"Contribution à l'Etude d'un Dispositif Analogique Automatique". Publié par le Bulletin d'Informations du Laboratoire Central des Industries Electriques, n°54, mars 1967, et par la Revue Générale de l'Electricité n°3, mars 1967.

T H E S E

présentée

pour obtenir le titr e de DOCTEUR 3ème CYCLE

SPECIALITE ELECTRO'rECIDJIQUE

Preni.ière thèse

Deuxième thèse

par

JeM-Loup BECQUEVORT

Contr ibution à l 'étude d'un disposit if analogique autom a-tique pour la duterminc-'l.tion de la d.:~stri bution de potentiel dlUls les éléments à effe t Hall .

Principes physiques de 111 mesure des longueurs et des d&pl.'.'1.cemcnts.

Sou tenue le 14 J1ùn 1967 deva.Dt la Commission d1_Exanen Présidcmt :

Exu.r:ri.nn teurs

Ph. Oll1ER R. BOPIIBFIIJ,E M. PELEGRIN G. QUICHAUD

--

...

A mes pl.ll'ents

RE_---=MER_=-=----C_-I_-=-EME_--=-=-=--c::N'l' _-S

C'est pour nous un devoir et une joj_e de remercier ici

Monsieur lo Professe ur Ph. OLNER, Direct eur du Laboratoire Central des Indust ries Electr iques, qui nous a pernis d'effectuer nos recherches dans son établi ssement et a consent i à présider notre jury .

Monsieur le Professeur R. BONNE?ILLE qui a diri gé nos travaux avec une const.?...~te atten tio n et nous a encouraeé dans tous nos efforts .

Monsieur le Professeur N. PELEGRIN qui n bien voulu manifeste r l'intorêt qu'il prenait à notre tâche en a~ceµtru,t de fair e partie de notre jury .

Monsie ur 11_{Ingénie ur Princi pal G. QUICHAUD qui fut l 'insti gateur}

de cette étude et nous a perm:i.s de ln mener à tern e grâce à ses directives éclair ées, ses conseils avj_sés et son souti en pemr:ment.

Monsieur B. CHJ~~TERE..\U pour sa précie use et effi cace collaboration technique.

Nos :unis et collègues de la Chaire d'Electrotechnique de la

Fc.culté des Sciences de Paris et du Laboratoire Central des Industries Electri ques qui nous ont maintes fois offe rt leur concours dévoué.

S O l".i. H ~';. I R E

--.:::~-

=

-=

-=

-=-

=

-INTRODUCTIOH

-1. Défi ni tion 0t princ ipes fond2.P.1entnu.x

1 • 1 • Po3i tion du ·)robl ème

1, 1 .1. Co,1ducti on et potentiel 1 • 1 • 2. Condi h ons .:imc li mi tes

1.2. Résolu tion de l 'équati on de Laplace au moyen d'un rosec.~ de rési stances

1 .3. RéGeo.u d.0 rési-::to.nces et c:C'fet H..:-.11

1 ,4. Ré·::i,,rti ü on du potentiel d:ms le réseau

1 • 1. 1 • Co.lcul mo. 'cMr.io. tiqu.e 1 .,~.2. Jtri.0.10~,'ie non o.utomc.tiq_ue 2. Principes d 1_{tmc .'">IJ.::'.l~ 'lje ~.utor:r'.tique}

2.1. Elé!'11~nts fond::1.mentn.ux

3.

2.2. Stabilit é et converge'Ce

2. 2. 1 • Comport e:-.ien-i; rl 1 _{:1npli fic::1 teurs d ,;1s un résec.u} clc rési sto.nces

2.2.2. Fonctio nnement du r{seau .'.llW.logique

2.3. Théorie cl.es ampli fic::i.teurs opér.:>:tionnels 2,3.1. Prin cipe et not~tions

2.3.2. Mont r-.ge dit "inverseur "

2.3.3. Mont-1.ge di t "non inve rseur"

Appareill o.g-e expori nm te.l

3. 1 • Tc.bleièU synopti q_uc du dislJOSiti f

3.2. Résec.u de r.;sist.'.Ulces

3.3. Affich,.1.~ de l 'nnn:le de Hall

3.4. Dispositif 2.utomat ique de mesures

Pages 2 3 5 8 9 9 12 12 13 13 18 26 26 27 33 38 38 39 39 42

4. Rfaul k ts expérir .en taux

4.1. Ccnporteci ent c1'

L

~

-,

n.r:iplific et<:ur déms un r4s eau de rési ;Jt.:mces

4.2. Réparti t:i.on ùo poto;.1ti el d.a...Yls un icJ.1,.--u1tillon

44 44

pt•.ro.llé lépi :,_:iédique :i. c'.eux 6le ct rodes 45 4.3. Répartition de poten ti el r~.:ma un "JTI'"'.teur

ractangul c'.ir e à q;,:,_trn Jlectrod es 46 4. 3.1 • Potentiel identique im=)OGé sur tr ois cHectr odes 46 4.3.2. Electro des de sortie on cov..:.~t-circ 1.:it 47 4. 4. Applic atio ns de la ;.1éthode analo,;iquc et validit é des

résult ats ex--iéri:.~:m t<'.'.ux 48

4.4.1. Co.lcul du courru:t tr -éver sc..nt un ôcha:.1tillon

par[tllé lépipédique 48

4.4.2. Al)J_)li cet ion à la vérif ic ation de lé: tensi on

de Hall ex11érimcnto.le 51

4./:-.3. Ap-plic c.tion à ln d.6termin...1.tion ,1_{.0 lo. rési cto.nce}

d'un échontillori en nrésence d' eL ·et Hall 52

4.4.4. Détermin2.tion des tensions le long des ::'ror,ti ères

non équi pote nti elles de l ' ,.foh.mt illon 54

-Introduction

L' étude de différents phénomènes électriques, magnétiq ues

acoustiques et hydrauliques, conduit à des équations

diffé-rentielles similaires, avec des conditions aux limites

ana-logues.

Nous nous proposons d'effectuer une représentation

ana-logique de ces divers milieux en considérant le cas parti-• culier d'un élément semiconducteur à haute mobilité

électro-nique, soumis à un champ d'induction magnétique uniforme,

donc pr ésentant un effet Hall important.

1 Définition et princip es fondamentawç_

1.1 - Position du problèm e

1.1.1

Nous nous proposons d'effectuer une représentation ana-logique plane de la. répartition de potentiel ou de la

répar-tition de courant dans un matériau semiconducteur en présence

d'effet Hall. Ces deux répartitions sont liées par les

rela-tions qui seront rappelées aux paragraphes suivants où seront

définies les conditions à remplir pour la mise en oeuvre d'une telle analogie.

- Conduction_et_potentiel

Un matériau semiconducteur à un seul type de porteurs

( électrons ou trous), de conduc ti vi té CJ , soumis à un champ électrique_xariable

E

-

-

et à t~n ch~p d'induction magnétique uniforme B, obéit à la loi d1_0hm

-··• _{E =--}1 ₍ -_{J + µJ} -- _{AB )}

a- ( 1)

où

J

est le vecteur densit é de courant et µ la mobilité des porteurs de charges dans le matéria u

/_2§7

/5fl.

Les vecteurs champ électrique et densité de courant font alors entre eux l'an gle de Hall eH défini par sa tangente

champ

(2)

V dont dérive le de Laplace

V=O

1.1 .2

B

®

- 2 -De même, J dérive d'un potentiel

4'

tel que

( 6~ = o - ··-- (4)

) avec J = - gr ad 41 i

'·

Les relati ons (1~ à

(4)

définissent parfaitement le phénomène de Hall à 1 intérieur du domaine que constitue le matériau , à condition de leur adjoindre des conditions

à satisfaire sur les limites du domaine.

