Quelques remarques sur le $u$-invariant

B. K

AHN

Quelques remarques sur le u-invariant

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

2, n

o

_{1 (1990),}

p. 155-161

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_155_0>

© Université Bordeaux 1, 1990, tous droits réservés.

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Quelques

remarques sur

le u-invariant.

par B. KAHN

(Toutes

les notations concernant les formes

_quadratiques

sont

_empruntées

au livre de T.Y. Lam

[Lam]).

Soit F un _corps commutatif de

_{caractéristique #}

2. Le u-invariant de F est le

_{plus petit}

entier tel _que toute forme

_quadratique

sur F de

rang &#x3E;

soit

_isotrope,

ou -f-oo si un tel entier n’existe _pas. Pour _que

u(F)

+cxJ,

il faut _que F ne soit _pas formellement réel. Pour certains

corps

F,

on connaît la valeur de

_{u(F) :}

THEOREME 1.

_a)

Si F est de _type fini sur un _corps

_{a/gcbnquement}

clos

C,

u(F) =

2deg

tr(F/C)

.

b)

Si F est de

_type

fini sur un _corps fini

Fp, u(F)

=

2deg

tr(F/Fp) + 1.

c)

Si F est de

type

fini et de

_degré

de transcendance 1 sur un _corps ordonné

_maximal,

e t si F n ’es t _pas formellement form ellem en t

_réel,

_{u(F) =}

2.

d)

Si F est un _corps de nombres totalement

_imagina.ire,

= 4.

DÉMONSTRATION :

_{a) L’inégalité u(F)}

2d,

où d =

tr(FjC),

résulte

du théorème de Tsen-

_Lang

_qui

_implique

que le corps F est

_Cd

_([G],

th.

3.6).

L’inégalité

opposée

résulte du lemme suivant :

LEMME 1. Soit A un anneau de vacation

discrète,

de _corps des

fra.c-tions F et de _corps ré.siduel k

_(supposé

de

_{caractéristique f; 2).}

Alors

u(F) &#x3E; 2u(k).

2)

Soit

_F/k

une extensions de

_type

fini,

de

degré

de tra.nscenda.nce d.

Alors

_{u(F) &#x3E;}

_pour une extension finie 1 de k convena.ble.

DÉMONSTRATION

DE

_11:

Soit

_U

une forme

quadratique

_anisotrope

sur k. Relevons

_g

coefficient _par coefficient en une forme

_quadratique

su r A. Si

x est une uniformisante de

_A,

on vérifie facilement _pa.r un raisonnement de descente infinie _que la forme _q 1 _zrq est

_anisotrope

sur F.

DÉMONSTRATION

DE

_2):

Par

_récurrence,

on se ramène au cas d = 1. On

écrit F comme extension finie de

k(T)

(fractions rationnelles) ;

la valuation

valuation discrète de

_F,

dont le _corps résiduel est une extension finie de k. On

_peut

alors

_appliquer

_1).

Remarque

1. Cette démonstration montre _que, dans

_2),

on

_peut

_prendre

1 = 1~ si l’extension est transcendante _pure.

L’énoncé

_b)

du théorème

₁₎

se démontre comme

a),

en utilisant le

théo-rème de

_Chevalley

_qui

dit

qu’un

corps fini

est

_ch.3).

_Enfin,

_c)

et

_d)

sont bien connus

([Lam],

ch.

XI, exemples

4.2(2)

et

_(5)).

Remarque

2. Tous les énoncés du théorème 1

_peuvent

se résumer _par

la formule

_{u(F) =}

_{où cd(F)}

est la dimension

_{cohomologique}

de

F,

c’est-à-dire de son _groupe de Galois

absolu,

cf

[CG],

_p. 11-13 _prop.

_11,

_p.

II-10

_exemple

_3.3,

_p. S-1

_{premier supplément,}

_p. 11-16 _{prop. 13.}

En

_général,

la détermination de

_u(F)

est un

_problème

difficile. On

_ignore

encore à l’heure actuelle

_quel

est l’ensemble des valeurs

_prises

par

u(F).

On

sait _{que :} ’

u(F) q {3,

5,

7} ([Lam],

ch.

_XI,

prop.

4.8) ;

si =

0,

et

u(F)

_&#x3E;

1,

u(F)

est

_pair

_(ibid.,

lemme

_4.9).

