Amélioration des algorithmes de reconstruction d'image pour la tomographie d'émission par collimation à trous larges et longs

HAL Id: tel-00594594

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00594594

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of

sci-L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents

AMÉLIORATION DES ALGORITHMES

DE RECONSTRUCTION D’IMAGE

POUR LA TOMOGRAPHIE D’ÉMISSION

PAR COLLIMATION À TROUS LARGES ET LONGS

THÈSE DE DOCTORAT

Spécialité : Sciences de l’ingénieur

ÉCOLE DOCTORALE STIM

Sciences et Technologies de l’Information et Mathématiques

Présentée et soutenue publiquement

le : 29 novembre 2010

à : Angers

par : Richard Simonnet

Devant le jury ci-dessous :

Ali MOHAMMAD-DJAFARI (président du jury), Docteur CNRS, L2S - Supelec

Istvan MAROS (rapporteur), Professeur des Universités, University of Pannonia Vesprem - Hongrie Alain YGER (rapporteur ), Professeur des Universités, Université Bordeaux 1

Jean Jacques LOEB (examinateur), Professeur des Universités, Université d’Angers

Christian JEANGUILLAUME (examinateur), Maître de conférence des université, Praticien Hospitalier, Université d’Angers

Directeurs de thèse : Christian JEANGUILLAUME Jean Jacques LOEB

Laboratoire d’Ingénierie des Systèmes Automatisés (LISA) EA 4014 62 avenue Notre Dame du Lac, 49000 ANGERS

à mon épouse, Élise

à ma mère, Bernadette

Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier Monsieur Mohammad-Djafari d’avoir accepté de présider mon jury.

Je remercie aussi sincèrement Monsieur Maros et Monsieur Yger d’avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse.

J’adresse mes remerciements à Monsieur Garin, Madame Devillers, et Madame Laf-font du CHU de Rennes pour nous avoir permis d’utiliser leurs installations pour effectuer nos expériences.

Je tiens à remercier Monsieur Loeb de m’avoir encadré tout au long de cette thèse.

J’adresse un grand merci à Monsieur Jeanguillaume pour la confiance qu’il m’a ac-cordée, de m’avoir dirigé et guidé, pour sa disponibilité, pour m’avoir fait découvrir la recherche, je garderai un très bon souvenir de notre collaboration.

Je remercie tous mes prédécesseurs, stagiaires ou doctorants, qui ont travaillé avant moi sur ce projet pour m’avoir laissé des documents et travaux de qualité qui m’ont été indispensables pour réaliser cette thèse.

Je remercie l’ensemble du personnel du LISA pour m’avoir permis de réaliser cette thèse dans les meilleures conditions, particulièrement Madame Cavaro-Ménard pour m’avoir donné l’opportunité de réaliser des enseignements.

Je ne peux évidemment pas oublier les différents collègues et amis qui ont croisé mon passage au labo, notamment Vincent, Xavier, Benoit, Guillaume, merci pour ces bons mo-ments passés ensemble.

Je remercie enfin ma famille de m’avoir soutenu tout ce temps, et un merci particulier à mon épouse, Elise, merci de m’avoir encouragé tout au long de cette thèse.

Résumé . . . 1

Abstract . . . 2

Liste les symboles les plus utilisés 3 Introduction 5

Partie I Etat de l’art

1.2 Les techniques d’imagerie tomographique X et γ en médecine . . . . 11

1.2.1 Espaces des phases . . . 11

1.2.2 La tomographie de transmission - TDM . . . 14

1.2.3 La tomographie d’émission . . . 16

1.3 La caméra gamma ou caméra d’Anger . . . 18

1.3.1 Principe . . . 18

1.3.2 Le collimateur . . . 20

1.3.3 Les caractéristiques d’une caméra gamma . . . 22

2.3.2 Reconstruction d’une image tomographique par une

rétropro-jection simple . . . 33

2.3.3 Reconstruction d’une image tomographique par rétroprojec-tion filtrée . . . 35

2.3.4 Méthodes de reconstruction algébriques . . . 38

2.3.5 Méthodes de reconstruction statistiques . . . 39

3 Le projet CACAO 43 3.1 Pourquoi le projet CACAO ? . . . 44

3.2 Modifications du système d’acquisition . . . 45

3.2.1 Le collimateur CACAO . . . 45

3.2.2 La séquence d’acquisition CACAO . . . 47

3.2.3 Exemple d’acquisition . . . 49

3.3 Étude théorique . . . 51

3.3.1 Définition du problème direct . . . 51

3.3.2 Étude de la réponse impulsionnelle . . . 52

3.4 Reconstruction par déconvolution multicanal . . . 54

3.4.1 Sommation - décalage . . . 54

3.4.2 Déconvolution - approximation diagonale dominante . . . 56

3.4.3 Rotation-Sommation . . . 56

3.5 Les résultats . . . 57

4 Principe de la déconvolution minimale 69

4.1 Introduction à la déconvolution minimale . . . 70

4.2 Implémentation de la déconvolution minimale . . . 72

4.3 Premiers résultats . . . 74

4.4 Résolution du problème avec données exactes . . . 75

5 Reconstruction d’image avec traitement ligne par ligne 77 5.1 Déconvolution minimale . . . 78

5.2 Déconvolution minimale filtrée . . . 80

5.2.1 Déconvolution minimale filtrée suivant les lignes . . . 81

5.2.2 Déconvolution minimale filtrée suivant les colonnes . . . 82

5.3 Déconvolution minimale 0 + 180˚ . . . 84

5.4 Déconvolution minimale 0 + 90˚ . . . 87

5.5 Déconvolution minimale 0 + n90˚ . . . 91

5.6 Déconvolution minimale 0 + n90˚ + n270˚ . . . 95

5.7 Déconvolution minimale avec traitement itératif . . . 96

6 Solution minimale avec données non bruitées 101 6.1 Reconstruction complète . . . 102

6.2 Dualisation du problème . . . 105

6.3 Reconstruction complète dualisée . . . 108

7 Déconvolution et reconstruction par recherche de solution médiane 113 7.1 Principe de la déconvolution médiane . . . 114

7.1.1 Déconvolution minimale + déconvolution maximale . . . 114

7.1.2 Définition de l’estimation maximale . . . 116

7.1.3 Élimination des points de contacts . . . 117

7.1.4 Résultats des tests de déconvolution . . . 118

7.1.5 Comparaison avec la méthode MLEM-E . . . 121

7.2 Formulation du problème dual pour la déconvolution médiane . . . . 123

7.3 Résultats . . . 126

9.3 Protocole d’acquisition . . . 142

Conclusion

Table des figures 149

Liste des tableaux 155

Bibliographie 157

Résumé

Le projet CACAO - Caméra A Collimation Assistée par Ordinateur - a pour but d’amé-liorer la qualité des images scintigraphiques ou de médecine nucléaire.

L’utilisation de collimateurs à trous plus larges et plus profonds sur les gamma camé-ras, ainsi qu’un mouvement de balayage linéaire supplémentaire dans le protocole d’ac-quisition, permettraient d’améliorer à la fois la résolution spatiale et la sensibilité des caméras ; mais ces modifications impliquent l’utilisation de nouveaux algorithmes de re-construction.

En effet, si physiquement les données sont plus précises, en terme de résolution spa-tiale et de statistique de comptage, le problème est mathématiquement plus difficile.

Au début de mon travail de thèse, la reconstruction des images CACAO était fon-dée sur un algorithme en trois étapes : sommation-décalage, déconvolution, et rotation-sommation. Cet algorithme utilisant pour la déconvolution la transformée de Fourier ra-pide, présente un avantage en terme de rapidité, et a donné des premiers résultats très intéressants.

Cependant un travail reposant sur la théorie de l’information nous fait penser qu’il est pos-sible d’obtenir de bien meilleurs résultats avec un algorithme optimum. L’étape limitante du projet étant la déconvolution, le travail de thèse avait pour but d’étudier et d’améliorer cette étape avec de nouveaux algorithmes. Plusieurs algorithmes basés sur une déconvo-lution appelée minimale, avec un traitement ligne par ligne de l’image et l’utilisation de programmation linéaire, ont été développés et ont donné de bons résultats dans plusieurs cas sur des données exactes (non bruitées).