- Conditions aux limites

Dans un domaine plan, les lignes de courant se déduisent

de la répartiti on du potentiel soit d'après la relation (1),

soit par construction graphique, puisqu'elles font en tout

point du matériau, l'an~le de Hall 8H avec les

équipoten-tielles . La relation

(3)

est satisfaite en tout point inté

-rieur au matériau et nous tiendrons compte de la

configu-ration géométrique du domaine en imposant à ses frontières deux conditions suivantes, apparaissant sur la figure 1: sur les zones équipotentielles (contacts électriques)

v = ct e ₍₅₎

soit V = O soit V = v

0

sur les zones non équipotentiell es

Figure 1 EN Composan te de E normale

n.

J

(

6) tg 9H = ET = Composante de E coli néa ir e à

7

-c-J E --e>

La relation

(6)

peut d'ailleurs

s'écrire en ne faisant intervenir

que le potentiel électrique:

(1

)

bV t bV

où bn e bt sont respectivement

les dérivées normales et

1.2

- 3 -En résumé, la représentation analogique de la répartition de potentiel due à l' effet Hall dans un matériau semiconduc-teur, sera possib le si sont satisfaites par le dispositif analogique, les conditions

I 1 1 ◄ bV - + , 'ôn ?>.V 0 V cte tg _8H

_bt

èJV ₌ 0 au sein du dispositif

sur les frontières symbolisant

les contacts (8)

sur les frontières non équi-potentielles

Résolution de l'équation de Laplace au moyen d'un réseau de rés istanc es

Le dispositif analogique utilisé pour la résolution du problème est un réseau de résistances identiques, pour lequel nous allons ét udier la possibilité de satisfaire aux condi-tions (8) .

L' équation de Lapl ace ne saurait être résolu e sous sa forme mathématique exacte, car elle fait intervenir des quantités infiniment petites, alors qu'un réseau de

résis-tances comport e un nombre de mailles et de noeuds néce ssair e -ment fini. Remplaçons l'équ at ion différentielle de Laplace par l'équati on correspondante di te "aux différences finie s

lf.i/

dans laqu elle les dérivées au noeud No sont exprimées par les différences des valeurs de V prises aux noeuds voisins N1, ..• N4 et au noeud No . Posons

h

=

N

₀

_{N1 =}

N

₀

N 2 -- •• •••• ( figure

2)

ON

4

(v

4)

h

h

h

îy

N

1

(v1)

NO

(vo~

N3

(v

3

)

h

X

_N2

(v2)

i> Figure

2

-

---

---

--il.V

-

4

-Un développement .en série de Taylor donne

=

h(èJV)

+

h2

,(

èJ2V)

+

h31

r,

èJ3V)

+

1h

(

èJ4V)

+ V1 - VO èJx 2. bx2 3. \èJx3 4. bx4 0 0 0 0 + .• • + •••

...

Si h est suffisamment petit (c'est-à -d ire le réseau suffisamment étendu ) les termes d'ordre supérieur ou égal à 4 sont négligeables; d'où

(o)

Soit Rj la résistance de la branche N. _{NO (fi gure 3)} J

r4

! i1

r

4

i3

Q ~ ~ 0 N1 _INO

N

3

li 1

2

l

N2

Figur e

3

Appliquons la première loi de Kirchoff au noeud

_No

4 _{4 vj - v}

0

I:

i. 0 =

r.

(10)

J R.

5

-ou

( 11 )

La comparaison des relations

(9)

et (11) montre que

1'.é9.uation de Laplace est satisfaite, à condition de choisir

0-Q/

§.y

ffifl

R = R = R =R

1 2 3 4 (•2)

Donc, en admettant la validité de l'approximation par

différences finies de

t

v

=

o

,

le réseau de résistances

résout automatiquement l'équation de Laplace

fjcjJ.

1.3 - Réseau de résistances et effet Hall

L'étude de l'échantillon plan de la f_!,gure 1 a déj à fait

l'objet de plusieurs publications

ffiiJ

§.9.1

/597

f5gJ.

Nous

avons donc cherché à déterminer sa représentation analogique,

ce qui permettrait lors de la mise au point de notre

dispo-sitif, une vérification aisée.

La triques circuit

et N

m,O

condition V =

c

te symbolisant les contacts

élec-a été réalisée sur notre réseau par la mise en

court-des noeuds extrêmes verticaux _NO,_O N_O,j •••• No,n .... N (Figure 4)

m,n

D'autre

la frontière

part la condition

(7)

s'écrit , au noeud N. ₀ de

supérieure du réseau: 1'

i, i, - + tg ₀ 1+1, 0 i-1,O = O

V. 1 - V. ( ₁) [ V. - V. ~

2 h H 2 h

où Ni (-_{1 )} est le noeud fictif qui existerait si _N0,₀ N

1 , , , , m, 0

n etait pas frontiere superieure du réseau.

Le point fictif

du potentiel V i, (- ₁)

N. (_₁₁ introduit, doit être affecté

~'ùi ést, d'après (7 bis) :

vi ,(-1 ) ~ vi, 1 + (vi+1,o- vi-1, 0) tg 8H (13)

Or, la relation

(9)

donne, au point N. ₀ :

l'

V . _₁ O + V . ₁ + V . ₁ O + V . , _ -r'l - 4 V . O = 0 l , l I l + , l ,·, '/ l ,

i

jl

Fictif N_). .

_-

1 cJ No,o N 1 ,O N2,0 Ni- 1,0 N. 0 Ni+1, 0 N _m,o ).

'

o' 0 0 0 0 0 N. 1 NO, 1 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V

₌

0 V

₌

_Vo - -···---•--;;;;.

•

0 0 0 0 0 I _{NO ,} I ~ ,J 0 0 0 0 0 0 i> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N. 1 1 '6"- 0 0

•

0 0 0 0 0 N N. 1 N. N. 1

o

,

n

l.-:- ,n 1,n 1+ , n 0 N. _1,n+ 1 Fictif Fi gure

4

..

...

7

-Remplaçant V :i,, (- ₁₎ par sa vale ur ( 13) dans l I éq

ua-tion

(1

4

),

il vien~:

vi- ₁,_{0 (1} - tg e_{H) + vi+ 1},₀₍1 + tg aH) -

4

vi ,o + 2 v_{i, 1} = o (15)

Le même raisonnement appliqué à la fr ontière inférieure

donnerait :

V i-1 ,n ( 1 + tg eH) + V. ₁ ( 1- tg 9H) - 4 V. + 2 V.

1 = O

1+ ,n 1,n

1,n-Les relations

(15)

et

(15

bis) sont valables pour toute

valeur de i :

Cependant, dans le cas où les bords verticaux ne sont

pas entièrement équipo tentiels (fig.

5),

on trouve

immédiate-ment

Di!

les relations :

0 NO, j-1 N • N O,j 1,j ,. 0, j+1

--

,·

N o,n-1 NOn 0 N 0 1 ,n N 1 . o m- 'J Figure 5 V =-1 ( V + V ) o,n 2 o,n-1 1,n N _m,J. _- 1 N o. m,J N _m,J. ₊ 1

4

vo . = 0 ,J 2 v_m-1 J.+ (1+tg eH)

vm

_{·+ 1 + (1} - tg eH) v . 1-

4

v . = o , ,J m,J- m,J

i".4

-

8

-Remarquons que, dans le cas particulier où

eH

=

45°,

la relation

(15)

s'é crit:

= 0 ou

vi

,1-

v

i,

O

= -

(v

i+1,

o

-

v

i,

o)

(16)

La figure 4 montre que cette relation équivaut, dans le calcul de la dérivée tangentielle de V au point O, à ne tenir compte que d'un accroissement fini dans un sens bien déterminé : le point N._₁

0 n'intervient plus . Cette

parti-cularité peut donner li€u à une généralisation .

