tiens à remer ierspé ialement Florian Fi hot, ingénieur dere her he etexpertàl'IRSN,quiaen adré etravaildethèseetpourtoutlesavoirqu'il a pum'apporter au oursde estroisannées. Cefutunréelplaisirde travailleràses tés et ela m'apermisd'a quérir beau oupde onnaissan es, notamment dansledomaine du monde nu léaire.

J'adressemes sin èresremer iementsà BenoîtGoyeau de l'E oleCentrale Paris etMi hel Quintard de l'Institutde Mé anique de Fluides de Toulouse (grandmer é!).Ils ont dirigé ette thèse et leurs ompéten es ainsi que leur disponibilité ont beau oup apporté à e travail de re her he.

Enn,jetiensàdirequej'aibeau oupappré iéles onditionsdetravailainsiquel'ambian e quirègneauLESAM.A etitrejeremer ielesmembresde elaboratoirepourleursoutien durant es troisannéesde thèse.

Cette thèse porte sur la modélisation des phénomènes de dissolution lors de la phase pré o e d'un a ident grave de réa teur nu léaire. L'étude s'intéresse à la dissolution de éramiques solides (ZrO

2

etUO

2

) par un métalliquide (Zr). En asd'hypothétique a i-dent grave dans un Réa teur à Eau Pressurisée, les phénomènes de dissolution jouent un rle primordial dansl'aggravation de la dégradation etla fusion desoxydes àdes tempé-ratures parfoislargement inférieuresà leur température de fusionnormale. Cela on erne en parti ulier les prin ipaux onstituants des rayons ombustibles : les pastilles d'UO

2

ainsi que la ou he de ZrO

2

formée sur la surfa e externe de la gaine qui vont subir une dissolution par le zir aloy desgaines à partir de 2100 K(la température de fusion de es oxydes étant supérieure à 2800 K). Dans l'état a tuel des onnaissan es, on peut sup-poser que les phénomènes de dissolution sont responsables, d'unepart, de l'eondrement prématuré des rayons ombustibles dans le oeur et, d'autre part, de la formation ra-pide d'un bainliquide en fond de uve si des oxydes de fer sont présents. Denombreuses études expérimentales ont été menées sur e sujet mais la modélisation n'est pas en ore satisfaisante à e jour. Les modèles a tuels sont essentiellement des modèles 1D qui ne prennent pas en ompte de façon expli ite la onve tion naturelle ni la présen e d'une zone de transition diphasique au niveau de l'interfa e métal / éramique. Un modèle 2D, dé rivant lestransfertsdequantitédemouvement, de haleur etdemasse, établipar prise de moyennevolumique deséquations mi ros opiquesdetransportaétédéveloppé.Ce mo-dèle estbasé sur deshypothèses d'équilibre thermique lo al et de non-équilibre massique lo al et s'inspire d'un modèle de solidi ation de mélanges binaires (P. Bousquet-Mélou, 2000). Sur le planthéorique,l'appro he estidentique. Cependant,ladissolution introduit des ontraintes physi o-numériques supplémentaires qu'il a fallu prendre en ompte. La prise en ompte des deux aspe ts mentionnés ( onve tion et zone diphasique) onstitue une nouveauté signi ative par rapport aux modèles existants. Le modèle a été ensuite étendu au asternaire grâ eà desdéveloppements nouveaux permettant de résoudre er-tainesdi ultéssupplémentaires(ajout d'uneéquationd'espè e,relations d'équilibre non bije tives, plusieurs oe ients de diusion à déterminer, indétermination sur les ux à l'interfa e, densité du solide non onstante...) an d'étudier la dissolution UO

2

/ Zr. Une validation desmodèles obtenusestfaite àpartirde résultatsexpérimentauxdedissolution de reusetsenZrO

2

etUO

2

par leZir aloyliquide et montrent labonnequalité prédi tive de notre modèle.

Mots lés : dissolution, milieu poreux, diphasique, onve tion, non-équilibre, binaire, ternaire

Liste des Figures viii

Liste des Tables x

Nomen lature xi

Chapitre I : Introdu tion 1

I.1 La sûreté desréa teurs nu léaires . . . 3

I.2 Le ÷ur d'unréa teurnu léaire . . . 3

I.3 Les a idents graves . . . 5

I.4 Le pro essusde dissolution etses diérentes modélisations . . . 6

I.4.1 Le pro essusde dissolution . . . 7

I.4.2 Les modèles existants . . . 9

I.4.3 Aspe tsmulti-é helles . . . 18

I.5 Obje tifsde lathèse . . . 19

Chapitre II : Dissolution de mélanges binaires 23 II.1 Problème àl'é helle mi ros opique . . . 24

II.1.1 Hypothèsesphysiques . . . 24

II.2.1 Equations de quantité de mouvement et de ontinuité de la phase

liquide . . . 28

II.2.2 Equations de onservation desespè es . . . 35

II.2.3 Equationde l'énergie . . . 43

II.2.4 Le modèlema ros opique . . . 44

II.3 Dis rétisation etimplémentation numérique d'unmodèlesimplié . . . 48

II.3.1 Modèlesimplié . . . 48

II.3.2 Dis rétisation dumodèle. . . 52

II.4 Validationdu modèle :dissolution du ZrO

2

solidepar du Zrliquide . . . 56

II.4.1 Expérien es duProjet C.I.T . . . 56

II.4.2 Résultats numériques. . . 60

II.4.3 Pré ipitation - Dissolution omplète . . . 77

II.5 Con lusions . . . 80

Chapitre III : Dissolutionde mélanges ternaires 83 III.1 Problèmeà l'é helle mi ros opique . . . 83

III.1.1 Hypothèsesphysiques . . . 84

III.1.2 Equations de onservation àl'é helle mi ros opique . . . 85

III.1.3 Choixdes on entrations d'équilibre . . . 87

III.2 Modèle ma ros opique . . . 90

III.2.1 Equations de quantité de mouvement et de ontinuité de la phase liquide . . . 90

III.2.2 Equations de onservation desespè es . . . 90

III.2.3 Equationde l'énergie . . . 107

III.2.4 Le modèlema ros opique . . . 109

III.3.2 Dis rétisation du modèle . . . 116

III.4Validation dumodèle:dissolution del'UO

2

solidepar duZr liquide. . . 121

III.4.1 Expérien esdu ProjetC.I.T . . . 121

III.4.2 Résultats numériques. . . 125

III.5Con lusions . . . 135

Chapitre IV : Con lusion 139 Annexes 143 AnnexeA Un exemple d'a ident :Three MilesIsland,1979 . . . 145

AnnexeB La méthode deprise de moyenne volumique . . . 147

AnnexeC Propriétés du Zr liquideet duZrO

2

solide . . . 151

1 Zir onium liquide . . . 151

2 ZrO

2

solide . . . 153

3 Le diagramme de phasebinaireZr-O . . . 156

Annexe: D S hémas utilisésdansla méthode numérique . . . 159

Annexe: E Con entrations d'équilibre pourle systèmeternaireU-O-Zr . . . 163

1 Diagramme dephase ternaire . . . 164

2 Equations des onodes . . . 164

3 Equations du solidusetdu liquidus . . . 165

4 Con entrations à l'équilibre . . . 165

Annexe: F

3 Diusiondansunsystème multi omposants . . . 174

4 Con lusion . . . 179

I.1 C÷ur deréa teur nu léaire. . . 4

I.2 Post-test PHEBUS FPT1 : intera tion entre un orium (U-O-Zr) et des rayons "inta ts" (sour e : IRSN). . . 6

I.3 Se tion isotherme s hématique du systèmeU-Zr-O à 2273 K [90℄ . . . 7

I.4 Représentation s hématique de la formation de pré ipités dans une zone pro he de l'interfa e. . . 8

I.5 Chemin de dissolution à 2273 K pour du Zir aloy non oxydé initiallement [90℄ (étape de saturation : Zr-P; étape depré ipitation : P-S). . . 8

I.6 Chemin de dissolution(PO) (uniquement phase de pré ipitation);au point

f

, le bain liquide ontient

M

L

moles de liquide U-O-Zr et

M

P

moles de pré ipité (U,Zr)O

2−x

[67℄ . . . 9

I.7 Position des phasessolideet liquideà diérentsmoments(

L

0

:état initial) de la période de saturation [90℄ . . . 10

I.8 Dimensions linéaires du bain liquide dans le reuset en UO

2

à diérents instants (l'indi e

0

orrespondantà l'instant initial)[90℄ . . . 12 I.9 Positiondesphases solideetliquide à diérentsmoments (