Nous avons ensuite appliqué cette idée au problème dans son ensemble, c’est à dire en s’affranchissant de l’approximation de type « diagonale dominante » précédemment utilisée. Cet algorithme donne de très bons résultats sur des données exactes et permet également de se passer des étapes de sommation-décalage et rotation-sommation. Nous nous sommes aussi efforcés de réduire le temps de calcul de nos algorithmes, notamment en utilisant la dualisation des données pour la programmation linéaire, ce qui de plus nous a permis de traiter des problèmes de plus grandes dimensions. Enfin, nous avons mis au point une technique de déconvolution appelée médiane qui se montre très efficace pour des images bruitées.

Mots clés : scintigraphie, tomographie d’émission, déconvolution, déconvolution mi-nimale, déconvolution médiane, programmation linéaire.

At the beginning of this work, a fast algorithm based on Fast Fourier Transforms was used to reconstruct the CACAO images. This algorithm had three steps : shift and summ, deconvolution, and rotation-summ and used a diagonal-dominant approximation. Good results were obtained with it, but not as good as we wanted. An information-theory based work demonstrated that it is possible to get a far better result with CACAO than with the conventional thin hole collimator way. Up to know we failed to show that practically that point. As the limiting step in that algorithm was the deconvolution, we aimed to study and improve this step with new algorithms. Several algorithms based on a deconvolution called minimal, with a line by line proccesing and the use of linear optimisation, were developped and gave mild results with exact data.

We, then, proposed a new algorithm, still based on a minimal optimisation, but this time processing the whole image, which give very good results on exact data. With this new algorithm, the diagonal dominant approximation is no longer required. We also wor-ked at reducing the processing time. We tried the dualization of our linear programming problem, which allowed us to solve larger dimensions matrices and speed up the process. Finally, we proposed a new reconstruction algorithm based on a median criteria, which appears to be very efficient on noisy data. Attempt to treat data from real experiments were done.

Keywords : scintigraphy, tomographic emission, deconvolution, minimal deconvolu-tion, median deconvoludeconvolu-tion, linear optimisation.

ρ densité de sources radioactives (−→u , −→w ) repère mobile associé au collimateur (−→x , −→y ) repère fixe

χ position du détecteur dans son déplacement linéaire sur l’axe −→u ν position sur le détecteur par rapport au centre du trou (repère mobile) ϕ inclinaison de la tête de la caméra dans le repère fixe (−→x , −→y )

θ angle entre le rayon gamma et la perpendiculaire à la surface du détecteur (−→w) d distance mesurée entre le détecteur et la source

D diamètre des trous du collimateur P profondeur des trous du collimateur L distance entre le collimateur et la source dr résolution des détecteurs de la gamma caméra

r résolution de la gamma caméra rg rayon de giration

rc rayon cache

G projections tomographiques ( cas classique et CACAO )

S projections tomographiques sommées décalées - PSD - ( cas CACAO ) A matrice de passage de ρ vers G

R matrice de passage de ρ vers S

Q sous matrice de contrainte additionnelle I matrice identité

Le sujet de cette thèse appartient à l’imagerie médicale et plus particulièrement à l’imagerie moléculaire par l’injection d’une molécule radio-active dans le corps du pa-tient (Médecine Nucléaire). L’imagerie médicale a, on le sait, bouleversé toute la pensée médicale. L’approche chirurgicale a été profondément changée par l’imagerie médicale. Tout d’abord le chirurgien a eu la possibilité de prévoir les difficultés qu’il allait ren-contrer, et aujourd’hui on arrive a une chirurgie dite minimale, l’imagerie ayant permis de diminuer les voies d’accès chirurgicales. Le diagnostic des maladies a également été changé par l’imagerie. La première étape dans ce sens a été le diagnostic de la tubercu-lose sur la radio thoracique. Aujourd’hui de nombreuses maladies sont diagnostiquées par l’imagerie moléculaire, que ce soient les cancers, et plus récemment les maladies neuro-logiques (Parkinson, Alzheimer ...). A côté des diagnostics initiaux, on vérifie l’efficacité des traitements, on guide la radiothérapie, et on surveille les éventuelles rechutes.

Après l’IRM la dernière révolution dans le domaine de l’imagerie médicale a certai-nement été l’avècertai-nement de la TEP (Tomographie d’Émission de Positon ou positron, en Anglais : PET Positron Emission Tomography). Cette technique tomographique de méde-cine nucléaire a connu une expansion commerciale importante, il y a seulement 15 ans il n’y avait que 3 appareils en France tous destinés à la recherche, aujourd’hui c’est plus de 60 appareils qui sont utilisés en pratique médicale courante. Pourquoi cette expansion ? C’est que la TEP a apporté une résolution spatiale vraiment intéressante cliniquement (3 mm) en association avec l’efficacité de l’imagerie moléculaire. Le tableau suivant com-pare TEP et TEMP (TEMP : Tomographie d’Emission MonoPhotonique en Anglais : SPECT pour Single Photon Emission Tomographie). La TEMP est la technique tomogra-phique de base de la médecine nucléaire, c’est à dire celle qui est réalisée avec les gamma caméras, qui seront décrites dans ce travail.

en France

Nombre d’appareils en France _{� 300 � 60} Imagerie multi-isotopes possible impossible Limite physique de la résolution

spatiale (CACAO)

Résolution détecteur (200µm)

quelques mm (le trajet du positon)

Nombre max d’événements acquis simultanément (CACAO)

limite du détecteur élé-mentaire

1 seul évènement par anneau de détecteurs Comme on peut le voir, si la TEP bénéficie actuellement d’une meilleure résolution spatiale et d’une meilleure sensibilité que la TEMP, ceci est obtenu pour un prix très élevé, (traceur et appareil), une irradiation du patient augmentée (le positon doit perdre son énergie cinétique dans le patient avant de s’annihiler), d’un nombre moins important de traceurs, de l’impossibilité de réaliser des examens associant plusieurs isotopes, et d’une demi-vie plus réduite des traceurs gênant l’approvisionnement.

Les deux dernières lignes du tableau méritent de l’attention, elles anticipent un peu sur le reste de ce travail, mais si le problème inverse CACAO trouve des solutions sa-tisfaisantes, le collimateur ne sera plus un frein au développement de la TEMP. Ainsi la résolution spatiale qui est limitée en TEP par le libre parcours moyen des positons restera de l’ordre de quelques mm. En TEMP elle sera limitée par la résolution des détecteurs. A l’heure actuelle on sait réaliser des détecteurs de l’ordre de 200µm de largeur. La sen-sibilité qui est actuellement elle aussi limitée en TEMP par le collimateur, ne sera plus limitée que par la sensibilité individuelle de chaque détecteur. A l’inverse en TEP le taux de comptage maximal est de 1 événement dans tout l’anneau de détecteurs. En effet si plusieurs événements se produisent en même temps la ligne de coïncidence n’est plus définie.

Systèmes d’acquisition tomographique

X

et γ

Sommaire

1.1 Historique . . . 10

1.2 Les techniques d’imagerie tomographique X et γ en médecine . 11 1.2.1 Espaces des phases . . . 11

1.2.2 La tomographie de transmission - TDM . . . 14

1.2.3 La tomographie d’émission . . . 16

1.3 La caméra gamma ou caméra d’Anger . . . 18

1.3.1 Principe . . . 18

1.3.2 Le collimateur . . . 20

1.3.3 Les caractéristiques d’une caméra gamma . . . 22

ou fonctionnelles du corps humain.

Nous présenterons dans ce chapitre une analyse succincte du volume de l’espace des phases utilisé, après avoir rappelé les notions de base à ce sujet. Nous décrirons également quelques modalités en imagerie tomographique X et γ. Ces modalités se différencient par les phénomènes physiques qui sont utilisés pour obtenir les images. Nous verrons ensuite la caméra d’Anger ainsi que ses caractéristiques. Enfin, nous décrirons les différentes étapes d’acquisition et de reconstruction des images tomographiques classiques tout en exposant la géométrie d’acquisition et les modèles mathématiques utilisés.

1. grec : tome = morceau coupé et graphein= décrite

1.2 Les techniques d’imagerie tomographique X et γ en

médecine

1.2.1 Espaces des phases

En physique l’espace des phases (phase space en Anglais) est l’espace où tous les états possibles du système sont représentés. Il a été introduit par Gibbs en 1901. Par souci pé-dagogique, nous rappellerons tout d’abord le cas simple de l’espace des phases en optique classique.

Dans les systèmes à symétrie cylindrique, l’espace des phases est aisément représenté par un plan à deux dimensions : le rayon r qui mesure la distance par rapport à l’axe op-tique et l’angle φ qui donne l’inclinaison du rayon toujours par rapport à l’axe opop-tique.