Les relations

(15)

et

(15

bis) font intervenir en effet les dérivées tangentielles à "gauche" et à "droite" du point

N.

0 considéré. Ces relati ons sont les seules rigoureuses , c6mpte tenu de l'approximation des "différences finies". Mais en ne considérant que la dérivée tangentielle à droite (ou à gauche) les relations

(15)

et

(15

bis) se réduisent à :

Nous montrons ultérieurement au chapitre 4 que la consi

-dération de la relation

(17)

conduit à de bien meilleurs résultats que celle de la relation

(15)

,

surtout pour les angles de Hall importants.

Répartition du potentiel dans le réseau

Une fois les relations (8) défi nissant l'effet Hall, imposées au réseau, nous avions le choix entre trois méthodes permettant l' obtention de la répartition du potentiel.

La premi ère de ces méthodes fait appel au calcul mathé

-matique pur . La programmation de ce calcul peut d'ailleurs être réalis ée aux fins d'utilisation de machines à calculer.

Les deux dernières consistent à relever expérimentalement les potentie l s aux noeuds du réseau, mais , alors que la

deuxième nécessite un proc édé d'itération long et fastidieux ,

la troisième assure une préparation et une lecture automa-tiques et rapides .

Avant d'expliciter en détail cette dernière méthode ,

Point de départ du calc ul Point de dépar t du cal cul -- --➔---1 1 A 1 1 ci Figure 6 1

Méth ode conver gente .

Figure 7

y

y

Méthode non conver gente .

- 10

-X

l

-

_.... )

- 11

-Supposons que l 'on veuil l e imposer entre N t N

0 ,i . e 1 ,i .

le même potentiel qu 'ent re N et N _{. On li ra}

0 ,i ·- 1 0 ,i .

V0 .__1- v₀ . et on imposera la val eur lu e en N

0 . N1 • par

,i ,i ,i ,i

l'i nte rmédiair e d'une source de potent i el rég l abl e S1 (fi g. 8) NO,i - 2

1

L~-

-

~J\/\~

O,i+2 N1 . ,i Figure 8

Imposons maintenant entre N₀ i-+:

1 et N1 i+ 1 le même potentiel qu I entre _N0 . et N ' à 11

aide d'une autre

,i O,i+ 1

sourc e de tension S2 .

L'injecti on de courant s en N

0 .• et N1 i+j modifie la

valeur de v₀ . et v

1 . : il faut re1/a'.ire le' reglage de la

source S1 . ' l. . ' l.

L'adjonction d'une troisième source S3 opérant sur la

maille suivante, modifie à nouveau le réglage des deux pre-mière s. Lorsque le nombre de mailles - ou de sources - est

é]..evé, l..ê: "préparation" du dispositif s'avère longue

iJ.iJ

L1sl

§.51.

Notons qu'Hut cheon

[!+'fil

a automatisé non pas le système analogique lui-même, mais le procédé d'itération . Il s'en est

cependant tenu à des problèmes à une dimension.

Burckhardt

§.iJ

sembl e s'être limité à des tangentes de

Hall inf érieure s à deux et certains problème s d' insta bj.li té

sont apparu s conf ormément aux prévisions de Fischer

[!+iJ.

La méthode que nous proposons a l e mérite d'être rapi de

--- 12

-2 - Principes d'une analogie automatiq ue

-2.1 - Eléments fondamentaux

Afin de réaliser un dispos itif vraiment automatique,

il fallait un appareil capab l e de lir e, sans l es modi fier,

les potentiels existant en certains noeuds du réseau, et de

les imposer, à un facte ur multiplicatif près, en d'autres noeuds. Nous avons chois i comme élément de base

l'amplifi-cateur opérationnel, monté en "émetteur-follower" (gain en

tension égal à 1), par tic ulièrement sédu isant pour les

raisons sui vantes :

- Sa très haute impédance d'entr ée - plusieurs mégohms, voire plusieurs dizaines de mégohms - lui permet de ne pas perturber les potentiels aff ich és à l'entrée

- Son gain en boucle ouverte élevé (105 à 106) permet un

régl age aisé du gain en boucle fermée qui ne dépend alors plus que du circuit de contre-réaction

- Son impédance de sortie - de l'ordre du dixième d'ohm

et moins - lui permet d'avoir une caractéristique de charge extrêmeme nt rec tili gne

Sa taille réduite permet une intégration aisée sur circuits imprimés miniatures, ce qui conduit à un encombrement total réduit

- La multi~licité des combinaisons de r éac tion possible s

permet d imposer entre l es tensions d'entrée e . et la

tension de sortie s des relations de la forme J:

dans l aque l l e les coeff ici ents a {} __ peuvent avoir un

signe quelconque, d' où la réal isat ion simple des conditions ( 15) .

Cependant, l es premiers essais n'ayant pas donné toute satisfaction, nous avons été amenés à ét udier les conditions de travail de tels amplificateurs dans un résea u de résis

-tances et en particulier leur stabilité propre en montage

follower.

Ceci nous a progressivement amené à jeter le s bas _és

d'une étude plus compl ète sur l a stabilité du système tout

entier considéré comme "Ens embl e à Asservissements Sim

....

2.2

2.2.1

13

-Signalons que, pour évi te r le s problèmes de dér ive

parti-culi ère ment gênants , nous avons choisi d'aliment er le rése au

en courant alternatif de fréquence égal e à 1000 Hz, bien

distincte de celle du sec teur.

- Stabilité et convergen ce

- ComE~rtement_d'un _am2lificateur _dans_un_réseau

de resistances

2.2.1.1 - ImQédance aux bornes d'une résistance de fr onti èr e

Considérons le réseau à m col onnes et n lignes de la

figure

9

.

Nous supposons que les amenées de courant sont

effectuées sur toute la largeur 1 de l 'échant illon. Les électrodes correspondent aux noeuds N

0 .. et N ..

· 0 1 , J m, J

avec J

= , , ..

.

n.

Les conditions aux limite s

(17)

sont représent ées par

V. ₁ 1- V. O = tg eH(v . 0- V. ₁ 0) (19)

1 1 , 1 , l+ 1

pour le bord supérieur avec la restriction i =/= 0

et par

V. ₁ V. = tg eH (v . - V. ₁ )

1,n- 1,n 1,n 1- ,n (20)

avec la restri cti on i =t= m .

Ces conditions peuvent être satis faite s grâce au montage d'amplificateurs dont les masses et sorties sont reli ées

-aux noeuds (i, o) et (i,n) et dont les entrées sont connectées

aux curseurs de potentiomètres Pi montés en diagonale entre

le s noeuds (i,1) et (i+1 ,0) d'un e part et les noeuds (i ,n)

et (i +1,n - 1) J ' ;_mtr1..:: }'ü.rt .

La résistance des potentio mètres est tr ès grande devant

celle des éléments du résea u, af in de ne pas perturber son

fonctionnement.

Si chaque amplif icate ur est réglé de manière à avoir un

r

l ) y V

_o

_,n

i 1 0 0 V_J.. _{' j} ov1,j+1 ...:.. 0 0 0 0 0 0 . 1t i s i-Fi gure 9 i 0 0 0 0 0 0 m-. m- 1 0 V 1 . o m- ,J 0

- 1

4

-V m,j alim ent ation v. m,n-1 V "-+--.J'VV\{VV"-4 m,n 1 bis

-

15

-V. J. 0 V. J.+1

,o

V'v' A /\/\/VVVV'v'v 13

~

Fj_

/P.