L

0

:état initial)

de lapériode de pré ipitation[90 ℄ . . . 13

I.10 S héma représentant l'UO

2

solide et le oe ient de diusion de l'oxygène dans la phase liquide en fon tion de la distan e à l'interfa e UO

2

/ Zr à un instant donné [99℄. La valeur à l'interfa e est augmentée par un fa teur prenant en ompte l'augmentationde la surfa e d'é hange. . . 15

I.11 S héma du oe ient de diusion d'oxygène dans leZr liquide enfon tion de la distan e à l'interfa e, à un instant donné

t

[99℄.. . . 17 I.12 E helles ara téristiques et volume élémentaire représentatif. . . 19

granu-degrains [19℄. . . 50

II.3 Présen e de pores dans lemagnésium fritté (indiquées par lesè hes) [19℄. 50 II.4 Mi rographie d'un reuset se tionné (2100

◦

C, 612 s) et zoom au voisinage del'interfa e solide / liquide : présen e d'une ou he de ZrO

2−x

(L)à l'in-terfa e entre le reuset (C)etlemétalliquide(A)etd'in lusionsde

α

-Zr(O) (Z) [42℄ . . . 58

II.5 Test FZK - Présen e d'une zone de transition au voisinage de l'interfa e solide/ liquide observée après dissolutiond'un reuset [42℄ . . . 59

II.6 Représentation s hématique du domaine al ulé . . . 60

II.7 Prols defra tion massique en Zrpour z = 5 mmà 400s. . . 63

II.8 Prols defra tion volumique solide pour z= 5 mmà 400 s. . . 63

II.9 Champdeporositéauvoisinagedel'interfa eà574s-Casn

◦

3:

D

ℓ

=8.51

×

10

−

₉

m

2

s

−

1

. . . 64

II.10Champdeporositéauvoisinagedel'interfa eà574s-Casn

◦

2:

D

ℓ

=8.51

×

10

−

10

m

2

s

−

1

. . . 64

II.11Isovaleurs defra tion massique enoxygène à 300 s- Cas n

◦

2 :

β

S

=-5.15

×

10

−

₂

. . . 67

II.12Isovaleurs defra tion massique enoxygène à 300 s- Cas n

◦

4 :

β

S

=-5.15

×

10

−

3

. . . 67

II.13Isovaleurs defra tion massique enoxygène à 300 s- Cas n

◦

5 :

β

S

=-5.15

×

10

−

4

. . . 68

II.14Isovaleurs defra tion massique enoxygène à 300 s- Cas n

◦

6 :

β

S

=-5.15

×

10

−

₅

. . . 68

II.15Prols defra tion volumique solide à mi-hauteur à 574s. . . 70

II.16Prols defra tion massique en O à mi-hauteurà 574s. . . 70

II.17Casn

◦

6 :lignes de ourant à 574 s.. . . 71

II.18Casn

◦

6 : hamp defra tion volumique solide à 574s. . . 72

II.19Case 6 : hamp de fra tion massique en oxygène à 574 s. Présen e d'une ou he limite solutaleau niveau de la zone dedissolution. . . 73

574s(z =H/2) (zoomprèsdela zonededissolution). Cer lespleins:

C

Zr

ℓ

.

Triangles: V/V

max

. . . 73

II.21Isovaleur de la porositéprésentant l'étatinitial du reuset. . . 76

II.22Champ deporosité à 121 spour2573 K.

β

S

= -5.03

×

10

−

5

. . . 76

II.23Prols de porositéà 400 s pour 2373 K (H= 7 mm). . . 77

II.24Prols de porositéà 400 s pour 2373 K (H= 7 mm). . . 78

II.25Représentation s hématique du domaine al ulé. . . 79

II.26Champ defra tion volumique solide après 200 s desolidi ation. . . 79

III.1Détermination des on entrations d'équilibre : hemins de dissolutionet de pré ipitation. . . 88

III.2Mi rographie de l'interfa e reuset/liquide au niveaudu oin inférieur droit du spé imen HF-10 (2373K, 1236 s) montrant la formation d'une zone de transition diphasique d'épaisseur inférieure à 350

µm

lelong des parois la-térale et inférieure du reuset [36℄. . . 124

III.3Représentation s hématique du domaine al ulé . . . 125

III.4Prols de fra tionvolumique solidepour z= 8.09 mmà 120 s,T = 2473 K. 127 III.5Cas-test HF24 : lignes de ourant à 150 s. Ligne ontinue : position de l'interfa e . . . 128

III.6Cas-test HF24: hampdefra tionvolumique solideà150s.Zoomau voisi-nage del'interfa e mettantenéviden e lesvariationsspatialesdelafra tion volumique solide . . . 129

III.7Cas-test HF24 : hamp defra tion volumique solide à 150s. . . 130

III.8Isovaleur de la porosité présentant l'étatinitial du reuset. . . 132

III.9Champ deporosité à 150 spour2473 K. . . 132

IV.1 Evolution dumanteau terrestre : dissolution etpré ipitation . . . 141

A.1 Conguration du réa teur nu léaire de la entrale de Three Miles Island à l'issue del'a ident [11℄. . . 146

[3℄. . . 152

C.3 Densité de l'oxyde de zir onium solide enfon tionde la température [3℄. . . 154

C.4 Condu tivitéthermiquedel'oxydedezir oniumsolideenfon tiondela tem-pérature [3℄. . . 154

C.5 Diagramme dephase binaire Zr-O [92℄. En rouge: linéarisation . . . 156

C.6 Diagramme dephase Zr-O simplié et linéarisé. . . 157

D.1 Volumes de ontrle (

V

) et n÷uds s alaires (P)dans la dire tion x . . . 160

E.1 Diagramme de phase U-O-Zr simplié à 2400K, tel qu'il est utilisé dans le modèle développé pour le ode ICARE2 [60℄ . . . 164

II.1 Inuen e de

τ

sur les relations entre les é helles de longueur . . . 27

II.2 Modèle ma ros opique omplet . . . 45

II.3 Propriétés detransportee tives . . . 46

II.4 Modèle ma ros opique simplié . . . 47

II.5 Version simpliée dumodèle ma ros opique pour l'appli ation numérique . . 54

II.6 Algorithme de résolution du modèle ma ros opique . . . 55

II.7 Données du as-test dedissolution FZKn

◦

4 deHofmann et al. [42 ℄ . . . 61

II.8 Cal uls réalisés sur le as-testFZK n

◦

4 [42℄ pendant 574 sà T = 2373 K. . 62

II.9 Cas-test FZK n

◦

4 [42℄: pour entage massique d'oxygène et quantité d'oxy-gène issue de la diusiondans lesolide présentsdans lebain liquide; quan-tités de solide dissoutes à 574 s. Valeurs expérimentales et al ulées pour diérents as. . . 65

II.10Cal uls réalisés sur le as-test FZK n

◦

4 [42℄ pendant 574 s à T = 2373 K : variation des oe ients d'é hange de masse. Epaisseurs al ulées à mi-hauteur. Casn

◦

6 : oe ients d'é hanges issusde la formulation (II.3.7). 69 II.11Pour entages massiquesenoxygènedansleliquide,épaisseursetmasse dis-soutespour diérents as-tests. Entreparenthèses :valeursmesurées [42℄. . 74

II.12Propriétés géométriques et physiques pour les essais simulés aux tempéra-tures de 2473 et 2573 K . . . 74

II.13Quantitésde solidedissous.Entre parenthèses:valeursdéduitesde [42 ℄. . . 75

III.1Modèle ma ros opique omplet . . . 112

III.5 Algorithme de résolution du modèle ma ros opique . . . 119

III.6 Données du as-test de dissolutionHF24 [36℄ . . . 126

III.7 Cas-test HF24 [36℄ : pour entages massiques d'oxygène et uranium dans le liquide.O

dif

etO

liq

:quantitésd'oxygèneissuesdela diusiondanslesolide ettotale présentes dans lebainliquide. Quantités desolide dissous à 150 s, T= 2473K. . . 130

III.8 Cas-test HF24 [36℄ : pour entages massiques d'oxygène et uranium dans le liquide.O

dif

etO

liq

:quantitésd'oxygèneissuesdela diusiondanslesolide ettotale présentes dans lebainliquide. Quantités desolide dissous à 150 s, T= 2473K. . . 131

III.9 Cas-test HF13 [36℄ : pour entages massiques d'oxygène et uranium dans le liquide. O

dif

: quantité d'oxygène issu de la diusion dans le solide; O

liq

: quantitéd'oxygène présente dans lebainliquide.Quantités desolidedissous à 125 s,T= 2373 K. . . 133