On

_peut

_conjecturer

_{que, si} F est de

_type

fini

_{sur Q}

ou sur un _corps

ordonné maximal et n’est _pas formellement

_réel,

on a encore

u(F)

=

En

_{1953, Kaplansky}

a

conjecturé

_que

u(F)

était

toujours

une

puissance

de

2

_([K]).

_Merkurjev

vient de démontrer _que cette

_conjectzlre

est

_fa.usse,

en

prouvant

que

u(F)

peut

prendre

toute valeur

_paire

_([M],

cf a.ussi

_[T2]).

Plus

précisément,

pour tout m &#x3E;

1,

Merkurjev

montre

_qu’il

existe un _corps F

tel _que

u(F)

=

_{2m ;}

cd(F)

_{2 ;}

_en

particulier

= 0.

Je me _propose ici d’estimer

r(F)

en termes du _groupe de Drauer de

_{F ;}

l’énoncé

_précis

est essentiellement une reformulation de lemmes utilisés _par

Merkurjev,

mais

_j’espère

_qu’il

_{présentera malgré}

tout un intérêt. Notons

Br(F)

le groupe de Brauer de

F,

et

_Quad(F)

le _sous-groupe de

_Br(F)

engendré

par les classes

d’algèbres

de

qua.ternions.1

A. F,

on associe un

invariant

_{a ( F ) :}

À(F)

= _tout élément de

Quad(F)

est somme de A classes

d’algè-bres de

_{quaternions}.}

THÉORÈME

2.

_a)

Pouj tout _corps

_{F, u(.~) &#x3E; ~(a(F’)}

+

_1).

1 Un théorème de _{Merkuriev implique} que Q’ltad(F) est le sous-groupe de 2-torsion de _Br(F), mais on n’aura _pas besoin de ce résultat.

Pour démontrer le théorème

_2,

on va

_rappeler

_quelques

résultats sur

l’algèbre

de Clifford d’une forme

_quadratique,

démontrés et utilisés par

Merkurjev

dans

_[M].

Pour toute forme

_quadratique

_q, on note

_C((q)

_l’algèbre

de Clifford de _q

_([Lam],

ch.

_V).

_{Si q}

est de _rang

_pair

_2m,

_C(q)

est une

F-algèbre

centrale

_simple

de

_degré

_{2m ; si q}

_{et q’}

sont _{de rang}

_pair,

on a la formule

_(loc.

_cit.,

cor.

2.7) :

où

_d±q

est le "discriminant à

_signe"

de _q, donné _{par d±q} = _q

([Lam], p. 38).

Comme

_{C (}

_{a, b}

&#x3E;) = ~

F

b

([Lam],

ch.

_{V, exemple}

1.5

_(3)),

on voit _que si q est de _rang

_2m,

_C(q)

est

_produit

tensoriel de m

algèbres

de

_quaternions.

De

_plus,

on a la

_proposition

suivante :

PROPOSITION 1. lemme

_{1). I~}

_{Si q}

E

I2F

est de _rang

_2m,

C(q) ^-_’

M2(E(q)),

où

_E(q)

est

_produit

tensoriel de m - 1

_algèbres

de

quaternions.

2)

Soit E un

produit

tensoriel de 111 - de

qtia,teriiioils.

Alors il existe _{q E}

_I’F,

de _rang

_2rn,

telle _que

_{E(q) ^-_’}

E.

Soit m =

À( F)

₊ 1

(supposé fini).

Pa.r définition de _m, il existe des

algèbres

de

_quaternions

_{~1, ~ ~ ~ ,} sur F telles _que

[rl]

_{+ ... +} E

Quad(F)

ne soit pas somme de m - 2 classes

d’algèbres

de

quaternions.

D’après

la _prop.

_1,

_1),

il existe une forme

quadratique

e de _rang

2m,

telle _que

_{E(q) ~}

_{@ ... 0} Kn-1. Si q était

isotrope,

on

_pourrait

écrire

_q’

1.

_H,

où

_q’

e est de _{ra,ng 2m -}

_{2 ;}

alors on aurait

E(q) ^-_’

M2(E(~),

où

_E(q’)

est

_produit

tensoriel de m - 2

_algèbres

de

quaternions.

Cela montre _{que q} est

_a~nisotrope,

donc que

u( F)

&#x3E; 2m. Si

À(F)

est

_infini,

le même raisonnement montre _{que +00.}

Supposons

maintenant = 0. Cela entraîne _que deux formes

quadra-tiques

sur F sont

_{isoniétriques}

si et seulement si elles ont même _{rang, même}

discriminant à

_signe

et même invariant de Clifford

_([EL],

th.