L’exemple le plus simple est celui d’un faisceau émanant d’une source ponctuelle et délimité par un diaphragme de rayon r0 placé à une distance d de la source ponctuelle

(figure1.1) . +

r

r

d

r

+

r

-

r

-

!

r

Figure 1.2 – espace des phases au niveau de la source ponctuelle

Pour comprendre l’intérêt de cette représentation, regardons maintenant ce qui se passe dans le plan du diaphragme (figure1.3).

+

r

r

!

!

!

Figure 1.3 – espace des phases au niveau du diaphragme

L’extension spatiale, est maintenant donnée par r0. Elle sera de −r0, r0, l’extension

angulaire, n’a pas changé car la lumière se propage en ligne droite.

Donc le faisceau sera contenu dans le rectangle délimité par −φ0, φ0 et −r0, r0.

Il sera représenté par la diagonale de ce rectangle, qui va de −r0,−φ0 à r0, φ0.

Physiquement ce cas est irréel car un point infiniment petit n’existe pas.

La surface du faisceau sera représentée par un rectangle vertical dont la longueur est défi-nie comme précédemment et dont la largeur sera donnée par la taille effective de la source considérée comme ponctuelle.

On peut démontrer (théorème de Sturm-Liouville) que la surface dans l’espace des phases d’un faisceau de rayonnements est conservée, en l’absence de nouvelles sources ou de milieu absorbant.

Figure 1.4 – Tomodensitomètre X.

L’image obtenue montre des coupes du corps humain. Plus exactement, elle montre les variations des coefficients d’atténuation µ du faisceau X dans la coupe [11] . Ce coefficient d’atténuation µ dépend notamment de la densité des tissus. On aura donc un contraste important entre les os (Calcium), les poumons (air), les tissus mous (eau) et les tissus adipeux.

Un tomodensitomètre mesure l’atténuation φ par les tissus humains des rayons X émis par une source externe (relation1.1).

φ = φ

.e

(1.1)

Les premières machines étaient composées d’une source de rayon X collimatée et d’un détecteur unique. A la précision de la mesure près, l’espace des phases à l’acquisi-tion était représenté par un simple point (extension faible en distance et en angle). Cette acquisition très limitée dans l’espace des phases, nécessitait un double mouvement :

ba-Les appareils actuels utilisent une source de rayon X la plus petite possible, mais le détecteur a été considérablement étendu, car on réalise des faisceaux coniques avec des détecteurs en arc de cercle dans le plan tangentiel, et également étendu dans le sens axial. On parle alors de 64, 128, 256 barrettes de détecteurs.

Figure 1.5 – Principe de la tomographie par transmission X.

Pour ces appareils, la notion d’espace des phases est plus complexe, la perte de la symétrie cylindrique du faisceau nous oblige à introduire 2 dimensions en distance et 2 en angle. Pour les TDM actuels, multi barrettes, l’espace des phases utilisé a été élargi dans les deux dimensions angulaires, par rapport aux appareils de première génération. Cet élargissement a permis un gain de temps considérable, dans l’acquisition des données, au prix d’un algorithme de reconstruction un peu modifié (faisceau conique et acquisition hélicoïdale).

comme le montre la figure 1.6. L’isotope le plus souvent employé comme traceur radio-actif est le technetium-99m, qui émet des photons gamma d’énergie 140keV avec une demi-vie de 6 heures.

Figure 1.6 – Principe de la tomographie d’émission SPECT

Le système d’acquisition comprend un collimateur en plomb percé de trous parallèles, et un détecteur de rayons gamma, qui est souvent de type Anger [2] [3].

Le système SPECT effectue des acquisitions tomographiques par rotation de la tête dé-tectrice de 360◦ _{autour du patient.}

La figure1.7montre un ensemble de tomographie d’émission monophotonique.

Tomographie par émission de positrons ou PET

Le système PET (Positron Emission Tomography) utilise des isotopes émetteurs de positrons, à demi-vie courte comme l’oxygène-15, le carbone-11, l’azote-13 ou le fluor-18.

Le principe de ce système consiste à détecter en coïncidence, les 2 photons d’annihila-tion produits par la rencontre du positron avec un des électrons des tissus . Ces 2 photons de 511 keV sont émis en opposition sur une ligne droite ou avec la même direction, ce qui permet d’obtenir une information directionnelle sans utiliser de collimateur ( Figure1.8).

Figure 1.8 – Principe de la tomographie d’émission PET.

Il existe de nombreuses configurations de détecteurs qui permettent de compter les photons d’annihilation. La géométrie la plus populaire est un anneau circulaire fixe de détecteurs discrets, chacun travaillant en coïncidence avec plusieurs détecteurs opposés.

La portion de l’espace des phases est limitée par le cylindre des détecteurs. Pour notre appareil par exemple, il s’agit d’un cylindre de 15cm de génératrice et de 90 cm de dia-mètre, ce qui fait au centre de ce cylindre un angle d’acceptance de 18˚ dans le sens axial et de 360˚ dans le plan transverse.

Comme nous le verrons, l’espace des phases acquis en TEP est considérablement plus grand qu’en TEMP. Ceci doit toutefois être nuancé par le fait qu’en TEP 2 photons doivent être détectés simultanément, et si la sensibilité du système pour un photon est ρ, la sensi-bilité du système pour un événement utile ne sera plus que ρ2_{. La portion de l’espace des}

phases acquis par une gamma caméra dépend grandement du collimateur, elle sera étudiée avec celui-ci (section1.3.2).

Figure 1.9 – Vue en coupe de la tête de détection d’une caméra à scintillation type

La somme des signaux convertis par les PM fournit l’énergie des photons gamma émis par le patient. La localisation est donnée par le codage du barycentre sur les réponses des photomultiplicateurs.

Pour chaque photon interagissant avec le détecteur nous obtenons donc des coordon-nées de localisation et une valeur de l’énergie cédée ou perdue dans le cristal. Une analyse d’amplitude permet de ne retenir que les photons possédant l’énergie caractéristique du radio-élément injecté (par exemple 140 keV pour le Tc99m) et ayant perdu toute leur énergie dans le cristal.

La figure 1.10 illustre les principaux éléments de la caméra gamma, ainsi que les étapes parcourues par un photon gamma de la détection à la visualisation.

Figure 1.10 – Principe de la caméra d’Anger : (a) émission des rayons γ par le patient

(b) limitation aux seuls rayons colinéaires au collimateur

(c) conversion, par un cristal scintillateur, de l’énergie gamma en rayonnement vi-sible

(d) conversion de l’énergie lumineuse en énergie électrique et amplification par les photomultiplicateurs

Ces collimateurs destinés aux caméras à grand champ comportent de nombreux trous répartis sur toute la surface de détection. Les paramètres qui définissent le type de colli-mateur et conditionnent ses performances sont : le nombre de trous par unité de surface, l’épaisseur des septas, le diamètre et la profondeur des trous.

Il existe différents types de collimateur suivant l’orientation des trous. Le premier pro-totype de collimation pour la caméra d’Anger était de géométrie « pinhole » (sténopé), il ne possédait qu’un seul trou très fin. Le collimateur pinhole est aujourd’hui encore utilisé pour l’imagerie de petits organes comme la thyroïde où un agrandissement important peut être réalisé.

Pour des organes de plus grandes dimensions, le collimateur à trous parallèles est plus souvent utilisé. D’autres géométries sont également disponibles pour des applications spé-cifiques, à titre d’exemple, les collimateurs convergents, divergents, coniques ou encore en éventail.

Figure 1.11 – Différents types de collimateurs pour la caméra gamma : (a) collimateur à trous parallèles

(b) collimateur à trous convergents (c) collimateur à trous divergents (d) collimateur pinhole (sténopé).

Collimateur et espaces des phases

Le collimateur réduit l’espace des phases engendré par le flux d’informations sor-tant du patient.

Les informations que l’on cherche sont les densités de sources radio-actives situées dans le volume du patient schématisé par un cylindre long de 2m et de 80 cm de diamètre.

L’espace des phases à la sortie du patient dans un plan situé entre le détecteur et le pa-tient se caractérise par une distribution à 2 dimensions des photons émis qui s’étend donc grossièrement dans un rectangle de 200x80 cm, auquel s’ajoutent les deux dimensions an-gulaires (l’émission est en fait envoyée dans tout l’espace 4πst´eradians) . Le collimateur va couper cet espace des phases.