III.10Données du as-test de dissolutionHF13 [36℄ . . . 134

C.1 Densité de dioxydede zir onium solide enfon tion dela température [45℄. . 154

E.1 Propriétés thermophysiques del'UO

2

solide etdu Zr liquide à 2400 K. . . . 166

F.1 Coe ients dediusion

D

i

de l'espè e

i

dansdivers matériauxàT =2373 K[49, 80,90 ,93,101℄. . . 175

A

ℓe

surfa e desentrées etsorties pour laphase

ℓ

auxfrontièresdu système ma ros opique, m

2

A

ℓs

interfa e entreles phases

ℓ

et

s

ontenue danslevolume élémentaire représentatif (V.E.R.),m

2

A

v

A

V

:surfa e spé ique, m

−

1

b ve teur quireprésente

p

e

ℓ

lorsque les eetsd'inertiemi ros opique sont négligeables, m

−

1

b

ℓ

ve teur quirelie

C

e

ℓ

à

∇

hC

ℓ

i

ℓ

,m

B tenseur d'ordre 2 quireprésente

e

v

ℓ

lorsque leseetsd'inertie mi ros opiquesont négligeables

ve teur quireprésentela ontribution deseetsd'inertieà

p

e

ℓ

,m

−

1

C tenseur d'ordre 2 quireprésente la ontribution deseets d'inertieàv

e

ℓ

C

i

ℓ

on entration massiquede l'espè e

i

danslaphase

ℓ

C

i

ℓ

∗

on entration massiqueinterfa iale de l'espè e

i

dansla phase

ℓ

(liquidus)

C

_ℓ

0

on entration massiqueinitialedu liquide

hCi

ε

s

hC

s

i

s

+ ε

ℓ

hC

ℓ

i

ℓ

: on entrationmassiquetotale del'espè e

α

C

pℓ

apa ité alorique delaphase

ℓ

:

∂hH

ℓ

i

ℓ

∂hT

ℓ

i

ℓ

,J

.

kg

−

1

_.

K

−

1

d largeurde laphaseliquide, m

d

ℓ

oe ient de transport pour

(C

∗

ℓ

− hC

ℓ

i

ℓ

)

,m.s

−

1

D

ℓ

diusivitémassiquede laphase

ℓ

,m

D

ℓ

tenseur ee tif de diusionmassique danslaphase

ℓ

,m

2

_.s

−

1

D

s

ε

s

D

s

I,m

2

_.s

−

1

e

ℓ

ve teurqui relie

T

e

ℓ

à

∇

hT i

,m

F tenseur d'ordre 2qui représente la orre tion de For hheimer

g

a élération de lapesanteur, m.s

−

2

g

ℓ

équation duliquidus dumélangebinaire

(C

ℓ

= g

ℓ

(T

ℓ

))

g

s

équation dusolidus dumélange binaire

(C

s

= g

s

(T

s

))

Gr

S

nombre de Grashofsolutal

Gr

T

nombre de Grashofthermique

h

mk

oe ient d'é hange massiquede laphase

k

,s

−

1

¯

h

mℓ

ε

−

_ℓ

1

h

mℓ

,s

−

1

H hauteur dudomaine, m

H

ℓ

enthalpie massiquede laphase

ℓ

,J

.

kg

−

1

H

i

enthalpie massiquede l'espè e

i

,J

.

kg

−

₁

hHi



ε

ℓ

ρ

ℓ

hH

ℓ

i

ℓ

+ ε

s

ρ

s

hH

s

i

s



/hρi

:enthalpie massiquetotale du mélangebinaire, J

.

kg

−

1

J

i

ℓ

ux mi ros opiquede diusionde l'espè e

i

(

α

ou

β

) danslaphase

ℓ

,kg.m

−

2

_.

s

−

1

K tenseur de perméabilité,m

2

k

α

oe ient de transfert demasse onve tif de l'espè e

α

dansleliquide, m

.

s

−

1

K

0

onstante de KozenyCarman ouperméabilité deréféren e, m

2

ℓ

i

ve teursde base,m

ℓ

ℓ

longeur ara téristique des variations desgrandeurs mi ros opiques dans laphase

ℓ

,m

L largeur delaphase solide, m

L

(C

ps

− C

pℓ

) T

eut

+



hH

ℓ

i

ℓ

− hH

s

i

s

 



T eut

:enthalpiede référen eJ

.

kg

−

1

m ve teur qui représente

p

e

ℓ

,m

−

1

.

m

_ℓ

taux defusion,kg.m

−

3

_.

s

−

1

.

m

s

taux desolidi ation ( .

m

s

= −

.

m

ℓ

),kg.m

−

3

_.

s

−

1

M tenseur d'ordre 2 quireprésente

e

v

ℓ

M

nombrede maillesdansla dire tion

x

M

α

massemolaire de l'élément

α

,kg

.

mol

−

1

M

ℓ

massemolaire du liquide,kg

.

mol

−

1

n

ve teur unitaire normalàune fa ed'un volume de ontrle (volume ni)

n

ℓs

ve teur unitaire normal àl'interfa e, orienté delaphase

ℓ

versla phase

s

P

ou

hp

ℓ

i

ℓ

pression moyenne de laphase

ℓ

,Pa

p

ℓ

pression delaphase

ℓ

,Pa

P e

s

_c

nombrede Pé let solutal

q

_ℓ

uxmi ros opique dediusion de haleur, kg.m

−

2

_.

s

−

₁

.

Q

_ℓ

puissan e généréepar unité de massedanslaphase

ℓ

,W.kg

−

1

h

.

Qi



ε

ℓ

ρ

ℓ

h

.

Q

_ℓ

i

ℓ

+ ε

s

ρ

s

h

.

Q

_s

i

s



/hρi

:puissan e massiquede mélange, W.kg

−

1

r ve teur position, m

r

0

rayon d'unV.E.R.sphérique,m

S

rapportsurfa e de onta t/ volume liquide

t

temps, s

t

∗

temps ara téristique desvariations desgrandeurs moyennes, s

et

temps ara téristique desvariations desu tuations spatiales,s

T

ou

hT i

température demélange, K

T

ini

u

ℓ

oe ient de transportde

hC

ℓ

i

ℓ

,m.s

−

1

v

ℓ

vitessedelaphase

ℓ

, m.s

−

1

Vou

h

v

ℓ

i

ℓ

vitessemoyenne de laphase

ℓ

,m.s

−

1

V

x

omposantehorizontale de V,m.s

−

1

V

y

omposanteverti ale de V,m.s

−

1

V

V.E.R., m

3

V

ℓ

volumeo upé par laphase

ℓ

dans

V

,m

3

w

ℓs

vitessed'interfa e, m.s

−

₁

V

volumede ontrle danslaméthode numérique (volume ni),m

3

x

abs isse, m

x ve teurpositiondu entredu V.E.R., m

X

s,i

on entrationmolaire de l'élément

i

danslesolide, mol.m

−

₃

y

ordonnée, m

y r

−

x :ve teurpositionrelativement au entre duV.E.R., m

Y

ℓ

ε

ℓ

hC

ℓ

i

ℓ

: on entrationmassiquesuper ielle danslaphase

ℓ

Y

s

ε

s

hC

s

i

s

: on entrationmassiquesuper ielle danslaphase

s

α

ℓ

s alairequi relie

C

e

ℓ

à



C

∗

ℓ

− hC

ℓ

i

ℓ



β

S

oe ient d'expansion solutale

β

T

oe ient d'expansion thermique,K

−

1

γ

ℓ

indi ateurde laphase

ℓ

∆H

f

haleur latente defusion du orpspur,J.kg

−

1

ε

ℓ

fra tionvolumique de laphase

ℓ

λ

d

diamètremoyen d'ungrain de lamatri esolide, m

λ

ℓ

ondu tivitéthermiquede laphase

ℓ

,W

.

K

−

1

_.

m

−

1

λ

m

ε

ℓ

λ

ℓ

+ ε

s

λ

s

:partie diusive de

Λ

t

,W

.

K

−

1

_.

m

−

1

Λ

t

tenseuree tif de ondu tivitéthermique, W

.

