CORRECTION DM n
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EXERCICE 1
:Suite d´
efinie implicitement
Soit nP N, on note pEnq l’´equation x3 nx 1 d’inconnue x P R.1. Pour n P N, on pose fn : xÞÑ x3 nx d´efinie sur R. Cette fonction est continue et d´erivable sur R.
Une ´etude de sa d´eriv´ee montre qu’elle y est strictement croissante. De plus, lim
xÑ8fnpxq 8 et limxÑ 8fnpxq 8
Finalement, fn est une bijection de R dans R. Le r´eel 1 a donc un unique ant´ec´edent par fn.
On le note xn et il v´erifie fnpxnq 1. 2. (a) fnp0q 0 et fn n1 1 n3 n.1n 1 n13 ¡ 1. Donc, fnp0q ¤ 1 ¤ fn 1n .
Par le TVI appliqu´e `a la fonction fn sur le segment r0,n1s, il existe un ant´ec´edent de 1 dans le
segmentr0;1ns. Or, 1 a un unique ant´ec´edent donc celui donn´e par le TVI est xn.
Donc, 0¤ xn¤ n1.
(b) lim
nÑ 8 1
n 0. Par le th´eor`eme d’encadrement, limnÑ 8xn 0.
3. On pose, pour tout nP N, fnpxq x3 nx.
(a) Pour tout nP N, fn 1pxnq x3n pn 1qxn xn3 nxn xn 1 xn car fnpxnq 1.
(b) D’apr`es le 2.(a), xn¡ 0 donc fn 1pxnq ¡ 1 or fn 1pxn 1q 1 c’est `a dire fn 1pxn 1q fn 1pxnq.
La fonction fn 1 ´etant strictement croissante, on en d´eduit que xn 1 xn et donc la suite pxnq
est d´ecroissante.
4. Pour tout nP N, on a fnpxnq 1 soit x3n nxn 1 soit nxn 1 x3n.
Comme lim nÑ 8xn 0, alors limnÑ 8x 3 n 0 et donc limnÑ 8nxn 1. On en d´eduit que xn 8 1 n. 5. On pose pour nP N, yn xn 1 n.
(a) Pour tout nP N, on a fnpxnq 1 soit x3n nxn 1 ou encore 1 nxn x3n.
On remarque que nyn nxn 1 donc nyn x3n soitnyn 8
1
n3 d’apr`es le 4. .
Finalement on obtient que yn 8 1 n4. (b) yn 8 1 n4 se reformule en yn 8 1 n4 o 1 n4 soit xn 1 n 8 1 n4 o 1 n4 . Finalement en ajoutant 1 n on obtient xn 8 1 n 1 n4 o 1 n4 .
CORRECTION DM n
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EXERCICE 2 :
Polynˆ
omes
Les questions ci-dessous sont ind´ependantes et relativement courtes normalement. 1. Soit nP N, la question se reformule :
il s’agit de montrer que 1 est racine de multiplicit´e m¥ 2 de An.
Or Anp1q n pn 1q 1 0 et A1n npn 1qXn pn 1qnXn1 donc A1np1q 0. On en d´eduit
que 1 est racine de multiplicit´e m¥ 2 de An ce qui ´equivaut `apX 1q2 divise An.
2. Soit P un polynˆome de RrXs de degr´e impair deg P 2n 1, notons a2n 1 son coefficient dominant.
On notera ´egalement P la fonction polynomiale associ´ee sur R.
Rappelons que la limite en8 d’une fonction polynomiale est la limite du terme de plus haut degr´e. Si a2n 1 ¡ 0 (de mˆeme si a2n 1 0), alors lim
xÑ8Ppxq 8 et limxÑ 8Ppxq 8 donc P pRq R
et la fonction P est continue sur R. Par cons´equent d’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, l’´equation Ppxq 0 admet un moins une solution sur R et ainsi P admet au moins une racine r´eelle. 3. Le polynˆome P 2019X8 πX6 eX4 ?2X2 ln 3 n’est pas irr´eductible dans R car il est de degr´e
4 et les seuls polynˆomes irr´eductibles de RrXs sont de degr´es 1 ou 2.
Bien entendu ce polynˆome n’a pas de racines r´eelles au vu de son expression strictement positive sur R mais il se factorise n´eanmoins comme produit de 4 polynˆomes de degr´es 2 (ayant des racines complexes conjugu´ees) au vu du cours sur les polynˆomes.
4. Dans RrXs, on a P X4 1 pX2 1qpX2 1q pX 1qpX 1qpX2 1q. Dans CrXs on a : P X4 1 pX 1qpX 1qpX iqpX iq.
5.