I

,-!"4 J. '4~ ~.\

<

.,...-V ' i+1 , 1 Figure 10

- 16

-Mais, nous pouvons écri re, en désignant par k( 0 ) une fonction de l'angle de

Hall que nous allons déterminer : E. - V.

1

=

k( 8 ) x (V. 1 - V. )

1 1+ ,o 1, 1,0 (21)

La comparai son des relati ons (19) et (21) imwse

k( 0 ) = 1

tg 0 H

Remarquons que pour 0Ir-O, Ei est conforrdu avec vi ,

1, c'est-à-dire que les

potentiels d'une même "colonne" :,nrnll èle ::!.UX électrodes sont égaux (absence d'eff et

Hall) ; au contr3ire , pour 0 H

=

90°, E

1. est confondu avec V. 1+ 1 ,o , c'est -à-dire que

les potentiels d'une même "lign e" frontiè re sont égnux.

Supposons tout d'abord le rése au non alimenté et les amplific nteurs non branchés . Il est connu que, d8ns ces conditio ns, l 'impédance Z vue des points (i ,j)

0

et (i+1,j) par exempla, est approximati vement é~ale à R/2, où R représent e la valeur

d I _{une des rési.stances identiq ues rtui cov.posen t ce résea u.}

Alimentons ce dernier sous la tension V entre les équipot enti elle s V . et

o o,J

V ., les ampli fic ateurs étnnt toujours débranchés . La diffé rence de potentiel entre

m, J les noeuds N. et N. 1 s'écrit : 1,0 1+ ,o V. - V. 1 1,0 1+ ,o V

=

_Q_ m

In traduison s et ali mentons tous les amplific ateurs a, . l ' excep t ion u . d 1 . ème ,

Entre N. et N.

1 exist e alors 11iCTpédance Z

t

Z et la différence de potentiel

1,0 1+ ,o 0

E

t

V

/m

.

0 0

Brc.nchons enfin le ième amplif icateur de tension d'entrée (fi g, 10) :

E = E. - V

1 i+1,o

de ten sion do sortie

s = vi, o

-et délivrant un courant I défini par :

ZI = S - E

0

V₁₊ . 1 _,o

- 17

-Nais si Zs est l'impédance int erne "(lropre de l'nmpli ficateur, nous avons :

(

2

3

)

Pour une positio n donnée des curseurs , corresponde.nt à une cert cine valeur

de l'angle de Hall , E est une combinnison lin éaire de Set E

0

(

2

4)

L'éliminnt ion de

I

et

E

entre les relations

(22

)

,

(

2

3)

et

(

2

4

)

permet d1_obte

-o '

nir l' expression du gain K correspondant au ieme amplific ateur :

i · -1 1

zs

K -+- - -

-s

<X.

z

E

=

-

-

--

-

---+ (1 +

_

13

_

) 5L

a z --- ----·-·•· ···•·•-·••·•--··· .. ·· .. ···--· .. ·-

__

_

___, (25) La nou·,elle impéd:mce Z vue des noeuds N. et N.+ 1 après que leur ait r i,o 1 ,o

été connecté le ièr.1e amplificateur, se d0duit e.is ément de (23) et (25)

,···

·

··

·

... _ ... .. ! S K

!

z

= - - =

---

z

;_ ... E ... I. ... ~ ... -::: .. ~ ... _s _ __, j 1 Zs :

l

~

.

~

....

~~

···

·

··

(~;~

,

i~;

i

ou encore (26) (27)

Notons que a ,

f3

,

Z et Z sont 1!lesur.::i.bles ; le résulta t des mesures , fourni

r

au chapitre 4, montrera que a et ~ sont des fonction s réelles et décroissantes de

l 'angle de H..1.ll tell es que

a

+

p

< 1 quelque soit G H° Le ge.in en l:olcle fermée K

d'un a:1pli ficat eur en fonctionn er.1ent sur le résenu est donc, d'après (25) supéri eur à l'unit é, et l 'impédance Z est , d'après (Z7) négativ e : l'amplif icateur absorbe du

r

cournnt veno.nt du réseo.u au lie u d'en fournir . D'autre part , la mesure de Z fer a appa

-raître sa :proportion alit é à la valeur des résistances identi ques du réseau; on r>eut

écrir e

R

Z

=

2

'

(

8H)

où 1 ( 8 H) est une fonction décroiss/lllte de l'an'sle de Hall . Il s'ensuit q_ue Zr

décroît avec G H d' aub .nt plus vite q_ue R est plus faible : il existe pour toute valeur

des résis tnnces du réseau un angle li raite 8H _max au-delà d~quel le dispositif analo

-gi(lue ne peut iplus être utili sé en raison de la saturation des é.Ullplific nteurs chargés

--

18

-2.2.1. 2 - Stabilité d'un aw l ificate ur

2.2.2

Pour toute vale ur de la fréquence comprise entre O et

l 'inf ini , traçons dans le plan complexe le vecteur ayant

pour modul e I K 1 = 1

i I

et pour phase le déphasage de

s

par

rapport à E • L'ampli ficate ur est alors isolé du réseau et

cons idéré comme fonc ti on de transfert en boucle ouvert e. Le

réseau, lorsque l 'ampli ficate ur lu i sera connecté , fournira

l e "retour d'asservissement ".

Nous savons, en supposant sa F.T . lin éair e, ce qui es t

le cas des amplificate urs opérationne l s, que si sa courb e

de description n'entoure pas le point 1 (fig . 11) l'ampl ifi

-cate ur est stable . Si cette courb e entour e l e point 1

(fi g. 12) l 'amplif icateur est instable. Remarquons que l' on

a souvent coutume de parler du point (-1) plut ôt que du

point 1

/357.

Ceci vi ent du fait qu'e n servomécanismes on

considère que l a foncti on de transfert en boucle fermée est

-1 +F F (fig ure 13), ce qui conduit à étudier l es zéros de 1+F

ou encore la position de F par rapport à -1.

En électroniq ue, l e gain Fen boucle ouverte est prati

-quement toujours négatif. On pose donc :

F1 _{= -F}

>

₀

. S F'

ce qui conduit à E =

-1 _ F, et on étud i e l a positi on de F'

>

o par rapport au point 1

DY

.

Les courbe s de Nyquist peuvent êt re tracées expé ri men

-talement . On trouv era au chapitre consac ré aux résultats

les renseignements expérimentaux obten us pour les divers

montages qui seront envisagés au~ 2.3.

Nous ne pouvons cependant pas af firm er que la stabilité

de chaque amplificate ur pris i solément entraîne la stabilité

du dispositif analogiq ue tout entier . Ce dern i er doit êt re

considér é comme un asserv is sement à 2(m-1) entr ées et 2(m-1)