Pour un collimateur sténopé, seul un disque de 7 mm de diamètre sera retenu (consi-déré comme ponctuel) , avec un angle d’acceptance de 30˚ environ.

Pour les caméras dites grand champ, typiquement une surface de détecteurs de 60x40cm est utilisée, avec des écarts angulaires qui sont de l’ordre de 2,5˚.

Figure 1.12 – Géométrie du collimateur à trous parallèles.

Où :

– P est la profondeur du collimateur, – D est le diamètre du collimateur,

– L est la distance entre la source et le collimateur,

– B est l’épaisseur du détecteur et l’écart entre le collimateur et le détecteur, il sera négligé dans ce qui suit.

La résolution spatiale

La résolution spatiale de l’ensemble collimateur-détecteur est définie par deux fac-teurs : le détecteur et le collimateur.

– Influence du détecteur :

Le facteur de résolution rilié au détecteur ( aussi appelée résolution intrinsèque ) se définit

par l’écart minimal entre deux sources radioactives détectées par le cristal. Il correspond à la précision de la localisation du cristal, et de son électronique composée de préamplifi-cateurs, d’amplificateurs et d’analyseurs d’amplitude .

Il est mesuré par la largeur à mi-hauteur FWHM (Full Width at Half Maximum) de la fonction de dispersion linéique fournie par une source linéaire de largeur 1 mm. Il est de

– Influence du collimateur :

Le facteur de résolution lié au collimateur correspond à la résolution géométrique de l’ensemble collimateur-détecteur, il est donné par :

rc =

D(P + L + B)

P (1.2)

En considérant B négligeable par rapport à la distance (P + L), on obtient1.3. rc =

D(P + L)

P = α(P + L) (1.3)

– La résolution du système :

La résolution rsdu système, ou la résolution utile de l’ensemble collimateur-détecteur, est

obtenue en combinant les deux facteurs précédemment décrits : rs=

� (r2

i + r2c) (1.4)

La résolution du système à la surface (distance source collimateur L = 0 mm) d’un collimateur LEHR (low-energy-high-resolution) de profondeur P = 50mm, avec des trous de diamètre D = 2mm, séparés par des septas d’épaisseur t = 0, 2mm, utilisé avec un détecteur dont la résolution intrinsèque est de 3mm ; alors qu’elle est comprise entre 7 et 10 mm si la source est à une distance L = 100mm (la distance standard entre source/collimateur) ; elle se dégrade donc avec L.

Ce phénomène est particulièrement gênant pour l’observation des organes profonds, comme le pancréas, le foie, le tube digestif ou l’examen de patients obèses.

La sensibilité

La sensibilité ξ est définie par le rapport du nombre de photons γ incidents effective-ment détectés par l’ensemble du détecteur sur le nombre de photons gamma émis par la source radioactive.

ξ = N ombre de photons d´etect´es N ombre de photons ´emis =

� D P �2� D P + L �2 (1.5) La sensibilité des caméras gamma est de l’ordre de 10−4_{(pour chaque photon détecté,}

Figure 1.13 – Résultats d’acquisition d’une source ponctuelle

Comme le montre la figure 1.13, le système d’acquisition classique est à deux di-mensions. La première est l’axe U lié au détecteur associé à l’axe V perpendiculaire au détecteur. Ces deux axes constituent un repère mobile avec u étant l’abscisse le long de U. La deuxième dimension est l’angle φ de rotation de l’ensemble collimateur/détecteur.

En effet, à une direction de projection faisant un angle φ avec l’axe X, correspond une fonction g(u, φ) qui, en tout point de coordonnée u de la projection, est égale à la somme de toutes les valeurs prises par la fonction ρ(x, y) (densité plane de la source radio-active). La projection s’exprime comme suit :

g(u, φ) = � +∞

−∞

ρ(x, y)dv (1.6)

Une projection linéaire g consiste en un ensemble de valeurs ordonnées, chacune cor-respondant à un point de détection. Ces valeurs sont égales à la somme de la grandeur mesurée le long d’une ligne perpendiculaire à la ligne de détection et passant par le point

L’ensemble des projections pour des angles allant de 0 à π forme une fonction que l’on nomme transformée de Radon de la fonction objet ρ(x, y).

Radon[ρ(x, y)] = � _∞

−∞

� _∞

−∞

ρ(x, y)δ(x cos(φ) + y sin(φ)_{− u) dxdy} (1.7) Les projections obtenues par mesures expérimentales sont situées dans ce que l’on appelle l’espace de Radon [41].

Conclusion du chapitre

Ce chapitre a comparé les différents types d’imagerie X ou γ en termes de leur espace des phases. La TDM (CT en anglais) se caractérise par un problème facilité avec, au départ, une source grossièrement ponctuelle de rayonnement (moins de 1mm). Il faut souligner que l’évolution de ces appareils a été vers une augmentation du volume de l’espace des phases acquis qui a considérablement amélioré la vitesse d’acquisition des données. En médecine nucléaire (TEP ou TEMP) le point de départ est un volume des phases considérablement plus grand. L’efficacité de la TEP se comprend aisément quand on compare les volumes d’espace des phases sélectionnés à l’acquisition.

Introduction aux problèmes inverses

Sommaire

2.1 Qu’est-ce qu’un problème inverse ? . . . 28

2.2 Cas de la déconvolution . . . 30

2.2.1 Principe de la déconvolution . . . 30

2.2.2 La déconvolution multicanal . . . 31

2.3 Techniques de reconstruction d’images en tomographie d’émis-sion monophotonique . . . 33

2.3.1 La géométrie d’acquisition d’un système tomographique . . 33

2.3.2 Reconstruction d’une image tomographique par une rétro-projection simple . . . 33

2.3.3 Reconstruction d’une image tomographique par rétropro-jection filtrée . . . 35

2.3.4 Méthodes de reconstruction algébriques . . . 38

Généralités

La difficulté à résoudre les problèmes inverses vient du fait que le problème direct (e.g. le problème à inverser) s’exprime par un modèle comportant une intégrale.

S(t) = �

D

ρ(τ )R(t, τ ) dτ (2.1)

Si le système est invariant par translation nous aurons une équation dite de convolu-tion.

S(t) = �

D

ρ(τ )R(t_{− τ) dτ} (2.2)

L’opération inverse d’une intégrale étant une dérivation, on peut se demander où est la difficulté. Le noyau de l’intégrale R(t − τ) est souvent appelé réponse impulsionnelle du système. Si on envisage le cas d’une fonction constante, on comprend vite que bien que le système soit linéaire, la fonction de sortie S(t) sera constante quelles que soient les entrées, et que la perte d’information sera totale puisque l’on aura en sortie une valeur unique ; alors que l’entrée du problème direct (que l’on cherche) se présentait comme une fonction dans Rn_{. Dans tout ce qui suit, le problème sera digitalisé (ou discrétisé), et la}

transformation intégrale sera décrite par une matrice. Le problème direct sera modélisé par l’équation suivante :

S = Rρ + b (2.3)

Dans laquelle S est la mesure, ρ le signal que l’on recherche et b est un bruit qui dans notre cas sera toujours un bruit de Poisson. Si la matrice est carré et non singulière elle

Historique

Dès 1902 Hadamard [16], introduit la notion de problème "bien posé" et "mal posé". Un problème est dit "bien posé" lorsqu’il y a existence, unicité et stabilité des solutions. Si l’une de ces trois conditions n’est pas vérifiée, le problème sera dit "mal posé". Les premières méthodes de régularisation seront quadratiques (L2), c’est à dire que pour sa-tisfaire aux 2 premières conditions de Hadamard on cherchera une solution du type :

J(ρ) =�S − Rρ�2 _(2.4)

ˆ

ρ = ArgM in

ρ

J(ρ) (2.5)

Bien que cette approche puisse paraître bien adaptée pour les bruits gaussiens, en présence d’un système mal conditionné, elle donne des résultats très médiocres. Ce lien avec les données "L2” ne suffit pas pour obtenir des résultats satisfaisants, et devant les oscillations des solutions, des lissages sont apparus dans les années 50 avec le filtrage de Wiener, puis le filtre de Kalman dans les années 60.