_{3.10 ;}

_{si cl}

est

de rang

pair,

son invanant de Clifford est _par définition la classe de

_C(q)

dans

_Br(F)).

On en déduit :

LEMME 2. Soit _{q E} IF telle _que

_{[C(q)] =}

0 da,ns

_Br(F).

Alors

q ÉÉ

-l,a&#x3E;1t1~-~,

Posons encore m =

a(F)

₊ 1

(supposé fini),

_et

soit q

une forme

proposition

1,

il

_{existe Q}

E

I2F,

de _rang

_2m,

telle _que

_{E(Q) ~}

E.

_D’après

la formule

_(1),

on a :

D’après

le lemme

_1,

on _{a q} i

_-Q

_{~ 20131,~}

&#x3E;±

_IH,

où a =

d±,

et t E N.

Comme q

est _{de rang} 2m +

_2,

on a t = 2m. On

_peut

donc écrire :

Par le théorème de

_{simplification}

de

_Witt,

cela

_implique

_q

_{~ 20131,2}

&#x3E;1

_Q.

Mais

_Q

E

12F

est

_universelle,

c’est-à-dire

_représente

tout élément de F*

(cf

[Lam],

ch.

_XI,

dém. du lemme

_4.9),

_{donc q}

est

_isotrope.

Comme

_u(F)

est

_pair

_(ibid.),

on a

u(F)

_2m,

ce

_qui

démontre la

_pa.rtie

2)

du théorème

2.

COROLLAIRE.

_(cf(MS),

_prop.

_(1G.10)).

Si F est j’un des corps

appa.raissa.nt

dans le

_{th. 1,}

on a.

~(F)

1.

Remarque

3. Concurremment à

_À(F)

on

_peut

introduire un autre

invari-ant

_a’(F),

lui aussi lié aux

_algèbres

centrales

_simples

sur F :

a’(F)

= il existe _{un corps}

gauche

de centre

F,

produit

tensoriel

de B’

_algèbres

de

_{quaternions}.}

Cet invariant tire son

_importance

du théorème

principal

de

Merkurjev

([M],

th.

_1,

voir aussi

_[T2],

th.

_1),

_qui

_implique

_{que, si q} est une forme

quadratique

de _corps de fonctions

_F(q),

on a

a’(F(q)) &#x3E; a’(F)

dès _que

q E que q E

I’-F

avec

dim q &#x3E;

2À’(F)

_{+ 4} ou

que q e

I’F

avec

dim q &#x3E;

2~~(F)

+ 2. Les deux inva.riants

_a’(F)

et

_a(F)

sont reliés _par la

PROPOSITION 2.

₁₎

Pour _{tout corps}

_F,

on a

a’(F)

... - --...

DÉMONSTRATION:

₁₎

est évident. Si n =

_{À( F),}

_pour tout

_(n

+

_1)-uplet

(~1, ~ ~ ~ ,

d’algèbres

de

_quaternions

sur

F,

l’algèbre

_{KI 0... ®}

est de la forme

_~~(A),

où A est une

_algèbre

de

_degré

2’~.

_{Si n 2,}

il résulte d’un théorème d’Albert

_(cf

_[R.])

_que  est

_produit

tensoriel de n

algèbres

de

_{quaternions ;}

on a donc

B’(F) :5

_{n, et} donc

_{~(F) - a’{.F’),}

ce

quaternions,

on a A 0 _{~5 ^-_’}

M2 (B),

où B est de

_degré

_{8 ;}

il résulte d’un théorème de

_Tignol

_que

_A12(B)

est

_produit

tensoriel de 4

_algèbres

de

_quaternions,

et donc _que

_{À( F)}

_4,

ce

_qui

démontre

_3).

Si n &#x3E;

_3,

on sait _{que pour} F convena.ble il existe un _corps

_ga.uche

de centre

F,

de

_degré

_2’~,

dont la classe est dans

_Quad(F)

et

_qui

n’est _{pas produit}

ténsoriel

_{d’algèbres}

de

_quaternions

_([ART],

_{[ELTW]) ;}

il est

_{probable qu’on}

a en

général

A’(F)

A(F).

Des

_arguments

"génériques"

impliquent

qu’il

existe une fonction

f

telle _que

a(F)

f (~’(F))

_pour tout _{corps F}

_([T3],

§1) ;

il serait intéressant

_d’estimer,

ou au moins de

majorer f

de manière

explicite.