sortie s. Nous all ons entr eprendre l' étude de cet asservisse

-ment .

- ~~~~~!~~~~~~~E-~~-r~~~~~-analogique

L' étude généra l e du comportement du réseau total et en

particulier de sa stabilité et de la convergence des sol

u-ti ons , n'a, du moins à notre connaissance , jamais été complè

-tement résolue. Signa l ons cependant que plusieurs

public~--tions , concernant soit les méthodes mathématiques

145./

f

4

§/

L5U

,

soit leur s applications aux systèmes élec tri.~ es

f5y_

f5:iï,

soit les réseaux de résis tances eux-mêmes

f!f.-.u

/!+97

f5Q]

--.

Diagrammes de NYQUIST gradués en fr équence de la fonction de transf ert

K =

i

d'un amplific ateur .

'J

m cp 1 f1 f2 E F S=F [ ~ [= E - S

s

s

F é:. E = C +S F.( 1 + F) S&

s

_➔ F 1 + F Figure 11 Stabilité Figur e 12 Instabilité Figure 13

-- 20

-2.2.2.1 - Unicité de la solution

Nous nous proposons de démontrer dans ce paragraphe que

l 'effet Hall intéressant un élément plan rectangulaire, tra-duit sous forme de réseau de résist ances de même géométrie ,

conduit, dans certaines conditions , à une répartition de

potentiel définie de façon uniqu e. 'Cette répartition

repré-sente la solution de notre problème. Nous supposerons tout e

-fois que, ni les résistances , ni les amplificateurs n'intro-duisent de déphasages , c'est -à-dire que nous considèrerons

comme réels les potentie ls en tous points du réseau.

La proposition qui vient d'être énoncée n'est pas évi

-dente: en effet , si la solution de l' équation de Laplac e è:N ;;: o est unique, en revanche, cette équation jointe à des

conditions aux limites particulières à l'effe t Hall d'une part, et résolue sous forme d'équation aux diffé renc es finies

d'au tre part ~ n'implique pas forcément l'unicité. Cette der-nière n 'est d'ailleurs pas acquise dans tous les cas.

La formule de Green-Ostrogradski :

r

{)

/'l

n I' ,,,..,_,,

J )~

V l V d T =

J

J

V

~~

ds - ))) 1 gr ad V 12 d T

s î

(28)

est souvent utilisée pour prouver l'unicité de solutions

faisant intervenir des dérivées partielles. Nous nous inspi

-rons de sa démonstration , adaptée au cas des dif férences

finies. En eff et ,

f

JI.

V D.V dT T m-1 n

L

r.

V. (v .. - V. . 1) J. 'j J. 7 J J. ' J-i= 1 j=1

s 'écrit , pour le réseau plan m-1 n- 1

+

r.

[

V. (V .. - V.

1 .)

i, j J. ! J 1-.:- ' J

i =1 j=1 (29)

Cette expression n'est autre que (11) étendue à tous les

noeuds intérieurs du réseau. Elle est donc id entigu__g__ll]§lt

nulle .

Considérons le cas particulier où les électrodes sont

mises en court -cir cuit, ce qui impose la relation:

V

0 , J . = V m, J . = O ~-j = 0, 1, • • • n (-30)

Faisons alors apparaîtra dans l'expression (29) tr ois

m-1

21 -Le premier groupe G1, qui comprend les quantité s

( V. .- V. .

1-) 2 étendues à tous les noeuds posséd ant au moins

1,J

1,J-un "voisin" non situé sur une frontière, autrement dit, à tous le s noeuds "i nté rieur s", s'écrit :

m-1 n-1 ro- 1 n-1

G1 =

r

r

(V . . -V ..

i2

+

>-

I

(V. j- V. 1 .)2 (31)

1,J 1,J- _{1' 1- 'J}

i=1 j=2 i=2 j=1

Le deuxième groupe G2, qui comprend les termes faisant

intervenir les frontières supérieures et inférieures où sont

appliquées les conditions aux limites, est:

m-1 m -1

a

₂ =

L

v.

1 (v. 1- v. 0) +

L

v

.

1 (v. 1- v. )

1, 1, 1, 1,n- 1,n- 1,n

i=1 i=1

Le troisième groupe G3, qui comprend les termes correspondant aux électrodes, est:

n-1

L

V 1 _,J . ( V 1 .-_,J vo _,J . ) j=1 n- 1 +'_ _L v _{m- 1, J} .(v _ro- 1,·-v _{J m, J} .) j=1 (33)

Considérons le groupe G2; la condition

(19),

imposée

aux potentiels, s'écrit :

vi,1 = tg 8H (vi,o- vi+1, o) + vi, o

d1_où

m-1

L

v. _1, 1(v_1, . 1- v. _1, o) ₌

L

_Qg 8_{H(vi,o- vi+1,o) + vi ,~ tg} 8_{H(vi ,o- vi+ 1,o)}

i=1

i=1

m~ ~1

, 2 · 2 °\

= L tg 8H(vi ,O- vi+1 ,0) + L vi, O(vi, O- vi +1, 0) tg 9H

i=1 i=1

m-1

Expli citon s

L

v 1.,1o1 .. (v1, . 0- v1+ . 1 , 0)

i=1

m-1

L

vi,o(vi,o - vi+1, o) = v1,0Cv1,o - v2,o) i=1 + ••• + V (V - V ) m-2 ,0 m-2,0 m-1,0 Or, compte tenu V "' ~ m,0 + V (V . - V . ) m-1, 0 m -1f O m, 0

des relationa (30), nous avons

2

vo 0

1

- 22 -d'où:

m- 1 m- 1 m-1

L

V _1, . 1 (V. _1, 1- V. _1, 0) _L \- tg 2 eH ( _{vi ,}· _{O vi+1,o} _ · ) 2 _{+ ;_..} ) tg ₂ SR ( _{vi ,o} _ _{vi+ 1,o} ) ₍₃₄₎

i=1 i=1 i=O

Un calcu l anal ogue effectué pour la frontière inférieure

donne : m-1 m-1

L

(vi ,n-1- vi ,n ) V. _1,n- 1 =

,_

y

tg 2 SR vi ( n- vi-1 n )2

'

'

i= 1 i=1 m

r

tg _{SR ( )2} + _{vi71,n- vi, n} 2 i=1

Regroupons les termes composant G2 ,

m- 1 G2 ~-'

L

tg29H j(vi ,O- vi+1 ,0)2 + i= 1

(

V. - V.

)2J

1,n i-1 ,:r: m-1 ' tg8H

8

2 .

~

+ L - 2 (V. 0- V. 1 0) + (V. - V. 1 ) i=1 1, i+ , 1,n 1- ,n tg SR

G

2

J

+ - 2- (vo ,·o_ v1 ,-o) + (v _m,n - v _m-1,n )2 (35) m-1

G2 =

i1;1

tg

ai;

+

tg eH)

ITv

i

,

o

-

v

i+1,

0)2 +

(v

i,n-

v

i-1 ,

n

)2]

+

_t_g_2_0.::.::R(v~ ,o+ v!-1 ,.n)

ou encore :

m-1

t,

ITvi,

o

-

vi+1

,ol

2

+ (vi,n-

vi-1,nlj~

i

)

Quant au terme G3, il reste: j=1 Par hypothèse

23

-v₀ . et V .étant nuls quel que soit j

, J m, J

(v~ .

_,J +

v2

)

m-1,j

G1 et G3 sont des termes positifs, quel que soit

e~.

Si en

outre tg 8H est positif ou nul, G2 est positif ou nul. Une somme

de termes positifs ou nuls ne pouvant s'annuler qu'à la condition

que chacun des termes soit nul, nous en déduisons que tg ElH ;> o

entraîne V .. = o 'V-i et j

1, J

Donc, pour un potentiel nul imposé aux électrodes, le

poten-tiel est nul en chaque point, ce qui démontre bien l'unicit é de

la solution.

I

V =Q - --,>1'1 ~ s m + + - 24 -sm-1 + ~--V= 0 Figure 14 Cons idérons l e r ése au sans amplificateur et dont le s él ectrodes sont mises en court- ci rcuit (figure 14). Le long

des fr onti ères supérieure et inférieure existe une certaine

répartition de pote ntiel défini e, comme indiqué, par s₁ , s , .. s

1 ,s fm- 1 et imposée par des sources de tension quelc6nquer. Le~ 't'èiiisions e

1 , e2,. . e2

r

11 sur l es cur seurs

de potentiomètres vérif ient la r ela tiofima triciell e :

(E.) = (F) (S.)

1 1 (~8)

(F) est une matrice car rée d'ordre q = 2(m - 1) dont nous

désignerons l e terme généra l par f. _{i ,J} . • (F), "matrice réseau" du dispositif à électrodes en court-circuit, est calculable numériquement.