Les travaux de Phillips Twomey et Tikhonov,[36],[44],[42], ont formalisé cette ré-gularisation, en faisant apparaitre à côté de l’attache aux données, des connaissances à priori sur la solution recherchée. Dans les années 70 le livre de Tikhonov [43] dans le cas continu et l’oeuvre d’Andrews et Hunt [1] dans le cas discret amènent à un problème d’optimisation à deux termes : le terme d’adéquation aux données en L2 et le terme de régularisation ou de pénalisation avec P la variance de ρ :

J(ρ) =_{�S − Rρ�}2+ λP (ρ) (2.6)

ˆ

ρ = ArgM in

ρ J(ρ) (2.7)

Il est clair que le seul critère des moindres carrés (L2) ne suffit plus aujourd’hui pour traiter un problème inverse. Il est fortement conseillé de rajouter des contraintes à la solu-tion du problème pour le régulariser. Ces contraintes sont généralement des connaissances a priori sur la solution ou sur le bruit. Parmi ces contraintes nous nous sommes surtout intéressés à la contrainte de positivité, qui joue un grand rôle en tomographie, comme l’a montré Mohamad Djafari [31]. De nombreux auteurs proposent des connaissances sur la loi de probabilité du signal recherché, comme un signal formé de zones homogènes séparées par des contours réguliers comme Geman [15]. Avant ce travail nous avons ob-tenu des résultats intéressants en augmentant le caractère surdéterminé du système comme nous le verrons dans le chapitre suivant.

la multiplication des transformées de Fourier de ces deux fonctions : ˜

S(ω) = ˜ρ(ω)× ˜R(ω) (2.9)

Mathématiquement la fonction inverse de la multiplication est la division, si on envi-sage de l’appliquer dans l’espace transformé, nous pouvons espérer réaliser une déconvo-lution :

˜

ρ(ω) = S(ω)˜ ˜

R(ω) (2.10)

Si en l’absence de bruit cette approche peut donner des résultats corrects, en présence de bruit un terme est ajouté à la solution qui devient :

˜ S ˜ R = ˜ρ + ˜b ˜ R (2.11)

Lorsque ˜R tend vers 0, _R˜b_˜ tend vers ∞. Il est alors impossible de retrouver la fonc-tion ρ, car le bruit la recouvre complètement. Les figures suivantes ont été obtenues par décomposition en valeurs singulières tronquées, c’est à dire en éliminant les rapports cor-respondant à un ˜Rtrop petit. Malgré cela le résultat est très mauvais.

(a) (b)

(c) (d)

Tableau 2.1 – Déconvolution d’un signal rectangulaire avec et sans bruit : (a) : signal rectangulaire sans bruit (identique au noyau)

(b) : déconvolution du signal rectangulaire sans bruit par un noyau rectangulaire. (c) : signal rectangulaire avec bruit simple (dirac)

(d) : déconvolution du signal rectangulaire avec bruit par un noyau rectangulaire

Ces mauvais résultats des inversions au sens de L2 sont facilement compréhensibles car dans le cas discret, cette norme impose le produit RT_{Rqui aura un nombre de}

condi-tionnement élevé au carré comparé à R. Pour cette raison nous nous sommes, dans ce travail de thèse, concentrés sur des solutions de type L1.

2.2.2 La déconvolution multicanal

Avant ce travail de thèse, les programmes CACAO utilisaient la transformée de Fourier selon un schéma de déconvolution multicanal, méthode introduite par Carlos Berenstein [6][4][5]. Pour cela, on remplace la formulation du problème direct2.8par un double sys-tème de convolution. Ceci peut se réaliser pratiquement pour notre problème en répétant l’expérience avec un deuxième collimateur comportant des trous de tailles différentes du premier : SA(t) = � ∞ −∞ ρ(τ )RA(t− τ) dτ = ρ(t) ⊗ RA(t) (2.12) SB(t) = � _∞ −∞ ρ(τ )RB(t− τ) dτ = ρ(t) ⊗ RB(t) (2.13)

Où les deux noyaux RA et RB sont de largeurs différentes avec un rapport de leurs

largeurs irrationnel. Notons tout de suite que l’objet reste le même, on a seulement répété l’expérience avec des trous de collimateurs différents.

Tableau 2.2 – Représentation des transformées de Fourier pour 2 noyaux rectangulaire et repré-sentation en logarithme

Comme on peut le remarquer sur la figure2.2, les minima du module de ces noyaux ne surviennent pas pour les mêmes fréquences. Or comme la solution de ces problèmes inverses est la même en l’absence de bruit :

˜ ρ = S˜A(ω) ˜ RA(t) ˜ ρ = S˜B(ω) ˜ RB(t) (2.14) ou avec bruit : ˜ ρ = S˜A(ω) ˜ RA(ω) + ˜bA(ω) ˜ RA(ω) ˜ ρ = S˜B(ω) ˜ RB(ω) + ˜bB(ω) ˜ RB(ω) (2.15) Pour éviter d’amplifier le bruit en le divisant par les valeurs faibles des noyaux, on peut donc soit prendre la solution correspondant au maximum des modules des 2 noyaux, soit utiliser l’algorithme suivant de Berenstein et Kickpatrick :

˜ ρ = S˜A(ω) ˜R † A(ω) + ˜SB(ω) ˜R†B(ω) ˜ RA(ω) ˜R†A(ω) + ˜RB(ω) ˜R†B(ω) (2.16) Cette méthode qui consiste à augmenter la surdétermination du système n’est généra-lement pas considérée comme une méthode de régularisation des problèmes inverses. Nos travaux antérieurs [21] ont cependant montré que c’était une méthode de régularisation

2.3 Techniques de reconstruction d’images en

tomogra-phie d’émission monophotonique

2.3.1 La géométrie d’acquisition d’un système tomographique

Le problème inverse de la reconstruction tomographique d’émission, a été étudié ma-thématiquement dans le cas continu par Radon en 1917 [37]. L’intégrale définissant le problème direct est :

g(u, φ) = � _∞

−∞

� _∞

−∞

ρ(x, y)δ(x cos(φ) + y sin(φ)_{− u) dxdy} (2.17) Le système d’axe Oxy représente le repère fixe dans le plan transaxial du patient, y est l’ordonnée de la source et x son abscisse.

g(u, φ)représente les données projetées ou acquises qui dépendent de l’angle de rotation de la caméra φ et de la variable u spatiale, mesurée perpendiculairement à la direction φ. ρ(x, y)est la densité de sources radio-actives que l’on cherche à déterminer.

δreprésente la fonction delta de Dirac, qui limite l’intégration sur les lignes parallèles à la direction φ (paramétrées par u).

2.3.2 Reconstruction d’une image tomographique par une

rétropro-jection simple

Le problème de la reconstruction tomographique consiste à passer de l’espace de Ra-don vers le domaine spatial. Il faut Ra-donc inverser la transformée de RaRa-don afin d’estimer l’objet ρ(x, y) à partir des projections g(u, φ). La méthode la plus simple pour recons-truire un objet à partir de ses projections est de projeter en sens inverse « rétroprojeter » la valeur de chaque projection g(u, φ) sur le plan de la reconstruction [41]. Cette méthode approximative n’est pas utilisée mais elle présente un intérêt pédagogique pour expliquer la méthode suivante : la rétroprojection filtrée.

Pour un angle donné, la valeur de g(u, φ) est assignée à tous les pixels se trouvant le long de la ligne d’intégration. Nous additionnons ensuite la totalité des contributions issues de toutes les projections.

La figure 2.1 schématise le processus de rétroprojection pour une image simple et une acquisition limitée à 4 angles.

Figure 2.1 – Le système d’axes et les notations de l’acquisition.

Image originale Image reconstruite

Figure 2.2 – Exemple de rétroprojection simple.

L’opération de rétroprojection peut être formalisée par l’équation suivante : ˆ ρ(x, y) = � π 0 g(u, φ)dφ (2.18) ˆ

ρ(x, y)constitue la fonction de distribution reconstruite (estimée) après rétroprojec-tion. Comme le montre la figure 2.2 ce type de reconstruction approchée présente de nombreux artefacts dits "en étoile”.

2.3.3 Reconstruction d’une image tomographique par

rétroprojec-tion filtrée

La rétroprojection filtrée est une méthode très utilisée en tomodensitométrie (CT). En effet, elle est rapide, simple et efficace pour un nombre important de données faiblement bruitées. Pour expliquer le principe de la rétroprojection filtrée, nous considérons la figure

2.2qui représente une coupe d’un organe qui contient une source radioactive. Le principe en est simple, les artefacts en étoile visibles sur cette figure sont éliminés par un filtre rampe dans l’espace de Fourier.