K

−

1

_.

m

−

1

µ

ℓ

vis ositédynamiquede laphase

ℓ

,Pa.s

µ

α

ℓ

potentiel himique de l'espè e

α

danslaphase

ℓ

,J.mol

−

1

ν

ℓ

vis osité inématique de laphase

ℓ

,m

2

_.s

−

1

ρ

k

densitédelaphase

k

,kg.m

−

3

ρ

0

densitéderéféren e, kg.m

−

3

hρi

ε

ℓ

ρ

ℓ

+ ε

s

ρ

s

densitédu mélangebinaire, kg.m

−

₃

(ρC

p

)

m

apa ité aloriquevolumique de mélange, J.m

−

3

.K

−

1

ξ

positionde l'interfa e, m

hψ

ℓ

i

moyenne volumique d'unegrandeur physique

ψ

danslaphase

ℓ

hψ

ℓ

i

ℓ

moyenne intrinsèquevolumique d'une grandeurphysique

ψ

dansla phase

ℓ

e

ℓ

phase liquide

m

mélange

s

phase solide

I

interfa e Exposants

O

,

Zr

,

U

onstituants dumélange

ini

valeurinitiale

Introdu tion

Lesphénomènes dedissolutionsont quotidiennement présentsdansnotreentourage. Nous les expérimentons dès le début de la journée lorsque nous mettons un mor eau de su re dansle afé,quandnousmélangeonsdu ho olatenpoudredansdulait.Malgréson appa-rente simpli ité, e hangement d'étatestsujet àdenombreusesre her hesdansplusieurs dis iplinesdesS ien esPhysiques:thermodynamique, himie,physiquedestransferts...La dissolutionrésultedemodi ationsdesvariablesthermodynamiques(température, on en-tration, pression...) qui onduisent à faire évoluer l'état d'équilibre de la matière depuis l'état solidevers l'étatliquide.

La ompréhension de es phénomènes de dissolution est primordiale pour de nombreuses appli ations, en parti ulier dans le domaine des géos ien es, que e soit pour l'étude de l'évolution des fra tures en géophysique, la stimulation des puits par inje tion a ide en génie pétrolier,lastabilité à longtermedes avités dedissolution saline... ou en orepour étudier la ontamination des aquifères par des uides partiellement mis ibles ou NAPL (Phase Liquide Non Aqueuse)tels queleshydro arbures.

Un autre exemple de dissolution bien onnu est elui de ladissolution du sel ( hlorure de sodium)dansdel'eau.Onparlededissolutionenphaseaqueuse.Dans e asbienpré is,la dissolutionestune onséquen edu ara tèredipolairedel'eau.Lesmolé ulesd'eauentrent en onta t ave le ristal de sel,interagissent ave les ions Cl

−

etNa

+

etse positionnent de tellesorte queles ionsetlesmolé ulesd'eau s'attirent mutuellement. LesNa

+

attirent et sont attirés par l'atome d'oxygène, tandis que les Cl

−

attirent et sont attirés par les atomes d'hydrogène. L'eau entoure et sépare ainsi progressivement ha un des ions et le sel estdissous peu à peu.

Si l'eau est impliquée dans de nombreux pro essus de dissolution naturelle, d'autres li-quides, utilisésdans des ontextes industriels tels que les métaux liquides, peuvent égale-mentdissoudredenombreusessubstan estellesqued'autresmétauxou éramiques.Ainsi, un autre mode de dissolution est la dissolution d'une éramique oxyde par un liquide de omposition diérente. Celle- i est essentiellement pilotée par la diusion de l'oxygène à travers le réseau ristallin de la éramique, mais également par la progression du métal liquide aux jointsde grains.

du ÷ur du réa teur lors d'unhypothétique a ident grave dansun Réa teur à Eau sous Pression (REP). L'obje tif de ette thèse est de modéliser les phénomènes de dissolution présentsdansle ÷urduréa teurensituationd'a identgraveand'enavoirunemeilleure ompréhensionetdepouvoiranti ipersurles onséquen esqu'aurontlesmatériauxfondus surl'évolution de ladégradationdu ÷urdu réa teur.

Dans e premier hapitre, nous présentons la problématique posée dans le ontexte de la sûreté nu léaire et l'intérêt d'une telle étude pour la sûreté des réa teurs nu léaires. Nous présentons ensuite une synthèse des diérents modèles existants à e jour dans la littérature pour lades ription des phénomènes de dissolution dansle as d'un système à deux omposantsouplus.Cetteprésentationnouspermettrad'évoquer ertaineslimiteset di ultésa tuellesquijustientladémar hesuiviedans ettethèse.Nousintroduirons les aspe tsmulti-é hellesdelaphysiqued'unsolidedissousparunliquidepuisnouspré iserons enn lesmotivations etobje tifsde e travail de thèse.

I.1 La sûreté des réa teurs nu léaires

Depuis plusieurs années, lare her he en sûreté nu léaire s'intéresse à la modélisation des a idents de réa teurs.L'enjeu de lasûreté desréa teurs est des'assurer queles produits radioa tifsprésentsdansle ÷urduréa teurrestent onnésdansl'en einteduréa teuret ne ontaminent pas l'environnement. Pour ela,troisbarrières permettent, d'une ertaine façon, d'isolerles radionu léides :

1. la gainedu ombustible qui ontient le ombustible et lesproduits de ssion, 2. la uve ena ier inoxydable ontenant le ÷ur duréa teur etle ir uitprimaire, 3. l'en eintede onnement en bétonarmé qui ontient leréa teur.

La gainede ombustible onstitue don lapremière barrière ontre ladispersiondu om-bustible irradié etdesproduitsde ssionlors d'unesituation a identelle.

Par ailleurs, la on eption et le fon tionnement des installations nu léaires suivent le on ept de défense en profondeur qui vise non seulement à réduire les risques éventuels d'a identsmaisaussiàétudier esévénementshypothétiquesanderéagir rapidementen mettantenpla elesdispositifsné essaireslesplusadaptéspourenlimiterles onséquen es [62 ℄.

An d'évaluer laprobabilité pour qu'un tel a ident se produise et déterminer les points faibles dans la sûreté des entrales, l'appro he française onsiste à étudier des s énarios postulantdesdéfaillan esdansla entrale ainsiqueleurs onséquen essurlasé uritédela entrale. Les odesde al uls d'a identsgraves, tels queASTECou ICARE-CATHARE, développésàlaDire tiondelaPréventiondesA identsMajeurs(DPAM)de l'IRSN per-mettent de réaliserde telles études [22 ℄. A titred'information, une Etude Probabiliste de Sûreté réalisée surlaprobabilité de fusiondu ÷ur d'unréa teuramontréque elle- iest de

10

−

5

par anet parréa teur.

I.2 Le ÷ur d'un réa teur nu léaire

Le ÷ur est onstitué d'un assemblage de rayons de ombustible verti aux maintenus par des grilles (gure I.1). Un rayon ombustible est onstitué d'une gaine ontenant 256 pastilles de ombustible ylindrique (13.5 mmde hauteurpour8.19 mmde diamètre) d'oxyded'uranium(UO

2

)oud'oxydemixted'uraniumetdeplutonium(MOX).Lagainede ombustibleestun tubeenalliage dezir onium,appelézir aloy,d'unelongueurd'environ 4 m et d'un diamètre de 9.5 mm. L'épaisseur de la gaine est de 0.57 mm. Le hoix du matériau desgaines s'est portésur desalliages de zir onium enraison :

1. de leur bonne résistan e à la orrosion par le uide aloporteur (de l'eau pour les Réa teurs àEau Pressurisée),

2. de leur bon omportement mé anique dansles plages de températures enréa teur, 3. de leur résistan eauxeetsde l'irradiation,

4. de leur trèsbonne transparen e auxneutrons thermiques.

L'espa e libre entre le ombustible et la gaine est destinée à être o upé par les gaz de ssion produits au ours de l'irradiation. Des barres de ontrle ( omposées d'argent, in-dium et admium) sedépla ent an d'assurer le ontrle dela réa tivité enabsorbant les

du réa teur est refroidi par de l'eau etles barres de ontrle sont en positionhaute dans le ÷ur.Leur dépla ement permetde régulerlapuissan e du ÷ur. En as d'a ident sur le réa teur elles tombent, bloquant ainsi la ssion en absorbant la grande majorité des neutronsémis.Notons qu'en asd'ébullition,lapuissan eneutroniquediminueégalement.

Fig. I.1C÷ur deréa teur nu léaire.

Cependant, il reste en ore une puissan e résiduelle à éva uer du ÷ur. Un défaut de re-froidissement (dû à une brè he dansle ir uit, une pompe défaillante...) peut onduire à una ident gravepar montéeen température du ÷ur audelàdes onditionsadmissibles. Cet é hauement peut onduire à l'oxydation et lafusion de ertains matériaux présents dans le ÷ur ( rayons ombustible, éléments en a ier...). Un tel a ident s'est produit à la entrale de Three Miles Island (Pennsylvanie, Etats-Unis) en 1979 et à onduit à la fusionpartielledu ÷ur (l'AnnexeA présente eta identde façondétaillée). Nousallons présenter laséquen e généraled'un a ident grave etnous verrons qu'il existe desphases lés au ours d'untel a ident.