Si les ampli ficate urs imposent maintenant la répartiti on

( _S1) , nous avons, en désignant par g(p) la fonction de transfert d'un ampli fic ate ur :

(39)

Tous le s amplificateurs étant identiques et

indépen-dants,

(39)

s'é cr it: / g(p) i 1 0

\

\ 0 0 g(p) 0 0

\

I

e1 1 0 \ 1 e2 ! 1 ; i 1 !

\

1 / 1 i

g(p)j

_{e2 ( m-1 )}

-

25

-d'où, d'apr ès

(

1

-

g( p) • f 11 (38) : - g(p).f12 - -- - - g(p ).f1q 1 - g(p) .f 22 - --- - g(p ).f2q

(

=O (40)

\

- g(p ).fq1 - g(p) .f q2 1 - g(p) .fqq

Cette équation est l'équation caractéristique de

stabi-li té du système considéré comme asservissement à plusieurs variables

ffirjJ

3'!:fl.

Si

>..

₁, .\2_, ••• Àr sont les l'équation

(40)

se réauit à q 1 - g( p) À. = 0 J. valeurs propres de (F), équations indépendantes (41) La stabilité du dispositif résulte alors sim~lement de

la position dans le plan complexe de la courbe g(p) par

rapport au point

1/

À i .

Il y aura stabilité si la courbe g(p) n'entoure pas

le point

1/>...

lorsque l'on fait varier la fréquence de zéro

à l'infini. 1

Les amplificateurs sont réglés de manière à ce que

!

g(p ) j

<

1 quel que soit p = j w • Calculant numériquement

les valeurs pr opres ,\i de la matrice du réseau à électrodes en court-circuit, il suffit de tr ouver:

pour assurer:

(42) Nous aur ons alors la certitude que la stabilité de chaque amplificateur pris séparément assure la stabilité du dispositif analogique tout entier.

Si gnalons que les calculs effe ctués pour des réseaux

à nombre limité de noeuds ont mis en évidence des valeurs propres Ài , soit réelles, donc correspondant à des tensions

si en phase, soit complexes, donc correspondant à des ten-sions si déphasées, mais dont le module

!

À i

I

a toujours

ét é inférieur à un. Il n'est pas évident que ce dernier résultat reste valabl e dans le cas généra l et, seule une étu de mathémati que complète pourrait définir les conditions de stabilit é d'un système à un nombre quelconque de noeuds.

- 26

-Le problème de la convergence peut êtr e rés1..uaé de la ruanière

suivante : lor sque le nombre de noeuds du réseau tend vers l'i nfini, le potenti el Vp en un point P du réseau tend-i l vers une valeur fini e, solu

-tio n ri ~oureuse de l 'équation de Laplace LV = O.

Le thème d'une dénonstr ~ti on est alors celui-ci : si tous les

potenti els au sein du réseau sont bornés par le potenti el V

0 a-ppli qué

entr e les ,n ectrod es, il doit exist er au 1rioins un point d'accumulation

aff ecté du potentiel V vers lequel tendent les valeurs Vp obtenues lorsque

le nombre nm de noeuds tend vers l'infini (fig. 15).

nm - -'.> CO p 1 x ! V = 0 V = V k r-o 1 --t> l ==f ., Vp --1> V 1 L -···-···-_J Fig. 15 L'existence de plusieurs points

d1_{accumulo.tion serait en contr adiction avec}

l 'uni cité de 12. solution démontrée en 2.2.2.1.

Nous pouvons alor s conclure à la convergence

de la rnéthode.

2.3. Théorie de□ ampli fic2teurs opérationnels

Le comport eraent désormais connu d'amplificateurs dans un réseé!U de

résistan ces nous conduit à envisat;er deux montages essentiels ~rmet tant d'obte -nir, pour des ongles de Hall aussi élevés que possibl e, une grande impédance

d'entr ée, une faible impédance de sorti e et un gain en valeur absolue égal à

l 'unité .

2.3.1. Principe et_notations :

Un nmplificateur opérati onnel présentant deux entr ées et une sortie,

2.3.2 - 27 -+ + E + s E Figur e 16

Ces amplificateurs , s'ils sont transist orisés, fonctionnent en courant cüntinu ou alternatif. Les polarités indiquées

signifient que l e signal de sortie - pris par rapport à la

masse - est de signe opposé à celui du signal E- et de. même signe que celui de E+ •

Il est ainsi possible de distinguer deux méthodes de montage selon que l'on choi sit de conserver ou non à la sortie le signe de l'entrée

/5<iJ

.

- Montage _dit _"Inverseur"

Dans ce montage , E+ est à la masse , E- parvient à

l'entrée de l 'amplificateur par l'intermédiaire de l'impé -dance Z. • La chaîne de contre réaction d'impédance zf

est impo~ée entre l'entrée et la sortie (fig . 17)

A

z.

_in zf E >-- - ---<> s Figure 17 Soient alors

: le gain intrinsèque en boucle ouverte de l'amplifi

-cateur

l'impédance "de mode commun", existant en boucle

ouverte entr e E- et E+

l 'impédance de sortie en bouc le ouverte

-- 28

-I.

.

.

le courant d'entrée

1

If

.

.

le courant de contre réaction

IC

.

.

le courant de fuite entre E+ et

E-IO le courant parcourant zo

I le courant de charge.

Le schéma équivalent à l'amplificateur est alors celui

de la figure 18. I. 1

z.

₁ I --v'I/V'W-A

0

2.3 .2.1

-I

t

t

Iof

E E-= E

z.

0 _{~ ~n}

s

+ Fi gur e 18

Nous allons établir maintenant la relation la plus

géné-rale donnant le gai n

i

en boucle fermée de ce montage.

Cette relation tiendra compte d'un régime de fonctionne

-ment particulier imposé par la charge zL

Q.ain_en bo~cle_f~rmée du_mQntage_inv ~r~ eur

Le schéma de la figure 18 nous permet d'écrire

.

.

E - E = z. I.

₍₄₃₎

0 1 1 E - S 0 = zf If

(44)

EO = _zin 1_c

₍₄₅₎

I. 1 = If+ Ic

(46)

I = _{IO + If}

(47)

s

= _{ZL I}

(48)

-

s

= _{zo IO} + A E 0

(49)

2') .,.

-L'éliminati on des courants entre -ces équati ons donne

E

_{Eo ( z}

_i

_z

_i

₎

_z.

s

=

--

_s

-

_z

-

_r

+-

_z

_.

- + 1 -

z

;

in El iminons

E

O

à 11 aid e de

(

4

7

)

et

s

s

I = I - :c Cl 0 f z 1 E - S 0

(49

)

s 'écrit al ors : s z A - _ O_ .. z f

Portant dans (50 ), nous obtenons:

E

s

= -zo zo 1 +-

+-___

zL

_

_ z_

f_

(

1

+

z

i

+

_

z

_

i

)

z₀ Zf Z. A_ _ in

z

r

(

4

8

)

(

1

+

zo

+

z

o)

(

1

+

Z

r

+ ~ ) z₁ Zf Z. z. - - - ---- - - --=i _ ___:i=.:n:::._ ₊ 1 D'où : s

Z

r

-

=

-

-E Z. i Pl"'ISOnS 1 1 ( +

Z

r

+

Z

r

)

1 + -A 1

_z

_.

_z

_.

J.. in A'= A - ..!.... zo 1 A Z (50)

.

.

( 51) .

Si nous supposons pour simpli fi er , que l 'impédanc e de sortie en boucl e ouvert e z

0 peut être consid érée comme

null e - ell e ne dépasse pas quelque s ohms dans le s meilleur s

-amplif icateur s - nous obt enons

-

30

-Donc, le gain intri nsèque intervient seul , quelles que

soient les conditions de charge z

1 • Nous appellerons A'