P pX2 X 1q2 1
rX2 X 1 isrX2 X 1 is
pX p1 iqqpX iqpX p1 iqqpX iq pX iqpX iqpX p1 iqqpX p1 iqq pX2 1qppX 1q2 1q
pX2 1qpX2 2X 2q
Le passage de la seconde `a la troisi`eme ligne a ´et´e obtenu en trouvant les racines du trinˆome X2X 1i
par la m´ethode classique du calcul du discriminant complexe (on trouve i et 1 i). Les racines de X2 X 1 i sont forc´ement les conjugu´ees des racines pr´ec´edentes (on trouve i et 1 i).
Pour factoriser dans RrXs si suffit de regrouper les racines complexes conjugu´ees deux `a deux. 6. P X8 X4 1 X8 2X4 1 X4 rpX4 1q2 X2srpX4 1q2 X2s pX4 1 X2qpX4 1 X2q pX4 2X2 1 X2qpX4 2X2 1 3X2q ppX2 1q2 X2qppX2 1q2 3X2q pX2 X 1qpX2 X 1qpX2?3X 1qpX2 ?3X 1q
CORRECTION DM n
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EXERCICE 3 :
Matrices (Extrait sujet CCINP PSI)Soit A 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 P M4pCq. On pose aussi P XpX 1q3.
1. Soit nP N, d´eterminons le reste R de la division euclidienne de Xn par P .
Par le principe de la division euclidienne, il existe un unique couplepQ, Rq de RrXs2 tel que : Xn P Q R avec degpRq ¤ 3 soit R aX3 bX2 cX d
Les racines de P sont X 0 et X 1 (de multiplicit´e 3) et permettent de trouver un syst`eme dont pa, b, c, dq sont solutions.
Pour X 0 : 0n Qp0qP p0q Rp0q soit 0 d.
Pour X 1 : 1n Qp1qP p1q Rp1q soit 1 a b c d. D´erivons l’expression Xn P Q R soit :
nXn1 P1Q P Q1 R1 puis npn 1qXn2 P2Q 2P1Q1 P Q2 R2 ´
Etant donn´e que 1 est racine triple de P on sait que Pp1q P1p1q P2p1q 0. Comme R1 3aX2 2bX c et R2 6aX 2b donc :
Pour X 1 : n 3a 2b c et npn 1q 6a 2b et on obtient le syst`eme ;
pSq ô $ & % a b c 1 3a 2b c n 6a 2b npn 1q ðñ L2ÐL23L1 L3ÐL36L1 $ & % a b c 1 b 2c n 3 4b 6c n2 n 6 On a donc : pSq ðñ L3ÐL34L2 $ & % a b c 1 b 2c n 3 2c n2 5n 6 ðñ $ & % a 1 b c b 3 n pn2 5n 6q c n25n 62 Finalement pSq ðñ $ ' & ' % a 1 pn2 4n 3q n25n 62 n23n 22 b n2 4n 3 c n25n 62 On obtient R n23n 22 X3 pn2 4n 3qX2 n25n 62 X.
Soit en factorisant R pn1qpn2q2 X3 pn 1qpn 3qX2 pn2qpn3q2 X, ce qui permet de voir que la formule est coh´erente pour n 1, 2 et 3.
2. On a A I4 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
puis apr`es calcul pA I4q3
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 . Finalement apr`es un calcul de produit matriciel ApA I4q3 04.
3. Pour tout nP N, on a Xn P Q R donc on peut ´ecrire An P pAq QpAq RpAq, or P pAq 04
donc An RpAq c’est `a dire :
An pn 1qpn 2q
2 A
3 pn 1qpn 3qA2 pn 2qpn 3q
2 A
CORRECTION DM n
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EXERCICE 3
(EXERCICE BONUS )1. Les racines de 1 X X2 sont j ei2π3 et j ei 2π
3 .
2. p1 X X2q|p1 X4qn Xn si, et seulement si, j et j sont racines de p1 X4qn Xn.
Remarquons que j est racine d’un polynˆome r´eel si, et seulement si, j l’est donc p1 X4qn Xn est divisible par 1 X X2 dans RrXs si, et seulement si, j est racine de p1 X4qn Xn soit p1 j4qn jn 0. Cherchons `a ´ecrire ce complexe sous la forme exponentielle :
p1 j4qn jn p1 ei8π3 qn ei2nπ3 p1 ei2π 3 qn ei 2nπ 3 einπ3 peiπ3 eiπ3qn ei2nπ3 einπ3 p2 cospπ 3qq n ei2nπ3 einπ3 ei2nπ3 einπ 3 p1 ei nπ 3 q
Ce nombre est nul si, et seulement si einπ3 1 ô nπ
3 0 r2πs ô n 0 r6s.
Finalementp1 X4qn Xn est divisible par 1 X X2 dans RrXs si, et seulement si, n 0 r6s.