I.3 Les a idents graves

Comme nous l'avons mentionné pré édemment, il existe un dégagement de puissan e ré-siduelle dansle ÷ur du réa teur. Dans le ontexte de lasûreté des réa teurs, desétudes ont été menées dansle domaine de ladégradation du ÷ur an de modéliser la fusion et la rupture des gaines. Un ertain nombre d'études expérimentales ont montré l'inuen e des paramètres ara térisant les rayons de ombustible sur l'endommagement du ÷ur. Certains de es paramètres, ommel'épaisseur de la ou he oxyde présentesur lasurfa e externe de lagaine (l'oxydation de lagaine en Zr onduit à laformation de ette ou he de ZrO

2

), la quantité de rayons ombustibles dissous, inuen ent de façon signi ative l'évolutionde ladégradationd'un ÷ur de réa teurnu léaire [2, 63 ℄.

Une séquen ea identellepeutêtrediviséeendeuxphasesenfon tion deleurimportan e et/ou de leurgravitéqui peuvent être elles-mêmes diviséesen plusieurs étapes:

1. la dégradationpré o e (a) pertede réfrigérant, (b) é hauement du ÷ur, ( ) oxydation desgaines. 2. la dégradationavan ée

(a) fusion du ombustible,

(b) eondrement desmatériauxvers lefond dela uve.

Au ours de la dégradation pré o e, la température du ÷ur peut augmenter au delà des températures de fusion des métaux présents dans le ÷ur. Celui- i ommen e à se dégrader de manièresigni ative.Lesbarres de ontrle sontprogressivement détruites et des mélanges liquides vont se lo aliser dansles zones plus basseset plusfroides du ÷ur. Les gaines des rayons ombustibles vont goneret sedéformer. Vers 1300 K, le zir aloy des gaines ommen eà s'oxyder etune ou he de ZrO

2

seformesur lasurfa e externede la gaine. Autour de 1800 K, on observe une brusquemontée en température du ÷ur au-dessusdupointdefusiondesgaines.Unegrandequantitéd'hydrogèneapparaît.Vers2100 K,lepointdefusionduZrestatteintet emétalvadissoudredefaçonsimultanéela ou he enZrO

2

ainsiquelespastillesd'UO

2

.Aun ertaininstant,le ritèrederupturedelagaine va êtreatteintetun mélangeliquide ontenant de l'UO

2

et desproduits de ssiondissous va s'é happer des rayons et se relo aliser plus bas dans le ÷ur (et éventuellement se solidier). Ce bainformé, appelé orium,va dissoudre les éléments présents dansle ÷ur qui n'ont pas en ore été dissous à des températures bien inférieures à leur température de fusion (gure I.2). L'étude du omportement desmatériaux, en parti ulier des phases liquides, ettrès importantepour pouvoir prédirel'endommagement du ombustible.

En résumé,ladissolution dela ou he deZrO

2

est prépondérantepourestimer larupture de lagaineetdéterminerlaredistribution duZrdansle ÷ur.Simultanément, laquantité d'UO

2

dissoute vadéterminer lamasse initiale de oriumfondu, préalable à laformation d'un bain fondu qui aurades onséquen es sur l'évolution de la dégradation du ÷ur du réa teur. La onnaissan e de es phénomènes de dissolution est don primordiale si l'on veutmieux onnaîtrel'évolutionde ladégradationdu ÷ur en asd'a ident grave. Nous

Fig.I.2Post-testPHEBUSFPT1:intera tionentre un orium(U-O-Zr) etdes rayons "inta ts" (sour e : IRSN)

parlezir onium fondu,delagaineenzir aloyoxydée( equel'on appellerapar lasuitele as binaire) etdespastillesd'UO

2

(le as ternaire).Ce modèleviseà dé rireles é hanges demasseentrelesphasesliquideetsolideainsiquelestransfertsdequantitédemouvement danslesystèmeenintégrantunmaximumd'informations auniveau mi ros opique.Aplus longterme,lamodélisationpourra ontribueraudéveloppementdu odede al ul ICARE-CATHARE[22 ℄quisimuleles diérentesphasesdedégradationd'unréa teurensituation a identelle.

I.4 Le pro essus de dissolution et ses diérentes modélisa-tions

Nous allons dé rire dans ette partie le pro essus de dissolution ainsi que les prin ipaux modèlesexistantspermettantdesimulerladissolutiond'une éramiquesolideparunmétal liquide dansles as binaire(Zr-O)etternaire (U-O-Zr).

An d'étudierladissolution de l'UO

2

par duZir aloy fondu,plusieurs expérien es de dis-solution de reusets ont été réalisées en laboratoires (la plus onnue étant elledu Projet Européen Corium Intera tions and Thermo hemistry [36 , 42 ℄, ainsi que d'autres expé-rien es[32, 49℄).Alasuite d'analysespost-expérimentales, deuxétapesprin ipales ont pu être observées : une première étape dite phase de saturation pendant laquelle une partie de l'UO

2

solide est dissoute. Le liquide est progressivement saturé. Pendant ette étape, les auteurs attribuent l'évolutionde la omposition du bainliquide au transfert de masse par onve tion naturelle (dueà une densitéplus forte du liquide à l'interfa e,ri he en U, par rapport au liquide moyen,ri he en Zr). Puis, dansun deuxième temps, une phase de pré ipitation où le Zr liquide reçoit de l'oxygène supplémentaire provenant du solide du faitde laprésen ed'ungradient de on entrationd'oxygène dans edernier ets'oxyde en ZrO

2−x

.

om-portement des matériaux lors des diérentes étapes du pro essus d'intera tion himique. Bien que es modèles [67, 90 , 99℄soient relativement pro hes, desdiéren es existent no-tammentauniveaudelaphasedepré ipitation.Au oursde etteétape, ertainsobservent un arrêt de ladissolution de l'UO

2

[50 ℄ alors que pour d'autres elle ontinue [43, 90℄. On peut expliquer ela par le fait que diérents rapports de masse UO

2

/Zr ont été utilisés (tailleset ompositiondes reusetdiérentes, ompositionduzir aloydiérente)mais ela n'ajamaisétéparfaitementdémontré.Cesdivergen es onduisentdon àfairedes hoixde modèlesou de orrélationsexpérimentalespour dé rirela inétiquedupro essusde disso-lution. Il faut don analyser les données expérimentales disponibles et essayer de larier es diérents résultats.

I.4.1 Le pro essus de dissolution

Expérien es en laboratoire

L'analyse desdonnéesexpérimentales[32 , 49 ℄montre quelapremière étape (phase de sa-turation) s'a hève lorsque la phase liquide est saturée (à et instant, la omposition du liquide estreprésentée par lepoint Psur laligne de liquidusdanslediagramme dephase U-Zr-O de lagureI.3).

Fig.I.3 Se tion isothermes hématique du système U-Zr-O à 2273 K [90℄

Le uxd'oxygène de laphase solide versla phaseliquide (dû à laprésen e d'ungradient de on entrationd'oxygène danslesolide) onduità unesursaturationde laphaseliquide (la omposition du liquide se trouve alors sur la onode (QP) à l'intérieur de la zone di-phasique) puisà une pré ipitationet roissan ede parti ulessolides ayant la omposition d'équilibre (U,Zr)O

2−x

( orrespondant aupointQ)danslase ondeétapedupro essusde dissolution (gure I.4).

La progression du pro essus de dissolution peut être diérente selon le nombre d'atomes d'oxygène diusant depuis l'UO

2

solide vers le Zr liquide. Si le nombre d'atomes

d'oxy-Fig. I.4Représentation s hématique de la formation depré ipités dans une zone pro he de l'interfa e.

du solide est dissoute et le liquide peut partiellement pré ipiter. Si le nombre d'atomes d'oxygèneprésentdanslevolume d'UO

2

parvientàsursaturer leliquidealorsla pré ipita-tionpeut ontinuerjusqu'àsolidi ation omplèteduliquide.Enn, silenombred'atomes d'oxygène est trop faible pour pouvoir saturer une partie duliquide alors le pro essus de dissolution peut onduire à laliquéfa tion omplète du solide.