Le filtrage des données peut être effectué soit dans l’espace direct soit dans l’espace des fréquences après transformée de Fourier. A titre d’exemple nous décrivons ici l’appli-cation d’un filtre rampe dans l’espace de Fourier. L’algorithme suit les étapes suivantes (figure2.3) :

– pour un φ donné,

– Calculer la transformée de Fourier 1D des projections g(u, φ) selon l’axe u. On obtient le signal ˜g(f, φ).

– Multiplier par le filtre rampe |f|. On obtient le signal ˜g(f, φ)|f|.

– Calculer la transformée de fourier inverse 1D pour fournir le signal ˆg(u, φ)

– Répéter les étapes précédentes pour chaque angle d’acquisition φ. Au final, on cal-cule l’estimation ˆρ(x, y) =�₀πg(u, φ)dφ.ˆ

ˆ

ρ(x, y) = � Π

0

ˆ

g(u, φ)dφ avec g(u, φ) =ˆ � +∞

−∞

˜

Figure 2.3 – Les étapes de la rétroprojection filtrée.

Filtre rampe et filtre d’apodisation

Le principe de la rétroprojection filtrée nécessite de multiplier la transformée de Fou-rier des projections par la valeur absolue de f que nous appelons filtre rampe.

Ce filtre amplifie les composantes hautes fréquences (détails dans les images mais éga-lement le bruit) ce qui génère des oscillations importantes du signal reconstruit. Afin de réduire cette amplification du bruit, un filtre passe bas est appliqué en même temps que le filtre rampe. Un exemple d’un tel filtre (Hann) est décrit ci-après.

Filtre Hann

w(f ) = 0.5(1 + cos(Πf /fc)) si f < fc (2.20)

= 0 si f _{≥ f}c (2.21)

où fcest la fréquence de coupure.

La figure 2.4 illustre le filtre résultant : filtre rampe suivi d’une multiplication par une fenêtre d’apodisation de Hann.

Figure 2.4 – Filtre résultant : filtre rampe suivi d’un filtre de Hann.

Le paramètre important dans ce type de reconstruction est la fréquence de coupure : elle doit être adaptée au rapport signal sur bruit des acquisitions. Pour des images très bruitées on choisira une fréquence de coupure basse qui aura un effet lissant (régularisant) important.

rons, la matrice R est un système de convolution. Aussi dans ce chapitre, nous avons utilisé S et R pour représenter les projections et la matrice du système.

Les algorithmes qui suivent, bien que très généraux, ont été appliqués dans ce travail au système brut : ils seront présentés avec les notations suivantes de la relation2.22.

G = Aρ + b (2.22)

où :

– ρ est la densité réelle des sources radioactives, – G est l’ensemble des projections tomographiques.

– b représente le bruit, modélisable par une loi de Poisson dans nos problèmes. Si comme nous l’avons vu, une résolution directe est exclue et la minimisation L2 ne donne pas de bons résultats, les techniques itératives présentent un aspect "lissant” ou régularisant qui a été mis à profit. De plus l’introduction d’un critère de positivité de la solution a été aisément implémenté par des techniques itératives de corrections multipli-catives.

Algebraic Reconstruction Technic ART

Les méthodes ART réalisent fréquemment, de façon itérative une minimisation L2. Cette minimisation est tout à fait justifiée à fort nombre de coups, car dans le domaine la loi de Poisson tend vers une gaussienne d’écart type√N.

Un modèle plus adapté est présenté en section suivante.

JART(ρ) = �G − Aρ�2 (2.23)

Cette fonctionnelle d’erreur est quadratique et la solution s’écrit sous la forme sui-vante :

ˆ

ρ =Argmin

ρ

La minimisation de la fonction2.23dans le terme de reconstruction ART s’effectue à l’aide d’algorithmes itératifs de la forme :

ρk+1= ρk+ λkrk (2.25)

où λk_{est le paramètre de relaxation qui peut varier en fonction des itérations k, et r}k_est

le terme de correction apporté à chaque itération au volume λk_.

JART +(ρ) =�G − Aρ�2+�Kρ�2 (2.26)

avec Kρi,j,k = ρi,j,k si ρi,j,k > 0et 0 sinon.

En pratique, la contrainte de positivité peut être appliquée au cours de ces itérations en forçant les voxels négatifs à 0 . Cette contrainte de positivité s’est révélée très importante pour régulariser les reconstructions tomographiques, notamment en cas de signaux avec un faible rapport signal sur bruit.

2.3.5 Méthodes de reconstruction statistiques

La méthode de MLEM (Maximum Likelihood Expectation Maximization) est une méthode probabiliste initiée en 1977 par Dempster [10],

puis appliquée en 1982 par Shepp et Vardi [39] pour la reconstruction d’images en TEP. Elle a été reprise pour la tomographie de transmission en 1984 [25] et finalement utilisée en TEMP en 1985 [30] [18]. Actuellement cette technique est considérée comme l’un des algorithmes les plus performants en TEMP. Le principe de la méthode MLEM est de maximiser la fonction de vraisemblance en considérant un modèle de bruit de Pois-son. On considère que toutes les mesures pi sont des mesures indépendantes, et la loi de

poisson nous donne la probabilité P de mesurer Giconnaissant l’espérance G∗i.

P (G|G∗) = m � i=1 e−G∗i(G ∗ i)Gi Gi! (2.27)

Cette équation étant complexe, c’est son logarithme qui est optimisé, ce qui simplifie les calculs du gradient. En recherchant une correction multiplicative on arrive à la formule itérative suivante : ˆ ρ(new)_i = ˆρ(old)_i m � t=1 GtAi,t �n j=1ρ (old) j Aj,t (2.28) L’algorithme MLEM a des caractéristiques intéressantes telles la conservation de la positivité des pixels au cours des itérations si l’estimée initiale ne comporte que des va-leurs positives.

En 1994, la méthode OSEM (Ordered Subset Expectation Maximization)( Hudson Larkin) [17] a été développée pour accélérer la convergence de la méthode MLEM. Elle consiste à regrouper les projections en sous-ensembles avant de procéder à la reconstruc-tion par la méthode MLEM. Les auteurs se sont aperçus qu’en corrigeant successivement l’estimée ρk_{par des acquisitions correspondant à des angles perpendiculaires, on peut}

ac-célérer notablement la convergence de l’algorithme.

En utilisant OSEM à la place de MLEM, on accélère la reconstruction d’un facteur égal au nombre de sous-ensembles utilisés [17].

Il existe d’autres algorithmes permettant l’accélération de la méthode MLEM tels que la méthode DS-EM (Dual Matrix ordered subsets Expectation Maximization) [24]. Comme la méthode OSEM, la méthode DS-EM consiste à effectuer la reconstruction en considé-rant des sous ensembles de projections.

Les corrections spécifiques à la TEMP

La technique tomographique a de nombreuses applications, mais la plupart des algo-rithmes, dans les années 60 et suivantes, ont surtout cherché à résoudre le problème de la tomodensitométrie X. Bien que le problème de la TEMP ait été abordé très tôt, et à cause de la qualité faible des images imposées par le collimateur à trous fins, la tomographie d’émission a eu du mal à s’imposer. Encore aujourd’hui, si pour l’étude du coeur ou du cerveau elle est devenue la règle, pour tous les autres organes, la TEMP vient en com-plément. Quelques problèmes techniques font que le modèle mathématique de type radon

2.17n’est pas rigoureusement applicable. Parmi ces problèmes nous citerons : – Le bruit de comptage

– La variation de la réponse impulsionnelle avec la distance source-collimateur – L’atténuation des photons dans le sujet et dans la table d’examen

– La diffusion Compton

La liste n’est pas complète mais tous ces facteurs n’ont pas la même influence sur le résultat final. Certains peuvent être corrigés et ont fait l’objet de développements algorith-miques récents que sont :

– La variation de la réponse impulsionnelle avec la distance source-collimateur – L’atténuation des photons dans le sujet et dans la table d’examen

– La diffusion Compton

Pour voir l’effet de leur correction et leur importance, le travail de l’équipe d’I Buvat[8][14] est à étudier.

En effet, en ce qui concerne l’atténuation des photons il faut citer un travail théorique intéressant dû à Novikov, qui a développé une solution analytique pour la transformée de radon atténuée [34] et le travail récent publié dans la thèse de Elie Nasr [33].