Par

_ailleurs,

on

_peut

se demander si on a

~(F) =

lorsque

F est d’un

_type

_particulier,

_par

_{exemple lorsque}

= 0. C’est _en tout

cas vrai si

cd2 (F)

=

_2;

_en fait :

THÉORÈME

3.

_(Merkurjev).

_{Supposons que}

_{ed2 ( F) -}

2. Alors :

a)

Tout _corps

_gauche

de centre F dont la classe est dans

_Quad(F)

est

produit

tensoriel de

_{qua.ternions.}

b)

Une forme

_qua.dratique

_{q E}

I2F

est

_anisotrope

si et seulement si

_E(q)

est un _corps.

En

_particulier,

on a

~’(F)

=

À(F).

DÉMONSTRATION

_(Merkurjev).

Soit F un _corps

que1conque.

Il est clair

que si q E

I’F

et que

.E(q)

est un _corps,

a,lors q

est

_a.nisotrope

_(cf

cor. au lemme

_1,

ou

_l’argument

ci-dessus suiva.nt la

_proposition

1).

Inversement,

la

_proposition

1 montre _que

_b)

_implique

formellement

_a)

dans le théorème 3. Il suffit donc de _{montrer que,}

_lorsque

_{cd~ (F) -}

2,

E(q)

est un _corps pour toute forme

qua,dratique

anisotrope

q E

I’ F.

Soient

_F1

une extension

algébrique

parfaite

de

F,

L une clôture

a.lgé-brique

de

_Fi

et S’ un

_{2-sous-groupe}

de

Sylow

de

Gal(L /Fi ).

Le corps .~1

des invariants de S a les

_propriétés

suivantes :

i)

toute sous-extension finie de

_KIF

est de

_{degré impair,}

ii)

toute sous-extension finie de est

_composée

d’extensions

qua-dratiques

successives.

D’après

le théorème de

_Springer

_([La,m],

ch.

_VII,

tll.

_2.3),

_qj; est en-core

_anisotrope,

et on a évidemment encore

_{2 ;}

il suffit donc de démontrer

₂₎

_pour c’est-à-dire

_qu’on

_peut

_{supposer F} = A’.

Soit 2m le _rang de _{q, et} soit

_e(q)

l’indice de

_{E(q) :}

on a c

21n-I,

et on

doit montrer _que e =

2’~-~.

On va démontrer _que e &#x3E; _par récurrence sur e.

une

algèbre

de

quaternions a F b

et le lemme 2 montre

_{que q .1.}

_-q’

est

_{hyperbolique,}

donc

_{que q ~ q’}

_puisque

_{q est}

_{anisotrope. Supposons}

e &#x3E;

4. Soit D un corps gauche de centre F semblable à

_{E(q) (donc}

_deg

D =

e),

et soit M un _sous-corps commutatif maximal de D. Vu la

propriété

(ii),

M/F

contient une sous-extension

_quadratique

_NIF;

il est clair _que

_D0FN

n’est _pas un _corps, donc _que

_e(q)/2.

Par

récurrence,

on a donc

e(qN) &#x3E;

2m’-1,

où 2m’ est le _rang de la

_{partie anisotrope}

de _qN, c’est-à-dire le 2m-indice

_(qN).

Le lemme suivant entraîne _que m’ &#x3E; m -

_1,

ce

_qui

achève la démonstration.

LEMME 3. Soit F un _corpus tel _que

I3F

=

_0,

soit N _une exten,sion

qua.dra-tique

de F et soit _{q E} une forme

qua.dratique anisotrope

de

_{rang &#x3E;}

6. Alors l’indice de _{qN est} 2.

DÉMONSTRATION:

Soit N =

D’après

[Lam],

ch

VII,

lemme

3.1, q

peut

s’écrire

_{1, - a}

&#x3E; 0~

1. BII avec 4) de _{rang f,} où 2c est l’i ndi ce de _qN. Si E &#x3E;

_{2, q&#x3E;}

contient une sous-forme de _rang

_2,

donc

_1,

-c~ &#x3E;

0P

contient

une sous-forme

isométrique

à une 2-forme de

_Pfister,

_qui

est universelle

puisque

IF 1=

0. Si

_{dim q &#x3E;}

_6,

cela

_{implique que q}

est

_isotrope,

ce

_qui

est

absurde.

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URA 212-CNRS

Mathématiques-Université de Paris 7

Sème _étage, couloir 45-55

2, Place Jussieu