Contrairement à l'oxygène quidiusetrès biendanslesolide,le Zr(beau ouppluslourd) diuse beau oup plus lentement et ne pénètre pas dans le solide. Comme le soulignent Vesh hunov etHofmann [90 ℄,pendant l'étape de pré ipitation, l'oxygène ontinue à diu-ser, l'UO

2

estréduit en UO

2−x

etlebainliquide estoxydé. Pour Vesh hunov etHofmann [90 ℄,ladissolutiondu reusetsepoursuitpendant ette phasedepré ipitation. Cetteidée est basée sur le fait que le liquide suit une ligne joignant le point P (atteint à la n de la période de saturation) au point S qui orrespond dans [90℄ à la omposition mesurée expérimentalement du solide (U

1−α

Zr

α

)O

2−x

(ave

α = 0.15 ± 0.05

), point en équilibre ave Psurla gureI.5.

Fig. I.5 Chemin dedissolution à 2273 K pour du Zir aloy non oxydé initiallement [90℄ (étape desaturation : Zr-P; étape de pré ipitation :P-S).

Dans le modèle de Olander [67℄, la inétique de dissolution (pendant la période de satu-ration) estdé rite par lemême modèle que elui utilisé par Vesh hunov etHofmann [90℄. La seule diéren e on erne l'interprétation de laphase de pré ipitation. A lapla e de la ligne P-S surlagureI.5, Olanderproposeune traje toirediérenteallant du point P au pointO(gureI.6). End'autrestermes, del'oxygène (etnonpasdel'uranium)estajouté

au liquide pendant la phase de pré ipitation. Cette supposition est basée sur le fait que la dissolution de l'UO

2

esseà lan de l'étape de saturation. Pour Olander, il n'y aurait au une raison queladissolution re ommen e pendant laphasede pré ipitation où leseul pro essus présent est elui de l'apport d'oxygène depuis le reuset vers le liquide. Entre le reuset et le liquide, il n'y a pas d'interfa e min e mais plutt une zone de transition diphasique qui est présente [32, 33 ,49, 50 ℄. A 2273 K, Kim etOlander [49, 50 ℄ montrent que laposition radialedelafrontière reuset/ zonedetransition augmenteave letemps alors que elle de l'interfa e liquide / zone de transition diminue ave le temps. Le hoix de ettetraje toirePO(surlagureI.6)estbasésurdesobservationsexpérimentales[67℄. DanslesobservationsexpérimentalesdeHayward&George[32,33℄,lesvolumesdeliquide restent onstant au oursdutemps pour diérentesexpérien esréaliséesàdiverses tempé-ratures, don for ément eluidu reusetl'estégalement.Iln'yadon paseudedissolution du reusetpendantla phaseditede pré ipitation.

Fig. I.6  Chemin de dissolution (PO) (uniquement phase de pré ipitation); au point

f

, le bainliquide ontient

M

L

moles deliquideU-O-Zr et

M

P

molesde pré ipité (U,Zr)O

2−x

[67℄

I.4.2 Les modèles existants

Modèles à interfa e inniment min e

Comme pré édemment, on onsidère un reuset en UO

2

mis en présen e d'un liquide de omposition diérente [36 ℄. Nous donnerons ultérieurement plus de détails sur es expé-rien es réalisées lors du ProjetEuropéen Corium Intera tions andThermo hemistry [36℄. I i, noussouhaitonssurtout insistersurlefaitquelesobservationsexpérimentalesont mis en éviden e laprésen ed'une zonediphasique (notamment observée par Olander [67 ℄)au niveau de l'interfa e éramique solide / métal liquide. A l'intérieur de ette zone, on ob-servedesgrains solideset/oupré ipitésetlemétalliquideprogressedanslesintersti es.Le liquide yestsaturéen oxygène. Nousverronsplusen détail ette zonedansune pro haine partie.

Au onta tdusolide,leliquidevaprogresserentrelesgrainsdela éramique.L'oxygèneva diuser à travers lesolide vers leliquide qu'il va progressivement saturer. Pendant la pé-riodedesaturation,leliquideestainsirapidementsaturéenatomesd'oxygèneetenatomes

portant on erne les eets de la onve tion naturelle. Kim et Olander [50℄ ont démontré que dans le as d'une interfa e solide / liquide positionnée verti alement, le transfert de massepeutêtrea rupar la onve tion naturelle,dueaufaitquel'uraniumestplusdense quele Zretqueles atomesU sont pluslourds queles atomesZr.

Vesh hunov et Hofmann [90℄ proposent un modèle théorique 1D basé sur diérents tests expérimentauxsurla inétiqued'intera tion UO

2

/Zr liquide[32 ,49℄.Cemodèledé ritle omportement du matériau lors de diérentes étapesdu pro essus d'intera tion himique avantetaprèssaturationdelaphaseliquide.Au oursdelapremièreétape,ladissolutionde l'UO

2

alieu,a ompagnéed'unerapidesaturationparl'oxygènedelaphaseZrliquide.Les équations debasedé rivant laphase desaturation ettenant ompte dumélange onve tif de laphaseliquide sont lesbilans massiquesdesdiérents omposants (O, U,Zr)

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

O

(L + M )

i

= ρ

s

C

s

O,∗

∂L

∂t

− D

O

s

∂ρ

s

C

s

O

∂x







I

(I.4.1)

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

U

(L + M )

i

= ρ

s

C

s

U,∗

∂L

∂t

(I.4.2)

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

Zr

(L + M )

i

= 0

(I.4.3)

a ompagnées de relations de ontinuité desux enoxygèneeturanium aux interfa es.

(ρ

s

C

s

O,∗

− ρ

ℓ

C

_ℓ

O,∗

)

∂L

∂t

− ρ

ℓ

C

O,∗

ℓ

∂M

∂t

= k

O

ρ

ℓ

(C

O,∗

ℓ

− C

O

ℓ

) + D

O

s

∂ρ

s

C

s

O

∂x







I

(I.4.4)

(ρ

s

C

s

U,∗

− ρ

ℓ

C

ℓ

U,∗

)

∂L

∂t

− ρ

ℓ

C

U,∗

ℓ

∂M

∂t

= k

U

ρ

ℓ

(C

U,∗

ℓ

− C

ℓ

U

)

(I.4.5)

où

L

et

M

sont dénis surlagureI.7,

∂L/∂t

dé ritunevariation unidire tionnelle dela phase liquide (liée à un mouvement d'interfa e) et

∂M/∂t

dé rit une variation unidire -tionnelle delaphaseliquide (liéeàuneexpansion duliquide dueàladiéren e dedensité entrelesolide etleliquide).

Fig. I.7 Position des phases solide et liquide à diérentsmoments (

L

0

: état initial) de la période de saturation [90℄

l'oxygène dans la phasesolide ainsi que les on entrations de haque omposant U, O et Zr dans ha unedesdeux phasesetà l'interfa e.

Cependant,ande prendreen ompte l'augmentation ontinue duvolume dubainliquide observée expérimentalement ainsi queles intera tions du matériau fondu ave lanouvelle surfa e du reuset, et la onguration 2D des reusets, un nouveau modèle 2D a été dé-veloppé [90℄.Ce modèlegénéralise lemodèle 1Dpour lequel lesprédi tions desvariations de pour entage massique d'uranium dansle bainliquide étaient satisfaisantes dansle as où lerapport entrel'épaisseur de la phasesolide ( ou he de Zr) etle rayon de la pastille ombustibleesttrès petit (

∼ 0.5

).Cependant, dansles expérien es[43 , 50℄,lesgéométries des reusetssont diérenteset e rapportdevient plusgrand (supérieurà 1).Lesrésultats du modèle1Dnepeuvent êtredire tement onfrontésà esexpérien es.Vesh hunov etal. a étendulemodèle 1Dandeprendre en omptel'aspe tbidimensionnel de ladissolution observé expérimentalement [43, 50℄. Pour ela,le système d'équations pré édentes (I.4.1) à (I.4.5)a étémodiéet prendlaformesuivante :

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

O

πR

2

(h + H)

i

= ρ

s

C

s

O,∗

h

2πR(h + H)

∂R

∂t

+ πR

2

∂h

∂t

i

−D

O

_s

∂ρ

s

C

O

s

∂x







I

h

2πR(h + H) + πR

2

i

(I.4.6)

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

U

πR

2

(h + H)

i

= ρ

s

C

s

U,∗

h

2πR(h + H)

∂R

∂t

+ πR

2

∂h

∂t

i

(I.4.7)

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

Zr

πR

2

(h + H)

i

= 0

(I.4.8)

a ompagnées de relations de ontinuité desuxen oxygène eturanium auxinterfa es:

(ρ

s

C

s

O,∗

− ρ

ℓ

C

_ℓ

O,∗

)2πR(h + H)

∂R

∂t

= k

O

ρ

ℓ

h

2πR(h + H)

ih

C

_ℓ

O,∗

− C

_ℓ

O

i

+D

O

_s

∂ρ

s

C

O

s

∂x







I

2πR(h + H)