le "gain réel en boucl e ouverte ". Nous avon s al ors ··-···-··--··-·- - ---. s zf

;-

=

-

zi 1

+

-

1

(1

+

~r

+l

)

A' Z. Z. 1 i n (52)

En fait, A' varie assez peu avec z₁ . Il est voisin

de A et est touj ours très grand, vratiquement ~50 000 et

pouvant atteindre couramment 105. L impédance de mode commun

Ziq_ est très él evée puisque cour~ment comprise entre 20

et ~00 MQ. El l e peut atteindre 10~ MQ dans le cas

d'ampli-ficateurs équipés de transistors à effet de champ. De ce fait ,

la quanti té

est très petite et peut presque toujours être négligé~ devant

1.

La relation (52) se simplifie alors en

□

(53)

Donc, pour A' suffisamment grand (en pratiq ue

A'~ 5 x 10

4 )

le gain

i

en boucle fermée ne dépend que des

impédances Zr et Z. &xtérieures à l' amplificateur (fig. 19).

Ce résultat permet 1une utilisation aisée de tels éléments.

Ainsi un gain de -1 sera simplement obtenu en choisissant

zf = zi

2.3.2.2 - Im.12.édanc~ d1

Qntrée

L'impédance d'entrée est un facteur essentiel dans notre

problème : elle détermine si l'amplificateur pertu rbe ou non

le réseau de résistances.

Par définition , nous pouvons écrire

(figu re 18)

ou _EO

ze = -I + z.

. 1

D'après

(44),

nous obtenons : 2_f 2_{in Eo}

zf Eo + zin (Eo - s)

31

-Supposons encore z

0 négligeable. Dans ces conditions

(49)

devient - S = A~ E 0 - S ce qui conduit à: zf z_in . 2 e = 2i + zf + z. (1 + A) in (54)

On aurait tenu compte de z₀ et de la charge en écri

-vant A' au lieu de A . La difference est tout à fait

négli-geable . De surcroît, A étant tr ès grand, le deuxième terme

de

(54)

est négligeable; d'où:

(55)

Ainsi, l'impédance d'entrée est pratiquement égale à la résistance extérieu re zi • Il n' est guère possible de choisir une valeur élevée pour Z. ; en effet cette impédan ce étant extérieure à l'amplificateu~, les câbles de liaison

entraînent rapidement un facteur de bruit rédhibitoire. De

plus, on obtient difficilement des résistances de haute s ta-bilité dans une gamme de valeurs élev ées. Cette faible impé-dance d'entrée es t l'inconvénient majeur de ce type de

montage.

2.3.2.3 - ImQédagc_g_ de_s.Q.rti_g_

La connaissance de Z8 est indispensable afin de déter-miner les conditions de travai l optimale s sur le réseau dont

les impédances sont d'autant plus faibles que l'angle de Hall

es t plus grand. L'impédanc e Z

8 es t définie par (fi g.

19) :

Z8

c

i

dans le cas où l'en trée est mise en court-circuit

f5i]

f5'ffl

;

or, d'apr ès la figure

18

z.

z

.

Z = -- i __ in_ X Z. + Z.

z

f

Figure 19

Nous pouvons alors écrire:

- EO = Zx If

r

I

f

~

-

32

-I p

î

s 1 Q (56) E0 -

s

=

z

f

If (57)

s

+

A

Eo

=

zo

(I

+If

)

~

zo I

(58)

en négligeant le couran t de cont re réaction If toujours

faible devant l e courant de char ge I .

soit ( 58) s 'écrit : I 1 (1 + A

Eso

)

S = z 0 E Eliminant ~ il vient : I 1 -- =- ( 1 s

zo

+

A

-

-

·½-;)

1 +-·-_z X A 1 +-_c.:.;; __

zf

1

+

-

z

-x (59)

) 1

2.3.3

Posons : atténuation de contre s'écrit

.

.

1 /3' = -

--z

f

1 +

-z

x

réaction. L'impédanc e ZO z = s 1 + A /3 1

-

33

-(60) de sortie ( 61 )

Nous voyons que l'effet de la contre réaction est de

divi ser l'impédanc e de sortie en boucle ouverte z₀ par le

facteur 1 + A /3 ' qui est grand puisque A est grand devant .

/3' • L'impédance de sortie z en boucle fermée est donc

faible. s

Le montage inverseur apparaît très intéressant par sa

commodité d'emploi. Son défaut essentiel est de présenter

une impédance d'entrée faible. C'est pourquoi nous avons

envisagé d'y remédier par l ' adoption du montage non inverseur

qui, lui, fournit une impédance d'entrée élevée, mais offre

un inçonvénient important: une stabilité précaire. Voyons

succinctement en quoi consiste ce second montage et quelles

sont ses caractéristiques.

- ~~!:~~8~-~!~-~!:2!:_!!:Y~rê~~r"

Dans ce montage, les signaux d'entrée attaquent l'entré e

E+ non inverseur . On applique une contre réaction négative

Z2 entr e E- et la sortie S • Le montage, qui est celui

de l a figure 20 possède ainsi le schéma équivalent de la

figure 21, si on négli ge l'impédance de sortie z₀ •

E

s

--

-

---

---

--

---

--

---

-I . i C> Z. in 2.3.3.1 - Qain_en bogcle_fl~rmé~ + Figure 21

D'après la figure

15,

nous avons:

+ -E 0 = E - E

s

=

A E 0

s

= - z 2 I2 + z1 I1 E _{= Eo + z1 I1} EO

=

z. I. in 1

r.

_i = _{I 1} + I2 (62) ( 63) (64) (65) ( 66) ( 67) 34

-Eliminant le s courants entre ces équations , nous obte-nons : E - E - S + E - E 0 . 0 +-- --- -z1 z2 (63) donne : z1 + z, s z1 z2 z1 + z2 1 = = E _{z1 + z2} 1 1 1 z1 z1 + z2 z1 1 1 1 Z1 z2

7:

+z+ ₂ ~A _in +-· A _z1 +-Z. ·-A in

-

)5

-Zin est très grand, ainsi que A.

z1 + z2 A Z. i n

est négligeabl e

devant 1 + ---- Il reste donc :

A z 1 S 1 1

E

=

lf

-1 -__,.1-₊

_Alf

(68) avec : (3 = ---- z1 z1 + z2 ( 69)

La plupart du temps, z et z₂ sont des résistances pur es

et (3 ~ 1 ( (3 = 1 quand z = 1 o). c-e type de montage donnera donc un gain supérieur à 2l'unité, quelle que soit la fré-quence, sauf si

z.

1.= o au quel cas :

(S \

=

1 = _{1 _} (.

\ E

)

z

=0 1 + J_

2 A

2.3.3.2 - Im12.édagc~ d'~ntrée

c'est par définition

z E e =y l. On obtient rapidement: / z1 + z2 1 + zin \ z1 z2 avec C#

T

z _e = --- - -- -- --- - (71 ) z1 + z2 z1 z2 (70)

Le numérateur se compose d'un facteur que multiplie

donc grand dev cuvons donc écrire:

ze

~

- z

in

t

+,.

z

1

z

1

z

J

(72)

Ou encore, en utilisant

(

69

)

:

L

.

~

.

:

.

.

..

:

...

~.~.:.1 ...

~

1 _+_A_ (3_)~, (73)

L'impédance d'entrée d'un tel montage est considérable.

En adoptant A= · 30 000, ce qui est une valeur faible et

Zin

=

20 MQ également faible, on obtient déjà: pour Ze

600 000 MQ. En pratique,de telles impédances ne sont pas

atteintes. En effet, nous avons négli gé dans ce calcul les

impédances de fuite entre les entrée s E+, E- et la masse,

fig. 22. Ces impédances

z

:

et

z

;

sont équivalentes à :

z+ z

m m

z+ + z

ID ID

- 36

-E

s

Figure 22

Zm est appelée "l'impédance réelle de mode commun". En

pra-tique, sa valeur se si tue entre 20 et 1 000 MQ, ce qui est

tout de même très important.