Ce travail montre que l’on peut corriger cet effet d’atténuation en inversant la trans-formée de radon atténuée par une méthode de projection de type Kaczmarz. Actuellement avec l’avènement des machines hybrides, qui associent un détecteur de médecine nu-cléaire et un appareil TDM, on peut obtenir des cartes d’atténuation qui sont bien utiles pour corriger cet effet.

La correction de la diffusion Compton est plus délicate, et plusieurs méthodes ont été proposées, cette diffusion est généralement évaluée par l’acquisition dans une ou plusieurs autres fenêtres en énergie que les fenêtres principales.

La correction de la dégradation de la réponse avec la distance source-collimateur est celle qui nous intéresse le plus. En effet dans le système CACAO elle est directement prise en compte dans le modèle. Il faut dire que son effet est prépondérant avec des ouvertures larges. Pour corriger cet effet dans le cas classique, plusieurs méthodes ont été proposées. Une méthode analytique de filtrage dans l’espace de Fourier [26] où cette correction est traitée comme une perturbation linéaire.

De gros efforts ont été réalisés pour calculer les variations de ces réponses par des mé-thodes de type Monte Carlo. Dans l’article de I. Buvat [8], la correction apparait efficace pour améliorer la résolution spatiale des images, au prix d’une dégradation du rapport signal/bruit.

D’autres méthodes s’appliquent directement dans l’espace direct, en utilisant notam-ment des méthodes itératives. Des résultats intéressants ont été obtenus par correction 3D d’un algorithme OSEM [23].

minimisation L2 avec contraintes de positivité et se proposait de comparer ces résultats à une minimisation L1, mais le travail n’est pas terminé. Récemment des minimisations mixtes L1-L2 ont été proposées et appliquées à la reconstruction tomographique[46].

Le projet CACAO

Sommaire

3.1 Pourquoi le projet CACAO ? . . . 44

3.2 Modifications du système d’acquisition . . . 45

3.2.1 Le collimateur CACAO . . . 45

3.2.2 La séquence d’acquisition CACAO . . . 47

3.2.3 Exemple d’acquisition . . . 49

3.3 Étude théorique . . . 51

3.3.1 Définition du problème direct . . . 51

3.3.2 Étude de la réponse impulsionnelle . . . 52

3.4 Reconstruction par déconvolution multicanal . . . 54

3.4.1 Sommation - décalage . . . 54

3.4.2 Déconvolution - approximation diagonale dominante . . . . 56

3.4.3 Rotation-Sommation . . . 56

3.5 Les résultats . . . 57

Sensibilité :

Comme nous l’avons vu précédemment, la sensibilité ( ou rendement ) des gamma ca-méras est de l’ordre de 0.01% ce qui veut dire que sur 10000 photons émis, un seul sera détecté ; ce qui entraîne une perte considérable d’informations.

A titre pédagogique, les images suivantes montrent une simulation de bruit de Poisson, dans la formation de la même image de cerveau, avec différents nombres de photons collectés.

102_{photons 10}3_{photons 10}4 _photons

Résolution spatiale :

La résolution spatiale des systèmes actuels est d’environ 1.5cm, alors que les détecteurs ont une résolution intrinsèque de l’ordre de 3mm.

Le projet CACAO a donc pour but d’améliorer à la fois la résolution et la sensibilité des images scintigraphiques.

3.2 Modifications du système d’acquisition

3.2.1 Le collimateur CACAO

Si on appelle volume multiplex le volume que voit un élément détecteur, nous avons montré que le facteur important pour définir la qualité de l’image reconstruite est la pré-cision avec laquelle il était défini [20].

On rappelle la relation1.5qui définit la sensibilité du système :

ξ = N ombre de photons d´etect´es N ombre de photons ´emis =

� D P �2� D P + L �2

Le paramètre D intervient à la puissance 4 au numérateur. Le facteur D/P est évidem-ment le facteur principal qui intervient dans ce calcul, mais si on augévidem-mente plus vite D que P , on peut facilement augmenter à la fois la sensibilité et la précision des acquisitions en imagerie gamma.

Figure 3.2 –Amélioration de la résolution

En considérant

– dr la résolution intrinsèque des détecteurs – L la distance entre la source et le collimateur – P la profondeur du collimateur

Alors la résolution r du système est égale à r = dr.L/P . D’après la figure3.2, si P 2 > P 1, alors r2 < r16_.

On peut donc à la fois augmenter la précision statistique et la finesse spatiale des ac-quisitions avec des trous larges et longs.

3.2.2 La séquence d’acquisition CACAO

Afin d’obtenir un système suffisamment surdéterminé pour pouvoir être inversé, nous avons rajouté un mouvement de balayage linéaire au mouvement orbital classique en to-mographie3.8. On rejoint ici dans un modèle à 2 dimensions, le mouvement des premiers appareils TDM.

Pour illustrer l’effet de ce mouvement supplémentaire dans le protocole d’acquisition, considérons l’exemple simple d’un collimateur de 3 pixels effectuant une translation selon un axe X et passant par les positions A, B, C, D, et E comme le montre la figure3.3.

Figure 3.3 – exemple d’un collimateur à 3 pixels

Considérons maintenant une source proche de l’axe de translation. La figure3.4 repré-sente le passage du collimateur suivant les 5 positions A, B, C, D, E, et montre à chaque position quels pixels du collimateur détectent un photon.

Figure 3.4 – exemple d’un collimateur à 3 pixels et d’une source proche

On remarque donc qu’avec une source proche de l’axe de translation du collimateur, les pixels détecteurs ne collecteront des photons que lorsque ces détecteurs passeront exactement au dessus de la source.

Figure 3.5 – exemple d’un collimateur à 3 pixels et d’une source éloignée

Dans ce cas l’éclairement du détecteur sera plus progressif, il débutera par la gauche du détecteur pour se terminer par la droite.

En conclusion, une source proche donnera une réponse dont le support est rectangu-laire ; et une source éloignée donnera une réponse dont le support est un parallélogramme. On devine également que plus la source sera éloignée, plus la pente du parallélogramme sera forte comme le montre la figure3.7.

Figure 3.7 – influence de l’éloignement généralisé

Ainsi le projet CACAO assure un codage précis en fonction de l’éloignement de la source.

3.2.3 Exemple d’acquisition

Avec une acquisition CACAO, on combinera les deux mouvements de translation et de rotation. La figure3.8 montre dans une réduction du problème à deux dimensions un enchaînement sur huit angles par alternance, des rotations et des translations.

Figure 3.8 – protocole d’acquisition

Le tableau3.2 montre le résultat de la simulation d’une telle séquence d’acquisition sans bruit pour une ponctuelle7_.

source ponctuelle acquisition simulée

3.3 Étude théorique

3.3.1 Définition du problème direct

Le problème direct se définit (en 2D) et pour une caméra avec un trou par l’intégrale suivante :

Figure 3.9 – Schéma des notations utilisées dans l’écriture du problème direct.

G (χ, ν, φ) = � τ p � χ+ν−(Pw)(ν− D 2) χ+ν−(wP)(ν+ D 2) cosθ d2

ρ (ucosφ + wsinφ,_{−usinφ + wcosφ) dudw (3.1)}

Avec :

• G (χ, ν, φ) représente l’intensité du signal collecté

• χ mesure la position du détecteur dans son déplacement linéaire sur l’axe u • ν la position sur le détecteur par rapport au centre du trou (repère mobile) • ρ(u, w, φ) représente la distribution des sources radio-actives

• (u, w) le repère mobile.

• φ mesure l’inclinaison de la tête de la caméra dans le repère fixe (x, y)

• θ représente l’angle entre le rayon gamma et la perpendiculaire à la surface du détecteur.(direction w)

• d est la distance mesurée entre le détecteur et la source. • cosθ/d2 _{représente la loi d’illumination de Lambert.}

• p est la profondeur du collimateur, • p, τ sont les limites d’intégration selon w

• τ représente la limite la plus éloignée, elle est donnée par le diamètre de giration de la caméra.