(I.4.9)

(ρ

s

C

s

U,∗

− ρ

ℓ

C

_ℓ

U,∗

)

∂R

∂t

= k

U

ρ

ℓ

(C

U,∗

ℓ

− C

ℓ

U

)

(I.4.10)

(ρ

s

C

s

O,∗

− ρ

ℓ

C

_ℓ

O,∗

)πR

2

∂h

∂t

− ρ

ℓ

C

O,∗

ℓ

πR

2

∂H

∂t

= k

O

ρ

ℓ

πR

2

h

_{2πR(h + H)}

ih

_C

O,∗

ℓ

− C

ℓ

O

i

+D

O

_s

∂ρ

s

C

O

s

∂x







I

πR

2

(I.4.11)

(ρ

s

C

s

U,∗

− ρ

ℓ

C

_ℓ

U,∗

)

∂h

∂t

− ρ

ℓ

C

U,∗

ℓ

∂H

∂t

= k

U

ρ

ℓ

(C

U,∗

ℓ

− C

ℓ

U

)

(I.4.12)

Ainsi, les relations de saut à l'interfa e sont exprimées au niveau desinterfa es verti ales mais aussi aux interfa es horizontales. Elles font intervenir des oe ients d'é hange de masse onve tifs (

k

O

et

k

U

), e qui permetd'introduire impli itement la onve tion natu-relle( ependant, es oe ientssontdi ilesàestimer,etdevraientenréalitéêtreobtenus par lemodèle). Lesdimensions

R

,

H

et

h

ara téristiques dubain liquide dansle reuset UO

2

sont présentées surla gureI.8.

Fig.I.8Dimensionslinéairesdubainliquide dansle reuset enUO

2

à diérentsinstants (l'indi e

0

orrespondant à l'instant initial)[90℄

Pendant la période de saturation, la phase liquide atteint sa on entration d'équilibre ( e qui orrespond au point P du diagramme d'équilibre de la gure I.3). Vu que les on entrationsdelaphasesolideetdusolideàl'interfa e sontdiérentes,onaungradient de on entration d'oxygène dans la éramique. Del'oxygène supplémentaire est apportée auliquide par lesolideetladissolutionde l'UO

2

ontinue (ave unevitesseplusfaible)et peutêtre a ompagnéede lapré ipitation etdela roissan ed'une phase éramiquedans leliquide. La omposition de laphaseliquide est supposéehomogène et onstante lors de l'étape de pré ipitation (elle peut être déniepar lepoint P situé sur laligne de liquidus de lagureI.3).

Pour la des ription théorique du stade de pré ipitation, e modèle prend en ompte les trois pro essus simultanés suivants : dissolution du reuset en UO

2

par la phase liquide; formationet roissan edepré ipités(U,Zr)O

2−x

;transportdel'oxygènepardiusiondela phasesolidevers leliquide.Vesh hunov etal. [90, 91 ℄ont montré queledernier pro essus est parti ulièrement important ar, après la n de l'étape de saturation, la diusion de l'oxygènedanslaphasesolidedéterminela inétiquedespro essusdedissolutiondel'UO

2

etdelaformationdespré ipités(U,Zr)O

2−x

.Lesystèmed'équationsdebilanmassiquedes diérentséléments (U,O,Zr)danslemélangehomogèneliquide ( ontenant despré ipités éramiques) proposé par Vesh hunov et al. [90 , 91 ℄ fait intervenir les on entrations de haque omposantdanslesdeuxphases ainsiquela ompositiondespré ipités éramiques etlevolume de laphasede pré ipités:

−

∂

∂t

h

ρ

s

C

s

O

V

i

+

∂

∂t

h

ρ

s

C

s

O

W

i

− D

_s

O

∂(ρ

s

C

O

s

)

∂x







I

S =

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

O

(W − V − Φ)

i

(I.4.13)

−

∂

∂t

h

ρ

s

C

s

U

(1 − α)V

i

+

∂

∂t

h

ρ

s

C

s

U

W

i

=

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

U

(W − V − Φ)

i

(I.4.14)

−

∂

∂t

h

ρ

s

C

s

U

αV

i

=

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

Zr

(W − V − Φ)

i

(I.4.15)

où le paramètre

α

désigne la omposition des pré ipités éramiques (U

1−α

,Zr

α

)O

2−x

,

V

étant levolumede pré ipités,

W + Φ

levolume o upépar laphaseliquide ( ontenant les pré ipités),

Φ

étant déni surlagureI.9.

Fig. I.9 Position des phases solide etliquide à diérents moments (

L

0

: étatinitial) de la périodede pré ipitation [90 ℄

Lespremiers termesde eséquations orrespondent àuntransfertd'atomesO,U,Zrdans les pré ipités de omposition

α

. Les deuxièmes termes des équations (I.4.13) et (I.4.14) dé rivent les quantitésd'atomes Oet U dissous.Le troisième termede l'équation(I.4.13) représenteladiusiondel'oxygènedanslesolideversleliquide.Lesmembresde droitede estroiséquations orrespondent àlavariation des on entrations des omposantsdansle mélange liquide (U,Zr,O).

Cesystèmeest omplétépardes onditionsdeuxàl'interfa esolide/liquide.Toutefois,la formationdelazonediphasique(liquide+pré ipités)pro hedel'interfa erend eproblème parti ulièrement omplexe. Vesh hunov et al. [90, 91℄ ont formulé une appro he générale pourlades riptiondutransfertdemasseautraversdelazonediphasique.Cependant,faute de données expérimentales supplémentaires pour développer leur modèle, les auteurs ont utilisé uneappro hesimpliée. Enlieuetpla edeséquationsdebilan deuxàl'interfa e, ilsontutilisédesimpleshypothèsesbaséessurlesobservationsexpérimentalesand'obtenir une solution au système "in omplet" des équations de bilan de masse (I.4.13)-(I.4.15). Une telle simpli ation a onsisté à supposer que la omposition de la phase éramique U

1−α

,Zr

α

)O

2−x

formée durant l'étape de pré ipitation était onstante(

α ≈

onst.). Cette hypothèse était en a ord ave les observation de Hofmann et al. [40℄ et de Kim [48℄. Vesh hunov [91℄ a démontré que pour des tests de dissolution de reuset à 2273 K [50℄, e modèleprédit un taux de dissolution des reusets en UO

2

plutt lent.Par onséquent, pour ettesériedetestsexpérimentaux,la ondition

α ≈

onst.peutêtrerempla éepar la ondition

∂W/∂t ≈ 0

.Cettehypothèse aété présentéepar Olander[67℄.Cependant, ette solution était en ontradi tion ave des observations réalisées par Hofmann [40 ℄ et Kim et Olander [50, 48℄ sur des tests expérimentaux ee tués à des températures supérieures à 2473-2573 K et, pour ette raison, e modèle ne peut pas s'appliquer pour dé rire les testsexpérimentauxréalisésàdestempératuressupérieuresà2473K[50 ℄.Onvoitdon les di ultésde emodèlepourreprésenterladissolutiondetels reusetsau-delàde ertaines températures.

Le modèle de Olander [67℄ est très pro he du modèle 1D proposé par Vesh hunov et al. [90 ,91℄.Pendantlapremièreétapedeladissolution,l'évolutiondelaphaseliquideversson étatdesaturationestattribuéeàuntransfertdemasse onve tif(les oe ientsd'é hange de masse onve tifs utilisés sont les même que eux de Vesh hunov). En revan he, une diéren e existe pour la phase de pré ipitation. Contrairement à Vesh hunov, Olander

quele reusetest réduit en UO

2−x

.Comme l'apportd'oxygène sepoursuitpendant ette étape, la omposition globale du liquide suit la ligne PO sur la gure I.6. Le long de ette ligne, le rapport uranium/zir onium (

α

) reste onstant. Sur la gure I.6, le point d'interse tion

f

entre (PO) et la onode (sq) ara térise la omposition globale du bain liquide.Celle- ivarieau oursdutempsetdépend duparamètre

α

,durapportO/Zrdans lesystème à l'état initial etde laquantité d'oxygène ayant diusé danslesolide pendant sadissolution verslemélangeliquide.

LesmodèlesproposésparVesh hunov[90 ℄etOlander[67 ℄laissentessentiellementunaspe t important du pro essus de dissolution sans réponse : le manque de modélisation de la zone de transition diphasique entre le reuset et le bain liquide. Cependant, l'absen e de modélisation de ette zone diphasique n'est pas une limite de es modèles. En eet, es modèles ave suivi de l'interfa e sont réalisables en 1D et donnent de bons résultats sans prendre en ompte ette zone. En revan he, il est impossible de modéliser le as 2D ave suivid'interfa e ave etteappro he. And'avoir plus depré ision sur ettezone de transition,nousallonsvoirdanslase tionsuivantequedesauteurs ontproposéunmodèle permettant de prendre en ompte de façon plus pré ise les phénomènes se produisant au niveaude ette zonede transitiondiphasique.