Nous la calcul ons comme au paragraphe précédent, ent rée en court- circuit , tension appliq uée à la sortie. Le schéma

équivalent est alors celui de la figur e 23.

I-I I

~ _~2 ~

!

IO

z1

_s

ou Posons: Nous avons

z

₁

z.

in

zx

= -=---=-z1 + zin alors E =

zx(

I

-

r

0)

s

=

z

0

I

0 - A E

s

=

z2

(I - I

o)

+ E

-De ces relati ons, on tire aisément

(z2

+

_Z

_x)

₍

1 _-

_z

0

~

:

x

zx)

s

-

_I

=

-z2

+

zx

1 ₊

z

₀ + A

Z

x

s

_z

₌

zo

- =

_z

0 + A

z

I

s 1 + X

z2

+

z

X Posant

.

.

z

'( = X

z2

+

z

X il vient:

.

.

':J1

-(75) (76) ( 77) (78) (79)

zo

Cz+U

est faible devant 1 et très faible devant A

Y

Nbus ~crir1ms donc

(80)

.._

__

__

... ,_,_ ... ,_, __ ,,,

________

,, ... ,_,,,,_,,_ ...

_

__

_, Ainsi, l'imp édance de sortie z est égale à l'impé-dance en boucle ouverte zo. divisée 8par la quanti té A

Y

qui est au minimum de l'orure de 30 000.

-

3

8

-Ce montage présente donc une faible impédance de sortie

et une très grande impédance d'entrée, un gain

....ê....

compris

E

entre 1-c et une limite positive, réglable uniquement par

circuit extérieur. Il serait idéal si les questions de

sta-bilité - voisinage du point 1 sur le diagramme de Nyquist

-ne nécessitaient pas une attention particulière. Comme il

était absolument nécessaire d'avoir un montage à grande

impé-dance d'entrée, étant donné les faibles courants mis en jeu

dans les potentiomètres, nous l'avons préféré au précédent,

en choisissant un gain aussi voisin de 1 que possible, mais

toujours inférieur à l' unité. Le schéma électro~i9,ue d'un tel amplificateur est donné sur la plancheIIID.57

/!iQJ

ffiiJ ffiy.

3 - Appareillage expérimental

-3.1

Lors de la construction du dispositif expérimental, nous

avons cherché d'une ~art à obtenir le maximum de clarté dans

la présentatio n de 1 appareillage, et d'autre part à

cons-truire un système de mesures entièrement automatique.

Les solutions techn ol ogiques ainsi retenues pour un

réseau à nombre de points limités, sont applicables à des

constructions de dimensions plus importantes. Analysons le

fonctionnement de l'ensemble.

Tableau synoptique du dispositif

La planche I résume les particularités du montage.

Un générateur de tension délivre un signal alternatif

à la fréquence de 1 kHz qui, amplifi é, alimente le réseau

dont les noeuds latéraux extrêmes sont mis en court-circuit .

• Un panneau de baké lite suppo rte les potentiomètres

d'affichage de l'an gl e de Hall .

• Deux batteries d'amplifi cate ur s opérationnels - une pour

chaque frontière du réseau - en liai son avec l'affichage

de 9H, imposent les conditions aux limite s prescrites.

Chaque amplificateur es t séparément alime nté par des sources

de tensi on continue et régulée .

La lecture de l a répartition des potentiels est

J9

-Ce dernier comprend:

- Un ensemble de deux relais rotatifs pas à pas couplés entre eux et aux noeuds du réseau où sont lus les potentiels. L'un des deux est commandé par un géné-rateur à impulsions rectangulaires dont la fréquence, vari able, entraîne une variation de la vitesse de rotation des relais, donc de la rapidité de mesure - Un voltmètre numérique à quatre -chiffres qui recueille

les informations électriques en provenance des noeuds

du réseau par l'intermédiaire des relais, les affiche

numériquement et les transmet à:

- un co~eur d'informations de système binaire, qui,

par l'intermédiaire d'un temporisateur de mesures

envoie à une machine à imprimer automatique les

résultats captés par le voltmètre numérique.

La planche II donne une vue plus détaillée de l'ensemble. Examinons en les divers aspects.

3.2

-

Réseau de résistances

Il est constitué de résistances d'une précision de 0,5

%

à couche de carbone largement calculées en puissance pour

éviter tout échauffem ent. Chacune d'elles a une valeur

nomi-nale de 1 000 Q, compr omis entre une faible impédance évitant les perturbati ons élec trique s et une valeur suffisante pour

éviter la saturation des amplificateurs opérationnels qui

sont des élément s de puiss ance limitée.

Chaque noeud est soudé à une prise femelle où peuvent être branch és des appareils de mesure. L'ensemble est monté sur panneau de plexigl ass transparent permettant une sur-veillance du disp ositif.

Le réseau actuel comprend

56

noeuds. Chaque noeud est relié par câble blindé aux

5

6

contact s d'un relais rotatif

comprenant

8

étage s à

7

contacts chacun.

3.3

-

Affichage de l'angkde H~~l

L'affich age de l'angle de Hall es t réalisé au moyen de

potenti omètres de pr écision permettant de connaître au 1/1000 près, la val eur de la résistance affichée.

Le branchement de ces potentiomètres est effectué en

liaison avec les amplificateurs opérationnels, soit comme

il a été dit précédemment, soit comme l'indique la figure 24.

Résist ances

Î

1 kQ 1/ /,,1----0-Figur e 24 Fronti ère supér ieure

Dans ce dernier cas , il s ont les mêmes valeurs nominales que

le s résistanc es R et sont insérés à leur place dans les

maill es fr ontières . Leurs curseurs sont réunis deux par deux

à un commutateur K lui-même relié à l'entrée d'un

ampli-ficateur opérationnel. Le fonctionnement de l'ensemble est alors le suivant.

1er cas : K branché sur f

L'amplifi cateur , de gain+ 1, impose

vf - vo = + (ve - vo)

- -lf-1

-(81)

Nous avons d'autre part, À étant une constante:

vB - vo = \( vf - vo)

d'où, compte tenu de (81) :

l

vB - vo =+>..( ve - vo) I

Cette relation est identique à (17), si l'on pose: À = tg eH 1 ( 82) Quand f se déplace de O en B, >.. varie de oo à 1. 2e cas : K branché sur f'

L'amplificateur assure:

vr

,

-

v

= +

(v

-

v)

Ü - e 0 (83)

D'autre part, p étant une nouvelle constante _vf l - vo = vf , - VB + VB -

vo

= P (ve - vo) +

vB

-

v

o

d'où, compte tenu de (83)

vB

-

_v0

= (1 - p) (ve - v

0)

Cette relation es t encore identique à (17) en posant

f 1 - p

=

·

-·+

tg 8H 1 ( 84 )

à 1.

Lorsqu e f 1

se dépl ace de Ben E, p varie de z./r- ô

Ainsi, l'explo ra tion du potentiomètre "verti cal" assure

une variation de

eH

entre

90°

et

45°

et l'expl oration du potentiomètre "horizon tal", une variation de 9H entre

45°

et

0°

.

Un change ment de pote nti omèt re par commutation aut o