Figure 3.10 – Schéma représentant la source et le collimateur Où :

S : source ponctuelle. P : profondeur du trou D : diamètre du trou

W : axe représentant distance entre la source et l’axe du collimateur W0 : distance réelle entre la source et l’axe du collimateur

Trois cas peuvent être séparés pour calculer cette réponse impulsionnelle ( figure3.10) en se plaçant dans l’approximation où le collimateur est parfaitement opaque aux rayons γ (on a bien sûr éliminé les cas extrêmes où le détecteur ne reçoit aucun photon ) :

• premier cas : le collimateur est partiellement éclairé par la gauche. • deuxième cas : le collimateur est totalement éclairé

Dans ces trois cas, la loi d’illumination de Lambert nous donne l’intensité détectée : I(χ, ν, W0) = W0 ((χ + ν)2_{+ W}2 0) 3 2 (3.2) En éliminant les cas où le collimateur n’est pas éclairé, la variable χ est comprise entre les bornes : D 2 − D.W0 P < χ < D.W0 P − D 2 (3.3) • Cas 1 : D 2 − D.W0 P < χ < −D 2 : −D 2 < ν < νmax (3.4) avec νmax = D.W0 2 + P.χ W0− P • Cas 2 : −D₂ < χ < D 2 : −D 2 < ν < D 2 (3.5) • Cas 3 : D₂ < χ < D.W0 P − D 2 : νmin < ν < D 2 (3.6) avec νmin = − D 2.W0 + P.χ W0− P

tg(ψ) = w

P − 1 (3.7)

Ce décalage introduit une variable w0 appelée "profondeur de reconstruction".

L’ori-gine de w est prise sur le détecteur, donc w > P dans le champ étudié. La fonction de deux variables g(χ, ν) est transformée en une fonction à trois dimensions G(u, ν2, w0)

grâce au changement de variable suivant :

� ν → ν2 = ν et � χ → u = χ + ν × (

w

p − 1) (3.8)

Cette inclinaison des données transforme les parallélogrammes en rectangles quand la source est reconstruite à son emplacement initial. Dans un deuxième temps, on intègre la fonction décalée sur tout le détecteur. La fonction sommée décalée S(u, w) est obtenue par l’intégration suivante :

S(u, w) =

� +D/2 −D/2

G(u, ν, w)dν (3.9)

Cette transformation présente l’avantage de retrouver une dépendance des réponses en fonction de l’abscisse réelle w. Le résultat de cette sommation-décalage est une réponse de forme rectangulaire lorsque la profondeur de la reconstruction correspond à l’empla-cement de la source ponctuelle initiale, et trapézoïdale pour les autres profondeurs.

On appelle le résultat obtenu à cette étape lesprojections sommées décalées (PSD). On montre qu’en l’absence de bruit, et après discrétisation, l’ensemble des projections sommées décalées pour un objet complexe, S(u, w) peut être relié aux réponses sommées

Sj(u) = ΣiRij(u)⊗ ρi(u) (3.10)

où i représente la position initiale de la source radioactive et j la profondeur recons-truite.

ρi(u)est la densité réelle de sources radioactives dans la couche i.

Sj(u)est la réponse complète sommée-décalée à la profondeur j.

Rij(u)est la réponse d’une source ponctuelle située à l’ordonnée i dans la couche j.

Les Rij sont appelés noyaux de déconvolution. Ils représentent les réponses

non-diagonales dans le cas où i est différent de j et non-diagonales dans le cas i = j. Ce dernier cas correspond aux fonctions rectangles décrites à l’étape précédente.

La figure suivante3.11 représente un exemple de 25 éléments de la matrice des ré-ponses impulsionnelles Rij après sommation-décalage pour cinq profondeurs de

recons-truction différentes. On remarque clairement sur la diagonale ( i = j) la forme rectangu-laire des réponses.

3.4.3 Rotation-Sommation

Après l’étape de déconvolution, les données se présentent sous forme de plusieurs plans correspondant chacun à l’objet initial, mais tournés suivant l’angle φ de l’acquisi-tion. La rotation-sommation consiste donc à réorienter ces différents plans et à les addi-tionner. On obtient ainsi une image reconstruite ressemblant à l’image initiale acquise.

La figure3.12montre le résultat de la reconstruction d’une image avec comme exemple une source ponctuelle en utilisant une déconvolution multicanal.

En résumé, le système CACAO-TROLL se compose donc : • d’un collimateur à trous larges et longs (TROLL)

• d’un mouvement d’acquisition tomographique orbital • d’un mouvement de balayage linéaire

• d’un programme de reconstruction adapté pour résoudre le problème inverse

3.5 Les résultats

Néanmoins, pour une acquisition avec de nombreux angles d’acquisition et avec une optimisation des différents paramètres de reconstruction, la déconvolution multicanal a donné des résultats très intéressants :

La figure3.14est le résultat de la reconstruction CACAO d’une coupe de cerveau avec comme paramètres : 1011_{photons émis, deux trous différents (de largeur 7 et 9 pixels, tous}

les deux profonds de 38 pixels), et avec 72 angles d’acquisition.

Ce résultat montre la validité de l’approche CACAO en comparaison avec le résultat équi-valent obtenu en reconstruction tomographique classique avec un collimateur à trous fins (figure3.13).

Figure 3.13 – Reconstruction classique d’une coupe de cerveau avec un collimateur à trous fins

Figure 3.14 – Reconstruction d’une coupe de cerveau avec un collimateur à trous longs et larges + décon-volution multicanal

Figure 3.16 – source ponctuelle à recons-truire

Figure 3.17 – reconstruction d’une source ponctuelle avec déconvolution multicanal

Paramètres de reconstruction • largeur de trou : 13 et 15 pixels • profondeur de trou : 38 pixels • nombre d’angles d’acquisition : 8 • incrément angulaire : 45˚

• rayon cache : 60 pixels • rayon de giration : 110 pixels

• largeur de champs de balayage : 256 pixels • profondeur de champs de balayage : 128 pixels

3.6 Problèmes inverses et CACAO

Avant de clore ce chapitre, nous essayons d’analyser le projet CACAO sous l’angle problème inverse.

Nous avons vu que le projet CACAO présente physiquement et matériellement beau-coup d’avantages sur le plan de la finesse et de la précision des acquisitions.

Nous avons également montré qu’il était possible de reconstruire des images, même à partir de données bruitées. Signalons également que l’association du projet CACAO avec des détecteurs semi-conducteurs promet une synergie intéressante [19].

Cependant dans le projet CACAO, le problème inverse de la tomographie d’émission classique, est remplacé par un autre problème qui s’appuie sur un collimateur et une sé-quence d’acquisition différente.

Le problème CACAO est-il plus difficile à inverser que le problème tomographique classique ?

Ne va t-on pas perdre tous les avantages précédemment cités, à cause d’un problème mathématiquement insoluble ou plus exactement trop difficile à régulariser ?

Dans ce qui suit, nous allons aborder quelques aspects de ce problème. Nous com-mencerons par faire une analogie avec la déconvolution. Puis, après avoir rappelé nos essais de régularisation, nous comparerons les matrices de la tomographie classique avec le problème CACAO.

Analogie, déconvolution

La méfiance de certains vis à vis du projet CACAO peut s’expliquer si on raisonne en terme de transformée de Fourier et de noyau gaussien. Dans ce cas l’approche de la sta-tistique orthodoxe comme le dit le Professeur Demoment [9] est vouée à l’échec.

En effet, la transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne dont la largeur est d’autant plus étroite que la gaussienne initiale est large. En d’autres termes, la transfor-mée d’un noyau (gaussien) large dans l’espace sera étroite dans le domaine fréquentiel. Il en résultera une importante perte d’information rapide et irrémédiable, pour des fré-quences d’autant plus basses que le noyau initial sera large.

Cependant dès le début le projet CACAO s’est attaché à utiliser des noyaux de convo-lution à fort contraste (rectangulaire) afin d’éviter l’écueil Gaussien. A titre d’exemple, le nombre de conditionnement pour un signal rectangle de largeur 3 et pour un nombre de points de 128 est de 1,02 , alors qu’un noyau gaussien de largeur à mi hauteur équivalente donnera un nombre de conditionnement de 1011_!

Ceci est dû au fait qu’une gaussienne ne s’annule jamais, contrairement au noyau rectan-gulaire où la troncature des valeurs singulières est plus aisée.

Figure 3.18 – nombre de conditionnement d’une matrice circulante en fonction de la largeur du noyau de convolution

Effectivement les plus fortes valeurs sont observées pour les noyaux les plus larges. Cependant Zou Mou-Yan et al [32] ont remarqué que les variations du nombre de condi-tionnement étaient très différentes, quand on compare la convolution par une matrice cir-culante (carrée, périodique selon les auteurs) et la convolution par une matrice Toeplitz (rectangulaire, apériodique).