Modèles prenant en ompte la zone de transition diphasique

Nous venons de voir que la zone diphasique présente au niveau de l'interfa e reuset / liquiden'étaitpaspriseen omptedanslesmodèles ités i-dessus.Dans ettepartie,nous allonsintroduire letravail de deux auteurs (Wilhelm et Gar ía) qui ont souligné l'impor-tan ede ette zoneetquil'ont prise en ompte dansleurmodélisation.

Wilhelm et Gar ía [99 , 100 ℄ proposent un modèle visant à simuler l'intera tion (UO

2

-ZrO

2

)/Zrliquide sousatmosphère neutre,en supposant quela inétiqueest pilotéepar la diusionde l'oxygène. Cette inétiquede dissolutiondel'UO

2

etdu ZrO

2

par duZir aloy fondu a été mesurée expérimentalement par Hagen et Hofmann [30, 44℄. Ils ont observé quela inétiquesuivaituneloi paraboliqueaprèsun ertainintervalledetemps.L'attaque himiquen'étant pasuniformelelongdelasurfa ede onta tsolide/liquide,ilest impos-sibledemesurerdire tement ledépla ement del'interfa e. Undesobje tifsdeWilhelmet Gar íaaétédeprendreen omptel'augmentation delasurfa ede onta t(dueàla désin-tégrationdel'UO

2

solide)dansunerégionpro he delazoned'intera tion. Enutilisantdes loisd'Arrhenius " lassiques", Wilhelm etGar ía n'arrivaient pasà retrouver les résultats expérimentaux. Ils étaient obligés de prendre des énergies d'a tivation très grandes pour pouvoir yarriveret se sont aperçus qu'il se passe des phénomènes non négligeables dans ette zone de transition. Pour traiter e problème, ils ont hoisi d'adapter le oe ient de diusion de l'oxygène dans ette zone liquide. Connaissant le oe ient de diusion dansleliquideloin del'interfa e,ils ont faitle hoixd'augmenter savaleurlorsque l'onse rappro he de ette zone désagrégée (lagure I.10représente e oe ient dediusion en fon tion de lastru ture du milieu poreux). Par onséquent, lemodèle établipar Wilhelm et Gar ía [99, 100 ℄ onsidère que le oe ient de diusion de l'oxygène dans le liquide dépend entre autrede ladistan eà l'interfa e.

Ainsi,WilhelmetGar ía[99℄supposentundépla ement uniformedel'interfa elelongdes parois du reuset. Pour simplierle modèle, ils émettent plusieurs hypothèses:

Fig.I.10S hémareprésentantl'UO

2

solideetle oe ientdediusiondel'oxygènedans la phaseliquide enfon tion dela distan e à l'interfa e UO

2

/ Zr à uninstant donné [99℄. La valeur à l'interfa e est augmentée par un fa teur prenant en ompte l'augmentation de la surfa e d'é hange.

1. deux phases(UO

2

solide -Zr liquide)etune interfa e unique (UO

2

/Zr),

2. l'intera tion UO

2

- Zr estessentiellement ontrlée par unpro essus dediusion où l'oxygène joue un rle déterminant dans le taux de dissolution. Or, la rédu tion en oxygènedel'UO

2

libèredel'uraniumquisedissoutdansleZrliquide,maislemodèle ne onsidère pasla diusionde l'uranium ommme étantun pro essus ontrlant la dissolution. Le oe ient de diusion de l'uranium est négligé devant l'importan e du oe ient de diusion de l'oxygène (les atomes d'oxygène sont beau oup plus légers que eux d'uranium),

3. bien que, lors de la désagrégation de l'UO

2

pro he de l'interfa e, la variation de surfa e orresponde à une des ription tridimensionnelle omplexe, ils supposent un systèmeunidimensionnel ni(l'équationdediusionestrésolueenunedimensionsur un domaine ni). L'évolution de laphase solide est dé rite de façon 1Den prenant ompte l'eet que ette augmentation de la surfa e de onta t peut avoir sur les pro essus de diusion. Pour ela, Wilhelm et Gar ía ont onsidéré un oe ient de diusiondel'oxygèneéquivalentdansleliquide,devaleur onstanteloindel'interfa e dansle Zrliquide etqui augmente dansunezonepro he de l'interfa e,

4. la onve tion dansle liquide n'a pas été onsidérée de façon expli ite.Le transport de masse a ru, dû à la onve tion, peut être in lus dans le oe ient de diusion équivalent ommeétant une augmentation moyenne du oe ient de diusion dans

La troisième hypothèse onduit à une fon tion dépendante dutemps on ernant le oe- ientdediusiondel'oxygènedansleliquide.Unefon tion-erreuraétéutiliséepour

D

ℓ

(x)

ande luidonner unevaleur a rueau niveau de laposition

ξ

del'interfa e etune valeur aaiblie

D

v

loin de

ξ

(Fig.I.10).

D

ℓ

(x) = D

v



1 +

1

2

(S(T ) − 1)

erf



x − (ξ(t) + δ(t))

σ(t)



(I.4.16)

où

δ

représentelaposition(mesuréedepuisl'interfa e)oùlafon tion-erreur omplémentaire atteintlamoitiédesavaleurmaximale;

σ

étantlefa teurdedispersionet

S

(paramètrequi permetdeprendre en ompte leseetsdel'augmentation de lasurfa e de onta t) hange lefa teurd'amplitudedelafon tionerreuràdonnerpour

D(x)

àl'interfa e:

D(ξ) ≈ SD

v

(valide pour

δ/σ ≥ 1

).

Cefa teur

S

doitêtre supérieurà undansles hypothèsesdu modèle(augmentation de la surfa e de diusion). Dans e as,

δ

doit être une mesure de l'épaisseur de la région où

D(x)

esten grandepartie augmenté.

Comme les parti ules désagrégées vont se disperser dans le liquide au ours du temps, le paramètre

δ

va dépendre du temps. Simultanément, les parti ules dispersées vont se dissoudre,

σ

va augmenter et le rapport

D

O

ℓ

(x, t)/D

v

diminue. On a

δ(t) = δ(∆ξ(t))

et

σ(t) = σ(∆ξ(t))

oùladistan e par ourue par l'interfa e estdésignéepar

∆ξ(t) = −ξ(t)

.

Wilhelm etGar ía ont montréqu'il ne s'agit pasuniquement d'unproblème de diusion. La onve tion naturelle joue unrle non négligeable danslepro essus dedissolution tout ommel'augmentationdelasurfa ed'é hange (d'oùleuridéed'introduire e oe ient de diusion ee tif).

Les pro essus de diusion de l'oxygène dans le système à deux phases, modélisant l'in-tera tion UO

2

solide / Zr liquide, sont dé rits par les équations de Fi k. Une géométrie plane est utilisée où

x

est la oordonnée de position du problème 1D onsidéré. Dans la des riptionplane etave les oe ients de diusionde l'oxygènequi prennent une valeur onstante

D

O

s

dansla phasesolide etdépendants en temps et en espa e

D

O

ℓ

(x, t)

dansla phaseliquide, leséquations de Fi ksont :

∂

∂t

h

ρ

s

C

s

O

(x, t)

i

= D

O

_s

∂

2

∂x

2

h

ρ

s

C

s

O

(x, t)

i

(I.4.17)

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

O

(x, t)

i

= D

O

_ℓ

(x, t)

∂

2

∂x

2

h

ρ

ℓ

C

ℓ

O

(x, t)

i

+

∂D

O

ℓ

(x, t)

∂x

∂

∂x

h

ρ

ℓ

C

ℓ

O

(x, t)

i

(I.4.18) Conditionsinitiales :

C

_s

O

(x, 0) = C

_s

O,ini

pour − a ≤ x ≤ 0,

(I.4.19)

C

_ℓ

O

(x, 0) = C

_ℓ

O,ini

pour 0 ≤ x ≤ b

(I.4.20)

Conditionsaux limitesà

x = a

et

x = b

:

∂

∂t

h

ρ

s

C

s

O

i

(−a, t) = 0, C

_s

O

(ξ, t) = C

_s

O,∗

(I.4.21)

∂

∂t

h

ρ

ℓ

C

ℓ

O

i

(b, t) = 0, C

_ℓ

O

(ξ, t) = C

_ℓ

O,∗

(I.4.22)